北京市顺义牛栏山第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

2024-2025牛山一中高三年级10月阶段测试 数学 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中只有一个符合题目要求． 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 设，，，则的大小关系为 A. B. C. D. 3. 复数满足，在复平面内所对应的点在第三象限，则实数可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与圆相交于两点，且，则值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 5. 已知数列的前项和为，若，且，则下列说法错误的是（ ） A. 是递减的等差数列 B. 数列的首项为正数 C. 的最大值是20 D. 是中的项 6. “”是“为第二或第四象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，是单位向量，且，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，，P为所在平面内的动点，且．则的最大值为（ ） A. 12 B. C. D. 9. 把液体A放在冷空气中冷却，如果液体A原来的温度是℃，空气的温度是℃，则tmin后液体A的温度℃可由公式求得.现把温度是60℃的液体A放在13℃的空气中冷却，液体A的温度冷却到37℃和25℃所用的时间分别为min，min，则的值约为（ ）（参考数据：，） A. 2.3 B. 2.7 C. 3.7 D. 4.7 10. 设计一条美丽的丝带，其造型也可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为9，则下列说法正确的个数是（ ） ①； ②若点在C上，则； ③在第一象限的点的纵坐标的最大值一定大于； ④当点在C上时，满足． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分． 11. 直线l：的倾斜角为______． 12. 已知斜率为的直线经过双曲线的右焦点，并且与圆相切，则圆的半径______． 13. 已知，，，若，则实数______． 14. 已知等比数列的前n项和为，前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则______；的最大值是______． 15. 设函数图象上的两点，处的切线的斜率分别为，，规定：（为线段的长度）叫做曲线在点A与点B间的“弯曲度”． ①存在函数，使得图象上任意不同两点间的“弯曲度”是一个常数； ②函数的图象上存在不同的A，B两点，使得； ③抛物线上存在不同的A，B两点，使得； ④A，B是函数图象上任意不同的两点，则． 上述说法中所有正确结论的序号是______． 三、解答题：共6个小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 如图，在中，，，，点D在BC边上（不含端点），且． （1）求AB的长； （2）求CD的长． 17. 已知中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）从下列条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. ①，； ②，上的高为； ③，上的中线长为. 注意：只能选一个作答，若多选，以第一个选择为准. 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期以及单调递增区间； （2）若函数向左平移个单位后，所得函数的图象关于对称， （ⅰ）求φ的最小值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若函数在区间上存在零点，求的取值范围． 19. 已知椭圆E：的离心率为，且左、右顶点以及下顶点所构成的三角形的面积为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线l：与椭圆E交于A、B两点，与y轴交于点P（与A、B不重合），线段AB的垂直平分线与AB交于点D，与y轴交于点Q，O为坐标原点．若，求直线l的斜率． 20. 已知函数和． （1）当时，直线l为曲线过点的切线，求直线l的方程； （2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围； （3）若当，函数和有相同的最小值，求a的值． 21. 已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定． （1）若，写出及的值； （2）若数列是等差数列，求数列的通项公式； （3）设集合，求证：且． 2024-2025牛山一中高三年级10月阶段测试 数学 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中只有一个符合题目要求． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】C 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 64 【15题答案】 【答案】①②④ 三、解答题：共6个小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【16题答案】 【答案】（1）8 （2）2 【17题答案】 【答案】（1）； （2）选②，； 选③， 【18题答案】 【答案】（1），单调递增区间为：； （2）（ⅰ）；（ⅱ）； 【19题答案】 【答案】（1）； （2）. 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3）1 【21题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明如下： 因为对于，所以． 所以，即数列是递增数列． 先证明． 假设，设正整数． 由于，故存在正整数使得，所以． 因为是各项均为正整数的递增数列，所以． 所以． 所以． 又因为数列是递增数列，所以，矛盾． 所以． 再证明． 由题可知． 设且，因为数列是各项均为正整数的递增数列， 所以存在正整数，使得． 令． 若，则，即，所以． 所以，所以． 若，则， 所以． 所以，所以． 因为，所以． 所以． 综上，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $