精品解析：江苏省扬州市扬州大学附属中学东部分校2022-2023学年高二上学期第二次月考数学试卷

扬大附中东部分校2022-2023学年第一学期第二次模块学习效果调查高二年级数学学科试卷 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 抛物线的焦点到准线的距离为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知函数，导函数为，那么等于（ ） A. B. C. D. 1 3. 圆被直线所截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 4. 以正弦曲线上一点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角范围是（ ） A. B. C. D. 5. 等轴双曲线：（，）的焦距为4，则的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 已知数列的前n项和为，，且，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 是等比数列 7. 已知平面内两定点，，动点满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若双曲线的渐近线与圆：相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本题共4小题，每小题5分．共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9. 以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 10. 在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法正确的是（ ） A. 等差数列一定是等差比数列 B. 等差比数列的公差比一定不为0 C. 若，则数列是等差比数列 D. 若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 11. 已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，是双曲线的右焦点，则下列说法正确的有（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 双曲线的实轴长为 C. 双曲线的离心率为2 D. 为双曲线上一点若，则 12. 已知直线和曲线，点A是直线上的一个动点，点是曲线上的一个动点，过点A作曲线的两条切线，切点分别为､，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 曲线上存在个点到直线的距离等于 C. 若曲线上总存在点，使得，则A的横坐标的取值范围是 D. 直线过定点 第II卷（非选择题） 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13. 已知点，，则直线的倾斜角为_____________ 14. 若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为 _____． 15. 若，则数列的前21项和___________. 16. 定义n个正数的“均倒数”为，若各项均为正数的数列的前n项的“均倒数”为，则的值为______ 四、解答题(本题共6小题，共70分) 17. 已知数列{an}为等差数列，且a1＋a5＝-12，a4＋a8＝0. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若等比数列{bn}满足b1＝-8，b2＝a1＋a2＋a3，求数列{bn}的通项公式． 18. 已知圆C：（x﹣3）2+y2＝1与直线m：3x﹣y+6＝0，动直线l过定点A（0，1）． （1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程； （2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，点M是PQ的中点，直线l与直线m相交于点N．探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 给出下列条件：①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为的点到其焦点的距离等于；④抛物线的准线方程是. （1）对于顶点在原点的抛物线：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线的方程是，并说明理由； （2）过点的任意一条直线与交于，不同两点，试探究是否总有？请说明理由. 20. 已知双曲线的渐近线为，焦点到渐近线的距离是． （1）求双曲线的方程； （2）已知直线与双曲线交于不同的两点A、B，且线段的中点在圆上，求实数的值． 21. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）记，证明：． 22. 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬大附中东部分校2022-2023学年第一学期第二次模块学习效果调查高二年级数学学科试卷 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 抛物线的焦点到准线的距离为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，根据抛物线的方程可知，所以抛物线的焦点到准线的距离为，故选C． 考点：抛物线的几何性质． 2. 已知函数，导函数为，那么等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先对函数求导，再将代入，即可得出结果. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 【点睛】本题主要求在某点处的导函数值，熟记导数计算公式即可，属于基础题型. 3. 圆被直线所截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆化为标准方程，得到圆心坐标及半径，求出圆心到直线的距离，利用几何法求出圆的弦长即可. 【详解】圆标准方程是，圆心坐标为，圆半径为2， 圆心到直线的距离是， 所以弦长为． 故选：C. 4. 以正弦曲线上一点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义确定切线斜率的取值范围，再分类讨论求倾斜角的取值范围. 【详解】因为，所以， 设，则以为切点的直线的斜率. 当时，直线的倾斜角； 当时，直线的倾斜角. 综上直线的倾斜角. 故选：A 5. 等轴双曲线：（，）的焦距为4，则的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，由焦距得到，即可求出焦点坐标，再利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】解：由题可知，双曲线为等轴双曲线， 故双曲线的半实轴长与半虚轴长相等，即， 渐近线方程为， 又，所以， 双曲线的焦点坐标为、， 一个焦点到一条渐近线的距离为． 故选：B． 6. 已知数列的前n项和为，，且，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 是等比数列 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，令代入，求得，判断A；结合数列前n项和与的关系式，求出时，结合，判断C,求出，即可判断B;利用可得，构造出，即可判断D． 【详解】由题意数列的前项和为，，且， 则，即， 所以即选项A正确； 因为①， ∴当 时，②， ①-②可得，，即， 当时，，不满足 ， 故数列不是等比数列，故C错误， 由时，可得，则， 故，故B正确； 由得： 所以 令，则 所以 所以，即， 故是首项为， 公比为4的等比数列，D正确， 故选：C. 7. 已知平面内两定点，，动点满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设出点的坐标，代入，求出的方程之后可求. 【详解】设点坐标为，又，， 则， 即， 则点在以原点为圆心，半径为的圆上， 则表示点到圆上一动点的距离， 又，故点在圆内部， 则最小值为. 故选：A. 8. 若双曲线的渐近线与圆：相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】双曲线的渐近线与圆相交，则圆心到渐近线的距离小于半径，解出的不等式代入离心率算式即可． 【详解】由圆化为标准方程，得到圆心，半径． 双曲线的渐近线与圆相交， 则圆心到渐近线的距离小于半径，即，可得，∴，即，又∵， ． 该双曲线的离心率的取值范围是． 故选：A． 二、多选题(本题共4小题，每小题5分．共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9. 以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据条件求抛物线的焦点坐标，再求抛物线的标准方程. 【详解】直线与轴的交点坐标是，即抛物线的焦点坐标是，此时抛物线的标准方程，与轴的交点坐标是，抛物线的焦点坐标是，此时抛物线的标准方程是. 故选：AC 10. 在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法正确的是（ ） A. 等差数列一定是等差比数列 B. 等差比数列的公差比一定不为0 C. 若，则数列是等差比数列 D. 若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 【答案】BCD 【解析】 【分析】 考虑常数列可以判定A错误，利用反证法判定B正确，代入等差比数列公式判定CD正确. 【详解】对于数列，考虑，无意义，所以A选项错误； 若等差比数列的公差比为0，，则与题目矛盾，所以B选项说法正确； 若，，数列是等差比数列，所以C选项正确； 若等比数列是等差比数列，则， ，所以D选项正确. 故选：BCD 【点睛】易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意： （1）常数列作为特殊的等差数列公差为0； （2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1. 11. 已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，是双曲线的右焦点，则下列说法正确的有（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 双曲线的实轴长为 C. 双曲线的离心率为2 D. 为双曲线上一点若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由抛物线方程得准线方程，得抛物线焦点坐标，从而得双曲线的焦点坐标，求得参数，得实轴长和离心率，由双曲线定义可求得点到焦点的距离. 【详解】解：对于A，抛物线的准线方程是，A选项错误； 对于B，抛物线的焦点是，所以，，， 在双曲线中，则，解得或（舍去）， 所以，双曲线的实轴长为，B选项正确； 对于C，双曲线的离心率，C选项错误； 对于D，由双曲线定义，即， 解得或（舍去），D选项正确； 故选：BD. 12. 已知直线和曲线，点A是直线上的一个动点，点是曲线上的一个动点，过点A作曲线的两条切线，切点分别为､，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 曲线上存在个点到直线的距离等于 C. 若曲线上总存在点，使得，则A的横坐标的取值范围是 D. 直线过定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆的切线长的计算公式结合圆心到直线的距离即可求得的最小值，判断A;结合A的分析可判断B;由曲线上总存在点，使得，可得，从而，设，可得不等式，求得x范围，判断C;由题意可知､两点在以为直径的圆上，求出以为直径的圆的方程，联立求得直线的方程，可推得直线所过的定点，判断D. 【详解】对于A:因为，所以最小时，最小. 因为当是点到直线的距离时，最小，最小值为， 因此最小为，故A正确； 对于B：由选项A知：点到直线的距离为，而圆的半径为， 因此曲线上存在个点到直线的距离等于，故B错误； 对于C：因为点A是直线上的一个动点，所以设， 因为曲线上总存在点，使得，所以， 因此， 又因为在中，， 所以，即，解得， 因此点A的横坐标的取值范围是，故C正确； 对于D:由题意过点A作曲线的两条切线，切点分别为､， 可知､两点在以为直径的圆上， 设，则为直径的圆的方程为， 和相减可得直线的方程，即， 即，由于，故由，得， 所以直线恒过定点，故D正确. 故选： . 【点睛】难点点睛：本题判断正误的难点在于C,D选项的判断，对于C选项，要能够根据曲线上总存在点，使得，明确，然后结合三角函数求解；对于D选项，要能够明确即为以为直径的圆和的公共弦，由此可求得直线的方程. 第II卷（非选择题） 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13. 已知点，，则直线的倾斜角为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设直线的倾斜角为，求出直线的斜率，则有，结合的范围分析可得答案． 【详解】根据题意，设直线的倾斜角为， 直线经过点，，则的斜率， 则，又由， 则， 故答案为：． 14. 若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为 _____． 【答案】（8,±8） 【解析】 【分析】先求出抛物线的准线，再由P到焦点的距离等于其到准线的距离，从而可确定P的横坐标，代入抛物线方程可确定纵坐标，从而可确定答案． 【详解】设P（xP,yP）， ∵点P到焦点的距离等于它到准线x＝﹣2的距离， 抛物线y2＝8x，xp+2＝10， ∴xP＝8，yP＝±8， 故答案为：（8,±8）． 15. 若，则数列的前21项和___________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用分组求和法求出答案即可. 【详解】 故答案为： 16. 定义n个正数的“均倒数”为，若各项均为正数的数列的前n项的“均倒数”为，则的值为______ 【答案】8091 【解析】 【分析】利用“均倒数”的概念求出，再利用递推关系求出，再代入值即可. 【详解】由已知可得数列的前项的“均倒数”为 可得,则时, ， 当时,,满足, . 故答案为: 8091 . 四、解答题(本题共6小题，共70分) 17. 已知数列{an}为等差数列，且a1＋a5＝-12，a4＋a8＝0. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若等比数列{bn}满足b1＝-8，b2＝a1＋a2＋a3，求数列{bn}的通项公式． 【答案】（1）an＝2n-12； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质得到，然后根据等差数列的通项公式求出和的值即可. （2）根据（1）的条件求出b2＝-24，b1＝-8，然后根据等比数列的通项公式求出的值即可. 【小问1详解】 设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＋a5＝2a3＝-12，a4＋a8＝2a6＝0， 所以，所以， 解得， 所以an＝-10＋2(n-1)＝2n-12. 【小问2详解】 设等比数列{bn}的公比为q， 因为b2＝a1＋a2＋a3＝-24，b1＝-8， 所以－8q＝－24，即q＝3， 因此. 18. 已知圆C：（x﹣3）2+y2＝1与直线m：3x﹣y+6＝0，动直线l过定点A（0，1）． （1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程； （2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，点M是PQ的中点，直线l与直线m相交于点N．探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）y＝1或；（2）是，-5. 【解析】 【分析】（1）由题意可得直线的斜率存在，所以设直线l的方程为，然后利用点到直线的距离公式可得求出的值，从而可求出切线方程， （2）设l的方程为y＝kx+1，M（x0，y0），将直线方程与圆方程联立方程组消去y，解方程可求出点的坐标，再将两直线方程联立可求出点的坐标，从而可表示出 ，化简可得结论 【详解】解：（1）1°当直线l的斜率不存在时， l的方程为x＝0，与圆C不相切； 2°当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为，即， ∴，解得或， ∴直线l的方程为y＝1或； （2）由题意可知直线l的斜率存在， 设l的方程为y＝kx+1，M（x0，y0）， 由消去y得，（1+k2）x2﹣（6﹣2k）x+9＝0， ∴， ∴，∴， 由得，， ∴，∴， ∴， ∴为定值． 19. 给出下列条件：①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为的点到其焦点的距离等于；④抛物线的准线方程是. （1）对于顶点在原点的抛物线：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线的方程是，并说明理由； （2）过点的任意一条直线与交于，不同两点，试探究是否总有？请说明理由. 【答案】 （1）因为抛物线的焦点在轴上，所以条件①适合，条件②不适合. 又因为抛物线的准线方程为：， 所以条件④不适合题意， 当选择条件③时， ， 此时适合题意， 故选择条件①③时，可得抛物线 的方程是； （2）总有，证明如下： 由题意得直线的斜率不为， 设直线的方程为， 由得 设， 所以恒成立，，， 则， 所以， 所以， 综上所述，无论如何变化，总有. 【解析】 【分析】（1）通过焦点位置可判断条件①适合，条件②不适合，通过准线方程，可判断条件④不适合，利用焦半径公式可判断条件③适合； （2）假设总有，设直线的方程为，联立，利用韦达定理计算可得结果. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题. 20. 已知双曲线的渐近线为，焦点到渐近线的距离是． （1）求双曲线的方程； （2）已知直线与双曲线交于不同的两点A、B，且线段的中点在圆上，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由渐近线为可得，根据焦点到渐近线的距离是，求出c，利用双曲线中即可求得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程计算． 【小问1详解】 解：由题知，， 设右焦点，取一条渐近线， 则焦点到渐近线的距离， ，从而， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 解：设，， 由，得， 则，， 所以， 则中点坐标为， 代入圆，得， 所以． 21. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）记，证明：． 【答案】（1） （2）证明: 由（1）得， 所以， 故 . 【解析】 【分析】（1）令，可得出，令时，由可得，两式作差可得推导出数列为等比数列，确定该数列的公比，求出的值，进而可求得等比数列的通项公式； （2）求得，利用裂项求和法可证得原不等式成立. 【小问1详解】 因为，则当时，， 当时，由可得， 所以，即， 因为是等比数列，则该数列的公比为，则， 所以，即， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 略. 22. 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由离心率与列出方程组，求出，从而得到，求出椭圆方程； （2）先考虑直线斜率不存在的情况，再考虑直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，根据列出方程，求出，得到直线方程. 【小问1详解】 由已知得，解得， ， 所求椭圆的方程为； 【小问2详解】 由（1）得. ①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得. 设， ，这与已知相矛盾. ②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为， 设，联立， 消元得， ， ， 又， ， 化简得， 解得或（舍去） 所求直线的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $