精品解析：辽宁省葫芦岛市长江卫生中等职业技术学校2025届高三上学期11月期中数学试题

葫芦岛市长江卫生中等职业技术学校2024—2025学年度（上）高三期中考试 数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 第I卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知复数，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知，可根据题意直接表示出，化简即可得到结果. 【详解】由已知，复数， 故选：A． 2. 已知集合，，，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设知，讨论、求a值，结合集合的性质确定a值即可. 【详解】由知：， 当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合； 当，即或， 若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合； 若，则，，满足要求. 综上，. 故选：A 3 已知，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式求解. 【详解】， ，即， ， 故选：A 4. 函数f（x）=x2–xsinx的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 分析函数的奇偶性，并利用导数分析该函数在区间上的单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】因为，且定义域关于原点对称，所以函数为偶函数，故排除B项； ，设，则恒成立，所以函数单调递增，所以当时，， 任取，则，所以，，，所以，函数在上为增函数，故排除C、D选项. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数解析式选择图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、函数零点以及函数值符号，结合排除法得出合适的选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（ ） A. 228里 B. 192里 C. 126里 D. 63里 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的求和公式可得答案. 【详解】由题意得，该人从第二天起每天所走路程构成以为公比的等比数列， 设该数列为，其前项和为， 则有，解得， 故选：B. 6. 若函数在具有单调性，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数与函数的单调性的关系进行求解即可. 【详解】由， 当函数在单调递增时， 恒成立，得，设， 当时，单调递增， 当时，单调递减，所以， 因此有， 当函数在单调递减时， 恒成立，得，设， 当时，单调递增， 当时，单调递减，所以， 显然无论取何实数，不等式不能恒成立， 综上所述，a的取值范围是， 故选：C 7. 已知直线是曲线的一条切线，则实数（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用切线的斜率，求解切点坐标，代入切线方程求解即可． 【详解】曲线，可得， 直线是曲线的一条切线， 设切点横坐标为：，则切点纵坐标为，则，解得，. 故选：D． 8. 已知函数有且只有一个零点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，对导函数同构变形，构造，得到其单调性，进而得到的单调性，从而得到要想满足有且只有一个零点，只需，得到方程，求出答案. 【详解】定义域为R， 且， 令，则恒成立， 故在R上单调递增， 当，即时，，单调递增， 当，即时，，单调递减， 故在处取得极小值，也是最小值， 故要想满足有且只有一个零点，只需， 即，解得. 故选：A 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分） 9. 若，则下列关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】令，可判断A、D两项，根据指数函数，幂函数以及对数函数单调性，即可判断BC两项. 【分析】当，时，不满足，所以A不成立； 根据在实数集上单调递增，所以，一定有，所以B成立； 实数集上单调递减，所以，一定有，所以C成立； 当，时，，此时，所以D不成立 故选：BC 10. 如图，在方格中，向量的始点和终点均为小正方形的顶点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，由于两向量方向不同，故；B选项，建立平面直角坐标系，求出向量坐标，从而对BCD进行判断. 【详解】A选项，由于的方向不同，故，A错误； B选项，如图所示，建立平面直角坐标系， 则， 故，故， 又，故，B正确； C选项，，故，C正确； D选项，，， 故，D正确. 故选：BCD 11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则一定是钝角三角形 B. 若，，则有两解 C. 若，则为等腰三角形 D. 若为锐角三角形，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用余弦定理可判断A；利用正弦定理可判断B；利用余弦定理统一成边化简后可判断C；利用正弦函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，因为，则，所以为钝角，故A正确； 对于B，在，，，， ， 则由正弦定理得，，得， 所以无解，故B错误； 对于C，因为，即， 整理可得，所以或， 故为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，若为锐角三角形，则，所以， 则，故D正确. 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上） 12. 在等比数列中，，，则_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据等比中项的性质求解即可. 【详解】由题，则，且，所以， 故答案为：8 13. 点到双曲线的一条渐近线的距离为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线的方程求出渐近线的方程，然后根据点到直线的距离公式，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，，， 双曲线的渐近线方程为. 所以，点到，即的距离. 故答案为：2. 14. 已知函数在区间恰有一个极小值点，三个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，结合条件可得，即可得到不等式. 【详解】因为 ， 令，记， 因为，且，所以， 所以函数在区间恰有一个极小值点，三个零点可以转化为在上恰有一个极小值点，三个零点， 则，解得， 则的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知是公差不为的等差数列的前项和，是与的等比中项，. （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等比中项及等差数列通项公式列方程得，由等差数列前n项和可得，进而求基本量，写出通项公式即可； （2）应用错位相减法、等比数列前n项和公式求. 【小问1详解】 设数列的公差为d，由是与的等比中项，则， 所以，且，整理得①， 又，整理得②， 由①②解得，，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，则， 所以 两式相减得， 所以. 16. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）求B； （2）若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后可利用余弦定理求得结果； （2）由题意可得，然后根据正弦定理表示出，再求出角的范围，从而可求出，进而可求出△ABC面积的取值范围． 【小问1详解】 由题设及正弦定理得， 所以，故， 因为，所以． 小问2详解】 由题设及（1）知△ABC的面积． 由正弦定理得 ． 由于△ABC为锐角三角形，故，． 由（1）知，所以， 所以，所以， 所以，所以， 故，从而． 因此，△ABC面积的取值范围是． 17. 设函数． （1）若，求在处的切线方程； （2）当时，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数几何意义求切线方程； （2）通过构造新函数求最值即可证明. 【小问1详解】 时， 所以， 所以在处的切线方程为． 【小问2详解】 证明：当时，化为. 令， 时，，此时函数单调递减； ，此时函数单调递增． 时，函数取得极小值即最小值， 所以只要证明， 即证明即可． 令，， , 可得时，函数取得极小值即最小值，， 所以在上恒成立， 所以，当时，成立． 【点睛】利用导数证明不等式的方法主要有：①构造函数，求解函数的最小值大于零；②分别求解的最小值和的最大值可证结论；③利用常见不等式进行放缩证明. 18. 如图，在四棱锥中，，，是等边三角形，平面平面，是的中点，. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由，结合面面垂直的性质中点平面，进而证得； （2）取的中点，连接，可得，以为原点建立的空间直角坐标系，分别求得平面和的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：因为是等边三角形，且是的中点，所以， 又因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又由平面，所以. 【小问2详解】 解：取的中点，连接， 、分别为、的中点，则， ，则，又因为平面， 以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为且是等边三角形，可得, 可得， 则， 设平面的法向量， 则，令，可得，即， 设平面的法向量， 则，令，可得，即， 所以， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 19. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过，，，四点中的两点. （1）求抛物线的方程； （2）若直线与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，在第一象限，在第四象限，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性，利用代入法进行求解即可； （2）设出直线，， 根据直线与抛物线的位置关系得到，，再结合题目条件 利用平面向量共线的性质转化，可得到，从而解出. 【小问1详解】 由抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴可知， 点和点不可能同时在抛物线上， 点和点不可能同时在抛物线上， 点和点不可能同时在抛物线上， 点和点也不可能同时在抛物线上， ，两点分别位于第二、四象限，这样的抛物线不存在， 所以抛物线只能过，，根据两点位置可设， 代入点，则，得， 所以，抛物线过点，满足题意． 综上，抛物线的方程为． 【小问2详解】 设直线，， 根据题意可知：，且， 联立，得，则， 同理联立，得，则， 由得，即， 所以， 即，整理得， 又因为，所以， 由，得， 联立，所以， 故. 【点睛】关键点睛：本题的关键是由得到平面向量表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 葫芦岛市长江卫生中等职业技术学校2024—2025学年度（上）高三期中考试 数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 第I卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知复数，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知集合，，，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4 4. 函数f（x）=x2–xsinx的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（ ） A. 228里 B. 192里 C. 126里 D. 63里 6. 若函数在具有单调性，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线是曲线的一条切线，则实数（ ） A 2 B. 1 C. D. 8. 已知函数有且只有一个零点，则值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分） 9. 若，则下列关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在方格中，向量的始点和终点均为小正方形的顶点，则（ ） A. B. C D. 11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则一定是钝角三角形 B. 若，，则有两解 C. 若，则为等腰三角形 D. 若为锐角三角形，则 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上） 12. 在等比数列中，，，则_________. 13. 点到双曲线的一条渐近线的距离为__________. 14. 已知函数在区间恰有一个极小值点，三个零点，则的取值范围是__________. 四、解答题（本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知是公差不为等差数列的前项和，是与的等比中项，. （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前项和. 16. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）求B； （2）若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围． 17. 设函数． （1）若，求在处的切线方程； （2）当时，证明：． 18. 如图，在四棱锥中，，，是等边三角形，平面平面，是的中点，. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 19. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过，，，四点中的两点. （1）求抛物线方程； （2）若直线与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，在第一象限，在第四象限，且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$