精品解析：广东省佛山市顺德区乐从第一实验学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

乐从第一实验学校九（上）数学 一、选择题 1. 若m是一元二次方程的根，则代数式的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -22 2. 如图所示，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为，若，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 某初中毕业班的第一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了张照片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，于点，点在上，且，连接并延长交于点，则线段长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2.4 D. 2.8 5. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ） A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，随机出的是“剪刀” B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数 C. 袋子中有个红球和个黄球，除颜色外均相同，从中任取一球是黄球 D. 洗匀后的张红桃，张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃 6. 下列说法正确的是　　 A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 C. 等边三角形都是相似三角形 D. 矩形都是相似图形 7. 如图所示，一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上. 已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片BC的距离为0.1米，胶片的高BC为0.038米，若需要投影后的图像DE高1.9米，则投影机光源离屏幕大约为( ) A. 6米 B. 5米 C. 4米 D. 3米 8. 如图，在菱形中，，，点，同时由，两点出发，分别沿，方向向点匀速移动（到点为止），点的速度为，点的速度为，经过秒为等边三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. .以3、4为两边长的三角形的第三边长是方程x2-13x+40=0的根，则这个三角形的周长为（ ） A. 15或12 B. 12 C. 15 D. 以上都不对 10. 如图，已知▱ABCD中，E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，那么S△AFE：S四边形FCDE为( ) A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：6 11. 如图，在中、，，是的中点，点、分别在、边上运动（点不与点、重合），且保持，连接、、，在此运动变化的过程中，有下列结论： ①是等腰直角三角形，②四边形不可能为正方形； ③四边形的面积随点位置的发改变而发生变化；④点到线段的大距离为．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 12. 已知，则__． 13. 某电冰箱厂4月份的产量为1000台，由于市场需求量不断增大，6月份的产量提高到1210台，则该厂电冰箱产量从4月份到6月份的月平均增长率为____． 14. 已知线段的长度为，点为线段的黄金分割点，则线段的长是______． 15. 如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为秒，当______秒时，与相似． 16. 在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形，点在y轴上且坐标是，点在轴上，的坐标是，，以此继续下去，则点到x轴距离是_____． 三、解方程 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 一个不透明的布袋里装有4个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字1，2，3，4，小明先从布袋中随机摸出一个乒乓球，不放回去，再从剩下的3个球中随机摸出第二个乒乓球． （1）求小明第一次摸出的乒乓球所标数字是偶数的概率； （2）请用树状图或列表的方法求两次摸出的乒乓球球面上数字的积为偶数的概率． 19. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了减少库存，商场决定采取适当的降价措施，但每件商品盈利不得低于32元，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件．问每件商品降价多少元时，商场每天盈利可达2100元？ 20. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. ▱ABCD中，点E、F分别在AB、AD上，∠EAF＝∠B＝60°，AD＝nAB． （1）当n＝1时，求证：△AEF为等边三角形； （2）当n＝时，求证：∠AFE＝90°； （3）当CE＝CF，DF＝4，BE＝3时，直接写出线段EF的长为　 　． 22. 如图1，在中，，，点在线段上，，边上的一点满足．将绕点逆时针旋转度得到，，两点的对应点分别为点，，连接，，取的中点，连接． （1）如图2，时，______°，此时和之间的位置关系为______； （2）画图探究线段和之间的关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐从第一实验学校九（上）数学 一、选择题 1. 若m是一元二次方程的根，则代数式的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -22 【答案】B 【解析】 【分析】由m是一元二次方程的根可得关于m的方程，结合所求、变形方程即得答案. 【详解】解：∵m是一元二次方程的根， ∴， ∴. 故选：B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念和整体代入的求值方法，属于常考题型，熟练掌握一元二次方程的解的定义和整体的数学思想是解题的关键. 2. 如图所示，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为，若，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质可得，，由折叠的性质可得，，由矩形的性质的可得，可得即可求解． 【详解】解：由矩形的性质的可得，， ∴，即， 由折叠的性质可得，， ∴， ∵， ∴， 故选：C 【点睛】此题考查了矩形与折叠的性质，涉及了直角三角形的性质，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解． 3. 某初中毕业班的第一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了张照片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果全班有x名学生，那么每名学生应该送的相片为（x-1）张，根据“全班共送了2550张相片”，可得出方程为x（x-1）=2550． 【详解】解：∵全班有x名学生， ∴每名学生应该送的相片为（x-1）张， ∴x（x-1）=2550． 故选：B． 【点睛】此题是一元二次方程的应用，其中x（x-1）不能和握手问题那样除以2，要注意题目中是共送，也是互送，所以要把握住关键语． 4. 如图，在中，于点，点在上，且，连接并延长交于点，则线段长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2.4 D. 2.8 【答案】C 【解析】 【分析】作DH∥BF交AC于H，根据等腰三角形的性质可得BD=CD，根据平行线分线段成比例可得，AF：FH= AE：DE =1：2，由此可得． 【详解】解：如图，作DH∥BF交AC于H． ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD， ∵DH∥BF，， ∴，即CH=FH， AF：FH= AE：DE =1：2，即， 又∵AF+FH+CH=AC=12， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线分线段成比例．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 5. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ） A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，随机出的是“剪刀” B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数 C. 袋子中有个红球和个黄球，除颜色外均相同，从中任取一球是黄球 D. 洗匀后的张红桃，张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃 【答案】B 【解析】 【分析】利用折线统计图可得出试验的频率在左右，求出各选项的概率，即可得到答案． 【详解】A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”的概率是，故选项不符合题意； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数的概率是，故选项符合题意； C、袋子中有个红球和个黄球，除颜色外均相同，从中任取一球是黄球的概率是，故选项不符合题意； D、洗匀后的张红桃，张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃的概率是，故选项不符合题意． 【点睛】此题考查了通过折线统计图中的频率估计概率，熟练掌握频率的求法是解题的关键． 6. 下列说法正确的是　　 A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 C. 等边三角形都是相似三角形 D. 矩形都是相似图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形，菱形，正方形的判定方法，相似三角形的判定方法，相似多边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是菱形，错误，应该是对角线相等的平行四边形是矩形． B、两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形． C、等边三角形都是相似三角形，正确． D、矩形都是相似图形，错误，对应边不一定成比例． 故选C． 【点睛】本题考查矩形，菱形，正方形的判定方法，相似三角形的判定方法，相似多边形的判定方法，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7. 如图所示，一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上. 已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片BC的距离为0.1米，胶片的高BC为0.038米，若需要投影后的图像DE高1.9米，则投影机光源离屏幕大约为( ) A. 6米 B. 5米 C. 4米 D. 3米 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：如图所示，过A作AG⊥DE于G，交BC与F 因为BC∥DE，所以△ABC∽△ADE，AG⊥BC，AF=0.1m，设AG=h， 则：，即，解得：h=5m． 故选B． 8. 如图，在菱形中，，，点，同时由，两点出发，分别沿，方向向点匀速移动（到点为止），点的速度为，点的速度为，经过秒为等边三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题为考查菱形性质以及动点问题的综合题，难度适中，熟练掌握菱形的性质以及三角形全等的判断是解题关键．连接，利用菱形性质、等边三角形的性质可证，进而得到；根据题意，，即可求出． 【详解】解：连接BD， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：D． 9. .以3、4为两边长的三角形的第三边长是方程x2-13x+40=0的根，则这个三角形的周长为（ ） A. 15或12 B. 12 C. 15 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：将方程进行因式分解可得：（x－5）（x－8）=0，解得：x=5或x=8，根据三角形三边关系可得：这个三角形的第三边长为5，则周长为：3+4+5=12． 考点：（1）解一元二次方程；（2）三角形三边关系 10. 如图，已知▱ABCD中，E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，那么S△AFE：S四边形FCDE为( ) A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：6 【答案】C 【解析】 【分析】根据AE∥BC，E为AD中点，找到AF与FC的比，则可知△AEF面积与△FCE面积的比，同时因为△DEC面积=△AEC面积，则可知四边形FCDE面积与△AEF面积之间的关系． 【详解】解：连接CE，∵AE∥BC，E为AD中点， ∴ ． ∴△FEC面积是△AEF面积的2倍． 设△AEF面积为x，则△AEC面积为3x， ∵E为AD中点， ∴△DEC面积=△AEC面积=3x． ∴四边形FCDE面积为5x， 所以S△AFE：S四边形FCDE为1：5． 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，解题关键是通过线段的比得到三角形面积的关系． 11. 如图，在中、，，是的中点，点、分别在、边上运动（点不与点、重合），且保持，连接、、，在此运动变化的过程中，有下列结论： ①是等腰直角三角形，②四边形不可能为正方形； ③四边形的面积随点位置的发改变而发生变化；④点到线段的大距离为．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①作常规辅助线连接，由定理可证和全等，从而可证，．所以是等腰直角三角形；②当为中点，为中点时，四边形为正方形；③由割补法可知四边形的面积保持不变；④是等腰直角三角形，，当与垂直，即最小时，取最小值，此时点到线段的最大距离． 【详解】解：①连接， 是等腰直角三角形， ，， ， ； ，； ， ， 是等腰直角三角形．（故①正确）； ②当、分别为、中点时，四边形是正方形（故②错误）； ③如图2所示，分别过点，作，，于点，， 可以利用割补法可知四边形的面积等于正方形面积，故面积保持不变（故③错误）； ④是等腰直角三角形，， 当时， ， ，分别是，的中点，故是的中位线， 取最小值， ， 此时点到线段的最大距离为．（故④正确）； 故正确的有2个， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，根据图形利用割补法可知四边形的面积等于正方形面积是解题关键． 二、填空题 12. 已知，则__． 【答案】 【解析】 【分析】由比例的性质进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握运算法则进行解题． 13. 某电冰箱厂4月份的产量为1000台，由于市场需求量不断增大，6月份的产量提高到1210台，则该厂电冰箱产量从4月份到6月份的月平均增长率为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用。设该厂电冰箱产量从4月份到6月份的月平均增长率为x，根据4月份的产量为1000台，6月份的产量提高到1210台，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设该厂电冰箱产量从4月份到6月份的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 故答案为：． 14. 已知线段的长度为，点为线段的黄金分割点，则线段的长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是黄金比例，解题的关键清楚黄金比例概念以及黄金分割比为． 根据黄金分割点的定义分情况列式即可进行解答． 【详解】解：∵线段的长度为，点为线段的黄金分割点， ∴或 ∴或 ∴解得或 故答案为：或． 15. 如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为秒，当______秒时，与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，分和是对应边，和是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可求解． 【详解】解：和是对应边时，， ， 即， ， 和是对应边时，， ， 即， ， 综上所述，当或时，与相似， 故答案为：或． 16. 在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形，点在y轴上且坐标是，点在轴上，的坐标是，，以此继续下去，则点到x轴距离是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先证明求得，，再根据相似三角形的判定与性质得到后面正方形的边长是前一个正方形边长的，进而得到第2024个正方形的边长，过轴于E，延长交x轴于P，根据相似三角形的判定与性质求得，由此可得出点到轴的距离是对应正方形边长的，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，则， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， ∵点在轴上，， ∴,， ∴， ∴，， 同理，，，…， ∴； 如图，过轴于E，延长交x轴于P， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， ∴，则， 同理可得，点到轴的距离是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，得到正方形边长之间的关系是解答的关键． 三、解方程 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2），． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本题的关键； （1）先把方程化为，再得到两个一次方程，再解一次方程即可； （2）先把方程化为，再得到两个一次方程，再解一次方程即可； 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：，． 【小问2详解】 ， 整理得：， ∴， ∴或， 解得：，． 18. 一个不透明的布袋里装有4个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字1，2，3，4，小明先从布袋中随机摸出一个乒乓球，不放回去，再从剩下的3个球中随机摸出第二个乒乓球． （1）求小明第一次摸出的乒乓球所标数字是偶数的概率； （2）请用树状图或列表的方法求两次摸出的乒乓球球面上数字的积为偶数的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）可摸出的4个球中2个是偶数，即可得到概率； （2）共摸出2次，第一次有4种情况，第二次有3种情况，即可列树状图. 【详解】（1）第一次摸球共有四种结果，分别为：1,2,3,4 其中偶数有两种， 所以（为偶数）． （2）根据题意画树形图如下： 由以上可知共有12种可能结果分别为：，，，，，， ，，，，，； 在以上12种可能结果中，两个数字之积为偶数的只有10种， 所以（积为偶数）． 【点睛】此题考查概率的确定，（2）中画树状图时注意：此事件是不放回事件，故第一次有4种情况，第二次有3种情况. 19. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了减少库存，商场决定采取适当的降价措施，但每件商品盈利不得低于32元，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件．问每件商品降价多少元时，商场每天盈利可达2100元？ 【答案】每件商品降价15元时，商场每天盈利可达2100元． 【解析】 【分析】本题首先假设降价x元，继而根据题意列方程，最后根据每件商品盈利不低于32元确定答案． 【详解】设每件商品降价x元， 根据题意得：， 整理得：， 解得，， ∵每件商品盈利不低于32元， ∴， ∴， 综上：． 故每件商品降价15元时，商场每天盈利可达2100元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题关键在于理清题意，确定数学关系，其次注意计算仔细． 20. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形是矩形， ∴，． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，．再根据“两直线平行，内错角相等”可得，再由垂直的定义可得．从而得出，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论； 根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】证明：（1）略． 解：（2）∵， ∴． ∵，是的中点， ∴． ∴在中，． 又∵， ∴， ∴． 【点晴】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键. 21. ▱ABCD中，点E、F分别在AB、AD上，∠EAF＝∠B＝60°，AD＝nAB． （1）当n＝1时，求证：△AEF为等边三角形； （2）当n＝时，求证：∠AFE＝90°； （3）当CE＝CF，DF＝4，BE＝3时，直接写出线段EF的长为　 　． 【答案】 （1）证明：当n＝1时，AD＝AB， ∴平行四边形ABCD为菱形， ∴∠ACD＝∠BCD＝60°，∠CAB＝60°， ∴△ACD为等边三角形， ∴AC＝AD＝AB， ∵∠EAF＝60°， ∴∠FAE＝∠CAB， ∴∠FAC＝∠EAB， 在△FAC和△EAB中， ∴△FAC≌△EAB（ASA） ∴AF＝AE， 又∵∠EAF＝60°， ∴△AEF为等边三角形； （2）证明：如图2，延长AF至N，使DN＝AD，延长AF至P，使FP＝AF，延长BC、NP交于点H， ∵DN＝AD，FP＝AF， ∴DF是△ANP的中位线， ∴NP∥AB，又AN∥BH， ∴四边形ABHN为平行四边形， ∵AB＝AN， ∴平行四边形ABHN为菱形， 由（1）可知，△APE为等边三角形， ∵AF＝FP， ∴EF⊥AP， ∴∠AFE＝90°； （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的判定定理得到平行四边形ABCD为菱形，得到△ACD为等边三角形，证明△FAC≌△EAB，根据全等三角形的性质得到AF＝AE，根据等边三角形的判定定理证明结论； （2）延长AF至N，使DN＝AD，延长AF至P，使FP＝AF，延长BC、NP交于点H，根据菱形的判定定理得到四边形ABHN为平行四边形，根据（1）中结论解答； （3）延长EF交AD的延长线于G，延长FE交AB的延长线于H，作DM⊥FG于M，把△AFG绕点A顺时针旋转120°，得到△APH，求出PE的长，证明△FAE≌△PAE，根据全等三角形的性质得到EF＝PE，得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，延长EF交AD的延长线于G，延长FE交AB的延长线于H，作DM⊥FG于M， 把△AFG绕点A顺时针旋转120°，得到△APH， ∵CF＝CE， ∴∠CFE＝∠CEF＝30°， ∵AG∥BC， ∴∠G＝∠CEF＝30°， ∴∠G＝∠DFG， ∴DG＝DF，又DM⊥FG， ∴GM＝MF， 在Rt△DMF中，∠DFM＝30°， ∴DM＝DF＝2， 由勾股定理得，MF＝， ∴GF＝4， ∴PH＝GF＝4， 同理，∠BHE＝30°，EH＝3， ∴∠PHN＝60°， ∴∠NPH＝30°， ∴NH＝PH＝2， ∴EN＝EH﹣NH＝， 由勾股定理得，PN＝＝6， ∴PE＝， ∵∠FAE＝60°，∠BAD＝120°， ∴∠DAF+∠EAB＝60°， ∴∠HAP+∠EAB＝60°，即∠EAP＝60°， ∴∠FAE＝∠EAP， 在△FAE和△PAE中，， ∴△FAE≌△PAE（SAS） ∴EF＝PE＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、旋转变换的应用，正确作出辅助线、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 22. 如图1，在中，，，点在线段上，，边上的一点满足．将绕点逆时针旋转度得到，，两点的对应点分别为点，，连接，，取的中点，连接． （1）如图2，时，______°，此时和之间的位置关系为______； （2）画图探究线段和之间的关系，并加以证明． 【答案】（1），垂直 （2） 证明：，，理由如下： 取的中点，连接，延长交于，         ∵的中点， ∴是的中位线， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，, ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴，， 即， ∴， 即 ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质及旋转的性质可知，再根据全等三角形的性质及相似三角形的性质解答即可； （2）根据中位线定理及锐角三角形函数可知，再根据相似三角形的判定与性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴在中，， ∴， ∴， 延长使， ∵点为的中点， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴, ∵, ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，‘ ∴， ∴； 故答案为：，垂直； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角形的函数，平行线的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $