上海市市西中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

市西中学2024学年第一学期期中考试 高三数学 2024.10 一、填空题（共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共计54分） 1. 集合且的真子集的个数是________． 2. 函数的定义域是___________． 3. 若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长______． 4. 记是虚数单位，设复数且，则复数的虚部为______. 5. 已知平面向量，满足，则_____． 6. 已知数列为等比数列，，，则__________. 7. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是____. 8. 5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若不改变宽带W，而将信噪比从1000提升至2000，则C大约增加了____%.（参考数值） 9. 函数（）在上存在最小值，则实数的最小值是______. 10. 数列满足：为正整数，，若，则______. 11. 已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______. 12. 对任意两个非零向量，定义.若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，则的取值范围是_____. 二、选择题（共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共计18分） 13. a，b中至少有一个不为零的充要条件是（ ） A. ab＝0 B. ab>0 C. a2＋b2＝0 D. a2＋b2>0 14. 下列四个命题： ①若，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，则 其中正确命题的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 15. 已知函数，现有如下四个命题： 甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为； 乙：该函数图象可以由的图象向右平移个单位长度得到； 丙：该函数在区间上单调递增； 丁：该函数满足． 如果只有一个假命题，那么该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 16. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若函数是奇函数，函数是偶函数，则（ ） A. B. C. 函数是奇函数 D. 三、解答题（共5题，共计78分） 17. 如图，在直三棱柱中，，. （1）求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值. 18. 已知数列的前项和为，满足，. （1）证明：是等比数列； （2）若，求的最小值. 19. 如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米， 千米． （1）求线段的长度； （2）若，求两条观光线路与之和的最大值． 20. 已知函数. （1）若，求的值； （2）设，求函数的极值； （3）若在区间上无零点，求的取值范围. 21. 的定义域为，若满足对任意，，当时，都有，则称是连续的. （1）请写出一个是连续的函数（不必说明理由）； （2）证明：若是连续的，则是连续且是连续的； （3）当时，（，），且是连续的，求，的值. 市西中学2024学年第一学期期中考试 高三数学 2024.10 一、填空题（共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共计54分） 【1题答案】 【答案】15 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】10 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共计18分） 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】A 三、解答题（共5题，共计78分） 【17题答案】 【答案】（1）证明：由题知面，又面，所以， 又，，面，所以面， 又面，所以， 又，所以四边形是正方形，得到， 又，面，所以平面. （2） 【18题答案】 【答案】 （1）因为，即，所以， 所以， 显然，即， 所以，而， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）5 【19题答案】 【答案】（1）3千米 （2）6千米． 【20题答案】 【答案】（1） （2）的极小值为，没有极大值 （3）或 【21题答案】 【答案】（1） （2）证明：因为是连续的，由定义可得对任意， 当时，有， 所以有 ， 且， 所以， 所以， 即是连续的， 可得， 两式相减可得， 即是连续的. （3）或或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $