24.2　直角三角形的性质课件 2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

九年级上册 华师版 数学 24.2　直角三角形的性质 第24章　 解直角三角形 - 24.2　直角三角形的性质 探究与应用 课堂小结与检测 第24章　解直角三角形 探究一　直角三角形斜边上的中线的性质 [回顾旧知] 1.直角三角形的两个锐角有怎样的关系?    2.直角三角形的三边之间有怎样的关系?  解:直角三角形的两个锐角互余. 解:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 探究与应用 [操作发现] 按下面的步骤进行操作: (1)画一个Rt△ABC,∠ACB=90°. (2)量一量斜边AB的长度. (3)找到斜边的中点,用字母D表示. (4)画出斜边上的中线. (5)量一量斜边上的中线CD的长度,看看CD与AB有什么数量关系. 探究与应用 猜想:直角三角形斜边上的中线与斜边之间有何数量关系? 解:图略.经过画图和测量可知,CD=AB,故猜想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 探究与应用 [推理证明] 如图24-2-1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线.求证:CD=AB. 图24-2-1 探究与应用 证明:如图,延长CD至点E,使DE=CD,连结AE,BE. ∵CD是斜边AB上的中线,∴AD=DB. 又∵DE=CD, ∴四边形ACBE是平行四边形. 又∵∠ACB=90°, ∴四边形ACBE是矩形, ∴CE=AB,∴CD=CE=AB. 探究与应用 细 琢磨 探究与应用 [概括新知] 1.文字语言:直角三角形斜边上的中线等于　　　　　　.  2.几何语言:如图24-2-2,在△ABC中,∠ABC=90°. ∵O为AC的中点, ∴BO=　　　　=　　　　=　　　　.  图24-2-2 斜边的一半 AO CO AC 探究与应用 应用一　利用直角三角形斜边上的中线的性质进行计算 例1 如图24-2-3,在Rt△ABC中,CD,CE分别是斜边AB上的中线和高,CD=8,CE=5,则Rt△ABC的面积是 (　　) A.80 B.60 C.40 D.20 图24-2-3 C 探究与应用 探究二　直角三角形中30 °角所对的直角边与斜边的 关系 [操作发现] 用两个完全相同的含30°角的三角尺是否能摆出一个等边三角形?由此你能得出在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边之间的数量关系吗? 解:用两个完全相同的含30°角的三角尺能摆出一个等边三角形.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 探究与应用 [推理证明] 如图24-2-4,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=30°.求证:BC=AB. 图24-2-4 证明:如图,作斜边AB上的中线CD,则CD=AB=AD=BD (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半). ∵∠A=30°,∴∠B=60°, ∴△CDB是等边三角形, ∴BC=BD=AB. 探究与应用 [概括新知] 在直角三角形中,30°的角所对的直角边等于　 　　　.  斜边的一半 探究与应用 应用二　利用直角三角形中30 °角所对的直角边与斜边的关系进行计算 例2 如图24-2-5,在△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,AB=3,求BC 的长. 图24-2-5 解:在△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,AB=3, ∴AC=2AB=6. ∵AB2+BC2=AC2, ∴BC==3,故BC的长为3. 探究与应用 变式1 如图24-2-6,在△ABC中,∠ACB=90°,D为AB边上的一点,∠BCD=∠A=30°,BC=4 cm,求AD的长. 图24-2-6 解:∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4 cm, ∴AB=2BC=8 cm,∠B=60°. ∵∠BCD=30°,∴∠B+∠BCD=60°+30°=90°, ∴∠CDB=90°,∴BD=BC=2 cm, ∴AD=AB-BD=8-2=6(cm). 探究与应用 变式2 如图24-2-7,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点, DE⊥AC于点E,DE=4 cm,∠A=30°,求AB和CD的长. 图24-2-7 解:∵DE⊥AC,∠A=30°,DE=4 cm, ∴AD=2DE=8 cm. ∵D为AB的中点,∴AB=2AD=16 cm. ∵∠ACB=90°,∴CD=AB=8 cm. ∴AB和CD的长分别为16 cm,8 cm. 探究与应用 知 关键 含30 °角的直角三角形性质的“两点注意” (1)前提条件是直角三角形,而且有一个角是30°; (2)该性质讲述了30°角所对的直角边与斜边的关系,常与勾股定理结合建立方程求边长. 探究与应用 在直角三角形中构造斜边中线解决问题 如图24-2-8所示,BD,CE都是△ABC的高,G,F分别是ED,BC的中点.求证:FG⊥DE. 【延伸拓展】 图24-2-8 证明:连结FE,FD. 在Rt△BEC中,F是BC的中点,∴FE=BC. 同理FD=BC,∴FE=FD. 由题意知GE=GD,∴FG⊥DE. 探究与应用 直角三角形斜边中线辅助线的作法 (1)有直角,有中点,连中线; (2)有直角,无中点,取中点,连中线; (3)有中点,无直角,造直角,连中线. 学 方法 探究与应用 [本课时认知逻辑] 课堂小结与检测 [检测] 1.如图24-2-9,在△ABC中,AC=BC=6,∠A=30°,CD⊥AB,垂足为D,则CD的长是 (　　) A. B. C.2 D.3 图24-2-9 D 课堂小结与检测 2.如图24-2-10,CD是Rt△ABC的中线,∠ACB=90°,∠CDA= 120°,则∠B的度数为 (　　) A.30° B.45° C.60° D.75° 图24-2-10 C 课堂小结与检测 3.如图24-2-11,∠AOB=30°,P是∠AOB的平分线上的一点, PC∥OA交OB于点C,PD⊥OA于点D,如果PC=4,求PD的长. 图24-2-11 解:过点P作PE⊥OB,交OB于点E,如图. ∵OP平分∠AOB,PD⊥OA,∴PD=PE. ∵PC∥OA,∠AOB=30°, ∴∠BCP=∠AOB=30°. 又PC=4,∴PE=PC=2, ∴PD=PE=2. 课堂小结与检测 例1　C　[解析] ∵在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线, CD=8,∴AB=2CD=16. ∵CE=5,∴△ABC的面积为AB·CE=×16×5=40.故选C. 例2　变式1　[解析] 根据含30°角的直角三角形的性质求出AB和BD,再相减即可. 相关解析 [检测] 1.D　[解析] ∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°. ∵∠A=30°,∴CD=AC.∵AC=6,∴CD=3.故选D. 2.C　[解析] ∵∠ACB=90°,CD是Rt△ABC的中线, ∴CD=AB=DB,∴∠B=∠DCB. ∵∠CDA=∠B+∠DCB=120°,∴∠B=60°.故选C. 谢 谢 观 看！ $$