精品解析：辽宁省葫芦岛市长江卫生中等职业技术学校2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题

葫芦岛市长江卫生中等职业技术学校2024—2025学年度（上）高一期中考试 数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“”否定是（ ） A. B. C D. 4. 我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有牛五，羊二，直金十两；牛二，羊五直金八两.问牛､羊各直金几何？”大致意思是：有5头牛､2只羊，值金10两，2头牛､5只羊，值金8两，问牛､羊各值金多少两？（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A. B. C. D. 6. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 对于所有正实数，都有成立，则整数的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的图像关于点对称 B. 在区间单调递减 C. 的值域为 D. 的图像关于直线对称 11. 已知是定义在上的连续函数，且满足，当时，，设（ ） A. 若，则 B. 是偶函数 C. 在上是增函数 D. 的解集是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若A中只有一个元素，则实数m的取值集合为______． 13. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 14. 若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为_________. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，若． （1）求实数a的值； （2）设二次函数在处的y值为m，解关于x的不等式． 16. 已知正实数满足. （1）求的值； （2）求值. 17. 已知． （1）若关于x的不等式的解集为R，求实数k的取值范围； （2）方程有两个不相等的实数根， ①是否存在实数k使成立?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由； ②若均大于零，试求k的取值范围． 18. 已知函数. （1）若在上单调递减，求取值范围； （2）解关于的不等式. 19. 设函数的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称为的一个“美好区间”.性质①：对任意，有；性质②：对任意，有. （1）判断并证明区间是否为函数的“美好区间”； （2）若（）是函数的“美好区间”，试求实数的取值范围； （3）已知定义在上，且图像连续不断的函数满足：对任意（），有.求证：存在“美好区间”，且存在，使得不属于的任意一个“美好区间”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 葫芦岛市长江卫生中等职业技术学校2024—2025学年度（上）高一期中考试 数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解绝对值不等式求得集合A，再根据交集的运算即可得出答案. 【详解】解：， 所以. 故选：B. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据由能不能推出及由能不能推出即可得答案. 【详解】解：由，可得或； 由可得且， 所以由不能推出，但由能推出， 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题否定是将任意改存在并否定原结论，即可得答案. 【详解】由全称命题否定为特称命题，故原命题的否定为. 故选：B 4. 我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有牛五，羊二，直金十两；牛二，羊五直金八两.问牛､羊各直金几何？”大致意思是：有5头牛､2只羊，值金10两，2头牛､5只羊，值金8两，问牛､羊各值金多少两？（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设每头牛值金两，每只羊值金两，由题意，列出方程组求解即可． 详解】设每头牛值金两，每只羊值金两， 由题意可得， 解得， 所以每头牛值金两，每只羊值金两． 故选：A． 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由的定义域求出，再令，解得即可. 【详解】函数的定义域为，即，所以， 令，解得，所以函数的定义域为. 故选：A 6. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的性质可得，即可代入求解. 【详解】因为为幂函数，所以，解得，或， 又的图象与坐标轴无公共点，故，所以，故， 所以. 故选:A. 7. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数型复合函数的单调性及真数大于0列出不等式求解即可. 【详解】令，由知，函数单调递减， 由函数（，且）在区间上单调递增， 则单调递减且， 所以，解得，所以的取值范围是. 故选：C 8. 对于所有的正实数，都有成立，则整数的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】令，将问题化为，在上恒成立，讨论、，结合二次函数性质列不等式组求参数范围，即可得最小整数值. 【详解】由题设，令，则， 所以，在上恒成立， 当，则，不满足题设； 当，对称轴为，只需，可得. 综上，，故整数的最小值为2. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式性质确定且，再依次判断每个选项得到答案. 【详解】不等式的解集为，故且，即， 对选项A：，正确； 对选项B：，错误； 对选项C：，正确； 对选项D：，错误； 故选：AC 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的图像关于点对称 B. 在区间单调递减 C. 的值域为 D. 的图像关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】把化简成，进而得到是由先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到的，然后根据的图象画出的图象，即可判断选项 【详解】化简得， 的可以看作是函数先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到， 先画出的图象，再进行平移画出的图象， 因为函数为奇函数，关于点对称，且在和上为单调递减函数， 则经过平移后变成的关于点对称，且在和上为单调递减函数， 则在上单调递减，值域为， 若点在图象上，则，整理得， 即点也在图象上，可知的图像关于直线对称， 所以ABD正确； C错误. 故选：ABD. 11. 已知是定义在上的连续函数，且满足，当时，，设（ ） A. 若，则 B. 是偶函数 C. 在上是增函数 D. 的解集是 【答案】ACD 【解析】 【分析】取得到，取，计算得到A正确，确定，计算得到B错误，取，计算得到C正确，考虑，和三种情况，根据函数单调性解得D正确，得到答案. 【详解】对选项A：取得到，即， 取，得到，又，， 解得，正确； 对选项B：取得到，即， ，函数定义域为，函数为奇函数，错误； 对选项C：设，则 ， 时，，故，，故， 即，函数单调递增，正确； 对选项D：，， 当时，，则，故； 当时，不成立； 当时，，则，故； 综上所述：，正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若A中只有一个元素，则实数m的取值集合为______． 【答案】 【解析】 【分析】对分，两类讨论即可得解. 【详解】由题意，方程只有一个解， 当时，有一解，符合题意， 当时，一元二次方程有一解， 只需，解得， 综上，或， 故答案为： 13. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由题意可得，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解. 【详解】因为正实数满足，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为_________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，由题意可以推出函数的奇偶性、单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】不妨设，则， 由，得，则， 构造函数，则，， 所以函数在上单调递减， 因为为偶函数，所以， 则， 所以函数为偶函数，且函数的定义域为， 由，得，即， 所以，解得且， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由已知条件去构造函数. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，若． （1）求实数a的值； （2）设二次函数在处的y值为m，解关于x的不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交集分析集合中元素，分类讨论求解即可； （2）解一元二次不等式求解即可. 【小问1详解】 ，， ， 当时，，此时， ， 当时，，此时， 满足， 故. 【小问2详解】 二次函数在处的y值为3，即， 则，即， ，解得或， 所以不等式的解集为. 16. 已知正实数满足. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将两边平方得. （2）根据平方关系可得，进而结合立方差公式运算求解. 【小问1详解】 将两边平方得， 所以. 【小问2详解】 因为是正实数，令， 则，所以， 可得， 所以. 17. 已知． （1）若关于x的不等式的解集为R，求实数k的取值范围； （2）方程有两个不相等的实数根， ①是否存在实数k使成立?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由； ②若均大于零，试求k的取值范围． 【答案】（1） （2）①不存在，理由见解析， ② 【解析】 【分析】（1）根据不等式恒成立，分类讨论，当不等式为二次不等式时转化为判别式求解； （2）①由根与系数的的关系列出方程求解；②根据两根之积大于0求解即可. 【小问1详解】 由可得， 又不等式解集为R，即恒成立， 当时，原不等式为，满足题意； 当时，只需且， 解得. 综上， 【小问2详解】 由题意，两个不相等的实数根， 则，即，解得， 则，， ①若存在k满足条件，则， 即，解得， 不满足， 故不存在使成立. ②若均大于零，则只需， 解得或，又， 所以. 故k的取值范围为. 18. 已知函数. （1）若在上单调递减，求的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）考虑函数的开口方向和对称轴，建立不等式，解出即可； （2）分类讨论的值，根据开口方向和根的大小解出即可. 【小问1详解】 当时，的图像开口向上且对称轴方程为， 要使在上单调递减，需满足， 解得，所以的取值范围为. 【小问2详解】 不等式，即 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为， 不等式的解为； 当时，不等式化为， 若，即时，不等式的解为或， 若，即时，不等式的解为， 若，即时，不等式的解为或， 综上所述： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解为， 当时，不等式的解集为. 19. 设函数的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称为的一个“美好区间”.性质①：对任意，有；性质②：对任意，有. （1）判断并证明区间是否为函数的“美好区间”； （2）若（）是函数的“美好区间”，试求实数的取值范围； （3）已知定义在上，且图像连续不断的函数满足：对任意（），有.求证：存在“美好区间”，且存在，使得不属于的任意一个“美好区间”. 【答案】（1）是，证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题设中的新定义，结合函数，进行判定，即可求解； （2）若为的“美好区间”，则不满足性质②，必满足性质①，即，由，根据二次函数的性质，分类讨论，即可求解； （3）对于任意区间，记，根据单调性得到，若为的“美好区间”，必满足性质②，转化为或，得出一定存在“美好区间”，记，结合函数的单调性和零点的存在性定理，得到存在，使得，即可求解. 【小问1详解】 函数，当时，可得，所以区间是函数的一个“美好区间”. 【小问2详解】 记，，可得，故若为的“美好区间”， 则不满足性质②，必满足性质①，即； 由， 当时，在上单调递增，且， 即，所以不包含于，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，所以，不合题意； 综上可知，，即实数的取值范围是. 【小问3详解】 对于任意区间，记， 由已知得在上单调递减，故， 因为，即的长度大于的长度，故不满足性质①， 所以若为的“美好区间”，必满足性质②，这只需， 即只需或， 由显然不恒成立，所以存在常数使得. 如，取，区间满足性质②； 如，取，区间满足性质②； 综上，函数一定存在“美好区间”； 记，则图象连续不断，下证明有零点： 因为在R上是减函数，所以在R上是减函数，记； 若，则是的零点， 若，则，即，， 由零点存在性定理，可知存在，使得， 若，则，即，， 由零点存在性定理，可知存在，使得， 综上，有零点，即， 因为的所有“美好区间”都满足性质②，故.（否则，与性质②不符）， 即不属于的任意一个“美好区间”，证毕. 【点睛】关键点睛：对于新定义问题关键是理解所给定义及限制条件，再利用相应的数学知识解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$