2.1 圆的标准方程+2.2 圆的一般方程 基础题型训练-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

高二上学期北师大版数学选择性必修第一册 第一章 直线与圆 §2 圆与圆的方程-2.1 圆的标准方程 2.2 圆的一般方程 基础题型训练 题型一 二元二次方程与圆 1.（2025北京第十二中学月考）圆的圆心 的坐标为( ) A. B. C. D. 2.（2025浙江杭州期中）下列方程表示圆的是( ) A. B. C. D. 3.（2025广东广州期中）若方程表示圆，则实数 的取值范 围为( ) A. B. C. D. 4.（2025湖南长沙长郡中学测试）已知 ，方程 表示圆，则圆心坐标是_________，半径是___. 题型二 求圆的方程 5.（2025福建漳州期中）已知圆心为，半径 的圆的方程为( ) A. B. C. D. 6.（2025重庆期中）已知圆的一条直径的两个端点分别是和 ，则圆的标准 方程是( ) A. B. C. D. 7.（2025江西南昌二中月考）三个顶点的坐标分别是， ， ，则 外接圆的方程是( ) A. B. C. D. 8.（2025广东广信中学月考）与圆同圆心且过点 的圆的 方程是_______________________. 9.（2025山西运城月考）已知圆经过，两点，圆心在轴上，则圆 的标 准方程是__________________. 题型三 圆的对称问题 10.（2024湖北武汉二中月考）圆关于点 对称的圆的标准方程 为( ) A. B. C. D. 11.（2025重庆八中期中）已知圆 上存在两点关于直线 对称，则 的最小值是___. 12.（2025安徽蚌埠期末）已知圆与圆 关于 直线对称，则直线 的方程为______________. 题型四 点与圆的位置关系及拓展 13.（2025江西丰城期中）已知圆 ，则原 点 在( ) A.圆内 B.圆外 C.圆上 D.圆上或圆外 14. （2025江西上饶横峰中学月考）若点在圆 的外部，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 15.（2024广东茂名高州中学期中）已知点，点是圆 上的动 点，则 的最大值是( ) A. B. C. D. 16. （2025福建莆田十六中期中）已知圆，若 为 圆上的动点，则 的最大值与最小值的差是____. 题型五 与圆有关的轨迹问题 17.（2025浙江金华期中）动点分别与定点， 的连线的斜率之积 为，则点 的轨迹方程是____________________. 18.（2025山东泰安一中模拟）已知点在圆上运动， 为坐标原点， 则线段 的中点的轨迹方程为_________________. 19.（2025河北邢台月考）已知点，直线 与 直线交于点，则 的取值范围是_______. 参考答案 1.B【解析】 由题可知圆的标准方程为，所以圆心坐标为 . 2.C【解析】 圆的标准方程为,其中圆心为,半径 . 不符合 ； （也可由 判断）化为 ,不符合 ； 化为 ； 化为,不符合 ,也不满足平方项中间是“ 3.A【解析】 要使方程表示圆,只需 （）,解得或,故实数的取值范围为 . 4. 、5 【解析】 若方程表示圆,则,解得或 ,同时还要满足 （前提是将二次项系数化为1）. 当时,,则 ,不满足 圆的条件,故 ; 当时,,则 ,满 足圆的条件,即 成立. 所以圆的方程为,即 ,圆心坐标为 ,半径为5. 5.C【解析】 已知圆心和半径，易得圆的标准方程为 . 6.C【解析】 圆的直径式方程为 ,化成标准方程为 . 7.C【解析】 设所求圆的方程为.因为,, 三点都在圆上,所以解得 即所求圆的方程为 . 8. 【解析】 与圆 同圆心的圆的方程可设为 （同心圆系方程）, 又圆过点,所以将点的坐标代入可得 ，所以所求圆的方程为 . 9. 【解析】 圆心在轴上,设圆心坐标为,由圆心到圆上各点距离都为半径 ,得 ,解得所以圆 的标准方程为 . 10.D【解析】 由题意可得已知圆的标准方程为,所以圆心为 ,半为,因为点关于点的对称点为 ,所以所求对称圆的标准方程为 . 11.2 【解析】 圆上存在两点关于直线 对称,所以直线过圆心,有 ,即 ,当且仅当,即, 时等号 成立,所以 的最小值为2. 12. 【解析】 圆,圆心为,半径,圆 , 整理为,其圆心为,半径.连接，则 的中点 为,,由对称性知,所以,所以 ,整 理,得直线的方程为 . 13.B【解析】 将圆的方程化成标准方程为.因为 ,所以 （比较原点到圆心距离的平方与半径的平方的大小）, 即原点 在圆外. 14.C【解析】 由已知圆 ，得 （注意隐含条件），即 ， 又点在圆外，则，即 , 即解得 . 15.D【解析】 将代入圆,得（先判断点 与圆的位置关系）,所以点为圆外一点,易知圆心为,半径 ,所以 ,则的最大值为 . 16.40 【解析】 圆的方程为，其圆心 . 根据两点间距离公式，原点到圆心 的距离 . 因为在圆上运动，圆的半径 . 表示点到原点距离的平方，原点在圆 外， 所以的最小值为 ；（【易错】利用“定点到圆心的距 离 半径”的结论,易忘了平方） 的最大值为 . 所以最大值与最小值的差为 . 17. 【解析】 设,则,（注意斜率存在的条件 ）. 因为动点分别与定点，的连线的斜率之积为,所以 ,所 以,即,且（注意自变量的取值范围）,综上所述,点 的轨迹 方程是 . 18. 【解析】 设线段的中点, ， 则由题知，且 所以，即 ， 所以线段的中点的轨迹方程为 . 19. 【解析】 由题意可知，当时，直线与互相垂直，当时， ， 直线与互相垂直，（也可由直接得到 ） 且直线经过定点，直线经过定点，所以 . 即,所以经过定点，同理可得 经过定点 设，则，即 ， 则点的轨迹为以点为圆心，5为半径的圆（【另解】的中点为 ,此 即为圆心,,此即为半径）（挖去与 ， 所以的最大值为 ， 最小值为 . 故的取值范围是 . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $