精品解析：江西省上饶市新知学校2024-2025学年高二上学期十一月数学测试题

江西省上饶市新知学校2024-2025学年高二上学期十一月数学测试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过点的直线斜率为，则实数等于（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知圆的圆心为点，直线与圆交于，两点，点在圆上，且，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知双曲线的左焦点为为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 8. 春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（ ） A. 240种 B. 188种 C. 144种 D. 120种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆C：，以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若圆与圆C恰有3条公切线，则 B. 圆与圆C的公共弦所在直线为 C. 直线与圆C恒有两个公共点 D. 点为轴上一个动点，过点作圆C的两条切线，切点分别为，且的中点为，若定点，则的最大值为6 10. 已知抛物线 的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，在线段上，点为在上的射影．线段交轴于点，下列命题正确的是（ ） A. 对于任意直线，均有 B. 不存在直线，满足 C. 对于任意直线，直线与抛物线相切 D. 存在直线，使 11. 如图，在平行六面体中，，与的交点为，设，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的左､右作点分别为为坐标原点，倾斜角为的直线过右焦点且与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为__________． 13. 如图，在棱长为1的正方体中：直线到平面的距离为____________. 14. 若的展开式中存在项，则由满足条件的所有正整数m从小到大排列构成的数列的通项公式为__________． 四、解答题 15. 已知直线和的交点为P． （1）若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程： （2）若直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m的一般式方程． 16. 已知圆，点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，动点P满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）斜率存在且不过的直线l与曲线C相交于M、N两点，BM与BN的斜率之积为. ①证明：直线l过定点； ②求面积的最大值. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， （1）若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； （2）若，，求的面积． 18. 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2． （1）求多面体的体积； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存请说明理由． 19. 小张参加某项专业能力考试.该考试有，，三类问题，考生可以自行决定三类问题的答题次序，回答问题时按答题次序从某一类问题中随机抽取一个问题回答，若回答正确则考试通过，若回答错误则继续从下一类问题中再随机抽取一个问题回答，依此规则，直到三类问题全部答完，仍没有答对，则考试不通过.已知小张能正确回答，，三类问题的概率分别为，，，且每个问题的回答结果相互独立. （1）若小张按照在先，次之，最后的顺序回答问题，记为小张的累计答题数目，求的分布列； （2）小张考试通过的概率会不会受答题次序的影响，请作出判断并说明理由； （3）设，为使累计答题数目的均值最小，小张应如何安排答题次序？并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省上饶市新知学校2024-2025学年高二上学期十一月数学测试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过点的直线斜率为，则实数等于（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用两点求斜率列式求参即可. 【详解】因为点， 所以斜率 可得. 故选：C. 2. 已知圆的圆心为点，直线与圆交于，两点，点在圆上，且，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设弦的重点为，得到，化简，即可求解. 【详解】 设弦的中点为，由题可知圆的半径为， 因为，，所以， 所以，， 可得，解得. 故选：C. 3. 已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆心到双曲线渐近线的距离，再结合点到直线的距离公式求出的关系，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 双曲线的渐近线方程为，即， 因为， 所以圆心到双曲线的渐近线的距离， 所以，即，所以， 即该双曲线的离心率为. 故选：D. 4. 已知双曲线的左焦点为为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，利用中位线性质得到是的直角三角形，在焦点三角形中利用双曲线定义即可建立的关系，从而求得离心率． 【详解】设双曲线的焦距为，右焦点为，直线交于点，连接， 因为为正三角形，，所以为的中点，所以， 故，易知，所以， 由双曲线的定义知，即，得. 故选：D. 5. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，结合椭圆和双曲线的定义得到的关系式，根据取值范围分析函数单调性得到结果. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为，不妨设点在第一象限. ∵在的中垂线上， ∴， 由椭圆、双曲线的定义得：， ∴，整理得， ∴，即， ∴， ∴， 令，由定义法可证在为增函数，且， ∵， ∴. 故选：B. 6. 在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值. 【详解】∵， ∴． ∵， ∴． ∵四点共面， ∴，即． ∵，当且仅当时，等号成立， ∴的最小值为1． 故选：C 7. 已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用空间向量的基底概念判断选项即可. 【详解】，A错误. 设，不共面，所以不存在使其成立，故三个向量不共面，B正确. 错误. 错误. 故选:B 8. 春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（ ） A. 240种 B. 188种 C. 144种 D. 120种 【答案】D 【解析】 【分析】先将“相声”与“小品”排在一起再与其它4个节目排序，最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样,即可得出答案. 【详解】先将“相声”与“小品”排在一起，有种排法，再与其它4个节目排序，有种排法， 最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样，所以有种． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆C：，以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若圆与圆C恰有3条公切线，则 B. 圆与圆C的公共弦所在直线为 C. 直线与圆C恒有两个公共点 D. 点为轴上一个动点，过点作圆C的两条切线，切点分别为，且的中点为，若定点，则的最大值为6 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断A；由两圆方程相减即为两圆公共弦所在直线方程，即可判断B；求出直线所过定点坐标，得到定点在圆内，故直线与圆M恒有两个公共点，即可判断C；易知直线AB恒过定点，由得出点M的轨迹，结合点与圆的位置关系计算即可判断D. 【详解】A：由题意得：的圆心为，半径为， 该圆与圆有3条公切线，则两圆外切， 所以，解得，故A错误； B：两圆的圆心分别为，半径分别为和2， 则，所以两圆相交， 与相减得：， 故圆与圆C的公共弦所在直线为，故B正确； C：变形为， 令，解得， 即直线恒过点， 由于，点在圆M内， 所以与圆M恒有两个公共点，故C正确； D：如图，圆，半径为2，则圆C与y轴相切，切点为原点，即为， 易知直线恒过点，又为的中点，则， 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径为1， 又，所以的最大值为，故D正确. 故选：BCD 【点睛】 关键点点睛：本题D选项的关键点在于直线AB恒过定点，由得出点M的轨迹为圆. 10. 已知抛物线 的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，在线段上，点为在上的射影．线段交轴于点，下列命题正确的是（ ） A. 对于任意直线，均有 B. 不存在直线，满足 C. 对于任意直线，直线与抛物线相切 D. 存在直线，使 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项由为线段的中点以及抛物线定义即可判断，B选项由及抛物线方程求出，坐标，再说明，，三点共线，即存在直线即可，C选项设，，表示出直线，联立抛物线，利用即可判断，D选项设出直线，联立抛物线得到，通过焦半径公式结合基本不等式得即可判断． 【详解】对于选项A，如图，由抛物线知为的中点，轴，所以为线段的中点， 由抛物线的定义知，所以，所以选项A正确； 对于选项B，设，，，，，为线段的中点，则， ，， 由，得， 解得，，又，，故，，， 可得，，故存在直线，满足，所以选项B不正确； 对于选项C，由题意知，为线段的中点，从而设，则， 直线的方程，与抛物线方程联立可得：， 又，代入整理得， 则，所以直线与抛物线相切，所以选项C正确； 对于选项D，设的方程，联立，则，所以，， 由， 而，由，得，解得：， 故，所以，所以选项D错误， 故选：AC． 【点睛】方法点晴：（1）直线与抛物线的位置关系一般需要设出直线方程，然后与抛物线联立，进而利用根与系数的关系； （2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 11. 如图，在平行六面体中，，与的交点为，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可知，，再利用空间向量的线性运算和数量积运算逐个判断各个选项即可． 【详解】由题意可知，. 对于A，， 故A正确、B不正确； 对于C， 故C正确; 对于D， ，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的左､右作点分别为为坐标原点，倾斜角为的直线过右焦点且与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量的运算将转化为，利用几何性质求得点，代入双曲线方程得的等量关系，求解离心率即可. 【详解】因为 ， 所以，则， 过作轴，垂足为， 由题意知，则，故， 在中，， 故，又点在双曲线上， 则，将代入整理得， 则，解得，又，得到， 所以双曲线的离心率为， 故答案为：. 13. 如图，在棱长为1的正方体中：直线到平面的距离为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】将问题转换为点到平面的距离，故只需求出和平面的法向量，由此即可得解. 【详解】以O为原点，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系 则， 所以， 设是平面的一个法向量，则，令， 则. 因此，直线到平面的距离为. 故答案为：. 14. 若的展开式中存在项，则由满足条件的所有正整数m从小到大排列构成的数列的通项公式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二项展开中含有的项满足的条件，再根据为正整数求出数列的通项公式. 【详解】展开式的通项为， 由于展开式中存在项， 令，则， 所以. 故答案为： 四、解答题 15. 已知直线和的交点为P． （1）若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程： （2）若直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m的一般式方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出已知直线的交点坐标，根据直线的平行关系，即可求得答案； （2）设直线方程的截距式，由题意列出相应方程组，即可求得答案. 【小问1详解】 联立，解得，即， 直线l经过点P且与直线平行， 故设直线l方程为，将代入得， 故直线l方程为； 【小问2详解】 由题意知直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5， 则其在坐标轴的截距不为0，设其方程为， 与两坐标轴的交点分别为，则， 解得或， 故直线m的方程为或， 即或. 16. 已知圆，点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，动点P满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）斜率存在且不过的直线l与曲线C相交于M、N两点，BM与BN的斜率之积为. ①证明：直线l过定点； ②求面积的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用相关点法，结合向量的坐标运算即可得解； （2）①联立直线与椭圆方程，利用韦达定理与已知条件得到关于的方程，解之即可得解；②利用三角形面积公式，结合韦达定理与基本不等式即可得解. 【小问1详解】 依题意，设，则， 因为，所以， 则，解得， 因为圆上， 所以，则，即， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 ①依题意，设直线的方程为，， 联立，消去，得， 则，即， 所以， 则 ， 则， 则， 整理得，解得或（此时直线过点，舍去）， 所以直线过定点； ②由①得，， 则， 所以， 令，则， 则， 当且仅当，即，时，等号成立，满足， 所以面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， （1）若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程，求出即可得出答案； （2）设，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得，再由求解 【小问1详解】 椭圆的焦点为和， 所以双曲线的，所以， 又双曲线过点，所以， 由，解得， 双曲线的标准方程为 【小问2详解】 设，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理， 得， 所以， 则的面积， 18. 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2． （1）求多面体的体积； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定证平面，再由线面垂直性质有，由线面垂直判定平面，最后应用三棱锥体积公式计算求解； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再应用向量法求二面角余弦值； （3）令，,根据面面垂直及相关面的法向量列方程求参数，即可得答案. 【小问1详解】 因为，即, 又,平面， 所以平面，平面，所以. 又,平面，所以平面， 所以. 【小问2详解】 因为平面，，以为原点，为轴，建立空间直角坐标系， 则，所以, 设平面的法向量，由，得， 因为平面，所以平面的法向量，所以. 因为所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 假设存在线段上存在一点，使得平面平面, 设，，则. 所以，设平面的法向量， 由，令，得， 因为平面平面，所以，解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且. 19. 小张参加某项专业能力考试.该考试有，，三类问题，考生可以自行决定三类问题的答题次序，回答问题时按答题次序从某一类问题中随机抽取一个问题回答，若回答正确则考试通过，若回答错误则继续从下一类问题中再随机抽取一个问题回答，依此规则，直到三类问题全部答完，仍没有答对，则考试不通过.已知小张能正确回答，，三类问题的概率分别为，，，且每个问题的回答结果相互独立. （1）若小张按照在先，次之，最后的顺序回答问题，记为小张的累计答题数目，求的分布列； （2）小张考试通过的概率会不会受答题次序的影响，请作出判断并说明理由； （3）设，为使累计答题数目的均值最小，小张应如何安排答题次序？并说明理由. 【答案】（1）分布列为： （2）小张考试通过的概率不受答题次序的影响，理由如下：由题意，小张没有通过考试的情况只有三题全部答错， 所以小张考试通过的概率均为 （3）应按的顺序答题，理由如下： 设，， . 若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目， 由（1）得 . 若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目， 则， 所以 ， 则 ， 则. 若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目， 同理可得. 若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目， 同理可得. ， 若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目， 同理可得. 若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目， 同理可得. . 所以累计答题数目的均值最小的，是、、中最小的一个， ， ， 所以， ， ， 所以， 所以最小的是， 所以应按的顺序答题. 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得分布列. （2）计算通过的概率，从而作出判断. （3）计算按的顺序、的顺序、的顺序、的顺序答题时，累计答题数目的均值，从而作出判断. 【小问1详解】 按的顺序答题，的可能取值为， 则,，， 所以的分布列为： 【小问2详解】略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：本题涉及相互独立事件和期望值的计算，考查考生对独立事件概率分布及期望最小化策略的理解与应用．题目包含了分布列的计算、不同答题顺序对结果的影响，以及最优答题顺序的选择，整体具有一定的综合性和策略性．解答过程中使用了差比较法来进行比较，使得结论更具说服力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $