精品解析：江西省上饶市新知学校2025届高三上学期十一月数学测试题

江西省上饶市新知学校2024-2025学年高三上学期十一月数学测试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若关于的方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为（） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分方程的两根是否相等，结合的函数图象讨论即可. 【详解】记方程的两根为， 当时，恰好有三个互不相等的实根， 等价于与和共有三个不同的交点， 由图可知，此时有， 即，得； 当时，，恰好有三个互不相等的实根， 等价于与有三个不同的交点， 由图可知，此时，即，得. 综上，实数的取值范围为或. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般地，判断形如的嵌套函数的零点个数或根据函数的零点求参数的取值范围时，可采用换元法，先令，求解当时的值，然后根据函数的图象及性质确定当时，x的值的个数即为的零点个数．解答时注意数形结合，侧重对函数与图象性质的分析. 2. 某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据： x 1.99 2.8 4 5.1 8 y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 现有如下4个模拟函数： ①y=0.6x-0.2；②y=x2-55x+8；③y=log2x；④y=2x-3.02． 请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反应这些数据的规律，应选（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据表中提供的数据，可通过描点，连线，画出图象，看哪个函数的图象能接近所画图象，这个函数便可反应这些数据的规律． 【详解】解：根据表中数据，画出图象如下： 通过图象可看出，y=log2x能比较近似的反应这些数据的规律． 故选：C． 【点睛】本题考查画函数图象的方法：列表，描点，连线，熟悉对数函数、指数函数、一次函数和二次函数的图象． 3. 若是第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过诱导公式求出，化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式求解即可. 【详解】是第二象限角，且， ， ， 故选：D. 4. 如图，在正方体中，分别为的中点，则下列说法错误的是（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成角为 C. 直线与平面所成角为 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，可得，A选项，利用线面平行的判定定理即可证明；B选项，异面直线与所成角即为直线与与所成角；C选项直线与平面所成角即直线与平面所成角；D选项，由线面垂直的性质可以得证. 【详解】如图，连接， 在正方形中，为的中点，则，即也为的中点， 在中，分别为的中点，有， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 由题可知，异面直线与所成角即为直线与与所成角， 即，为，故B错误 直线与平面所成角即直线与平面所成角， 由平面，可知直线与平面所成角为，故C正确； 正方体中，平面，平面，则有， 由，得，故D正确；， 故选：B. 5. 某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（ ） A. 630种 B. 840种 C. 1470种 D. 1480种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理，结合排列组合以及分步乘法计数原理即可求解. 【详解】根据题意甲乙丙丁四个班的书可以按照3，1，2，1或者2，1，2，2或者2，1，3，1三种方式分配， 故总的分配方案有种． 故选：C 6. 已知某条线路上有两辆相邻班次的（快速公交车），若准点到站的概率为，在B准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下B不准点到站的概率为，则B准点到站的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件以及条件概率列方程，从而求得准点到站的概率. 【详解】设事件为“准点到站”，事件为“准点到站”， 依题意，， 而，解得， 而， 则，而，解得. 故选：B 7. 佛山第一峰位于高明区皂幕山，其海拔最高达到804.5米.要登上皂幕山的最高峰，一共需要走6666级阶梯.小明和小吉同时从第1级阶梯出发登峰，假设他们在前30分钟中，每分钟走50级阶梯，由于体力有限，小明每隔30分钟，其每分钟走的阶梯数减少5级，而小吉每隔30分钟，其速度降低10%，直到登上最高峰，则（ ）（参考数据：，，，） A. 小明到达最高峰的时间比小吉早超过30分钟 B. 小吉到达最高峰的时间比小明早超过30分钟 C. 小明到达最高峰的时间比小吉早，但差距不超过30分钟 D. 小吉到达最高峰的时间比小明早，但差距不超过30分钟 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知小明和小吉每30分钟走的级数分别形成一列等差数列和一列等比数列，根据题中数据分别求出两列数列的通项公式及其前n项和公式即可计算估计小明和小吉登上最高峰所需的时间，进而得解. 【详解】记第n个30分钟小明和小吉走的级数分别为、， 则由题意可知，且，， 故数列是以为首项，为公差的等差数列，且是以为首项，为公比的等比数列， 所以且， 所以数列和前n项和分别为： ， ， 所以，， 而，故第6个30分钟小明每分钟走的级数为， 所以小明登上最高峰所需时间为分； 因为， ， 而，故第6个30分钟小吉每分钟走的级数为， 所以小吉登上最高峰所需时间为分，且分， 所以小吉到达最高峰的时间比小明早，但差距不超过30分钟. 故选：D. 【点睛】思路点睛：依据题意先分别表示小明和小吉第n个30分钟走的级数表达式，进而分别得出两人前n个30分钟走的级数总和表达式，从而依据两个表达式即可计算估计小明和小吉登上最高峰所需的时间，进而得解. 8. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，根据点斜式求解切线方程，即可求解切线与坐标轴的交点，进而可求解面积. 【详解】，则，即切线方程为. 令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数且的图象恒过点 B. 函数与是同一函数 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 若函数，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对每个选项涉及的函数概念进行分析，包括函数图象恒过定点，同一个函数的判断，函数的定义域求解，以及函数表达式的转化.即可得到结果. 【详解】对于A，令，则，所以，所以的图象恒过点，故A正确； 对于B，的定义域为的定义域为，两个函数定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误； 对于C，若的定义域为，则在中，即，所以的定义域为，故C正确； 对于D，由，令，则，故D错误， 故选：AC. 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据周期可得，代入最值点可得，由此确定函数解析式， 根据周期公式判断A，结合正弦函数单调性判断B，根据平移结论判断C，利用辅助角 公式，结合正弦型函数的性质即可判断D. 【详解】由图可得：，又因为， 所以，又，所以，所以， 将代入得， 即，即， 又，所以， 所以， 对于A，最小正周期，故A正确； 对于B，令，解得， 可得的单调递增区间为， 当时，单调递增区间为，故B正确； 对于C，函数的图象向左平移个单位长度， 所得到的函数解析式为：，故C不正确； 对于D， ， 所以函数的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的有（ ） A. 当，，时，对任意的点，都有三棱锥的体积为定值 B. 当，，时，存在点，使得 C. 当，，时，存在唯一点，使得 D. 当时，的最小值是 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，判断点在直线上，利用棱锥体积公式判断即可；对于B，先利用空间向量夹角余弦公式判断，即可求解；对于C，利用列方程，判断方程是否有解即可；对于D，先判断四点共面，利用“等积变换”求解即可. 【详解】建立如图所示直角坐标系，取为中点，交于点， 以，，，，， ， 由，所以， ，即， 当时，则，故，点在直线上， 所以点到直线的距离为1，三角形面积为， 又因为到平面的距离为， 所以是定值，故A正确； 当时，则， 则，， 因为，故，即， 即不存在点，使得，故B错误； 当时，则， 若，则， 解得 或，又因为，故存唯一点使得，故C正确； 若时，则四点共面， 当与平面垂直时，的最小， 利用等体积法，则， 则可求解到的距离为， ，则，则的最小值为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数 ， 且 ，则__. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，画出在上的图象，数形结合得到，故，求出. 【详解】，， ， 画出在上的图象，如下： 显然，故， ， 即，解得. 故答案为： 13. 已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出点关于直线的对称点，作出点关于直线的对称点，则，，三点共线，，，三点共线，即，，，四点共线，得，运用两点间的距离公式计算即可. 【详解】解：作出点关于直线的对称点，作出点关于直线的对称点， 则，，三点共线，，，三点共线，即，，，四点共线， 得，易得，， 直线的方程是， 设，则得，即， . 故答案为： 14. 已知数列满足，且，若表示不超过的最大整数（例如，记，则数列的前2024项和为__________. 【答案】2025 【解析】 【分析】由条件构造等差数列，结合累加法求，再利用及的定义计算即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以数列是以首项为4，公差为2的等差数列， 故， 由累加法可知当时， ， 所以，，又也符合该式，所以. 所以， 又时，， 又时，，此时， 所以的前2024项和为. 故答案为：2025. 【点睛】关键点点睛：构造数列并求通项公式，再由累加法求的通项公式，结合函数新定义求目标式的值. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 设为实数，函数． （1）求函数的定义域； （2）设，把函数表示为的函数，并写出定义域． 【答案】（1）； （2），定义域为． 【解析】 【分析】（1）根据函数特征得到不等式，求出定义域； （2）两边平方得，求出定义域，并得到函数解析式． 【小问1详解】 由题意，得，解得，故定义域为； 【小问2详解】 将两边平方，得， 整理得，解得， 所以，所求，定义域为． 16. 为研究某种病毒的繁殖速度，某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此病毒的数量，单位为万个，得到如下数据： 1 2 3 4 5 6 （万个） 10 50 250 若该病毒的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择. （1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； （2）至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个？ 参考数据：. 【答案】（1）选择函数更合适，解析式为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用现有函数模型，代入题设相关数据并检验即可判断； （2）利用（1）中结论，结全对数的运算法则即可得解. 【小问1详解】 若选， 将和代入 可得，解得，故， 将代入，得与相差太大，不符合题意； 若选， 将和代入 可得，解得，故， 将代入，得，符合题意， 综上，选择函数更合适，解析式为. 【小问2详解】 依题意，设至少需要个单位时间， 则，即， 两边同时取对数，可得， 则， ，的最小值为14， 故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于12亿个. 17. 已知函数且的图象过点和点 （1）求的值； （2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数图象上各最高点到点的距离的最小值为，求的解析式. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象所过点列方程组，由此求得的值. （2）根据三角函数图象变换求得，根据“函数图象上各最高点到点的距离的最小值为”求得，也即求得的解析式. 【小问1详解】 因为的图象过点和点， 所以即解得. 【小问2详解】 由（1）可知， 由题意，可得. 设图象上的最高点为，由题意可知＝1， 所以，即到点的距离为的最高点为. 代入，得＝1.所以， 因为 ，所以，所以. 18. 如图，五面体中，底面四边形为边长为的正方形，． （1）证明：； （2）已知为线段的中点，点在平面上的投影恰为线段的中点，直线与平面所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为四边形是正方形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面平面平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，由线面平行性质定理证明； （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，利用向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记的中点为，的中点为，上靠近点的四等分点为， 连接，则有，，平面， 又平面，所以， 故两两相互垂直， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为直线与平面所成的角为，， 所以，得， 由题意得，，， 所以． 设平面的一个法向量， 则，即， 令，则， 故为平面的一个法向量． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值． 19. 设函数，数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）令，若对一切成立，求最小正整数的值. 【答案】（1）证明：结合题意可知， 两边取倒数可得：，即. 所以数列是以首项，公差为的等差数列. （2）. 【解析】 【分析】（1）通过两边取倒数进行变形构造，再利用定义法证明; （2）利用裂项相消法求和，再利用函数方法研究最值来处理恒成立问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由上问可知数列是以首项，公差为的等差数列， 所以，所以. 所以. 又，也满足上式，所以 由可得： ， 所以，因为对一切成立， 所以,解得. 最小正整数的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省上饶市新知学校2024-2025学年高三上学期十一月数学测试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若关于的方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为（） A. B. C. 或 D. 或 2. 某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据： x 1.99 2.8 4 5.1 8 y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 现有如下4个模拟函数： ①y=0.6x-0.2；②y=x2-55x+8；③y=log2x；④y=2x-3.02． 请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反应这些数据的规律，应选（　　） A. B. C. D. 3. 若是第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正方体中，分别为的中点，则下列说法错误的是（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成角为 C. 直线与平面所成角为 D. 5. 某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（ ） A. 630种 B. 840种 C. 1470种 D. 1480种 6. 已知某条线路上有两辆相邻班次的（快速公交车），若准点到站的概率为，在B准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下B不准点到站的概率为，则B准点到站的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 佛山第一峰位于高明区皂幕山，其海拔最高达到804.5米.要登上皂幕山的最高峰，一共需要走6666级阶梯.小明和小吉同时从第1级阶梯出发登峰，假设他们在前30分钟中，每分钟走50级阶梯，由于体力有限，小明每隔30分钟，其每分钟走的阶梯数减少5级，而小吉每隔30分钟，其速度降低10%，直到登上最高峰，则（ ）（参考数据：，，，） A. 小明到达最高峰的时间比小吉早超过30分钟 B. 小吉到达最高峰的时间比小明早超过30分钟 C. 小明到达最高峰的时间比小吉早，但差距不超过30分钟 D. 小吉到达最高峰的时间比小明早，但差距不超过30分钟 8. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数且的图象恒过点 B. 函数与是同一函数 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 若函数，则 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数的最大值为 11. 如图，在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的有（ ） A. 当，，时，对任意的点，都有三棱锥的体积为定值 B. 当，，时，存在点，使得 C. 当，，时，存在唯一点，使得 D. 当时，的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数 ， 且 ，则__. 13. 已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于__________. 14. 已知数列满足，且，若表示不超过的最大整数（例如，记，则数列的前2024项和为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 设为实数，函数． （1）求函数的定义域； （2）设，把函数表示为的函数，并写出定义域． 16. 为研究某种病毒的繁殖速度，某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此病毒的数量，单位为万个，得到如下数据： 1 2 3 4 5 6 （万个） 10 50 250 若该病毒的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择. （1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； （2）至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个？ 参考数据：. 17. 已知函数且的图象过点和点 （1）求的值； （2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数图象上各最高点到点的距离的最小值为，求的解析式. 18. 如图，五面体中，底面四边形为边长为的正方形，． （1）证明：； （2）已知为线段的中点，点在平面上的投影恰为线段的中点，直线与平面所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 设函数，数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）令，若对一切成立，求最小正整数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $