全册复习综合素质评价 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

北师大版数学九年级下册 全册复习综合素质评价 一、选择题(每题3分，共30分) 1.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则sin B的值是(　　) A． B． C． D． 2．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，∠BOD＝110°，则∠ACD的度数是(　　) A．35° B．40° C．45° D．50° 3. 把抛物线y＝－2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得抛物线对应的函数表达式为(　　) A．y＝－2(x＋1)2＋2 B．y＝－2(x＋1)2－2 C．y＝－2(x－1)2＋2 D．y＝－2(x－1)2－2 4．关于二次函数y＝(x－1)2＋5，下列说法正确的是(　　) A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是(－1，5) C．该函数的最大值是5 D．当x≥1时，y随x的增大而增大 5．在△ABC中，∠A和∠C都是锐角，且sin A＝，tan C＝，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形　 B．钝角三角形　 C．等边三角形　 D．不能确定 6．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为(0，3)，tan ∠ABO＝，则菱形ABCD的周长为(　　) A．6　 B．6　 C．12　 D．8 7．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O外一点，过点C的两条直线分别与圆相切于点B，D，点E是圆周上任意一点，连接AE，DE，AD，若∠C＝70°，则∠AED的度数是(　　) A．50° B．40° C．25° D．35° 8. 二次函数y＝ax2＋2ax＋b与一次函数y＝ax＋b(a，b是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(　　) 9．如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60 m的C处有一个山坡，山坡CD的坡度(或坡比)i＝4∶3，山坡坡底C到坡顶D的距离CD＝45 m，在坡顶D处测得居民楼楼顶A的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为(参考数据：sin 28°≈0.47，cos 28°≈0.88，tan 28°≈0.53)(　　) A．76.9 m B．82.1 m C．94.8 m D．112.6 m 10．如图，点A，B，C在⊙O上，AB是直径，AB＝13，BC＝5，动点D在AB上，过点D作DE⊥AB，交折线A－C－B于点E，设AD＝x，△ADE的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是(　　) 二、填空题(每题4分，共32分) 11. 请写出一个函数表达式，使其图象是开口向上，顶点在第三象限，与y轴交于负半轴的抛物线：________________． 12．如图，一根竖直的木杆在离地面1 m的A处折断，木杆顶端落在地面的B处上，与地面的夹角为α，若sin α＝，则木杆折断之前的高度为________m. 13. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则∠ADC的度数是________． 14．如图，在4×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则cos C＝________． 15．如图，⊙O的内接正六边形为正六边形ABCDEF，⊙O的半径为6，则BF的长为________． 16．如图，甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在O点正上方的A处发出一球，以点O为原点建立平面直角坐标系，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间满足表达式y＝－2＋4，球网BC离点O的水平距离为5 m，甲发球过网后，乙在球场上N处接球，乙原地起跳可接球的最大高度为2.2 m，若乙因接球高度不够而失球，则n的取值范围是________． 17. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图.是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在上，CD⊥AB． “会圆术”给出的长l的近似值s的计算公式：s＝AB＋，当OA＝2，∠AOB＝90°时，≈________．(结果保留一位小数) 18. 如图，已知开口向上的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点，对称轴为直线x＝1，下列结论：①2a＋b＝0；②函数y＝ax2＋bx＋c的最小值为－4a；③若关于x的方程ax2＋bx＋c＝a－1无实数根，则0<a<；④代数式<0.其中正确的是________．(填序号) 三、解答题(19题6分，20，21题每题8分，22题10分，23题12分，24题14分，共58分) 19．计算：6tan230°－cos 30°·tan 60°－2sin 45°＋cos 60°. 20. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点(－3，0)，(2，－5)． (1)试确定此二次函数的表达式； (2)请你判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上． 21. 如图①，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时(如图②)，在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角． (1)请仅就图②的情形证明∠APB>∠ADB； (2)经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像的水平距离PH为6 m．求塑像AB的高(结果精确到0.1 m．参考数据：≈1.73)． 22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，⊙O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG＝GD． (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)已知⊙O的半径与菱形的边长之比为5：8，求tan ∠ADB的值． 23．为了加强劳动教育，落实五育并举，某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2025年计划将其中1 000 m2的土地全部种植甲、乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y(单位：元/m2)与其种植面积x(单位：m2)的函数关系如图所示，其中200≤x≤700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2. (1)当x＝________m2时，y＝35元/m2. (2)设2025年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ 24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，作直线BC． (1)求抛物线的表达式． (2)如图①，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，请问线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点M是直线BC上一动点，过点M作线段MN∥OC(点N在直线BC下方)，已知MN＝2，若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围． 答案 一、1.D　2.A　3.C　4.D　5.C　6.D　7.D　8.A 9．B　点拨：如图，过点D作DF⊥AB于点F. 作DE⊥BC交BC的延长线于点E. ∵∠ABC＝90°，∴四边形DFBE是矩形． ∴DE＝BF，DF＝EB. 由题意得∠ADF＝28°，CD＝45 m，BC＝60 m， 在Rt△DEC中，∵山坡CD的坡度i＝4∶3，∴＝. 设DE＝4x m，则EC＝3x m，由勾股定理得CD＝5x m， 又∵CD＝45 m，∴5x＝45.∴x＝9. ∴EC＝27 m，FB＝DE＝36 m. ∴DF＝BE＝BC＋EC＝60＋27＝87(m)． 在Rt△ADF中，AF＝tan 28°×DF≈0.53×87＝46.11(m)，∴AB＝AF＋FB≈46.11＋36≈82.1(m)． 10．D　点拨：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∴AC＝＝12.∴tan A＝＝. 如图①，当点E在AC上时， ∵DE⊥AB，∴∠ADE＝90°. ∴＝.∴＝.∴DE＝x. ∴S△ADE＝AD·DE＝x×x＝x2(0≤x≤)． ∴此时函数图象为过原点的开口向上且y随x的增大而增大的一段抛物线； 　　 如图②，当点E在BC上时，BD＝13－x，tan B＝＝， ∴＝.∴＝.∴DE＝(13－x)． ∴S△ADE＝AD·DE＝x×(13－x)＝－x2＋x. ∴此时函数图象为开口向下且y随x的增大而减小的一段抛物线． 二、11.y＝2－3(答案不唯一)　12.3.5 13．60°　14.　15.6 16．5<n<7　点拨：∵乙原地起跳可接球的最大高度为2.2 m， ∴若乙因接球高度不够而失球，则当x＝n时，y>2.2. 当y＝2.2时，－2＋4＝2.2， 解得x＝7或x＝1(舍去)． ∵球网BC离点O的水平距离为5 m，∴n>5. ∴n的取值范围是5<n<7. 17．0.1　点拨：∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，∴AB＝2. ∵C是弦AB的中点，D在上，CD⊥AB， ∴延长DC可得O在DC的延长线上，易得OC＝AB＝. ∴CD＝OD－OC＝2－. ∴s＝AB＋＝2＋＝3. ∵l＝＝π，∴＝≈0.1. 18．①②③④　点拨：∵图象开口向上，∴a>0. ∵对称轴为直线x＝1， ∴－＝1，即b＝－2a，则2a＋b＝0，故①正确； 由图象可知当x＝1时，函数取最小值， ∵图象与x轴交点为，对称轴为直线x＝1， ∴图象与x轴的另一交点为. 设函数表达式为y＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，∴c＝－3a. 将x＝1代入，得y＝a－2a－3a＝－4a，故函数的最小值为－4a，故②正确； 方程ax2＋bx＋c＝a－1整理得ax2＋bx＋c－a＋1＝0， 要使方程无实数根，则b2－4a<0， 将c＝－3a，b＝－2a代入，得20a2－4a<0，即a(20a－4)<0. ∵a>0，∴20a－4<0，解得a<. 综上所述，0<a<，故③正确； ∵c＝－3a，b＝－2a， ∴＝(a＋2a)(－2a＋3a)(－3a－a)＝3a·a·＝－12a3. ∵a>0，∴－12a3<0，即<0，故④正确． 三、19.解：原式＝6×－×－2×＋＝2－－＋＝1－. 20．解：(1)由题意得解得 ∴二次函数的表达式为y＝－x2－2x＋3. (2)当x＝－2时，y＝－(－2)2－2×(－2)＋3＝3， ∴点P(－2，3)在这个二次函数的图象上． 21．(1)证明：如图，设AD与⊙O相交于点M，连接BM，则∠AMB＝∠APB. ∵∠AMB>∠ADB，∴∠APB>∠ADB. (2)解：由题意知∠AHP＝90°. 在Rt△AHP中，∠APH＝60°，PH＝6 m， tan∠APH＝，∴AH＝PH·tan 60°＝6×＝6(m)． ∵∠APB＝30°，∴∠BPH＝∠APH－∠APB＝60°－30°＝30°. 在Rt△BHP中，tan∠BPH＝， ∴BH＝PH·tan 30°＝6×＝2(m)． ∴AB＝AH－BH＝6－2＝4≈4×1.73≈6.9. ∴塑像AB的高约为6.9 m. 22．(1)证明：连接OA，∵AG＝GD，∴OF⊥AD. ∴∠FGA＝90°.∴∠AFG＋∠GAF＝90°. ∵四边形ABCD是菱形，∴∠GAF＝∠BAF. ∴∠BAF＋∠AFG＝90°. ∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA. ∴∠OAF＋∠BAF＝∠OAB＝90°. 又∵OA为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线． (2)解：∵⊙O的半径与菱形的边长之比为5：8，AG＝GD，∴OA：AG＝5：4. 设AG＝GD＝4a，∴OA＝5a.∴OG＝＝3a. ∴FG＝OF－OG＝2a. ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，即∠DEA＝90°＝∠FGA. ∵∠DAE＝∠FAG，∴∠ADB＝∠AFG. ∴tan∠ADB＝tan∠AFG＝＝＝2. 23．解：(1)500 (2)当200≤x≤600时，设甲种蔬菜种植成本y(单位：元/m2)与其种植面积x(单位：m2)的函数关系式为y＝kx＋b，把点(200，20)，(600，40)的坐标代入，得 解得 ∴当200≤x≤600时，y＝x＋10. ∴当200≤x≤600时，W＝x＋50(1 000－x)＝x2－40x＋50 000＝(x－400)2＋42 000. ∵＞0，∴当x＝400时，W有最小值，最小值为42 000. 当600＜x≤700时，W＝40x＋50(1 000－x)＝－10x＋50 000， ∵－10＜0，∴W随着x的增大而减小， ∴当x＝700时，W有最小值，最小值为－10×700＋50 000＝43 000. ∵42 000<43 000，∴当甲种蔬菜的种植面积为400 m2，乙种蔬菜的种植面积为1 000－400＝600(m2)时，W最小． 24．解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点， ∴y＝－.∴y＝－x2＋2x＋3. (2)存在． 理由：∵y＝－x2＋2x＋3，∴当x＝0时，y＝3. ∴C.∴OC＝3. ∵B，∴OB＝3＝OC.∴∠OBC＝45°. 设直线BC的表达式为y＝kx＋3， 把B的坐标代入，得k＝－1，∴y＝－x＋3. 如图，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点D， 设P，则D， ∴PD＝－m2＋2m＋3＋m－3＝－m2＋3m＝－2＋. ∵PQ⊥BC，∴∠PQD＝90°＝∠PEB. ∵∠PDQ＝∠BDE，∴∠DPQ＝∠OBC＝45°. ∴PQ＝PD·cos 45°＝PD. ∴当PD最大时，PQ最大． ∵PD＝－2＋， ∴当m＝时，PD的长取得最大值，为，此时PQ最大，为.∴P. (3)点M的横坐标xm的取值范围为≤xM≤0或3≤xM≤.　 点拨：∵点M在直线BC上，直线BC的表达式为y＝－x＋3，∴设M，则N(t，－t＋1)．当点N在抛物线上时，－t＋1＝－t2＋2t＋3， ∴t2－3t－2＝0，解得t＝或t＝. ∵线段MN与抛物线有交点，C(0，3)，B(3，0)． ∴点M的横坐标的取值范围是≤xM≤0或3≤xM≤. 15 学科网（北京）股份有限公司 $$