2023-2024学年北京各区重点校八年级下学期期中数学分类汇编：平行四边形章节综合（解答题）1

2023-2024北京各区重点校初二下学期期中数学 分类汇编：平行四边形章节综合（解答题）1 一、解答题 1．（2024北京人大附中初二下期中）如图，四边形中，，，对角线平分，过点A作的垂线，分别交，于点E，O，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求的长． 2．（2024北京西城初二下期中）如图，在四边形中，，对角线、相交于点，．求证：四边形是平行四边形． 3．（2024北京房山初二下期中）如图，在中，对角线，延长到点E，使，连接，交于点F．连接．      (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求的长． 4．（2024北京第一七一中学初二下期中）如图，在正方形中，是边上的一动点，点在边的延长线上，且，连接、． (1)求证：； (2)连接，取中点，连接并延长交于，连接． ①依题意，补全图形； ②求证：； ③若，用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明． 5．（2024北京育才学校初二下期中）如图，在中，点、分别在，上，且，连接，．求证：． 6．（2024北京八一学校初二下期中）已知：如图所示，在平行四边形中，对角线、相交于点O，，E、F、G分别是、、的中点．求证： (1)． (2)． 7．（2024北京日坛中学初二下期中）如图，在中，点M、N分别在边上，且，连接．求证∶ ．    8．（2024北京广渠门中学初二下期中）如图，平行四边形中，点，分别在边，上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，平分，求的长． 9．（2024北京海淀初二下期中）已知正方形中，点E是射线上一点，连接，作的垂直平分线交直线于点M，交直线于点N，交于点F． (1)如图1，当点E在正方形的边上时． ①依题意补全图形； ②求证：； (2)如图2，当点E在的延长线上时．连接并延长交的延长线于点P，连接． ①直接写出的度数为 　　； ②用等式表示线段，，之间的数量关系 10．（2024北京大兴初二下期中）如图，在中，，垂足分别为E，F．求证：． 11．（2024北京汇文中学初二下期中）如图，四边形是平行四边形，平分交于E，平分交于F． 求证：四边形是平行四边形． 12．（2024北京汇文中学初二下期中）如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点A、B均在格点上． (1)在图1中画出以为边且周长为的平行四边形，且C点和D点均在格点上（画出一个即可）； (2)在图2中画出以为对角线的菱形，且点E和点F均在格点上． 13．（2024北京海淀初二下期中）如图，在中，，点D是的中点，连接，过点B作，过点C作，相交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作于点F，交于点G，若，求的长． 14．（2024北京海淀初二下期中）已知：在中，．求作：菱形． 作法： ①延长，以点O为圆心，长为半径作弧，与的延长线交于点C； ②延长，以点O为圆心，长为半径作弧，与的延长线交于点B； ③连接． 所以四边形即为所求作的菱形． (1)使用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵　　，　　， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴． ∴平行四边形是菱形．（　　）（填推理的依据）． 15．（2024北京清华附中初二下期中）如图，中，，过A点作的平行线与的平分线交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接与交于点，过点作交的延长线于点，连接，若，，求的长． 16．（2024北京第六十六中学初二下期中）如图1，将边长为1的正方形压扁为边长为1的菱形，在菱形中，的大小为α，面积记为S． (1)请补全表格： α 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° S 1 (2)填空：由（1）可以发现单位正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着∠A大小的变化而变化，不妨把单位菱形的面积S记为．例如：当时，；当时，．由表格可以归纳出（ ）． (3)两块相同的等腰直角三角板按图2的方式放置，，，试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等，并说明理由．（注：可以利用（2）中的结论） 17．（2024北京第六十六中学初二下期中）按要求画出图形： (1)在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格中画出图形： 在图1中，以格点为顶点画一个面积为8的正方形； 在图2中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为4、、； 请你判断这个三角形 直角三角形（填“是”或“不是”）． (2)如图3，已知点，B为第二象限内的一个整点（即横纵坐标都为整数的点），且． ①直接写出点B的坐标为 ； ②画出以A、B、O及合适的第四个点C为顶点的所有平行四边形． 18．（2024北京第六十六中学初二下期中）如图，在菱形中，延长到点E，使，延长到点F，使，连接、、、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的周长． 19．（2024北京第十八中学初二下期中）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质．    小南根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究． (1)根据筝形的定义，写出一种你学过的满足筝形的定义的四边形是 ； (2)小南通过观察、实验、猜想、证明得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”． 请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图，在筝形中，，， 求证： ． 证明： (3)连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质；筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，角，对角线等方面写出筝形的其他性质（一条即可） ． 20．（2024北京交大附中初二下期中）如图，平行四边形，E、F两点在对角线上，且，连接．求证：四边形是平行四边形．    21．（2024北京第十八中学山初二下期中）如图，在中，，D，E分别是，的中点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求的长． 22．（2024北京日坛中学初二下期中）如图，矩形中，，将矩形沿对角线折叠，使点B落在点E处，交于点F． (1)写出折叠后的图形中的等腰三角形：______； (2)求的长． 23．（2024北京广渠门中学初二下期中）在正方形中，点E为边上一个动点（点E不与点B，C重合），连接，点F在对角线的延长线上，连接，使得．作点F关于直线的对称点G，连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 24．（2024北京海淀初二下期中）正方形中，点是射线上一动点，连结，过作，交射线于，连结． (1)如图①，请补全图形： (2)如图②，当点在的延长线上时，试确定线段与之间的数量关系，并说明理由： (3)如图③，当点在的延长线上，若，直接写出四边形的面积______． 25．（2024北京朝阳初二下期中）下面是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为角的平行四边形”的尺规作图过程． 已知：矩形． 求作：平行四边形，使． 作法：如图， ①分别以A，B为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点E，F； ②作直线； ③以点A为圆心，以长为半径作弧，交直线于点G，连接； ④以点G为圆心，以长为半径作弧，交直线于点H，连接．则四边形即为所求作的平行四边形． 根据小明设计的尺规作图过程，填空： (1)的大小为______________； (2)判定四边形是平行四边形的依据是______________________________． 26．（2024北京十一学校初二下期中）在平面直角坐标系中，对于点P和正方形给出如下定义：若点P关于y轴的对称点到正方形的边所在直线的最大距离是最小距离的2倍，则称点P是正方形的“最佳距离点”． 已知：点， ． (1)当时，①点C的坐标是 ； ②在， ， ， 四个点中， 是正方形的“最佳距离点”； (2)当时，点（其中）是正方形的“最佳距离点”，求n的取值范围； (3)点， ，若线段上存在正方形的“最佳距离点”，直接写出a的取值范围． 27．（2024北京西城初二下期中）如图，平行四边形中，，，，点是的中点，点是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． 请补全证明过程： 点是的中点， ①____________． 四边形是平行四边形， （依据：②______）． ③____________． 又， ． ． 又， 四边形是平行四边形（依据：④______）． (2)直接写出：当⑤______时，四边形是菱形； 当⑥______时，四边形是矩形． 28．（2024北京第八十中学初二下期中）在菱形中，，动点在直线上运动，作，且直线与直线相交于点点到直线的距离为． (1)证明：； (2)若在线段上运动，求证：； (3)若P在线段上运动，探求线段的一个数量关系，并证明你的结论． 29．（2024北京日坛中学初二下期中）下面是小明设计的作菱形的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：菱形（点在上，点在上）． 作法：如图， ①以为圆心，长为半径作弧，交于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交于点； ③连接，所以四边形为所求的菱形． (1)根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵，， ∴____________， 在平行四边形中，，即， ∴四边形为______形， ∵， ∴四边形为菱形． 30．（2024北京第一六六中学初二下期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在图①中画一条线段，使得； (2)在图②中画一个菱形，使其周长为； (3)在图③画一个等腰，使得它的面积为． 31．（2024北京第一六六中学初二下期中）如图，在中，点E，F分别在上，，与对角线相交于点O． (1)求证：； (2)连接，若点G为的中点，连接．若，求的长． 32．（2024北京海淀初二下期中）如图，四边形是菱形，对角线，交于点O，E是延长线上一点，且，，，求的长度． 参考答案 1．(1)证明见解析； (2)． （2）由勾股定理得，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形为菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ， ， ∴在中，根据勾股定理得： ， ∵，为直角三角形， ∴． 2．见解析 【解析】证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 3．(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴，， 在中，； 4．(1)证明见解析 (2)①作图见解析；②证明见解析；③，证明见解析 【解析】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， 又， ， ， ，即， ； （2）解：①解：依题意，补全图形如图所示： ②证明：由（1）可知，和都是直角三角形， 是的中点， ，， ； ③解：， 证明如下： 由（1）可知，，， ， 是等腰直角三角形， ， 为的中点， ，，， ，，，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 在中，由勾股定理得， ，， ， ． 5．证明见解析． 【解析】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵，即有， ∴四边形是平行四边形， ∴． 6．(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 是等腰三角形， E是的中点， ． （2）证明：由（）知， 是直角三角形， G是的中点， ， E、F分别是，的中点， ， ． 7．见解析 【解析】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 8．(1)详见解析 (2)6 【解析】（1）证明：平行四边形， ，， 又， ， 即， ， 四边形为平行四边形， 又， 四边形是矩形． （2）解：平分， ， ， ， ， ， 在中， ，，， ， ， ， ． 9．(1)①见解析；②见解析 (2)①；② 【解析】（1）①解：补全图形如下： ②证明：过N作于H， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：①过P作交BA延长线于T，过E作于K，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 故答案为：； ②由①可知，是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 同（1）可得， ∴， ∴， 即． 10．见解析 【解析】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，, ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 11．见解析 【解析】证明：在平行四边形中， 则， ∴， 又平分， ∴， ∴， 即， 同理， 又， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 12．(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）解：如图1所示：四边形即为所求； （2）解：如图2所示，四边形即为所求． 13．(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 在中，，且点D是的中点， ， ∴四边形是菱形． （2）解：， ， ， ， 在中，， ， ∵四边形是菱形， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 故的长为． 14．(1)见详解 (2)见详解 【解析】（1）解：如图，菱形即为所求； （2）证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴． ∴平行四边形是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）． 故答案为：，对角线垂直的平行四边形是菱形． 15．(1)证明见解析 (2)3 【解析】（1）解：证明：平分， ， ， ， ，且， ，且， 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形； （2）解：，， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， 的长为3． 16．(1)，，，， (2)α (3)相等，见解析 【解析】（1）解：依题意，， ， ， ，， ； 故答案为：，，，，； （2）解：，，，， ， 故答案为：； （3）解：∵、是两块相同的等腰直角三角板，， ，， ，即，图中两个带阴影的三角形都是等腰三角形，且两个等腰三角形的腰相等， ， 图中两个带阴影的三角形面积相等． 17．(1)图见解析，不是 (2)①(﹣1，3)；②见解析 【解析】（1）解：∵正方形的面积为8， ∴正方形的边长为， 则面积为8的正方形， 如图1所示，即为所求； 解：为所求作的三角形，如图2所示： ，，， ∵， ∴这个三角形不是直角三角形； （2）①∵是两直角边长分别为1和3的斜边，， ∴也是两直角边长分别为1和3的斜边， ∴， 故答案为：； ②以A、B、O及合适的第四个点C为顶点的所有平行四边形如图3所示： 18．(1)见解析 (2) 【解析】（1）四边形是菱形， ， ， 四边形ACEF是平行四边形； ； 四边形是矩形； （2）四边形是菱形， ， 四边形是矩形； ，， ， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在中，， 四边形的周长． 19．(1)菱形或正方形 (2)见解析 (3)筝形的两条对角线互相垂直 【解析】（1）解：因为两组邻边分别相等的四边形是筝形，所以菱形或正方形符合题意． 故答案为：菱形或正方形； （2）已知：如图，在筝形中，，， 求证：， 证明：连接，    在和中， ， ， ； 故答案为：； （3）解：筝形的其他性质：①筝形的两条对角线互相垂直；②筝形是轴对称图形． 故答案为：筝形的两条对角线互相垂直（答案不唯一）． 20．证明见解析 【解析】证明：如图所示，连接与交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形．    21．(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵D，E分别是，的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：如图，连接，．与交于点M． ∵四边形是菱形， ∴，． 由（1）可知，， ∴． 在中，， ∴在中，． 22．(1) (2) 【解析】（1）解：由折叠可得，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为： （2）解：设，则， ∵， ∴中，，即， 解得， ∴． 23．(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【解析】（1）解：如图所示， （2）解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点F与点G关于直线的对称， ∴ ∴ （3）解： 证明：∵正方形， ∴，，， ∴， ∴ ∵点F与点G关于直线的对称， ∴，， ∴， ∵交延长线于H， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵ ∴， 即． 24．(1)见解析 (2) (3) 【解析】（1）解：如图所示， （2） 理由如下，如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，交于点，则 ∴ 设， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴，， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， 又 ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴； （3）解：如图所示，过点作于点， 同理可得，则， ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴，， ∴， ∴四边形的面积 故答案为：． 25．(1) (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【解析】（1）解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵在矩形中， ∴， ∴四边形符合题意， ∴判定依据为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 26．(1)①；②； (2)； (3)或． 【解析】（1）解：①当时，如图， 点，． 四边形是正方形， ， 点的坐标是， 故答案为：； ②在， ， ， 四个点中， 是正方形的“最佳距离点”； ②点关于轴的对称点坐标为， 点到正方形的边所在直线的最大距离是，到的最小距离为1， 点不是正方形的“最佳距离点”； 点关于轴的对称点坐标为， 点到正方形的边所在直线的最大距离是，到的最小距离为2， 点是正方形的“最佳距离点”； 点关于轴的对称点坐标为， 点到正方形的边所在直线的最大距离是4，到的最小距离为， 点是正方形的“最佳距离点”； 点关于轴的对称点坐标为， 点到正方形的边所在直线的最小距离是2，到的最大距离为， 点是正方形的“最佳距离点”； ∴， ， 都是正方形的“最佳距离点” 故答案为：； （2）解：当时，如图2，点，，， 点关于轴的对称点坐标为，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ， 解得：， 当大于7.5最小距离是到，且为， ∴，不符合题意舍去， 此时到正方形边的最小距离是3，最大距离是大于6，比值为大于2， ∴大于7.5之后都不符合题意， 综上所述：点（其中是正方形的“最佳距离点”时，的取值范围是； （3）解： 点，关于轴的对称点坐标为，， 设直线的解析式为， 代入，，得：， 解得：， 直线的解析式为， 设线段上一点， 则， 当在正方形内时， ①， ， ②， ， ； 当在正方形外时，， ， 此时不存在的情况， ； 线段上存在正方形的“最佳距离点”， 的取值范围是或． 27．(1)①，；②平行四边形的对边平行；③，；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (2)⑤4；⑥ 7． 【解析】（1）解：点G是的中点， ． 四边形是平行四边形， （②平行四边形的对边平行）． ． 又， ． ． 又， 四边形是平行四边形（④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 故答案为：，；平行四边形的对边平行；，；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （2）解：①当时，四边形是菱形， 理由如下： 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形， 故答案为：4； ②当时，平行四边形是矩形， 理由如下： 如图，过A作于M， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形， 故答案为：7． 28．(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【解析】（1）证明：∵为菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点作交于点，连接 ∵为菱形，， ∴． ∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ∴． （3），理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 29．(1)见详解 (2)，，平行四边 【解析】（1）解：如图即为所求， （2）证明：∵，， ∴， 在平行四边形中，，即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 故答案为：，，平行四边． 30．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【解析】（1）如图，线段即为所求： （2）如图，菱形即为所求： （3）如图，即为所求： 31．(1)见解析 (2)3 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，     ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵点G为的中点，， ∴是的中位线 ∴． 32． 【解析】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 第1页/共1页 ( zxxk.com ) 学科网（北京）股份有限公司 $$