精品解析：山东省济南市历城区济南稼轩学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

47级初三上学期10月份月考数学试题 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 某运动会颁奖台如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是一元二次方程的一个解，则另一个解是（ ） A. B. C. D. 4. 2023年12月16日，贵阳市轨道交通三号线正式运营．某校共有1000个学生，随机调查了100个学生，其中有16个学生在三号线开通首日乘坐了地铁三号线．在该校随机问一个学生，他在三号线开通首日乘坐该地铁的概率大约是（ ） A. 0.016 B. 0.1 C. 0.116 D. 0.16 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 菱形的对角线互相垂直且平分 C. 菱形的对角线相等且互相平分 D. 对角线互相平分的四边形是矩形 6. 已知，且 ，若的面积为4，则的面积是（ ） A. B. 6 C. 9 D. 18 7. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子长为（ ） A. 1米 B. 2米 C. 3米 D. 4米 10. 如图，正方形ABCD和正方形DEFG的顶点A在y轴上，顶点D，F在x轴上，点C在DE边上，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B、C和边EF的中点M．若S正方形ABCD＝2，则正方形DEFG的面积为（　　） A. B. C. 4 D. 二．填空题（每小题4分，共20分） 11. 如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点、、和、、，已知，，则的长为______． 12. 春节期间，小明和小亮分别从三部影片《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《第二十条》中随机选择一部观看，则他们选择的影片相同的概率为___________． 13. 已知一元二次方程 有两个不相等的实数根，请写出一个符合要求的m数值______． 14. 点、、都在反比例函数图象上，则、、大小关系______（用“”号连接）． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG＝∠DAC，且过D作DG⊥PG，连接CG，则CG最小值为___________． 三．解答题（共10小题） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 书面装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术，如图，一幅书画在装裱前的大小是 ，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是、、、，若装裱后与的比是，且 ，求a的值． 18. 如图，在中，，延长到点D，使，延长到点E，连接，，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个，使它与位似，且相似比为； （2）请写出点A的对应点的坐标__________； （3）若以点A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标． 20. 根据以下调查报告解决问题． 调查主题 学校八年级学生视力健康情况 背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注． 某学习小组为了解本校八年级学生视力情况． 随机收集部分学生《视力筛查》数据． 调查结果 八年级学生右眼视力频数分布表 右眼视力 频数 3 24 18 12 9 9 15 合计 90 建议：…… （说明：以上仅展示部分报告内容） （1）本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”）； （2）视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：、、、、、、、、，这组数据的中位数是________； （3）视力低于属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为________人； （4）视力在“”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的概率________． 21. 甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼高16米．当地中午12时，物高与影长的比是． （1）如图1，当地中午12时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距的长为_________米． （2）当地下午14时，物高与影长的比是．如图2，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子的长． 22. 第十九届亚运会在杭州举行．某网络经销商购进了一批以杭州亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件30元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是45元时，每日销售量是550件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件．设该批文化衫的销售单价为x元（）． （1）请你写出销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式 ． （2）若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价x应为多少元？ 23. 如图，在中，已知，，于D， 点E，F分别从B，C两点同时出发，其中点E沿向终点C运动，速度为；点F沿向终点A运动速度为，一个点到达终点时另一个点也随之停止． 设它们运动的时间为． （1）是否存在这样的t值使的面积为18？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （2）t为何值时，和相似？ 24. 【问题背景】在平面直角坐标系中，若两点分别为 ，则中点坐标为，如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形 是平行四边形． 【构建联系】 若点C在反比例函数 的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； 【深入探究】 （3）如图3，将直线：向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点，点P为的中点，过点作于点N，请直接写出 P点坐标和的值． 25. 数量与位置关系 （1）如图1，正方形和正方形（其中），连接，交于点H，请直接写出线段与的数量关系______，位置关系_____； （2）如图2，矩形和矩形，，，，将矩形绕点D逆时针旋转α（），连接，交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）矩形和矩形，，，将矩形绕点D逆时针旋转α（），直线，交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 47级初三上学期10月份月考数学试题 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，掌握性质是解决问题的关键．根据两内项之积等于两外项之积，逐一验证各选项是否与原等式一致即可． 【详解】A、 由得，即，与原式不符，错误； B、 由得，即，与原式完全一致，正确； C、 由得，与原式矛盾，错误； D、 由得，即，同样与原式不符，错误． 故选：B． 2. 某运动会颁奖台如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的定义成为解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从左边看，看到的图形是一个长方形，靠近上部分有一条横着的实线，靠近下部分有一条横着的虚线，即看到的图形如下： ． 故选：C． 3. 已知是一元二次方程的一个解，则另一个解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元一次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 设方程的两个解分别是、，则根据题意可知，根据一元二次方程根与系数的关系可得，解该一元一次方程即可求出，于是得解． 【详解】解：设方程的两个解分别是、， 则根据题意可知：， 根据一元二次方程根与系数的关系可得： ， 解得：， 故选：． 4. 2023年12月16日，贵阳市轨道交通三号线正式运营．某校共有1000个学生，随机调查了100个学生，其中有16个学生在三号线开通首日乘坐了地铁三号线．在该校随机问一个学生，他在三号线开通首日乘坐该地铁的概率大约是（ ） A. 0.016 B. 0.1 C. 0.116 D. 0.16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用频率根据概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用乘坐三号线地铁的频率估计概率即可． 【详解】解：乘坐三号线地铁的频率为， ∴乘坐三号线地铁的概率大约是0.16； 故选：D． 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 菱形的对角线互相垂直且平分 C. 菱形的对角线相等且互相平分 D. 对角线互相平分的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、菱形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的性质是解题的关键． 由平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定，分别对各个选项进行判断即可． 【详解】A、对角线互相垂直的四边形，其对角线不一定会平分，不一定是平行四边形，故此选项不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直且平分，故选项符合题意； C、菱形的对角线互相垂直且平分，但不一定相等，故选项不符合题； D、对角线互相平分说明四边形为平行四边形，不是矩形，故选项不符合题意； 故选：B 6. 已知，且 ，若的面积为4，则的面积是（ ） A. B. 6 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵，且＝． ∴ ∵的面积为4， ∴的面积为9， 故选：C． 7. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键．分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴直线与y轴的交点在正半轴，故A、B不合题意， C、由一次函数的图象过一、二、四象限可知，由反比例函数的图象在二、四象限可知，故选项C符合题意； D、由一次函数的图象过一、二、三象限可知，由反比例函数的图象在二、四象限可知，故选项D不符合题意； 故选：C． 8. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若全班有x名同学，由每名同学都要送给除自己外的每位同学，可得每名同学要送出张；用x名学生数乘以每位送出的张数，即得总共送的张数，结合题意即可得到答案． 【详解】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出张照片. 又∵是互送照片， ∴． 故选：C． 9. 如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子长为（ ） A. 1米 B. 2米 C. 3米 D. 4米 【答案】B 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质即可求得DE的长． 【详解】如图，∵FB∥PA，GD∥PA， ∴△CFB∽△CPA，△EGD∽△EPA． ∴． ∵FB=GD=1.6米，AB=BD=4米，BC=1米， ∴AC=AB+BC=4+1=5（米），AE=AB+BD+DE=4+4+DE=(8+DE)米， ∴． ∴AE=5DE， 即8+DE=5DE， 解得：DE=2． 即此时影长为2米． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 10. 如图，正方形ABCD和正方形DEFG的顶点A在y轴上，顶点D，F在x轴上，点C在DE边上，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B、C和边EF的中点M．若S正方形ABCD＝2，则正方形DEFG的面积为（　　） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】作BH⊥y轴于H，连接EG交x轴于N，进一步证明△AOD和△ABH都是等腰直角三角形，然后再求出反比例函数解析式为y＝，从而进一步求解即可. 【详解】作BH⊥y轴于H，连接EG交x轴于N，如图， ∵正方形ABCD和正方形DEFG的顶点A在y轴上，顶点D、F在x轴上，点C在DE边上， ∴∠EDF＝45°， ∴∠ADO＝45°， ∴∠DAO＝∠BAH＝45°， ∴△AOD和△ABH都是等腰直角三角形， ∵S正方形ABCD＝2， ∴AB＝AD＝， ∴OD＝OA＝AH＝BH＝×＝1， ∴B点坐标为（1，2）， 把B（1，2）代入y＝得k＝1×2＝2， ∴反比例函数解析式为y＝， 设DN＝a，则EN＝NF＝a， ∴E（a+1，a），F（2a+1，0）， ∵M点为EF的中点， ∴M点的坐标为（，）， ∵点M在反比例函数y＝的图象上， ∴×=2， 整理得3a2+2a﹣8＝0，解得a1＝，a2＝﹣2（舍去）， ∴正方形DEFG的面积＝2∙EN∙DF＝2∙＝． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与反比例函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 二．填空题（每小题4分，共20分） 11. 如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点、、和、、，已知，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解分式方程，有理数加法运算等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理可以得出，解分式方程即可求得的长，根据即可求得的长． 【详解】解：，两条直线与这三条平行线分别交于点、、和、、， 根据平行线分线段成比例定理可得：， 即：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 故答案为：． 12. 春节期间，小明和小亮分别从三部影片《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《第二十条》中随机选择一部观看，则他们选择的影片相同的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法和树状图法求等可能事件的概率．利用列表法或画树状图法求解即可． 【详解】解：分别记三部影片《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《第二十条》为，，，画树状图如下： 一共有9种等可能的情况，其中他们选择的影片相同有3种等可能的情况， （他们选择的影片相同）． 故答案为：． 13. 已知一元二次方程 有两个不相等的实数根，请写出一个符合要求的m数值______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程根的判别式的应用． 利用关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：，列出不等式求解集即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴， ∴， 解得：， ∴符合题意； 故答案为：（答案不唯一）． 14. 点、、都在反比例函数图象上，则、、大小关系______（用“”号连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，进而问题可求解． 【详解】解：由反比例函数可知：图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点、、都在反比例函数图象上， ∴； 故答案为． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG＝∠DAC，且过D作DG⊥PG，连接CG，则CG最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于E．证明△ADP∽△DHG，可得∠DHG＝∠DAP＝定值，推出点G在射线HF上运动，推出当CG⊥HF时，CG的值最小，最后求出CG即可． 【详解】解：如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于E． ∵DG⊥PG，DH⊥AC， ∴∠DGP＝∠DHA， ∵∠DPG＝∠DAH， ∴△ADH∽△PDG， ∴，∠ADH＝∠PDG， ∴∠ADP＝∠HDG， ∴△ADP∽△DHG， ∴∠DHG＝∠DAP＝定值， ∴点G在射线HF上运动， ∴当CG⊥HF时，CG的值最小， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADH+∠HDF＝90°， ∵∠DAH+∠ADH＝90°， ∴∠HDF＝∠DAH＝∠DHF， ∴FD＝FH， ∵∠FCH+∠CDH＝90°，∠FHC+∠FHD＝90°， ∴∠FHC＝∠FCH， ∴FH＝FC＝DF＝1.5， 在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3， ∴AC＝＝5，DH＝， ∴CH＝＝ ， ∴EH＝＝， ∵∠CFG＝∠HFE，∠CGF＝∠HEF＝90°，CF＝HF， ∴△CGF≌△HEF（AAS）， ∴CG＝HE＝， ∴CG的最小值为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 三．解答题（共10小题） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法或配方法求解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法求解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：方法1（因式分解法）： 因式分解，得， ； 方法2（配方法）： 移项，得， 两边同时加上4，得， 配方，得， 开平方，得， ； 【小问2详解】 解：移项，得 提取公因式，得， ． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法、配方法求解一元二次方程是解答此题的关键． 17. 书面装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术，如图，一幅书画在装裱前的大小是 ，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是、、、，若装裱后与的比是，且 ，求a的值． 【答案】a的值为 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出的长，列出分式方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∵与的比是， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解． ∴a的值为． 18. 如图，在中，，延长到点D，使，延长到点E，连接，，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角可得，再由平角的定义得出，结合即可得证； （2）由题意可得，，再由相似三角形的性质计算得出的长，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴．， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个，使它与位似，且相似比为； （2）请写出点A的对应点的坐标__________； （3）若以点A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】（1） 画图如下， 则即为所求． ， （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的坐标系中的作图，平移法，平行四边形的判定和性质， （1）根据位似比，结合位置要求画图形即可． （2）根据位似比，结合位置，确定位似点的坐标为或，计算即可． （3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，利用平移法求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，似比为，， 故位似点的坐标为． 【小问2详解】 解：根据(1)得， 故答案为：． 【小问3详解】 解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，求解如下： ∵， 当点O平移得到点B时，即实现了向右平移1个单位，再向下平移2个单位的平移变换， ∴向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 当点B平移得到点O时，即实现了向左平移1个单位，再向上平移2个单位的平移变换， ∴向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 当点A平移得到点B时，即实现了向左平移1个单位，再向下平移3个单位的平移变换， ∴向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 当点B平移得到点A时，即实现了向右平移1个单位，再向上平移3个单位的平移变换， ∴向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 20. 根据以下调查报告解决问题． 调查主题 学校八年级学生视力健康情况 背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注． 某学习小组为了解本校八年级学生视力情况． 随机收集部分学生《视力筛查》数据． 调查结果 八年级学生右眼视力频数分布表 右眼视力 频数 3 24 18 12 9 9 15 合计 90 建议：…… （说明：以上仅展示部分报告内容） （1）本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”）； （2）视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：、、、、、、、、，这组数据的中位数是________； （3）视力低于属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为________人； （4）视力在“”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的概率________． 【答案】（1）抽样调查 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据普查和抽样调查的区别即可判断； （2）根据中位数的定义即可求解； （3）根据600乘以视力低于的人数所占的百分比即可求解； （4）根据题意画出树状图，再根据概率公式求解即可； 【小问1详解】 解：由题意可知，本次调查采用的调查方式为抽样调查． 【小问2详解】 解：把9个数据按从小到大的顺序排列为：，排在第5位的数是， ∴这组数据的中位数是． 【小问3详解】 解：调查数据中，视力低于的人数有：（人）， ∴估计该校八年级右眼视力不良的学生约为： （人）． 【小问4详解】 解：把两个男生标记为男1，男2，画树状图如下： 共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种， ∴恰好抽到两位男生的概率是：． 【点睛】本题考查了条形统计图和频数分布表，样本估计总体，中位数的定义，利用列表法或画树状图求解随机事件的概率，简单概率公式计算等知识，掌握相关知识是解题的关键． 21. 甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼高16米．当地中午12时，物高与影长的比是． （1）如图1，当地中午12时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距的长为_________米． （2）当地下午14时，物高与影长的比是．如图2，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子的长． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）根据物高与影长的比是列出比例式解答即可； （2）作于点F，则，根据即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：，即， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，作于点F， 在中，，， 物高与影长的比是， ， ， ， 即落在乙楼上的影子的长为米． 【点睛】本题考查平行投影，根据物高与影长的比得出相关比例式是解题的关键． 22. 第十九届亚运会在杭州举行．某网络经销商购进了一批以杭州亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件30元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是45元时，每日销售量是550件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件．设该批文化衫的销售单价为x元（）． （1）请你写出销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式 ． （2）若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价x应为多少元？ 【答案】（1） （2）80 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用．解题的关键是根据等量关系列出函数解析式． （1）根据相对于单价45元时，每日销售量是550件，销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件，故当销售单价x元时，销售量即为，由此得解； （2）根据利润（售价进价）销售量进行计算可以得解； 【小问1详解】 解： 销售单价是45元时，每日销售量是550件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件； 当销售单价x元时，，即， 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得，， 解得：，（因，舍去） 故文化衫单价应为80元． 答：该文化衫单价应为80元． 23. 如图，在中，已知，，于D， 点E，F分别从B，C两点同时出发，其中点E沿向终点C运动，速度为；点F沿向终点A运动速度为，一个点到达终点时另一个点也随之停止． 设它们运动的时间为． （1）是否存在这样的t值使的面积为18？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （2）t为何值时，和相似？ 【答案】（1）或 （2）或2 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出的长，证明，由相似三角形的性质得出，求出，根据三角形的面积可得出答案； （2）点在上，点在上时，①当时，，②当时，分别列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于， 由题意得，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得或， 或时，的面积为18； 【小问2详解】 解：如图1中， 点在上，点在上时， ①当时，， ， ， ②当时，即， ， 当点在上，点在上时，不存在和相似， 综上所述，或2时，和相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，由相似三角形的性质得出方程是解题的关键． 24. 【问题背景】在平面直角坐标系中，若两点分别为 ，则中点坐标为，如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形 是平行四边形． 【构建联系】 若点C在反比例函数 的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； 【深入探究】 （3）如图3，将直线：向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点，点P为的中点，过点作于点N，请直接写出 P点坐标和的值． 【答案】（1）（2）9（3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，代入即可求反比例函数解析式； （2）设，根据平行四边形的性质可得，利用中点坐标公式可得，再把点D代入反比例函数解析式求得，即可求解； （3）由一次函数平移规律可得直线，联立方程组得，设、，即，利用中点坐标公式求得点P的横坐标为4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直线与x、y轴的交点、，利用勾股定理求得，可得，过点O作，由平行线定理可得，利用锐角三角函数求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点B的纵坐标为3． ∴， 把代入， 得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， 即， ∵点D在反比例函数图象上， 把代入， 得， 解得， ∴， ∴； （3） 解：∵将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点， ∴联立方程组得，， 即， 设、， ∴， ∵点P为的中点， ∴点P的横坐标为， 把代入， 得， ∴， ∴， 把代入，得； 把代入，得， 解得， ∴直线与x、y轴交于点、， ∴，， ∴， ∴， 过点O作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交点问题、锐角三角函数、平行线定理、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 25. 数量与位置关系 （1）如图1，正方形和正方形（其中），连接，交于点H，请直接写出线段与的数量关系______，位置关系_____； （2）如图2，矩形和矩形，，，，将矩形绕点D逆时针旋转α（），连接，交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）矩形和矩形，，，将矩形绕点D逆时针旋转α（），直线，交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）相等，垂直 （2）不成立，，，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明，可证明，，再结合，即可得到结论； （2）由已知可证明，得到，，再结合，即可得出另一个结论； （3）分两种情况：①当点E在线段上时，过点D作于点P，证明，可求得，，再根据勾股定理，即可逐步求得答案； ②当点G在线段上时，过点D作于点P，用与①类似的方法逐步求出，，，即可进一步求得答案． 【小问1详解】 解：如图1，设交于点O， 在正方形和正方形中，， ， 即， ，， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：不成立，，；理由如下： 如图2，设交于点O， 由（1）知，， ，，， ，， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：①当点E在线段上时，如图3， 在中，，， ， 过点D作于点P， ，， ， ， ， ，， ， ； ②当点G在线段上时，如图4， 过点D作于点P， ，， 同理得，， 由勾股定理得， ， 综上所述，的长为． 【点睛】对于图形变换问题，要注意前后小题解题思路的连贯性，通常还要根据题意画出不同位置的图形，进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $