精品解析：2024-2025学年苏科版数学九年级上册 测试卷1

九年级数学测试卷1 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. y＝2x B. C. D. 2. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 一组数据，，，，中，最后一个两位数的个位数字被墨迹覆盖，则这组数据不受影响的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 极差 4. 如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. ，是的切线，，是切点，，是上的点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是二次函数的图像，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 7. 若，则的值为__________． 8. 二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是_____． 9. 如图，一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为____． 10. 已知二次函数（m是常数），则该函数图像的对称轴是________． 11. 已知圆锥的母线长为4，其侧面展开图的圆心角的度数为，则圆锥的底面圆的半径为__________． 12. 函数的图像先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到的新图像的函数表达式为________． 13. 已知线段，若C，D是的两个黄金分割点，则长为______． 14. 如图，在矩形ABCD中，F是边AD上的点，经过A，B，F三点的⊙O与CD相切于点E.若AB=6，FD=2，则⊙O的半径是_____． 15. 二次函数的图像上横坐标与纵坐标相等的点的坐标为__________． 16. 如图，在矩形中，，，分别在，，上，，，，，，则的长是________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．） 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，在中，弦，相交于点，． （1）求证； （2）连接，若，则的度数为__________． 19. 小明、小红两位同学邀请数学老师合影，3人随机站成一排． （1）数学老师站在中间的概率是______； （2）求小明与数学老师相邻的概率． 20 已知二次函数． （1）该二次函数的顶点坐标为 ，并画出该函数的图像； （2）当时，y的取值范围是 ． 21 如图，，连接交于点C． （1）求证； （2）若，则的度数为 ． 22. 已知二次函数图像经过，，三点． （1）求该二次函数的表达式； （2）将该函数的图像沿直线翻折，翻折后的图像所对应的函数表达式为 ． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥DB，垂足为D，与AB交于点E，经过B，D，E三点⊙O与BC交于点F． （1）求证AC是⊙O切线； （2）若BC＝3，AC＝4，求⊙O的半径． 24. 已知二次函数 y＝x2－2mx＋m2－1（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若函数图象与x轴的两个公共点均在原点的同侧，求m的取值范围． （3）当自变量x的值满足－1≤x≤2时，与其对应的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学测试卷1 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. y＝2x B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数的一般形式为：是常数，，进而判断得出即可． 【详解】解：A、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不正确； B、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不正确； C、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；； D、该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两次都是“正面朝上”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果数，其中两次都是“正面朝上”的结果有1种， ∴两次都是“正面朝上”的概率=， 故选：C． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 3. 一组数据，，，，中，最后一个两位数的个位数字被墨迹覆盖，则这组数据不受影响的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 极差 【答案】B 【解析】 【分析】根据最后一个数字一定是个2位数，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，据此即可求解． 【详解】解：依题意，最后一个数字一定是个2位数，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，而平均数，众数，极差都要知道最后一个数， 故这组数据不受影响的统计量是中位数， 故选：B． 【点睛】本题考查了中位数，平均数，众数，极差，掌握以上知识是解题的关键． 4. 如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据DE∥BC，可得 ，再由相似三角形对应边成比例，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴ ， ∴ ，故A错误，不符合题意； ∴，故B错误，不符合题意； ∴，故C正确，符合题意； ∴，故D错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 5. ，是的切线，，是切点，，是上的点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，圆周角定理的应用，圆的切线的定义等知识，理解是解本题的关键．如图，连接先求解 再利用圆周角定理可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接 ，是的切线， 故选A 6. 如图是二次函数的图像，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】求出点关于对称轴的对称点，结合函数图象即可得出的解集． 【详解】解：由图可知二次函数的图象的对称轴为，与y轴的交点坐标为， 由二次函数图象的对称性可知，点也在函数的图象上， 由图可知，当或时，对应的y值小于3， 因此解集为：或． 故选D． 【点睛】本题考查利用二次函数图象求不等式的解集，解题的关键是利用二次函数图象的对称性求出点关于对称轴的对称点． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 7. 若，则的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据比例的性质变形即可． 【详解】∵， ∴=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了比例的基本性质，如果a∶b=c∶d或，那么ad=bc，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果ad=bc，那么a∶b=c∶d或（bd≠0）． 8. 二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是_____． 【答案】（0，1） 【解析】 【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可． 【详解】二次函数y=x2+1图象的顶点坐标是（0，1）， 故答案为：（0，1）． 9. 如图，一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为____． 【答案】 【解析】 【分析】用红色区域圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在红色区域的概率． 【详解】解：因为蓝色区域的圆心角的度数为120°， 所以指针落在红色区域内的概率是=， 故答案为. 【点睛】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等． 10. 已知二次函数（m是常数），则该函数图像的对称轴是________． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，将二次函数的一般式化为顶点式，即可得出答案． 【详解】解：， 可得该函数图像的对称轴是：直线， 故答案为：直线． 11. 已知圆锥的母线长为4，其侧面展开图的圆心角的度数为，则圆锥的底面圆的半径为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】由于圆锥的母线长为4，侧面展开图是圆心角为90°扇形，利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即可求解． 【详解】解：设圆锥底面半径为rcm， 那么圆锥底面圆周长为2πrcm， 所以侧面展开图的弧长为＝2πcm， 则2πr＝2π， 解得：r＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；②圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 12. 函数的图像先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到的新图像的函数表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与几何变换，正确掌握平移规律是解题的关键．直接利用二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：即， 先向右平移3个单位，函数解析式变成， 再向下平移1个单位，函数解析式边长， 故得到的新图像的函数表达式为， 故答案为： 13. 已知线段，若C，D是的两个黄金分割点，则长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要是考查了黄金分割点概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 如图：根据黄金比值，求出的长，根据即可解答． 【详解】解：如图：∵C、D是上的两个黄金分割点，， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在矩形ABCD中，F是边AD上的点，经过A，B，F三点的⊙O与CD相切于点E.若AB=6，FD=2，则⊙O的半径是_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接EO并延长，交AB于G，过点O作OH⊥AD于H，连接AO，证得四边形ADEG是矩形，得到GE=AD，OG⊥AB，由OH⊥AD，得到四边形AHOG是矩形，四边形HDEO是矩形，推出OG=OA-2，由勾股定理，得到，求出OA即可． 【详解】解：连接EO并延长，交AB于G，过点O作OH⊥AD于H，连接AO， ∵⊙O与CD相切于点E， ∴OE⊥CD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD，， ∴四边形ADEG是矩形， ∴GE=AD，OG⊥AB， ∴AG=BG=3， ∵OH⊥AD， ∴AH=FH，四边形AHOG是矩形，四边形HDEO是矩形， ∴OG=AH，HD=OE=OA， ∴OG=OA-2， 在Rt△AGO中，， ∴, 解得OA=, 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆的垂径定理及切线的性质定理，矩形的判定及性质，勾股定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键． 15. 二次函数的图像上横坐标与纵坐标相等的点的坐标为__________． 【答案】、 【解析】 【分析】设函数的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是，则，求出的值即可． 【详解】解：设函数的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是，则，即， 解得． 故符合条件的点的坐标是：、． 故答案为：、． 【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，解题的关键是掌握即二次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 16. 如图，在矩形中，，，分别在，，上，，，，，，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质求出和的长是解题的关键．由矩形的性质可求出，，证明，由相似三角形的性质得出，求出，同理可得出，由相似三角形的性质求出的长，则可求出答案． 【详解】解：， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，，灵活选用解题方法是解答本题的关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）方程移项后运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴． 18. 如图，在中，弦，相交于点，． （1）求证； （2）连接，若，则的度数为__________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据同圆中等弧对应的弦长相等即可得出； （2）连接，取与的交点为，与的交点为，证明，，得，然后求出，根据对顶角即可求． 【小问1详解】 解：证明：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， 取与的交点为，与的交点为， ， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了圆心角定理、三角形全等、四边形的内角和、对顶角，解题的关键是掌握圆心角的定理． 19. 小明、小红两位同学邀请数学老师合影，3人随机站成一排． （1）数学老师站在中间的概率是______； （2）求小明与数学老师相邻概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件可知一共有6种等可能结果，其中数学老师站在中间的结果有2种，然后利用概率公式求解即可； （2）利用已知条件可知一共有6种等可能结果，其中小明与数学老师相邻而站的结果有4种，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，小明、小红和数学老师3人随机站成一排，共有6种等可能性结果： （小明，小红，老师）、（小明，老师、小红）、（小红，小明，老师）、（小红，老师，小明）、（老师，小明，小红）、（老师，小红，小明）， 其中满足“数学老师站在中间”（记为事件）的结果有2种， 所以，数学老师站在中间的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 由（1）可知，3人随机站成一排，共有6种等可能性结果， 其中满足“小明与数学老师相邻而站”（记为事件）的结果有4种， 所以，小明与数学老师相邻的概率． 【点睛】本题主要考查了概率的简单应用，正确理解题意并掌握简单概率的计算公式是解题关键． 20. 已知二次函数． （1）该二次函数的顶点坐标为 ，并画出该函数的图像； （2）当时，y的取值范围是 ． 【答案】（1），见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查画二次函数图像，二次函数的图像和性质等知识． （1）把二次函数的一般形式化为顶点式，即可得出顶点坐标，在分别求出二次函数与x轴以及y轴的交点坐标，进而列表画出二次函数图像即可． （2）根据二次函数图像即可得出答案． 【小问1详解】 解：， 则该二次函数的顶点坐标为： 令，则， 解得：，， 故与x轴的交点坐标为和， 令，则， 故与y轴的交点坐标为：， 列表如下： x 0 1 2 3 4 y 3 0 0 3 函数图像如下： 【小问2详解】 解：由函数图像可知，当时， 函数的y的取值范围是：． 21. 如图，，连接交于点C． （1）求证； （2）若，则的度数为 ． 【答案】（1）见解析 （2）44 【解析】 【分析】本题考查三角形相似判定与性质，对顶角性质，三角形内角和，掌握三角形相似判定与性质，对顶角性质，三角形内角和是解题关键． （1）根据，得出，，根据比例性质得出，可证，根据三角形相似判定定理即可证明； （2）根据，得出，根据对顶角性质，利用三角形内角和得出，可证． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 解：设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：44． 22. 已知二次函数的图像经过，，三点． （1）求该二次函数的表达式； （2）将该函数的图像沿直线翻折，翻折后的图像所对应的函数表达式为 ． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求表达式、点的轴对称等，熟记二次函数的相关性质是解题关键． （1）根据，两点可得顶点坐标为，设顶点式代入点坐标即可； （2）图像沿直线翻折，不变，顶点坐标变为，代入顶点式即可． 【小问1详解】 解：根据题意，可得图像顶点坐标为， 设二次函数的表达式为． 将代入 得， ∴． 【小问2详解】 解：图像沿直线翻折，不变，顶点坐标由变为， ∴表达式为：或 23. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥DB，垂足为D，与AB交于点E，经过B，D，E三点的⊙O与BC交于点F． （1）求证AC是⊙O的切线； （2）若BC＝3，AC＝4，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解析. （2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，根据垂直的定义得到∠EDB＝90°，根据角平分线的定义得到∠OBD＝∠DBC，根据等腰三角形的性质得到∠OBD＝∠ODB，根据平行线的性质得到∠ADO＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）解根据平行线的性质得到∠AOD＝∠ABC，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接OD， ∵DE⊥DB， ∴∠EDB＝90°， ∴BE是直径，点O是BE的中点， ∵BD平分∠ABC， ∴∠OBD＝∠DBC， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠DBC＝∠ODB， ∴OD∥BC， ∵∠C＝90°， ∴∠ADO＝90°， ∴OD⊥AC， ∵AC经过⊙O的外端点， ∴AC是⊙O的切线； 【小问2详解】 解：∵OD∥BC， ∴∠AOD＝∠ABC， ∵∠AOD＝∠ABC，∠OAD＝∠BAC， ∴△AOD∽△ABC， ∴， ∵BC＝3，AC＝4， ∴AB＝＝5， 设⊙O的半径为r， 则OD＝OB＝r，OA＝5−r， ∴， ∴r＝， ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题为圆的综合题，考查了切线的判定、三角形的相似等知识，掌握切线的判定法，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 24. 已知二次函数 y＝x2－2mx＋m2－1（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若函数图象与x轴的两个公共点均在原点的同侧，求m的取值范围． （3）当自变量x的值满足－1≤x≤2时，与其对应的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ． 【答案】（1）见解析 （2）m＜－1或m＞1 （3）m≤－1 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）当y＝0时，可得x2－2mx＋m2－1＝0，求出方程的解，再根据函象图象与x轴的两个公共点分别在原点的同侧，可得 或， 即可求解； （3）先求出二次函数的对称轴，且图象开口向上，再根据当自变量x的值满足－1≤x≤2时，与其对应的函数值y随x的增大而增大，即可求解 【小问1详解】 证明：令y＝0，则x2－2mx＋m2－1＝0 ∵， ∴b2－4ac＝4m2－4（m2－1）＝4＞0 ， ∴方程x2－2mx＋m2－1＝0有两个不相等的实数根． ∴不论m为何值该函数图象与x轴总有两个公共点． 【小问2详解】 解：当y＝0时，x2－2mx＋m2－1＝0． 解这个方程，得x1＝m＋1，x2＝m－1． 函数图象与x轴的交点的坐标为（m＋1，0），（m－1，0）． ∵函象图象与x轴的两个公共点分别在原点的同侧， ∴ 或， 解得：m＞1或m＜－1． 【小问3详解】 解：根据题意得：二次函数 y＝x2－2mx＋m2－1的对称轴为直线，图象开口向上， ∵当自变量x的值满足－1≤x≤2时，与其对应的函数值y随x的增大而增大， ∴m≤－1． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与x轴的交点问题，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的图象和性质，一元二次方程的根的判别式是解题的关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$