精品解析：安徽省蚌埠市五河第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

五河一中2024－2025学年度高二第一学期期中考试 数学试题 （命题、制卷：蔡汉书试卷满分：150分考试时间：120分钟） 注意： 1．答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置． 2．填涂选择题时，必须使用2B铅笔；答非选择题时，必须使用0．5毫米的黑色签字笔书写．选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书写无效．写在试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，结合直线相交关系及斜率公式可求答案. 【详解】如图，直线的斜率为；直线的斜率为； 当直线与线段相交时，则的斜率的取值范围是或. 故选：B. 2. 抛物线的准线与直线的距离为3，则此抛物线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，化简求得的值，从而确定正确选项. 【详解】抛物线的准线方程为，则，或-16． 故所求抛物线方程为或． 故选：D 3. 设、，向量，，且，，则（ ） A. B. C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线、垂直的坐标表示求出，再利用向量的坐标运算求出模. 【详解】由，得，解得，即， 由，得，解得，即，因此， 所以. 故选：D 4. 已知两点到直线的距离相等，则（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解. 【详解】（1）若在的同侧， 则，所以，， （2）若在的异侧， 则的中点在直线上， 所以解得, 故选:D. 5. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两点坐标得到，再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可. 【详解】直线分别与轴，轴交于，两点， ，则. 点P在圆上， 圆心为，则圆心到直线距离. 故点P到直线的距离的范围为. 则. 【点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 6. 如图在底面圆半径和高均为的圆锥中，、是过底圆圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于（ ）． A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，过点作，垂足为．求出，在平面内建立直角坐标系如图，求出，，，即得解. 【详解】如图所示，过点作，垂足为． ∵是母线的中点，圆锥的底面半径和高均为， ∴．∴． 在平面内建立直角坐标系如图． 设抛物线的方程为，为抛物线的焦点． ，所以，解得， 即，，， 该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离为， 故选：A 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是建立直角坐标系，求出，，. 7. 过圆内一点作直线交圆O于A，B两点，过A，B分别作圆的切线交于点P，则点P的坐标满足方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出点坐标，求解出以为直径的圆的方程，将圆的方程与圆的方程作差可得公共弦的方程，结合点在上可得点P的坐标满足的方程. 【详解】设，则以为直径的圆，即① 因为是圆O的切线，所以，所以A，B在圆M上， 所以是圆O与圆M的公共弦，又因为圆②， 所以由①②得直线的方程为：， 又点满足直线方程，所以，即. 故选：A. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对变形得到，进而得到以，结合椭圆定义可求出，，，由余弦定理求解关系式，求出离心率. 【详解】因为，所以， 如图，在上取一点M，使得，连接，则， 则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以， 所以， 设，则， 由椭圆定义可知：，即，所以， 所以，， 故点A与上顶点重合， 在中，由余弦定理得： ， 在中，， 解得：， 所以椭圆离心率为. 故选：A 【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形三边关系，求出离心率. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AB 【解析】 【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法,结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可. 【详解】两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确； 两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确； 直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误； 直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误． 故选：AB 10. 已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，为上异于顶点的动点，则下列说法正确的有（    ） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的渐近线方程为 C. 点到渐近线的距离为4 D. 直线与直线的斜率乘积为 【答案】BD 【解析】 【分析】综合运用双曲线的简单几何性质及点到直线距离公式、直线的斜率公式求解即可. 【详解】由双曲线知，，， 对于A，双曲线的离心率为，故A错误； 对于B，双曲线的渐近线方程为，即，故B正确； 对于C，点到渐近线的距离为，故C错误； 对于D，设，则，即，所以，即直线与直线的斜率乘积为，故D正确； 故选：BD. 11. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（ ） A. 点的横坐标的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 面积的最大值为 D. 的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】设出点P的坐标，列出方程并化简整理，放缩解不等式判断A；利用几何意义并结合求函数值域判断B；利用三角形面积公式计算判断C；取点计算判断D作答. 【详解】设点，依题意，， 对于A，，当且仅当时取等号， 解不等式得：，即点的横坐标的取值范围是，A错误； 对于B，，则， 显然，因此，B正确； 对于C，的面积，当且仅当时取等号， 当时，点P在以线段MN为直径的圆上，由解得， 所以面积的最大值为，C正确； 对于D，因为点在动点P的轨迹上，当点P为此点时，，D错误. 故选：BC 【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出半径，即可得出圆的标准方程. 【详解】以点为圆心，且与轴相切的圆的半径为1， 故圆的标准方程是. 故答案为： 13. 在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】法一：根据空间向量运算结合共面向量定理即可得到相关方程组，解出即可；法二：利用四点共面的结论即可. 【详解】法一：由题意， ，， 因为，，共面， 所以存在实数唯一实数对，使得， 即， 所以，解得． 法二：由，，共面得四点共面， 则根据四点共面的充要条件可得，，即． 故答案为：. 14. 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，所以存在点使等价于由可求的最小值，求得的范围，从而得到的取值范围. 【详解】 设，则.显然当靠近右顶点时，， 所以存在点使等价于， 在中由余弦定理得， 即，解得 ， 同理可得，所以， 所以， 所以，当且仅当时等号成立. 由得，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：求离心率范围关键是建立的不等式，此时将问题转化为，从而只需求的最小值，求最小值的方法是结合焦半径性质使用基本不等式求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面内三点，，. （1）若直线经过点且与线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围； （2）若直线经过点，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为2，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线及的斜率，数形结合得到倾斜角的范围； （2）设出方程为，根据直线所过的点及与坐标轴围成的三角形面积列出方程组，求出直线方程. 【小问1详解】 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，对应的倾斜角分别为，， 结合图形，当直线过点且与线段有交点时，的倾斜角范围为； 【小问2详解】 设直线在轴，轴上的截距分别为，， 由题意知，，则直线的方程为， 由直线经过点，且与轴，轴围成的三角形的面积为2， 得，解得或（舍）. 所以直线的方程为，即. 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点. （1）求证：平面PBD； （2）求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值； （3）求D到平面APM的距离. 【答案】（1） 因为，M为BC的中点， 所以， 因为四棱锥的底面是矩形， 所以， 所以，所以， 而，即， 因为底面ABCD，底面ABCD， 所以，而平面PBD， 所以平面PBD； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用空间点到直线距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 因为因为四棱锥的底面是矩形， 所以，建立如下图所示的空间直角坐标系， ， 因为平面ABCD， 所以平面ABCD的法向量为， 设平面APM的法向量为， ，， 于是有， 平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为； 【小问3详解】 由（2）可知平面APM的法向量为，， 所以D到平面APM的距离为 17. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的标准方程． （2）直线：与抛物线交于，两点，直线外一点，若（为坐标原点），直线是否恒过点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1）； （2）直线过定点. 【解析】 【分析】（1）利用代入法，结合抛物线定义进行求解即可； （2）直线方程与抛物线方程联立，根据角相等的性质、斜率公式、一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【小问1详解】 因为点在抛物线上，且， 所以有，因此抛物线的标准方程为； 【小问2详解】 设，， 直线方程与抛物线方程联立，得， 因为，． 因为，所以， 所以． 则，即． 当时，，即； 当时，，符合题意，即． 综上，直线过定点． 【点睛】关键点睛：通过角相等得到两条直线的斜率关系是解题的关键. 18. 在图甲所示的四边形中，，，，，沿将进行翻折，使得，得到如图乙所示的四棱锥.四棱锥的体积为，为边上的动点（不与端点，重合）. （1）若为的中点，求证：； （2）设，试问：是否存在实数，使得锐二面角的余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为在四边形中，，，， 所以， 在四棱锥中，，即，，. 又平面，平面，， 所以平面，即是四棱锥的高， 因此，所以. 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. 又为的中点，所以， 因此，， 所以，所以，即. （2）存在实数 【解析】 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线线垂直即可； （2）利用空间向量法表示出锐二面角的余弦值，求解实数即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，， 设平面的一个法向量为， 则即 令，则， 所以是平面的一个法向量. 因为，所以，， 所以，所以. 设平面的一个法向量为， 则即 令，则，， 所以是平面的一个法向量， 所以， 可得，解得或. 又，所以， 即存在实数，使得锐二面角的余弦值为. 【点睛】结论点睛：若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 ①两异面直线所成的角为，； ②直线与平面所成的角为，； ③二面角的大小为，. 19. 已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与的右支及渐近线的交点自上而下依次为，证明：； （3）求二元二次方程的正整数解，可先找到初始解，其中为所有解中的最小值，因为，所以；因为，所以；重复上述过程，因为与的展开式中，不含的部分相等，含的部分互为相反数，故可设，所以．若方程的正整数解为，且初始解，则的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由． 【答案】（1）； （2）证明：由题意直线的斜率不为0，设直线，因为直线与的右支交于两点，所以， 联立得， AI 所以，且，即， 联立得，所以， 所以，即线段的中点重合，所以． （3）为定值1，理由如下： 由题意得方程的初始解为，则根据循环构造原理得 ， 从而， 记，则，设的夹角为， 则的面积 ， 令， 则 ，于是的面积为定值1． 【解析】 【分析】（1）根据实轴长和顶点到渐近线的距离求解即可； （2）将转化为线段的中点重合，结合韦达定理求解即可； （3）知识迁移，类比二元二次方程的正整数解，求方程的正整数解，然后将的面积表示出来即可. 【小问1详解】 由题意，解得， 所以双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 略; 【小问3详解】 的面积为定值1，理由略. 【点睛】思路点睛：结合题目给的数学情景，运用到新的数学问题中，将学习过的知识方法迁移到新的问题中. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 五河一中2024－2025学年度高二第一学期期中考试 数学试题 （命题、制卷：蔡汉书试卷满分：150分考试时间：120分钟） 注意： 1．答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置． 2．填涂选择题时，必须使用2B铅笔；答非选择题时，必须使用0．5毫米的黑色签字笔书写．选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书写无效．写在试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 2. 抛物线的准线与直线的距离为3，则此抛物线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 设、，向量，，且，，则（ ） A. B. C. 4 D. 3 4. 已知两点到直线的距离相等，则（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 5. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图在底面圆半径和高均为的圆锥中，、是过底圆圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于（ ）． A. B. 1 C. D. 7. 过圆内一点作直线交圆O于A，B两点，过A，B分别作圆的切线交于点P，则点P的坐标满足方程（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 10. 已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，为上异于顶点的动点，则下列说法正确的有（    ） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的渐近线方程为 C. 点到渐近线的距离为4 D. 直线与直线的斜率乘积为 11. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（ ） A. 点的横坐标的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 面积的最大值为 D. 的取值范围是 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为__________. 13. 在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则_________． 14. 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面内三点，，. （1）若直线经过点且与线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围； （2）若直线经过点，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为2，求直线的方程. 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点. （1）求证：平面PBD； （2）求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值； （3）求D到平面APM的距离. 17. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的标准方程． （2）直线：与抛物线交于，两点，直线外一点，若（为坐标原点），直线是否恒过点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 18. 在图甲所示的四边形中，，，，，沿将进行翻折，使得，得到如图乙所示的四棱锥.四棱锥的体积为，为边上的动点（不与端点，重合）. （1）若为的中点，求证：； （2）设，试问：是否存在实数，使得锐二面角的余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与的右支及渐近线的交点自上而下依次为，证明：； （3）求二元二次方程的正整数解，可先找到初始解，其中为所有解中的最小值，因为，所以；因为，所以；重复上述过程，因为与的展开式中，不含的部分相等，含的部分互为相反数，故可设，所以．若方程的正整数解为，且初始解，则的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $