2024年九年级中考数学复习平面几何辅助线常见类型及练习

参考答案与解析 第7章 四点共圆和辅助圆 目 录 第1章 角平分线 1.1 作垂线 1 1.2 作平行线 3 1.3 截取等线段 4 第2章 中点 2.1 构造中位线 8 2.2 构造中线 10 第3章 全等 3.1 遇到中点倍长中线或作平行线 17 3.2 遇到平分线段作平行线 20 3.3 构造共顶点旋转全等（手拉手） 22 3.4 构造邻边相等对角互补 28 3.5 构造一线三等角全等 32 3.6 构造脚拉脚全等 37 3.7 构造十字架全等 41 3.8 构造等腰直角三角形和平行四边形 45 第4章 直角三角形和等腰三角形 4.1 倍长一直角边构造等腰三角形 57 4.2 双勾股定理 59 第5章 相似 5.1 构造A字型或8字型相似 65 5.2 构造共顶点旋转相似（手拉手） 73 5.3 构造一线三等角相似 79 5.4 构造十字架相似 85 5.5 构造共边共角相似 89 第6章 二倍角 6.1 作二倍角的平分线构造等腰三角形 105 6.2 延长二倍角的一边构造等腰三角形（由倍角造半角） 106 6.3 延长半角的一边构造等腰三角形（由半角造倍角） 109 6.4 在三角形内或外构造二倍角 111 第7章 四点共圆和辅助圆 7.1 四边形对角互补 118 7.2 同底同侧张等角（定弦定角） 119 7.3 利用圆的定义构造辅助圆（共顶三等腰） 121 7.4 作三角形的外接圆 123 参考答案与解析 第1章 角平分线 1.1 作垂线 129 1.2 作平行线 130 1.3 截取等线段 131 第2章 中点 2.1 构造中位线 136 2.2 构造中线 137 第3章 全等 3.1 遇到中点倍长中线或作平行线 145 3.2 遇到平分线段作平行线 147 3.3 构造共顶点旋转全等（手拉手） 149 3.4 构造邻边相等对角互补 155 3.5 构造一线三等角全等 160 3.6 构造脚拉脚全等 164 3.7 构造十字架全等 167 3.8 构造等腰直角三角形和平行四边形 172 第4章 直角三角形和等腰三角形 4.1 倍长一直角边构造等腰三角形 187 4.2 双勾股定理 189 第5章 相似 5.1 构造A字或8字型相似 196 5.2 构造共顶点旋转相似（手拉手） 205 5.3 构造一线三等角相似 213 5.4 构造十字架相似 221 5.5 构造共边共角相似 225 第6章 二倍角 6.1 作二倍角的平分线构造等腰三角形 253 6.2 延长二倍角的一边构造等腰三角形（由倍角造半角） 254 6.3 延长半角的一边构造等腰三角形（由半角造倍角） 256 6.4 在三角形内或外构造二倍角 258 第7章 四点共圆和辅助圆 7.1 四边形对角互补 269 7.2 同底同侧张等角（定弦定角） 270 7.3 利用圆的定义构造辅助圆（共顶三等腰） 271 7.4 作三角形的外接圆 273 几何辅助线 第1章 角平分线 学科网（北京）股份有限公司 第1章 角平分线 1.1 作垂线 已知条件：如图，点P是∠MON平分线上一点，PA⊥OM于点A ( M O B N P A )辅助线作法：过点P作PB⊥ON于点B 结论：PA＝PB（角平分线上的点到角两边的距离相等） 典例透析 ( A C 例1 B D E ) ( A C 例1 B D E )例1 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，若AB＝6，BC＝5，DE＝2，求△ABC的面积． 怎样解 作辅助线的依据：BD平分∠ABC，DE⊥AB 辅助线作法：过点D作DF⊥BC于点F 结论：DF＝DE 思路点拨：根据DF＝DE及AB，BC的长，分别求出△ABD和△DBC的面积． ( A C 例1 B D E )我能解 解： 例2．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DE＝1，求BC的长． ( A B C 例2 D E ) ( A B C 例2 D E F ) 怎样解 作辅助线的依据：AD平分∠BAC，DE⊥AB 辅助线作法：过点D作DF⊥AC于点F 结论：DF＝DE 思路点拨：根据DF＝DE及∠B＝30°，∠C＝45°，分别求出BD和DC的长． ( A B C 例2 D E ) 我能解 解： 针对训练 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DC＝4，△ABD的面积是28，求AB的长． ( A B C 第1题 D ) 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，AD＝5，DC＝4，求AB的长． ( A B C 第2题 D ) 3．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC＝CD，AB＝4，AD＝10，CE⊥AD于点E，求DE的长． ( A E B D C 第3题 ) 4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为∠ACB的外角平分线上一点，且∠ADB＝45°，BD交AC于点E，求证：AE＝AB． ( A 第4题 D E B P C ) ( A B 第5题 D C F E )5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB，交CD于点E，若AC＝6，AB＝10，求CE的长． 1.2 作平行线 ( M O N P Q )已知条件：如图，点P是∠MON平分线上一点 辅助线作法：过点P作PQ∥ON交OM于点Q 结论：OQ＝PQ 典例透析 例1 如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，BD平分∠ABC，DC＝2，求BD的长． ( A B C 例1 E D H ) ( A B C 例1 D ) 怎样解 作辅助线的依据：BD平分∠ABC 辅助线作法：过点D作DE∥AB交BC于点E，DH⊥BC于点H 结论：DH＝，BE＝DE＝2DH 思路点拨：由∠ACB＝45°，DC＝2，可得DH，由DE∥AB，可得∠DEH＝∠ABC＝30°，得到BE，DE，EH的长，在Rt△BDH中，根据勾股定理求出BD的长． ( A B C 例1 D ) 我能解 解： ( A B C 例2 D ) ( A B C 例2 E D H )例2 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，CD＝2，求BD的长． 怎样解 作辅助线的依据：BD平分∠ABC，CD平分∠ACB 辅助线作法：过点D作DE∥AB交BC于点E，DH⊥BC于点H 结论：BE＝DE＝CD 思路点拨：导角可得∠DEC＝∠DCE＝30°，则BE＝DE＝CD，在Rt△BDH中，根据勾股定理求出BD的长． ( A B C 例2 D )我能解 解： 针对训练 ( A B 第1题 C D )1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，求证：AC＋CD＝AB． ( A B C 第2题 O E D )2．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE相交于点O，求及的值． 1.3 截取等线段 已知条件：如图，点P是∠MON平分线上一点，点A是射线OM上一点， ( M O N P A B )辅助线作法：在ON上截取OB＝OA，连接PB 结论：△OAP≌△OBP 典例透析 例1 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，AC＝2，求CD的长． ( A B C 例1 D ) ( A B C 例1 D E ) 怎样解 作辅助线的依据：AD平分∠BAC 辅助线作法：在AB上截取AE＝AC，连接DE 结论：CD＝DE＝BE 思路点拨：导角可得∠EDB＝∠ABC，则CD＝DE＝BE＝AB－AE＝AB－AC． ( A B C 例1 D )我能解 解： 例2 如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD与CE相交于点O，求证：OD＝OE． ( A B C 例2 F D E O ) ( A B C 例2 D E O ) 怎样解 作辅助线的依据：BD平分∠ABC，CE平分∠ACB 辅助线作法：在BC上截取BF＝BE，连接OF 结论：OF＝OE 思路点拨：导角可得∠BOC＝120°，则∠BOF＝∠BOE＝∠COD＝60°，则∠COF＝∠COD＝60°，可得△OCD≌△OCF，则OD＝OF＝OE． ( A B C 例2 D E O )我能解 解： 针对训练 1．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分线，AB＝3，BD＝2，求AC的长． ( A B 第1题 D C ) 2．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝10，AD是角平分线，∠ADB＝45°，求AD的长． ( A B 第3题 C O D E ) ( A B 第2题 D C ) 3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，角平分线BD与CE相交于点O，记四边形BEDC的面积为S1， △BOC的面积为S2，求证：S1＝2S2． 培优必练 ( A B 第1题 D C E )1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，点E为AC边上一点，∠DEC＝∠B，DE＝BD，AB＝8，AE＝2，求CE的长． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BD＝5，DC＝3，求AB的长． ( A B 第2题 D C ) ( A B C 第3题 E D )3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD平分∠ABC，AE⊥BD交BD的延长线于点E，求证：BD＝2AE． 4．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，BD为∠ABC的角平分线，CD⊥BD于点D，连接AD，若△ABC的面积为m，求△ACD的面积（用含m的式子表示）． ( A D B C 第4题 ) ( A B 第6题 C D )5．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠ABC＝45°，AB＝4，求△ABC的面积． ( A B C 第5题 ) 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，探究线段BD与CD的数量关系． ( D A B 第7题 G C E F )7．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，EF⊥AC交BC于点F，DE的延长线交BC于点G，若BF＝15，CG＝14，求FG的长． ( A B 第8题 D C E F G )8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，中线AD与角平分线BE交于点F，点G为CE的中点，连接FG，若△AFG的面积为15，CE＝4，求AB的长． 9．如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，AD⊥AC，AE⊥AB，BD＝5，CE＝12，求DE的长． ( A B E D C 第9题 ) 10．如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上，点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM． ( M D A B 第10题 C P F N E )（1）求证：∠AMB＝∠BMP； （2）若DP＝1，求MD的长． 11．在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE相交于点O． ( A A B C 图1 D E O B 图2 C O D E 第11题 )（1）如图1，若∠A＝60°，求证：BC＝BE＋CD； （2）如图2，若∠A＝90°，＝，求的值． 7 学科网（北京）股份有限公司 第2章 中点 2.1 构造中位线 已知条件：如图，在△ABC中，点D为边AB的中点，且已知BC的长 辅助线作法：取AC的中点E，连接DE ( A B D C E )结论：DE是△ABC的中位线，DE∥BC，DE＝（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半） 典例透析 例1 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，点D为边BC的中点，点E在边AB上，且∠BED＝30°，求DE的长． ( A B C D E 例1 ) ( A B C D E F 例1 ) 怎样解 作辅助线的依据：点D为边BC的中点，AC＝4 辅助线作法：取AB的中点F，连接DF 结论：DF∥AC，DF＝ 思路点拨：由DF是△ABC的中位线，可知DF∥AC，DF＝＝2，则∠DFE＝180°－∠A＝90°，由∠BED＝30°，可得DE＝2DF＝4． ( A B C D E 例1 )我能解 解： ( A B C F 例2 D E ) ( A B C F 例2 D E G )例2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E是AC上一点，点F是BC的中点，EF∥AD，若AB＝7，AC＝11，求EC的长． 怎样解 作辅助线的依据：点F是BC的中点 辅助线作法：取AC的中点G，连接FG 结论：FG∥AB，FG＝ 思路点拨：由FG是△ABC的中位线，可知FG∥AB，FG＝，导角可得EG＝FG，则EC＝EG＋GC． 我能解 ( A B C F 例2 D E )解： 针对训练 1．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC上一点，∠A＝2∠DEC，求证：AB＋AE＝CE． ( A E B C 第1题 D ) ( A B C D E 第2题 )2．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，BD⊥AD，点E为BC的中点，求证：DE＝( AB－AC )． 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝6，点D是边AC上一点，点E是边BC的中点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长是_________． ( B C 第3题 E A D ) ( A C B 第4题 D E F )4．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC，点E是AC上一点，点F是BC的中点，EF∥AD，求证：BD＝2AE． 2.2 构造中线 直角三角形中 已知条件：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点 辅助线作法：连接CD ( A B C D )结论：CD＝（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 等腰三角形中 已知条件：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点 辅助线作法：连接AD 结论：∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合） ( A B C D ) 典例透析 ( A B C 例1 E F ) ( A B C 例1 E F D )例1 如图，在△ABC中，点E是边AC的中点，点F是△ABC内一点，EF∥BC，∠AFB＝90°，AB＝8，BC＝14，求EF的长． 怎样解 作辅助线的依据：点E是边AC的中点，EF∥BC，∠AFB＝90° 辅助线作法：取AB的中点D，连接DE，DF 结论：DE∥BC，DE＝，DF＝ 思路点拨：由DE是△ABC的中位线，可知DE∥BC，DE＝，由DF是Rt△ABF的斜边AB上的中线，可知DF＝，由EF∥BC，可知D，F，E三点共线，则EF＝DE－DF． ( A B C 例1 E F )我能解 解： ( A B C 例2 D E ) ( A B C 例2 D E O )例2 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D为BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接CE，求CE的长． 怎样解 作辅助线的依据：∠BAC＝90°，点D为BC的中点 辅助线作法：连接BE交AD于点O 结论：AD＝，∠BEC＝90° 思路点拨：由AD是Rt△ABC的斜边BC上的中线，可知AD＝，由点D为BC的中点及翻折，可知∠BEC＝90°，由面积法求出OB的长，则BE＝2OB，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出CE的长． ( A B C 例2 D E )我能解 解： 例3 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，点E，F分别在边AC，BC上，且∠EDF＝90°，AE＝3，BF＝4，求EF的长． ( A D E B C 例3 F ) ( A D E B C 例3 F ) 怎样解 作辅助线的依据：AC＝BC，点D为AB的中点 辅助线作法：连接CD 结论：CD⊥AB，CD＝AD＝ 思路点拨：由CD是等腰直角△ABC的斜边AB上的中线，可知CD⊥AB，CD＝AD＝，由∠EDF＝90°可知∠ADE＝∠CDF，∠A＝∠DCF＝45°，可得△ADE≌△CDF，则AE＝CF，在Rt△ECF中，根据勾股定理求出EF的长． ( A D E B C 例3 F ) 我能解 解： ( A D B C 例4 ) ( A D B C 例4 E F )例4 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为△ABC内一点，AD＝AC，DB＝DC，求△DBC的面积． 怎样解 作辅助线的依据：AC＝BC，DB＝DC 辅助线作法：过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F 结论：DF＝CE＝BE＝ 思路点拨：由DB＝DC可知DF＝CE＝BE，在Rt△ADF中，根据勾股定理求出AF的长，则DE＝CF＝AC－AF． ( A D B C 例4 ) 我能解 解： 针对训练 ( B 第1题 E D A C H )1．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC边上的动点，BH⊥AE于点H，连接CH，则CH的最小值为_________． 2．如图，AB∥CD，∠ADC＝90°，点M为BC的中点，连接AM，DM，求证：AM＝DM． ( A B C 第2题 D M ) 3．如图，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，AF⊥BE于点F，连接DF，求证：DF＝DC． ( D A B 第3题 C E F ) 4．如图，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝30°，点D为BC边上一点，∠ADC＝45°，求证：BD＝DC． ( A B 第4题 C D ) 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作直线l∥AB，点D为直线l上任意一点（不与点C重合），连接AD，作DE⊥AD交直线BC于点E，连接AE，求证：∠AED＝∠BAC． ( A B l E 第5题 C D ) ( A 第6题 E D B C )6．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，tan∠EAC＝ ，则BD＝_________． 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E，F分别为边BC，AD上的点，连接EF，BD交于点G，若DE平分∠CEF，BG＝BE，则DF的长为_________． ( A D F 第7题 E B C G ) 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为边AC上的动点，线段BE的垂直平分线交AD于点F，交BE于点G，连接EF，求证：∠BEF＝∠BAF． ( B D C 第8题 A E F G ) 9．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，AD，AE，AF分别是中线、角平分线和高线，探究线段AB，CE，DF之间的数量关系． ( A B 第9题 C D E F ) 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，BE⊥AC于点E，交AD于点P，若BP＝3，PE＝1，求AE的长． ( A B 第10题 C D P E ) 11．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，连接DE，若BE＝1，DE＝，求CD的长． ( A B 第11题 C D E ) 培优必练 ( A B 第1题 C E D )1．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝7，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，AD⊥BD于点D，AE⊥CE于点E，求DE的长． 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD⊥BC于点D，BE，CF为角平分线，AD分别与BE，CF相交于点M，N，点G，H分别为FN，EM的中点，求GH的长． ( A B 第2题 D C E F M N G H ) ( A D B 第3题 C G M E F )3．如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，点E在CD上，点G在BC的延长线上，M是BF的中点，连接EM，若AB＝4，求EM的最小值． 4．如图，点E为正方形ABCD外一点，AB＝4，∠AED＝90°，点F为CE的中点，连接BF，求BF的最大值． ( E A D 第4题 B C F ) 5．如图，在△ABC中，点D为AC的中点，点E为△ABC内部一点，∠BEC＝90°，∠CED＝∠ABE，DE＝2，AB＝6，求BC的长． ( A D 第5题 B C E ) 6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点D，E分别为边AB，BC上的动点，且DB＝DE，过点E作EF⊥DE交AC于点F，连接DF，求DF的最小值． ( A 第6题 B C E D F ) 7．如图，在△ABC中，∠ABC＝75°，AD⊥BC于点D，AD＝ BC，求证：AC＝BC． ( 第7题 B C A D ) 8．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为边BC上一点，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接CE并延长交AD的延长线于点F，若CE＝6，EF＝9，求AF的长． ( A B C D E F 第8题 ) ( C A B E F G D 第9题 )9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别是边BC，AB上的点，∠ADC＝∠EDB，过点E作EF⊥AD，垂足为F，交AC于点G． （1）求证：∠AEG＝∠BED； （2）若 ＝ ，求 的值（用含n的式子表示）． ( A B C 第10题 D NH E F M )10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将线段CA绕点C顺时针旋转（旋转角小于90°）得到CD，CE平分∠BCD交DA的延长线于点E． （1）求∠AEC的度数； （2）过点C作CF⊥AB于点F，点M，N分别为CF，DE的中点， 连接MN，若AC＝BC＝4，求MN的长． 11．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，且BD＝BC＝CE，∠CDE＝30°，CD与BE相交于点F． ( A B C E D F 第11题 )（1）求证：△BEC是等边三角形； （2）探究线段AD，AE，EF之间的数量关系，并证明； （3）若AE＝kEF，求 的值（用含k的式子表示）． 几何辅助线 第2章 中点 16 学科网（北京）股份有限公司 第3章 全等 3.1 遇到中点倍长中线或作平行线 ( A B D C E )已知条件：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线 辅助线作法：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE （或者过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E） 结论：△ACD≌△EBD 典例透析 例1 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC边上的中线AD＝2，求△ABC的面积． ( A B C 例1 D ) ( A B C 例1 D E ) 怎样解 作辅助线的依据：AD是BC边上的中线 辅助线作法：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE 结论：△ABD≌△ECD 思路点拨：根据全等三角形的性质，可得CE＝AB，根据勾股定理的逆定理可知∠E为直角，△ABC的面积即等于△AEC的面积． ( A B C 例1 D ) 我能解 解： 例2．如图，在△ABC中，点E是中线AD上一点，∠CED＝∠BAD，求证：CE＝AB． ( A B C D E ) ( A B C 例2 D E F ) 怎样解 作辅助线的依据：AD是BC边上的中线 辅助线作法：过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F 结论：△FBD≌△ECD 思路点拨：根据全等三角形的性质，可得BF＝CE，∠F＝∠CED＝∠BAD，则AB＝BF＝CE． ( A B C 例2 D E ) 我能解 解： 针对训练 ( A B C 第1题 E F D )1．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，点E为CD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F，求证：EF＝CF． 2．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，∠DAC＝90°，AC＝2，求△ABC的面积． ( A B C 第2题 D ) ( A D E F B C 第3题 )3．如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BE、CD，取CD的中点F，连接AF，探究AF与BE的数量关系和位置关系． 4．如图，在等边△ABC中，点D为边BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转120°得到AE，连接BE交AC于点F，求证：CD＝2AF． ( A B C 第4题 D E F ) ( A D B C 第5题 E D ′ P G H )5．如图，在矩形ABCD中，点P为边CD上一点，连接AP并延长交BC的延长线于点E，将△APD沿AP折叠得到△APD'，连接D'D交AP于点H，点G为AE的中点，当∠EAD'＝2∠AED' 时，求证：GH＝ AD． 6．如图，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转得到矩形EFCG，使点B落在AD边上的点F处，连接BG交CF于点M，求证：BM＝GM． ( E A D F M B C 第6题 G ) 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E是线段CB上一点，连接ED，将线段ED绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF交CD于点G，求证：AG＝GF． ( 第7题 F B C E A D G ) 8．如图，在△ABC和△DBC中，AC＝BC，∠ACB＝∠BDC＝90°，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接BE交CD于点F，求证：BF＝EF． ( A B 第8题 C E F D ) 9．如图，△ABC和△EFC都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠FEC＝90°，点E在边AB上，AD⊥BC于点D，连接AF，点G是AF的中点，连接DG，EG，求证：△GDE是等腰直角三角形． ( A C B D G E F 第9题 ) 10．如图，在等边△ABC中，点D为边BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转得到AE，使∠CAE＝∠ADB，连接BE交AC于点F． ( A E B C 第10题 D F )（1）求证：BF＝EF； （2）若BD＝kDC，求 的值（用含k的式子表示）． 3.2 遇到平分线段作平行线 ( A B C F G D E )已知条件：如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，点E是AC延长线上一点，连接DE交BC于点F，且DF＝EF 辅助线作法：过点D作DG∥AC交BC于点G 结论：△DFG≌△EFC 典例透析 例1 如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，点E是AC延长线上一点，连接DE交BC于点F，且BD＝CE，DF＝EF，求证：AB＝AC． ( A D B C F E 例1 ) ( A D B C F G E 例1 ) 怎样解 作辅助线的依据：DF＝EF 辅助线作法：过点D作DG∥AC交BC于点G 结论：△DFG≌△EFC 思路点拨：根据△DFG≌△EFC可得DG＝CE＝DB，则∠B＝∠DGB＝∠ACB，AB＝AC． ( A D B C F E 例1 ) 我能解 解： 例2 如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，点E是BC延长线上一点，连接DE交AC于点F，且DF＝EF，过点D作DG⊥AC于点G，若AB＝2，求GF的长． ( A B C 例2 E D G F ) ( A B C 例2 E D G H F ) 针对训练 ( A B C G F D E 第1题 )1．如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，点E是AC延长线上一点，连接DE交BC于点F，过点D作DG⊥BC于点G，若DF＝EF，GF＝，求证：AB＝AC． 2．如图，△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，AD⊥BD，延长ED交BC于点F，求证：BF＝CF． ( A D E B C 第2题 F ) 3．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝2CE，过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF，求证：DF＝AD＋CF． ( A D E B F C 第3题 ) 4．如图，在等边△ABC中，D是AB边上一点，E是BC延长线上一点，且AD＝CE，连接DE交AC于点F，若△ADF的周长∶△CEF的周长＝6∶5，求△ADF的面积∶△CEF的值． ( A D F B E C 第4题 ) 3.3 构造共顶点旋转全等（手拉手） 已知条件：如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE ( A B C D E )辅助线作法：连接BD，CE 结论：△ABD≌△ACE 典例透析 例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转到AE的位置，使∠DAE＋∠BAC＝180°，连接BE，取BE的中点F，连接AF，求证：CD＝2AF． ( E A F B C 例1 D ) ( E A F B C 例1 D G ) 怎样解 作辅助线的依据：AB＝AC，∠DAE＋∠BAC＝180° 辅助线作法：将△ACD绕点A顺时针旋转到△ABG 结论：△ACD≌△ABG 思路点拨：由三角形全等可得CD＝BG，∠DAC＝∠GAB，等角可得G，A，E三点共线，AF是△BEG的中位线． ( E A F B C 例1 D ) 我能解 解： 例2 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为斜边向下作等腰直角三角形BCD，连接AD，求AD的最大值． ( A B C 例2 D E ) ( A B C 例2 D ) 怎样解 作辅助线的依据：BD＝CD，∠BDC＝90° 辅助线作法：将△ACD绕点A顺时针旋转到△EBD 结论：△ACD≌△EBD 思路点拨：由三角形全等可得BE＝AC，ED＝AD，∠EDB＝∠ADC，△ADE是等腰直角三角形，由三角形三边关系可得AE的取值范围，从而得到AD的最大值． 我能解 解： ( A B C 例2 D ) 针对训练 ( A B C D E 第1题 )1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥BC于点B，点E在BC上，∠DAE＝45°，求证：DE＝BD＋CE． 2．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，∠ABD＝15°，AB＝AC＝2，则AD的长为_________． ( A B 第2题 C D ) 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，AD⊥BC于点D，点E为边AC上一点，AE＝2，点F为AD延长线上一点，∠BEF＝60°，则DF的长为_________． ( A B C D E F 第3题 ) 4．如图，点D为等边△ABC外一点，∠ADC＝60°，CD＝2，则△BDC的面积为_________． ( A B 第4题 C D ) 5．如图，点D是等腰Rt△ABC内一点，∠ABC＝90°，∠ADB＝135°，AD＝1，CD＝5，则BD的长为_________． ( A B 第5题 C D ) ( A B C 第6题 D E )6．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠BAD＝15°，AD＝4，则点D到AB的距离为_________． 7．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，连接AE，作∠BAE的平分线AF交BC于点F，连接EF，若DE＝5，BF＝8，则EF的长为_________． ( A D B C 第7题 F E ) ( A P B C 第8题 )8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为△ABC内一点，∠APB＝120°，∠APC＝90°，AP＝，则△PBC的面积为_________． 9．如图，△BAC，△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEB＝∠AEF＝90°，点E在△ABC内，连接AD，CF，判断AD与CF的数量关系和位置关系，并说明理由． ( B A C D 第9题 E F ) 10．如图，点P为△ABC内一点，PB＝PC，∠BPC＝2∠BAC，求证：PA＝PB． ( A B 第10题 C P ) 11．如图，在等边△ABC中，点D为BC的中点，点E为AB上一点，以DE为边作等边△DEF，连接AF，求证：AF＝EF． ( B 第11题 C A D E F ) 12．如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DEC＝90°，点D在斜边AB上，连接AE并延长交BC于点F，求证：AE＝EF． ( A B 第12题 C F D E ) 13．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边AC，BC上，且AD＝CE，连接AE与BD相交于点P，过点C作CF∥BD，交AE的延长线于点F，求证：AP＝CF． ( A B C E P D F 第13题 ) ( B 第14题 D C E F A )14．如图，在等边△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，∠EDF＝120°，BE＝1，CF＝2，求AB的长． 15．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝15°，以AC为直角边向外作等腰Rt△ACD，∠ACD＝90°，求BD的长． ( C 第15题 B D A ) ( A B 第16题 C D )16．如图，点D为△ABC内一点，AB＝AC，AD＝CD，∠ADC＝90°，∠ABD＝∠BCD，BC＝4，求△ABD的面积． 17．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，AC＝，BC＝3，CD＝，求四边形ABDC的面积． ( B C A D 第17题 ) ( A B 第18题 C E D G F )18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为AC的中点，CE⊥BD交BD的延长线于点E，点F在BD上，AG⊥AF交线段CE于点G，求证：EF－EG＝2CE． 19．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠BCD＝30°，BC＝2，AC＝7，求CD的长． ( A C 第19题 D B ) 20．如图，点D为等边△ABC外一点，∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝，求BD的长． ( A B 第20题 C D ) ( A D C 第21题 B )21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC下方一点，∠BDC＝45°，若BD＝2，CD＝3，求AD的长． 22．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝45°，AB＝BC，△ABD的面积为9，求AD的长． ( B 第22题 C D A ) 23．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D，E分别在边AC，BC上，∠DBC＝10°，∠CAE＝40°，求∠BDE的度数． ( A B C E D 第23题 ) 24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点M为BC的中点，点D在MC上，将线段AD绕点A顺时针旋转α得到线段AE，连接DE，过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段EN与DN的数量关系，并证明． ( A B 第24题 C E M N D ) 3.4 构造邻边相等对角互补 已知条件：在四边形ABCD中，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝AD 辅助线作法1：如图①，过点A作BC，CD的垂线，垂足为E，F 结论：①△ABE≌△ADF；②△ACE≌△ACF；③AC平分∠BCD（知二推一） ( A B D C 图 ① E F ) 辅助线作法2：如图②，延长CD到E，使DE＝BC，连接AE 结论：①△ABC≌△ADE；②△AC＝AE；③AC平分∠BCD（知二推一） ( A B D C 图 ② E ) 特殊情况： 如图③，90°邻边相等对角互补，结论：①AC平分∠BCD；②BC＋CD＝AC；③S四边形ABCD ＝S△ACE 如图④，60°,120°邻边相等对角互补，结论：①AC平分∠BCD；②BC＋CD＝AC；③S四边形ABCD ＝ AC 2． 如图⑤，120°,60°邻边相等对角互补，结论：①AC平分∠BCD；②BC＋CD＝AC；③S四边形ABCD ＝ AC 2． ( A B C 图 ⑤ D E ) ( A B C 图 ④ D E ) ( A C 图 ③ B D E ) 典例透析 例1 如图，点M，N分别为∠AOB的边OA，OB上的点，OM≠ON，点P为∠AOB角平分线上的一点，若∠AOB＋∠MPN＝180°，求证：PM＝PN． ( A O N 例1 H P B G M ) ( A O N 例1 P B M ) 怎样解 作辅助线的依据：OP平分∠AOB，∠AOB＋∠MPN＝180° 辅助线作法：过点P作PG⊥OA于点G，PH⊥PB于点H 结论：△PGM≌△PHN ( A O N 例1 P B M )思路点拨：导角证△PGM≌△PHN，可得结论． 我能解 解： 例2 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ACD＝∠ADB，求证：AC平分∠BCD． ( A E B D C 例2 ) ( A B D C 例2 ) 怎样解 作辅助线的依据：AB＝AD，∠ACD＝∠ADB 辅助线作法：延长CD到E，连接AE，使AE＝AD 结论：△AEC≌△ABC 思路点拨：设∠ABD＝∠ADB＝α，∠BDC＝β，导角证∠EAC＝∠BAC，△AEC≌△ABC，可得结论． 我能解 ( A B D C 例2 )解： 例3 如图，在△ABC中，分别以AB，AC为斜边向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，点D，B，C在同一直线上，连接DE，若AB＝2，AC＝，求DE的长． ( D C 例3 E A B ) ( D C 例3 F E A B ) 怎样解 作辅助线的依据：等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE 辅助线作法：延长DC到F，使CF＝AD，连接EF 结论：△ADE≌△CFE 思路点拨：导角证△ADE≌△CFE，可得△DEF是等腰直角三角形，在Rt△ADC中，利用勾股定理求出DC，从而得到DF和DE的长． ( D C 例3 E A B )我能解 解： 针对训练 1．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝3，BD＝4，则BC＝_________． ( A D B 第1题 C ) 2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠BCD＝60°，BC＝7，CD＝2，则AC＝_________． ( A D B 第2题 C ) ( A D B C 第3题 F E )3．如图，在矩形ABCD中，点E为边CD上一点，∠AEB＝45°，过点E作EF⊥AE交BC于点F，若DE＝1，CE＝2，求BF的长． 4．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，DE⊥AC，AE＝CE，若∠ABC＝α，求∠ADE（用含α的式子表示）． ( A D B C 第4题 E ) 5．如图，OC平分∠AOB，点P为OC上一点，PD⊥OA于点D，点E，F分别在边OA，OB上，∠PEO＋∠PFO＝180°，探究OE，OF与OD的数量关系，并证明． ( O B 第5题 F A D E P ) 6．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AD＝CD＝2，AB＝3，BC＝5，求BD的长． ( B C 第6题 D A ) 7．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AB＝AD＝CD＝3，BD＝5，求BC的长． ( D A B C 第7题 ) 8．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BDC＝90°，AB＝7，AD＝CD＝15，求BC的长． ( D B C 第8题 A ) 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，∠BCD＝∠BAD，求证：BD＝CD． ( A B C D 第9题 ) 10．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点M是直线AO上一点，点P，N分别是射线OC，OB上的点，PM＝PN，OM＝1，ON＝3，求OP的长． ( 第10题 O B 图1 P A N C M O B 备用图 A C ) 11．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E为CD边上一动点（点E不与点C，D重合），连接AE交BD于点F，过F作FG⊥AE交BC于点G，若四边形CEFG是“等补四边形”，求CE的长． ( D F A B C 第11题 G E ) 12．如图，在□ABCD中，AB＝AC，∠BAC＝45°，过点B作BE⊥AC于点E，交CD于点F，过点F作FG⊥AD于点G，连接EG． ( D A G B C 第12题 E F )（1）求证：BF＝AB； （2）探究AC与EG的数量关系，并证明． 13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将线段AB绕点A逆时针旋转至AD，旋转角为α， ∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接CE． ( A B C E D 第13题 A B C 备用图 )（1）当0°＜α＜90°时，求证：BD＋2CE＝AE； （2）当0°＜α＜180°，AE＝2CE时，求 的值． 3.5 构造一线三等角全等 已知条件：如图1，点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD） 结论：△CAP≌△PBD 已知条件：如图2，点P在AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD） ( A B D P C 1 2 3 1 2 3 D P C B A 图1 图2 )结论：△APC≌△BDP 典例透析 ( A D B C 例1 E F ) ( A D B C 例1 E F G )例1 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，将AE绕点E顺时针旋转到90°得到EF，连接CF，求∠DCF的度数． 怎样解 作辅助线的依据：∠B＝∠AEF＝90° 辅助线作法：过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G 结论：△ABE≌△EGF 思路点拨：由正方形的性质和三角形全等可得BC＝AB＝EG，BE＝FG，则FG＝BE＝CG，∠FCG＝45°，∠DCF＝45°． ( A D B C 例1 E F ) 我能解 解： ( A B C D E 例2 ) ( A B C D 例2 )例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将AB绕点A逆时针旋转90°得到AD，连接CD，若∠ACD＝135°，CD＝，求BC的长． 怎样解 作辅助线的依据：∠ACB＝∠BAD＝90° 辅助线作法：过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E 结论：△ABC≌△DAE ( A B C D 例2 )思路点拨：由三角形全等可得AC＝DE，BC＝AE，由∠ACD＝135°可知△CDE是等腰直角三角形，由CD的长可得CE，DE的长，从而可得BC的长． 我能解 解： 例3 如图，在正方形ABCD中，点E为CD边上一点，将△ADE沿AE折叠得到△AFE，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，若AG＝FG，求证：CE＝DE． ( A D G C 例3 B H E F ) ( A D G C 例3 B E F ) 怎样解 作辅助线的依据：AG＝FG，∠GAE＝∠AFE＝90° 辅助线作法：过点G作GH⊥AF于点H 结论：△AEF≌△GAH ( A D G C 例3 B E F )思路点拨：导角可证△AEF≌△GAH，再等量代换可证结论． 我能解 解： 针对训练 1．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝BC，AD＝1，BD＝5，则CD的长为_________． ( A B C 第1题 DC ) 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝8，点D是AC边上一点，连接DB，将线段DB绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接CE，若△CDE的面积为6，则AD的长为_________． ( B C 第2题 D A E ) 3．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为△ABC外一点，连接AD，BD，CD，若∠ADB＝90°，AD＝1，CD＝，则AC的长为_________． ( A B C 第3题 D ) 4．如图，在正方形ABCD中，点E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE翻折得到△AFE，连接DF，过点C作CG⊥DF交DF的延长线于点G，若CG＝1，则AB的长为_________． ( A D B C 第4题 G F E ) 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝a，将CA绕点C顺时针旋转90°得到CD，连接BD，求△BDC的面积（用含a的代数式表示）． ( A B C 第5题 D ) ( A B D C 第6题 E )6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边上一点，BE⊥AD于点E，连接CE，∠CED＝45°，求的值． 7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D为AB边上一点，BD＝，点E，F分别在边BC，AC上，且DE＝DF，∠EDF＝45°，求BE的长． ( A B 第7题 E C D F ) ( A B 第8题 E C F D )8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，等边△DEF的顶点分别在边AB，BC，AC上，AF＝2，CF＝4，求等边△DEF的边长． 9．如图，直线y＝kx－4k经过定点A，与y轴交于点B（0，2），点C为x轴上点A右侧的一点，∠ABC＝30°，求点C的坐标． ( A C 第9题 x O B y ) 10．如图，在正方形ABCD中，点P为边AD上一点，连接CP，点B关于CP的对称点为E，连接ED并延长交CP的延长线于点F，连接AF，求证：DE＝AF． ( A D B C 第10题 F P E ) 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E，F分别为边BC，CD上的点，连接AE，AF，∠EAF＝45°，BE＝1，求DF的长． ( A D C 第11题 B E F ) 12．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB边上一点，AE＝3，点F在边CD上，点G在CD的延长线上，∠GEF＝45°，设DF＝x，DG＝y，求y关于x的函数关系式． ( A D B C 第12题 F E G ) 13．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，连接AD，将AD绕点D逆时针旋转90°得到DE，连接BE，∠DBE＝45°． ( A B C D E 第13题 )（1）求∠ABC的度数； （2）若AC＝5，BE＝，BD∶DC＝5∶2，求AB的长． 14．如图，直线y＝－x＋m（m＞0）与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C为射线AB上一动点，点D的坐标是（m，m），以CD为边向右作正方形CDEF． （1）求证：点F在x轴上； （2）连接BE，若BE＝nBC，求点E的坐标（用含m，n的式子表示）． ( C O 第14题 D A B y F E x ) 3.6 构造脚拉脚全等 已知条件：如图①，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠CDE＝90°，连接BE，点F为BE的中点，连接AF，DF ( A B F E D C G 图 ① )结论：AF＝DF，AF⊥DF 辅助线作法：延长AF到G，使FG＝AF，连接AD，DG，EG． 已知条件：如图②，△ABC是等边三角形，△DCE是等腰三角形，∠CDE＝120°，连接BE，点F为BE的中点，连接AF，DF ( A C D B F E G 图 ② )结论：AF＝DF，AF⊥DF 辅助线作法：延长AF到G，使FG＝AF，连接AD，DG，EG． 已知条件：如图③，△ABC和△DCE都是直角三角形，∠BAC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝∠DCE，连接BE，点F为BE的中点，连接AF，DF 结论：AF＝DF，∠AFD＝180°－2∠ACB 辅助线作法：取BC的中点G，CE的中点H，连接AG，FG，DH，FH． ( A D B F E C G 图 ③ H ) 典例透析 例1 如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，连接AF，点M为AF的中点，连接DM，EM，探究线段DM，EM的数量关系和位置关系，并加以证明． ( A D B C H E F G N M 例1 ) ( A D B C E F G M 例1 ) 怎样解 作辅助线的依据：正方形ABCD和正方形CEFG，点M为AF的中点 辅助线作法：过点F作FH⊥CD于点H，交DM的延长线于点N，连接ED，EN 结论：DM＝EM，DM⊥EM ( A D B C E F G M 例1 )思路点拨：先证△ADM≌△FNM，再导角证△DCE≌△NFE，可得△EDN是等腰直角三角形，则DM＝EM，DM⊥EM． 我能解 解： 例2 如图，△ABC是等腰三角形，△CDE是等边三角形，∠BAC＝120°，连接BD，点F为BD的中点，连接AF，EF，探究线段AF，EF的数量关系和位置关系，并加以证明． ( C B F 例2 D A E G ) ( C B F D A E 例2 ) 怎样解 作辅助线的依据：△ABC是等腰三角形，△CDE是等边三角形，∠BAC＝120°，点F为BD的中点 辅助线作法：延长AF到G，使FG＝AF，连接AE，DG，EG 结论：EF＝AF，EF⊥AF 思路点拨：先证△ABF≌△GDF，再导角证△ACE≌△GDE，可得△AEG是等边三角形，则EF＝AF，EF⊥AF． ( C B F 例2 D A E ) 我能解 解： 例3 如图，在△ABC和△AEF中，∠ACB＝∠AFE＝90°，∠ABC＝∠AEF＝30°，AE＝ AB，B，E，F三点在同一条直线上，点G是BE的中点，连接CG，过点E作EH⊥AE交CG于点H，求 的值． ( F B C 例3 E G M A H ) ( F B C 例3 E G A H ) 怎样解 作辅助线的依据：∠ACB＝∠AFE＝90°，∠ABC＝∠AEF＝30°，AE＝ AB，点G是BE的中点 辅助线作法：取AE的中点M，连接FM，FC，GM 结论：△MFG≌△AFC，△FGC和△EGH都是等边三角形 思路点拨：先导角证△MFG≌△AFC，可得△FGC和△EGH都是等边三角形，等量代换可得 的值． ( F B C 例3 E G A H ) 我能解 解： 针对训练 ( A B C 第1题 D E F )1．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，分别以AB，AC为斜边向外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，连接DE，求证：S五边形AEBCF ＝DE 2． ( A B C D E F 第2题 )2．如图，△ABC是等腰三角形，△CDE是等边三角形，∠BAC＝120°，点F为BD上一点，∠FAE＝60°，求证：BF＝DF． ( B E 第3题 C A D )3．如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠CDE＝90°，设四边形ABED的面积为S1，△ACD的面积为S2，若S1－S2＝50，求AD的长． 4．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠ADE＝90°，点D在线段BC上，延长BC到F，使DF＝BD，连接EC、EF，求证：△ECF等腰直角三角形． ( A B D 第4题 C F E ) ( A C F D B E 第5题 )5．如图，△ABC和△BDE都是直角三角形，∠BAC＝∠BED＝90°，∠ABC＝∠EBD，连接CD，点F为CD的中点，连接AF，EF，求证：AF＝EF，∠FAE＝∠ABC． 6．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，点F在线段AD上，AF＝3DF，点G，H分别为BC，DE的中点，连接FG，FH，求证：FG⊥FH且FG＝FH． ( B G 第6题 C D A H E F ) 7．如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠CED＝90°，连接AD，BD，点F为BD的中点，连EF． （1）探究AD与EF的数量关系和位置关系，并证明； （2）如图2，过点C作CG⊥EF于点G，连接AG，若CG＝2，EG＝3，EF＝5，求四边形AGCD的面积． ( B C 图1 F A 第7题 D E B C 图2 A D E G F ) 3.7 构造十字架全等 已知条件（正十字架）：如图①，△ABC和△BDE都是直角三角形，∠ABC＝∠BDE＝90°，AC⊥BE，AB＝BD 结论：△ABC≌△BDE 已知条件（斜十字架，通常出现在等边三角形中）：如图②，在△ABC和△BDE中，∠ABC＝∠BDE， ∠BAC＝∠DBE，AB＝BD ( A B C D E 图 ① ) ( B C D 图 ② A E )结论：△ABC≌△BDE 典例透析 例1 如图，将边长为8的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则AM的长是_________． ( A D B C 例1 E N M F ) ( A D B C 例1 E N M F G ) 怎样解 作辅助线的依据：正方形ABCD，点E为BC的中点 辅助线作法：连接DE，过点M作MG⊥CD于点G 结论：△MNG≌△DEC 思路点拨：先导角证△MNG≌△DEC，在Rt△NEC中利用勾股定理求出CN的长，可得AM的长． ( A D B C 例1 E N M F )我能解 解： 例2 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D，E分别为边AB，BC上的点，且AE＝AC＝CD，求证：CE＝BD． ( A B C 例2 E D ) ( A B C 例2 E D F G ) 怎样解 作辅助线的依据：∠ABC＝45°，AE＝AC＝CD 辅助线作法：分别过点D，A作BC的垂线，垂足为F，G 结论：△ACG≌△CDF 思路点拨：先导角证△ACG≌△CDF，再利用等腰三角形的三线合一和等量代换可证结论． ( A B C 例2 E D ) 我能解 解： 例3 如图，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，连接AE，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，连接BF并延长交CD于点G，若EG＝1，求AB的长． ( A D B C 例3 E F G ) ( A D B C 例3 H E F G ) 怎样解 作辅助线的依据：∠ABC＝45°，AE＝AC＝CD 辅助线作法：分别过点D，A作BC的垂线，垂足为F，G 结论：△ACG≌△CDF 思路点拨：先导角证△ACG≌△CDF，再利用等腰三角形的三线合一和等量代换可证结论． ( A D B C 例3 E F G ) 我能解 解： 针对训练 1．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为边BC，CD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于点O，连接OC，OD，OD＝AD，则OC的长为_________． ( B E C 第1题 F A D O ) 2．如图，在△ABC中，∠B＝45°，点D，E分别在边AB，BC上，AE⊥CD，AE＝CD，BE∶CE＝3∶4，S△AEC ＝10，则S△DBE ＝_________． ( B C 第2题 D E A ) 3．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥BD，AC＝BD，垂足为E，若AB＝1，AD＝，则CD的长为_________． ( B 第3题 C D A ) 4．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是边AB上一点，∠BAD＋∠BCF＝∠B，AD＝CF，BE＝3，则AF的长为_________． ( A C 第4题 B F E D ) ( A B 第5题 F C D E )5．如图，在△ABC中，∠B＝45°，点D是AB的中点，AE⊥CD于点E，交BC于点F，AF＝CD，求证：CF＝2BF． ( A D E B C F G 第6题 ) ( A B C 第7题 E D F ) 6．如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，过点A作AF⊥DC交DC的延长线于点F，交BE于点G，且AB＝AF，求证：DE＝CF＋AG． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，BC上，∠ADB＝∠AEB＝60°，AE与BD交于点F，若AF＝a，CE＝b，求BE的长（用含a，b的式子表示）． 8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC下方一点，∠BDC＝90°，AE⊥BD于点E，AF⊥CE交BD于点F，若CD＝2，BD＝8，求AF的长． ( A B C D E F 第8题 ) 9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADB＝90°，点E是AB上一点，CE交BD于点F，AE＝DF，BC＝BD＝BE，若四边形ABCD的面积为63，求BF的长． ( B C 第9题 F A D E ) 10．如图，将正方形ABCD折叠，使点B落在边AD上点E处，点C落在点G处，折痕为MN，EG交CD于点F． ( A D B C 第10题 E N M G F )（1）求证：AE＋CF＝EF； （2）若AE＝2，DE＝4，求FN的长． 11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在AB的延长线上，点E在边AC上，且AE＝BD，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，过点D作DG∥BC交AF的延长线于点G，交AC的延长线于点H． ( D H 第11题 A E B C G F )（1）求证：AG＝BE； （2）若DG＝kGH，求 的值（用含k的式子表示）． 12．如图，将边长为12的正方形ABCD折叠，使点A落在边CD上点E处，折痕为MN． （1）若MN＝13，求BN的长； ( A D M B C N F E 第12题 )（2）求四边形ABNM的面积的最小值． 3.8 构造等腰直角三角形和平行四边形 ( A C F E B G D )已知条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，且AC＝BE，AD＝CE，连接AE，BD相交于点F 辅助线作法：过点B作BG⊥BC，且BG＝CE，连接AG，EG 结论：△AEG是等腰直角三角形，四边形ADBG是平行四边形，∠BFE＝45° 典例透析 ( G B E 例1 C A F D )例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，DB⊥BC，点E是边BC上一点，且CE＝BD＝1，连接AE，DE，DE交AB于点F，∠AFE＝45°，求BE的长． ( B E 例1 C A F D ) 怎样解 作辅助线的依据：∠C＝90°，DB⊥BC，CE＝BD，∠AFE＝45° 辅助线作法：过点E作EG⊥DE交CA的延长线于点G，连接DG 结论：△DEG是等腰直角三角形，四边形AGDB是平行四边形 思路点拨：先导角证△BDE≌△CEG，则△DEG是等腰直角三角形，再证四边形AGDB是平行四边形，可得DG，DE的长，在Rt△DBE中利用勾股定理求出BE的长． ( B E 例1 C A F D ) 我能解 解： ( A B E 例2 C D ) ( A F B E 例2 C D )例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，点E在BC的延长线上，且AD＝CE，∠ABC＋∠DEC＝135°，DE＝3，求AB的长． 怎样解 作辅助线的依据：∠ACB＝90°，AD＝CE，∠ABC＋∠DEC＝135° 辅助线作法：过点A作AF⊥AC，过点D作DF⊥DE交AF于点F，连接EF 结论：△AFD≌△CDE，四边形ABEF是平行四边形 思路点拨：由三角形全等可得DF＝DE，△DEF是等腰直角三角形，∠DEF＝45°，由∠ABC＋∠DEC＝135°，可得∠ABC＋∠CEF＝180°，四边形ABEF是平行四边形，则AB＝EF＝． ( A B E 例2 C D ) 我能解 解： ( P A G B D 例3 C E F H ) ( A B D 例3 C E F )例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为BC的中点，点E为边AC上一点，连接AD与BE交于点F，∠BFD＝45°，求AE的长． 怎样解 作辅助线的依据：∠C＝90°，∠BFD＝45° 辅助线作法：过点D作DG⊥AD且DG＝AD，连接AG，过点G作GH⊥BC交CB的延长线于点H，过点B作BP⊥BC交AG于点P 结论：△ADG是等腰直角三角形，四边形APBE是平行四边形 ( A B D 例3 C E F )思路点拨：先证△ADC≌△DGH，再证四边形APBE是平行四边形，设PB＝AE＝x，将梯形GHCA的面积分为梯形GHBP的面积和梯形PBCA的面积两部分，列方程解出x的值即可． 我能解 解： 针对训练 1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，角平分线BD与CE相交于点O，且CD＝AB，求证：BE＝AD． ( A B C 第1题 D O E ) 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是△ABC内一点，∠ADC＝90°，点F在DC的延长线上，且CF＝AD，过点F作EF∥BC，交AD的延长线于点E，求证：AE＝CD，BC＝EF． ( A 第2题 E F B C D ) 3．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，点E是边BC上一点，连接AE交BD于点F，若∠AEC＝45°，BF＝2，DF＝AC＝3，求BC的长． ( A F B C 第3题 E D ) ( B G 第4题 C A D E F O )4．如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，点E在边CD上，点G在BC的延长线上，连接AF与DG交于点O，求证：∠AOD＝45°． 5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别是边AB，AC上的点，且BD＝AE，连接BE与CD交于点O，∠BOD＝45°，求证：AB＝CE，CD＝BE． ( A O E D 第5题 B C ) 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为边AC上一点，AD＝2，点E为边BC上一点，连接AE与BD交于点F，∠AFD＝45°，求CE的长． ( B C 第6题 E F D A ) 7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别为边AB，AC上的点，连接BE，CD交于点F，若∠BFD＝30°，BD＝3，CE＝4，CD＝10，求BE的长． ( A B C 第7题 E D F ) 8．如图，在△ABC中，∠B＝30°，点D，E分别为边AB，BC上的点，且AE⊥CD，AE＝CD，若CE＝2，AD＝4，求四边形ADEC的面积． ( 第8题 B C E A D ) 9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D为BC的中点，点E，F分别为边AB，AC上的点，且BF＝DE，BF与DE相交于点G，∠FGD＝45°，若BE＝1，DE＝，求AC的长． ( A F E G B C 第9题 D ) 10．如图，在菱形ABCD中，点E在边AB上，点F在BC的延长线上，且AE＝CF，连接DF，EF，若 ∠AEF＋∠BFE＝90°，△CDF的面积为2，求EF的长． ( A D 第10题 B F E C ) 11．【基础巩固】（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的点，AE＝CD，DE＝CF，求证：AF＝CE． 【尝试应用】（2）如图2，AB＝CD，AB与CD交于点O，∠BOD＝60°，直线AC与直线BD的夹角为30°，AC＝1，BD＝，求AB的长． 【拓展提高】（3）如图3，在△ABC中，∠A＝45°，点D，E分别是边AC，AB上的点，BD与CE交于点O，BD＝CE，∠BOC＝120°，BE＝4，CD＝3，求BD的长． ( B C 图1 第11题 A D E F A C D 图2 B B C 图3 O O A E D ) 培优必练 ( A B 第1题 C E D )1．如图，在△ABC中，点D，E分别为边BC，AC上的点，DC＝AC，∠B＝∠AED＝45°，若CE＝1，BD＝2，则DE的长为_________． 2．如图，正方形ABCD的边长为12，对角线AC与BD相交于点O，点E是边BC上一点，过点O作OF⊥OE交AD的延长线于点F，若△OEF的面积为39，则EF的长为_________． ( A D F O B 第2题 C E ) ( A B 第3题 F C E D )3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点F是BC的中点，点E是△ABC内一点，连接AE，BE，EF，EF＝DF，∠EFD＝2∠C，求证：AE⊥BE． ( A F E C B D 第4题 )4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为AC延长线上一点，连接DB，将DB绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接CE，过点A作AF∥BC交CE于点F，求证：EF＝CF． 5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，点E在边AC上，DF⊥BE交AB于点F，DG⊥DE交AB于点G，求证：AF＝FG． ( B 第5题 D C A E F G ) ( A F C B D E 第6题 )6．如图，△ABC为等边三角形，点D为边AC上一点，点E为BD的中点，过点E作EF⊥AE，交BC的延长线于点F，求证：AD＝CF． 7．如图，在△ABC和△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝∠DEF＝60°，点E为BC的中点，连接AD并延长到点G，使AD＝DG，连接CF，CG，FG，求证：△CFG是等边三角形． ( A B G C D E F 第7题 ) ( A C B 第8题 E F M N )8．如图，△ABC和△AEF都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AFE＝90°，点M，N分别为BF和CE的中点，求证：MN＝且MN⊥CF． ( A D E C B 第9题 F G HE )9．如图，在正方形ABCD中，点E为AD的中点，AF⊥BE于点F，DG⊥CF于点G，交BE于点H，求 的值． 10．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD＝60°，求证：BD＋CD＝AB． ( A B C 第10题 D ) 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC延长线上一点，∠ADB＝60°，点E是线段AD上一点，DE＝CD，连接BE，点F是线段AE上一点，BF＝BE，求证：AF＝2DE． ( A B C 第11题 D F E ) 12．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E为边BC上一点，∠AEB＝60°，求证：BE＝2CE． ( A B C D E 第12题 ) 13．如图，在△ABC中，AC＝BC，AD⊥BC于点D，点E在AC上，∠AEB＝60°，BD＝3，CE＝6，求DC的长． ( A C B 第13题 D E ) 14．如图，点D为等边△ABC外一点，∠ADC＝30°，点E为BD的中点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F． ( A C B E F 第14题 )（1）求∠AFC的度数； （2）求证：AE⊥CF． 15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AB延长线上一点，点F是DE的中点，连接AF，BF，AF交BC于点G，若∠AFB＝90°，求证：AG＝2BF＋BG． ( A B C D E F G 第15题 ) 16．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD与CE交于点F，连接AF，探究AF，BF，CF的数量关系，并证明． ( A B C 第16题 E F D ) 17．如图，点D为等边△ABC外一点，∠ADC＝90°，过点B作BE⊥CD于点E，求证：AD＋BE＝DE． ( A D E B C 第17题 ) 18．如图，在等边△ABC中，点D，E分别为边BC，AC上的点，且BD＝CE，连接AD与BE交于点F，点G为线段EF上一点，AG＝AE，求证：DF＋FG＝BF． ( A B C 第18题 D F G E ) 19．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，AD为BC边上的中线，点E为线段AD上一点，∠EBD＝30°，点F为线段DE上一点，点G为BE延长线上一点，且GF＝GC，设四边形CFEG的面积为S，求S关于a的函数关系式． ( C B 第19题 D A E F G ) 20．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点D，E分别为边BC，AC上的点，CD＝CA，∠ADE＝30°，若AE＝2，BD＝8，求CE的长． ( A C B 第20题 D E ) 21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边上一点，以CD为底作等腰△CDE，∠DCE＝∠A，点F为BC的中点，求证：EF⊥BC． ( C B A 第21题 D E F ) 22．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，且∠EAF＝45°，求证：AE⊥EF． ( A D C B 第22题 F E ) 23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AB的延长线上，点F为AC的中点，EF⊥AC，∠DCE＝45°，连接DE，求证：ED＝EC，ED⊥EC． ( A E B D F C 第23题 ) 24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AB的延长线上，点F为AC的中点，EF⊥AC，∠EDC＝45°，连接DE，求证：ED＝EC，ED⊥EC． ( A E B D F C 第24题 ) 25．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，点F是∠BCD的外角平分线上一点． ( C B 第25题 D A E F P )（1）若AE⊥EF，求证：AE＝EF； （2）若AE＝EF，求证：AE⊥EF． 26．如图，在正方形ABCD中，点E为边AB上一动点，点F为BC延长线上一点，CF＝BC，连接CE，DF，点M为线段CE的中点，点N在线段DF上（不与点D重合)，且AM＝MN． 求证：（1）AM⊥MN；（2）AE＝DN． ( M A D F B 第26题 C N E ) 27．如图，在等边△ABC中，点D为BC边上一点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接CE并延长交AD的延长线于点F． （1）求∠F的度数； ( A C B D E F G H 第27题 )（2）过点D作DG∥AC交AB于点G，连接EG交AD于点H，求证：GH＝DF． 28．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别为边AB，AC上的点，连接BE，DE，CD，BE与CD交于点F． ( C B 第28题 E A D F )（1）若BD＝DE＝CE，求∠BFD的度数； （2）若BD＝CE，∠BFD＝45°，求证：DE＝CE． 29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，点E为AD上一点，连接BE，CE． ( A B C 第29题 D E )（1）若∠CED＝90°，求证：∠BED＝45°，AE＝4DE； （2）若∠BED＝45°，求证：∠CED＝90°，AE＝4DE． 30．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别在边AD，BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B′ 处． ( A ′ B ′ A D E C B 第30题 F )（1）若四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3∶5，求FC的长； （2）设B′D＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式． 31．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，角平分线AD与BE交于点F． （1）求∠AFB的度数． ( C A 第31题 N B F D M E )（2）点M为DE的中点，连接MF并延长交AB于点N，求证：MN⊥AB． 32．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为△ABC内部一点，AD＝AC，连接DC，将DC绕点D逆时针旋转90°得到DE，连接CE交AD于点F，连接AE，BD． （1）求证：△ADE≌△BCD； （2）如图2，当点E落在AB上时，求AE∶BE的值； （3）如图3，若F为AD的中点，BD＝2，求AD的长． ( C A 图1 B 第32题 D E F C A 图2 B E D F C A 图3 B E F D ) 33．已知点D是等边△ABC内一点，连接AD，BD，CD，以AD，BD为邻边作□ADBE，以AD，CD为邻边作□ADCF． （1）如图1，点G为AB的中点，点H为AC与DF的交点，DG∥AC，若DB 2＋DF 2＝40，求DB＋DF的值； （2）如图2，若∠ADB＝90°，∠BDC＝150°，求证：□ADBE的面积是□ADCF的面积的两倍． ( A B C 第33题 图1 D E F G H B C 图2 D A E F ) 34．如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，连接BE，CE，CE＝BC，∠ECD的平分线与BE的延长线相交于点F，过点F作FG⊥FC交BA的延长线于点G． ( B C 第34题 A D F G E )（1）求∠BFC的度数； （2）求证：BG＝BC； （3）连接GE，当△GEF是等腰直角三角形时，求 的值． 几何辅助线 第3章 全等 35 学科网（北京）股份有限公司 第4章 直角三角形和等腰三角形 4.1 倍长一直角边构造等腰三角形 ( A B C D )已知条件：如图，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90° 辅助线作法：延长BC到D，使CD＝BC，连接AD 结论：AB＝AD，∠B＝∠D 典例透析 例1 如图，在矩形ABCD中，点E为CD的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠BAF＝α，求∠EFC． ( A D B C 例1 F E ) ( A D G B C 例1 F E ) 怎样解 作辅助线的依据：点E为CD的中点，EF⊥AE 辅助线作法：延长AD，FE交于点G 结论：△DEG≌△CEF，AF＝AG 思路点拨：先证△DEG≌△CEF，得AF＝AG，等角可得∠EFC＝∠AFE． ( A D B C 例1 F E ) 我能解 解： 例2．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠AED＝90°，点D在边BC上，连接EC，求证：ED＝EC． ( A B C D E 例2 ) ( A B C D F E 例2 ) 怎样解 作辅助线的依据：∠BAC＝∠AED＝90°，AB＝AC，AE＝DE 辅助线作法：延长DE到F，使EF＝DE，连接AF，FC 结论：△ABD≌△ACF，∠DCF＝90° 思路点拨：先证△ABD≌△ACF，得∠DCF＝90°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证结论． ( A B C D E 例2 ) 我能解 解： ( F B C 例3 A D E )例3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为边AC上一点，点E为线段BD上一点，∠ABD＝∠BCE，DE＝DC，AD＝3，求BE的长． ( B C 例3 A D E ) 怎样解 作辅助线的依据：∠BAC＝90°，∠ABD＝∠BCE，DE＝DC 辅助线作法：延长CA到F，使AF＝AD，连接BF 结论：BD＝BF＝CF 思路点拨：导角证BD＝BF＝CF，则BE＝2AD． ( B C 例3 A D E ) 我能解 解： 针对训练 1．如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，点M为AB的中点，连接DE，DM，EM，若∠DME＝90°，BE＝2，AD＝5，求DE的长． ( A D B C 第1题 E M ) 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为边AC上一点，连接BD，DE，∠BDA＝∠EDC，CD＝DE＝4，BD＝10，求AD的长． ( A D B C E 第2题 ) 3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为AB的中点，点E，F分别为BC，AC上的点，且DE⊥DF，若BE＝9，EF＝5，求AF的长． ( A F B C E D 第3题 ) 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点E为边AC上一点，AE＝5，BC＝8，将△BCE沿BE翻折得到△BFE，当EF∥CD时，求CE的长． ( A F D E B C 第4题 ) 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AC，AB上的点，且BD＝CE，若CD＝1，BE＝3，BC＝5，求AB的长． ( A B C 第5题 E D ) ( A B C D )4.2 双勾股定理 已知条件：如图，在△ABC中 辅助线作法：过点A作AD⊥BC于点D 结论：AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2 典例透析 例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC延长线一点，求证：AD 2＝AB 2＋CD·BD． ( A B D C 例1 H ) ( A B D C 例1 ) 怎样解 作辅助线的依据：AB＝AC 辅助线作法：过点A作AH⊥BC于点H 结论：AD 2＝AB 2＋CD·BD ( A B D C 例1 )思路点拨：由AB＝AC可得BH＝CH，利用AD 2＝AH 2＋DH 2，AH 2＝AB 2－BH 2，DH＝CD＋CH证得结论． 我能解 解： 例2 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是△ABC外一点，AD＝，BD＝3，CD＝7，求BC的长． ( D A 例2 C B ) ( D A E F 例2 C B ) 怎样解 作辅助线的依据：∠BAC＝90°，AB＝AC 辅助线作法：将△ACD绕点A顺时针旋转90°到△ABE，BE交CD于点F，连接DE 结论：∠BFC＝90°，BD 2－BF 2＝DE 2－EF 2 思路点拨：由旋转的性质导角可得∠BFC＝90°，则BD 2－BF 2＝DE 2－EF 2，求出BF，可得DF，CF，在Rt△BFC中，根据勾股定理求出BC的长． ( D A 例2 C B )我能解 解： 例3 如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，点D在△ABC外，BD＝4，CD＝2，AD＝2，求AB的长． ( A E H D 例3 C B ) ( A D 例3 C B ) 怎样解 作辅助线的依据：AB＝BC，∠ABC＝90° 辅助线作法：将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAE，连接DE，过点A作AH⊥DE于点H 结论：AD 2－DH 2＝AE 2－EH 2，∠AEB＝90° ( A D 例2 C B )思路点拨：利用AD 2－DH 2＝AE 2－EH 2，求出EH，可得AH＝EH，则∠AED＝45°，∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AB的长． 我能解 解： 针对训练 ( A C B 第1题 D )1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB上一点，∠ADC＝45°，CD＝3，BC＝5，则AC的长为_________． 2．如图，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，过点C作CD⊥BC，延长CB到E，使BE＝ CD，连接AE，ED，若ED＝2AE，则BE＝_________． ( A C B D 第2题 E ) 3．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，求证：∠B＝2∠C． ( A C B 第3题 ) 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝7，BC＝9，点E，F分别在边AD，BC上，且CF＝2，将四边形CDEF沿EF折叠得到四边形C'D'EF，且D' 在边AB上，求AE的长． ( A D E 第4题 C ′ D ′ B C F ) 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是△ABC内一点，AD＝，BD＝3，CD＝7，求BC的长． ( A D B C 第5题 ) 6．如图，将边长为3的正方形ABCD折叠，使点B落在边AD上点E处，点C落在点F处，折痕为MN，EF与CD交于点G，若DG＝1，求DE的长． ( A D E C B 第6题 F G M N ) 7．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝7，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，点F是AB的中点，连接DF，EF，若∠DFE＝90°，求AE的长． ( A D B C E 第7题 F ) ( A D E F 第8题 B C )8．如图，在矩形ABCD中， ＝ ，点E是边AD上一点，连接BE，BF平分∠EBC交CD于点F，连接EF，∠BFE＝45°，求 的值． 9．如图1，Rt△ABC≌Rt△CEF，点B在线段CE上，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠A＝30°，BC＝2．如图2，固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长． ( A F E C B F A C B O E 第9题 图1 图2 ) 10．【探究发现】（1）如图1，四边形ABCD为平行四边形，求证：AC 2＋BD 2＝2AB 2＋2BC 2． 【拓展提升】（2）如图2，BO为△ABC的一条中线，AB＝a，BC＝b，AC＝c，求证：BO 2＝ － ． ( A D C B A C B O 第10题 图2 图1 ) 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边上一点，∠ACD＝45°，过点A作AE∥CD，连接BE交CD的延长线于点F，且AE＝EF． ( E A F 第11题 C B D )（1）若BF＝2，CF＝6，求AE的长； （2）若BF＝2，AE＝5，求CF的长． 培优必练 1．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BD，CD＝AD，求点D到AB和BC的距离之比． ( A D C B 第1题 ) 2．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝8，以BC为边向外作等边△BCD，取BC的中点E，连接AD，AE，DE，求△ADE的面积． ( E D C A 第2题 B ) 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为AB的中点，点E，F分别在边BC，AC上，∠EDF＝90°，若BE＝1，EF＝，求AF的长． ( A D E B C 第4题 G F ) ( A B C D 第5题 ) ( A B C E 第3题 F D ) 4．如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，点F，G分别在边CD，BC上，且BF⊥EG，∠EGB＝∠FGC，若AB＝4，EF＝，求BF的长． 5．如图，在△ABC中，AD是中线，∠ADB＝2∠B，AD＝2，AC＝4，求AB的长． 6．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，BC上的点，∠ADE＝∠CDF，点G为EF的中点，若DG＝5，EF＝6，求AG的长． ( A D B C 第6题 E G F ) ( D A B C 第7题 E )7．如图，在菱形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AC，AE，DE，且AE＝AC，若∠AED＝45°，求 的值． 8．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AE⊥AB交BD于点E，交BC于点F，若BE＝AC，∠BDC＝∠AFC，BC＝5，求AC的长． ( B C F 第8题 A E D ) 9．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝a，AD＝AE＝b（b＜a），连接BD，CE，点F，G分别是BD，CE的中点，连接AF，AG，FG． ( E A D B C 第9题 F G )（1）求证：AF⊥CE； （2）求△AFG的面积（用含a，b的式子表示）； （3）直接写出线段FG长度的最大值（用含a，b的式子表示）． 10．如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，点F，G分别是AE，BC的中点，延长DE，FG交于点H． ( A D B C H F G E 第10题 )（1）求证：GH＝EH； （2）连接DF，若DF＝FH，AD＝8，求EH·FH的值． 几何辅助线 第4章 直角三角形和等腰三角形 第5章 相似 5.1 构造A字型或8字型相似 已知条件：在△ABC中，点D在边AB上，点E在BC的延长线上，AC与DE交于点F 辅助线作法1：如图①，过点C作CG∥AB交DE于点G ( A B C E D F G 图 ① )结论：①△ECG∽△EBD；②△CGF∽△ADF ( A B C E D F G 图 ② )辅助线作法2：如图②，过点D作DG∥BC交AC于点G 结论：①△ADG∽△ABC；②△DGF∽△ECF ( A B C E D F G 图 ③ )辅助线作法3：如图③，过点D作DG∥AC交BC于点G 结论：①△BDG∽△BAC；②△EFC∽△EDG ( A B C E D F G 图 ④ )辅助线作法4：如图④，过点C作CG∥DE交AB于点G 结论：①△ADF∽△AGC；②△BGC∽△BDE 典例透析 例1 如图，在正方形ABCD中，AB＝3，延长BC至点E，使CE＝2，连接AE，CF平分∠DCE交AE于F，连接DF，则DF的长为_________． ( A B C 例1 E D F ) ( A B C 例1 E D G F H ) 怎样解 作辅助线的依据：四边形ABCD是正方形，CF平分∠DCE 辅助线作法：过点F作FG⊥BE于点G，FH⊥CD于点H 结论：四边形CGFH是正方形，△EFG∽△EAB 思路点拨：设CG＝x，表示出FG，EG，根据△EFG∽△EAB出比例式，求出x的值，在Rt△DHF中根据勾股定理求出DF的长． ( A B C 例1 E D F ) 我能解 解： ( A B C 例2 D E F ) ( A B C 例2 D E F H G )例2．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，点D为边BC上一点，BD＝2DC，连接AD，以AD为边向左作等边△ADE，DE交AB于点F，则 的值为_________． 怎样解 作辅助线的依据：△ABC为等腰直角三角形，BD＝2DC，△ADE为等边三角形 辅助线作法：过点D作DG⊥AB于点G，过点F作FH⊥AD于点H 结论：AG＝2DG，△AFH∽△ADG ( A B C 例2 D E F )思路点拨：设CD＝a，表示出BD，BC，AB，BG，DG，AG，根据△AFH∽△ADG，可得AH＝2FH，设DH＝x，表示出DF，EF，即可求出 的值． 我能解 解： ( H B C 例3 E D G A F )例3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D，E分别为边AB，BC上的点，连接AE，DE，CD，AE与CD交于点F，若∠ADC＝∠BDE， ＝ ，求 及 的值． ( B C 例3 E D A F ) 怎样解 作辅助线的依据：∠BAC＝90°，∠ADC＝∠BDE 辅助线作法：延长BA到G，使AG＝AD，连接CG并延长交EA的延长线于点H 结论：△ADE≌△AGH，△BDE∽△BGC，△DEF∽△CHF ( B C 例3 E D A F )思路点拨：导角可得DE∥HC，则△ADE≌△AGH，△BDE∽△BGC，△DEF∽△CHF，导比例即可求出 及 的值． 我能解 解： 例4．如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，BD＝2DC，点E是AB边上一点，将△BDE沿DE翻折，点B的对应点F恰好落在AC边上，若AF∶FC＝3∶2，求AE∶EB的值． ( A G H B C 例4 D E F ) ( A B C 例4 D E F ) 怎样解 作辅助线的依据：BD＝2DC，AF∶FC＝3∶2 辅助线作法：过点A作GH∥BC，分别交DE，DF的延长线于点G，H 结论：△AFH∽△CFD，△AEG∽△BED 思路点拨：根据△AFH∽△CFD，列出比例式，设AH＝3a，表示出CD，FD，BD，FH，DH，导角可得GH＝DH，得到AG，根据△AEG∽△BED即可求出AE∶EB的值． ( A B C 例4 D E F ) 我能解 解： 针对训练 ( A C ′ B 第1题 C D B ′ )1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB'C'，连接B'B交AC于点D，则 的值为_________． ( A B C 第2题 D E )2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD，连接BD交AC于点E，则 ＝_________． ( A D C B 第3题 E F G H )3．如图，在正方形ABCD中，点E为CD边上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，连接BD交AE于点G，FH平分∠BFG交BD于点H，求证：BH＝DH． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D为AB的中点，点E为边AC上一点，AE＝8，连接DE并延长交BC的延长线于点F，则CF的长为_________． ( A B F 第4题 C D E ) 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边上一点，∠BAD＝45°，AC＝3，BD＝5，则DC的长是________． ( A B D 第5题 C ) 6．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，过D的直线交AC于点E，交AB的延长线于点F，若AB＝mAF，AC＝nAE，求m＋n的值． ( A B C E D F 第6题 ) ( A D B E 第7题 C G F )7．如图，在□ABCD中，点E是BC延长线上一点，BC＝2CE，连接AE交CD于点F，连接BF并延长交DE于点G，求 及 的值． ( A D F O B C 第8题 E )8．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC上的点，连接AE与CD交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若 ＝ ， ＝ ，求 的值． 9．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的点，AB＝2BE，AD＝3DF，连接AE，AF，EF，AE，AF分别与BD交于点G，H，且GH∥EF，则 ＝_________， ＝_________． ( A D B C 第9题 E F G H ) 10．如图，正方形ABCD的边长为1，点E为边CD上一动点，连接AC与BE交于点P，过点P作PF⊥BE交BC于点F，设CE＝x，CF＝y，求y关于x的函数关系式． ( A D 第10题 B C E P F ) ( A B C 第11题 D E F GF )11．如图，在△ABC中，点E是中线AD上的一点，连接BE并延长交AC于点F，连接CE并延长交AB于点G，若 ＝ ，求 的值． ( A B C 第12题 F E D )12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D，F分别为边AB，BC上的点，连接AF，CD，DF，AF与CD交于点E，若∠ADC＝∠BDF， ＝ ，求 的值． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G，若 ＝ ，则tanA＝_________． ( A B 第13题 D C G F E ) ( A F C 第14题 B D E )14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC上一点，点F是CB延长线上一点，连接DF交AB于点E，若∠F＝∠A，tan∠AED＝ ， ＝ ，求 的值． 15．如图，在等边△ABC中，点D，E分别为AB，BC延长线上的点，且AD＝CE，∠AEB＝∠DEB，求证：DE＝AE． ( A B C E D F 第15题 ) ( A F C 第16题 B E D )16．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，点E是BD延长线上一点，AE，BC的延长线交于点F，求 ＋ 的值． ( G H B F 第17题 C D A E )17．如图，在矩形ABCD中，点E是AB的中点，连接CE，点F是CE上一点，EF＝BE，连接BF并延长交AD于点G，交CD的延长线于点H，若 ＝ ，求 的值． ( A D F C B 第18题 E GE )18．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且AF＝BE，连接BF与DE交于点G，若 ＝ ，EG＝1，求DG的长． ( A D E F C B 第19题 )19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，F分别为边AB，AC上的点，且AD＝CF，连接BF，CD交于点E，若 ＝ ，求 的值． ( A C B 第20题 E D F )20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别为边AB，AC上的点，且AD＝CE，连接BE与CD交于点F，若 ＝ ，求 的值． 21．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的点，连接BE，BF并延长BF交AD的延长线于点G，且AE＝EG，DE＝DF，求sin∠EBF的值． ( A F E G D C B 第21题 ) 22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别是AB，AC的中点，点P是线段DE上一动点，连接CP并延长交AB于点F，连接BP并延长交AC于点G，求 ＋ 的值． ( C B 第22题 A DE EE PE FE GE ) ( A D B E C F 第23题 )23．如图，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEC＝90°，点D在边AC上，连接BD并延长交AE于点F，若 ＝ ，求 及 的值． ( C B 第24题 A O D E )24．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，BC上的点，连接AE与CD相交于点O，连接DE，求证： ＝ ． 25．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是CD，BC延长线上的点，且∠EAF＝45°，AE与BD的延长线交于点G，AF与BD交于点H，连接EF，GF． ( A DE EE GE H C B 第25题 F )（1）求证：△AGF是等腰直角三角形； （2）求 的值． 26．如图，点E为矩形ABCD内一点，点F为线段DE上一点，∠AED＝∠BFC＝90°，DF＝DC，． （1）设∠ADE＝α，用含α的代数式表示∠BFE； ( A DE C B 第26题 EE F )（2）若DF＝3EF，求 的值． 27．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC延长线上一点，连接AD，点E是线段AD上一点，∠ACE＝∠BAD． ( A B C 第27题 D E )（1）求证：CE＝DE； （2）若∠BAD＝60°，BC＝8，CD＝6，求AE的长． 28．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上一点，点E在BC的延长线上，∠ADE＝45°． 【问题提出】（1）如图1，若 ＝ ， ＝ ，求 的值； 【问题拓展】（2）如图2，若 ＝m， ＝n，求 的值（用含m，n的代数式表示）． ( B C 图1 E D A 第28题 B C 图2 E D A ) 29．如图，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC＞AP，延长AP到点B，使AB＝AC，过点P作PD⊥PC，过点B作BD⊥AB，PD与BD交于点D，将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，延长PM交BD的延长线于点E，连接CE并延长交PD的延长线于点F，连接BF． ( A B 第29题 M C D P F E )（1）确定△PCF的形状，并说明理由； （2）若PB＝2AP，BF＝2，求AB，PE的长． 5.2 构造共顶点旋转相似（手拉手） ( A B C D E )已知条件：如图，△ABC和△ADE共顶点A，△ABC∽△ADE 辅助线作法：连接BD，CE 结论：△ABD∽△ACE 典例透析 例1 如图，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠DEC＝30°，判断BE与AD的数量关系和位置关系，并说明理由． ( A B C 例1 E D ) ( A B C 例1 E D F ) 怎样解 作辅助线的依据：∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠DEC＝30° 辅助线作法：延长BE交AD于点F 结论：△BCE∽△ACD 思路点拨：由∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠DEC＝30°，可得∠BCE＝∠ACD， ＝ ＝ ，则△BCE∽△ACD，得BE＝AD，∠CBE＝∠CAD，由8字导角可得∠AFB＝90°，即BE⊥AD． ( A B C 例1 E D ) 我能解 解： ( A E D B C 例2 )例2 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，点D为△ABC外一点，∠ADC＝60°，若AD＝3，CD＝4，求BD的长． ( A D B C 例2 ) 怎样解 作辅助线的依据：∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，∠ADC＝60° 辅助线作法：过点A作AE⊥AD，连接CE，DE，使∠ADE＝30° 结论：△ADE∽△ABC，△ACE∽△ABD 思路点拨：由△ADE∽△ABC可得△ACE∽△ABD，求出DE，导角可知∠EDC＝90°，在Rt△CDE中，根据勾股定理求出CE，可得BD的长． ( A D B C 例2 ) 我能解 解： 针对训练 ( A B C 第1题 D E F )1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，将△ABC折叠，使点A落在BC上点D处，折痕为EF，求证： ＝ ． 2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E为边BC上一点，点F为CD延长线上一点，∠EAF＝120°，BE＝2，DF＝3，则AB的长为_________． ( A D B C 第2题 F E ) ( B C 第3题 A F E D )3．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°， ＝ ＝ ，点D在边BC上，且CD＝2BD，DE交AC于点F，则 的值为_________． 4．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ABC＝∠ADB＝30°，则tan∠ACD的值为_________． ( B C 第4题 A D ) 5．如图，在△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝60°，点E在BC边上，AB与DE相交于点F，若EF＝2BF，AE＝2，则CE的长为_________． ( A B 第5题 C D E F ) 6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠ADC＝150°，BD平分∠ABC，设BD＝x，△ABC的面积为S，求S关于x的函数关系式． ( A B 第6题 C D ) 7．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，BD＝10，CD＝6，则AD的长为_________． ( A D B C 第7题 ) ( A B C D 第8题 )8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC下方一点，∠BDC＝∠ACB＝60°，若BD＝6，CD＝10，则AD的长为_________． 9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为△ABC内一点，连接AD，BD，CD，以CD为斜边向上作等腰Rt△CDE，连接AE，若∠DAE＝90°，AD＝，BD＝3，则BC的长为_________． ( A E D B C 第9题 ) 10．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点E是CD边上一点，∠BAE的平分线交BC于点F，若BF＝DE＝3，则AE＝_________． ( A D B C 第10题 E F ) 11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D为AC边上一点，点E为射线BD上一点，∠BEC＋∠ABC＝180°，若△ABE的面积为20，则BE的长为_________． ( A B C 第11题 D E ) 12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DB＝DC，点E在线段CD上，∠AEB＝∠DBC，若cosC＝ ，DB＝4DE，AD·BC＝15，求AD的长． ( A D E B C 第12题 ) ( A B C D F E 第13题 )13．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC的中点，点E是AB延长线上一点，点F是DE的中点，若∠AFB＝90°，AB＝4，求BE的长． ( B C 第14题 A D F E )14．如图，在□ABCD中，点E为对角线BD上的一点，点F为BC边上一点，∠AEF＝∠BAD，求证： ＝ ． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别为边BC，CD上的点，且BE＝2，∠EAF＝45°，求DF的长． ( B C 第15题 A D E F ) 16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2AC，点D为△ABC外一点，∠BDC＝∠ACB，若AD＝2，CD＝3，求BD的长． ( B 第16题 C D A ) 17．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，连接AE，BE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接DF，过点A作AH⊥BE于点H，交DF于点G，若 ＝ ，求 的值． ( A D F C 第17题 B H E G ) ( B C 第18题 A D E F G )18．如图，在菱形ABCD中，∠B＝120°，点E是BC边上一点，连接AE，将AE绕点E顺时针旋转120°得到EF，连接AF交DC于点G，若 ＝ ，求 的值． 19．【基础巩固】（1）如图1，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，∠ABC＝30°，探究线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明； ( B C 图1 第19题 B C 图2 A A D D )【拓展提高】（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝3，CD＝，求AD的长． 20．如图，在正方形ABCD中，点E，F是对角线BD上的点，∠EAF＝45°，AF的延长线交CD于点G，连接EG． （1）求证：CG＝BE； （2）记△AEG的面积为S1，△ADG的面积为S2，设S＝S1－S2，BE＝x，求S关于x的函数关系式． ( A D B C 第20题 E F G ) 21．在△ABC中，点D为边AC上一点，∠DBC＝∠BAC，点E，G分别是边BC，DC上一点，连接AE交BD于点F，连接EG，且∠BDC＋∠AEG＝180°． 【问题提出】（1）如图1，若∠ABC＝90°，tanC＝ ，BC＝2BE，求 的值． 【问题拓展】（2）如图2，若 ＝ ， ＝ ，求 的值． ( B C 图1 A 第21题 E D F G B C 图2 E G D F A ) ( 1 2 3 A B D P C D 2 A 1 3 C B P 图 ① 图 ② )5.3 构造一线三等角相似 已知条件：如图①，点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3 结论：△CAP∽△PBD 已知条件：如图②，点P在AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3 结论：△APC∽△BDP 典例透析 例1 如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝7，点P为边AD上一点，∠BPC＝120°，求AP的长． ( A D B C 例1 E P F ) ( A D B C 例1 P ) 怎样解 作辅助线的依据：∠BPC＝120° 辅助线作法：在AD上取点E，F，使AE＝DF＝1，连接BE，CF 结论：△BEP∽△PFC 思路点拨：设AP＝x，表示出EP，PF，根据△BEP∽△PFC列出比例式，建立方程，解方程求出x的值，即为AP的长． ( A D B C 例1 P ) 我能解 解： ( A C B D 例2 E ) ( A C B D 例2 F G E )例2 如图，在等边△ABC中，点D是边BC上一点，点E是线段AD上一点，若BD＝kDC，∠BEC＝120°，求 的值（用含k的式子表示）． 怎样解 作辅助线的依据：等边△ABC，∠BEC＝120° 辅助线作法：过点E作FG∥BC交AB于点F，交AC于点G 结论：△AFE∽△ABD，△AEG∽△ADC，△BEF∽△ECG 思路点拨：设EG＝1，BF＝CG＝x，则EF＝k，根据△BEF∽△ECG列出比例式，求出x的值，即可得到 的值． ( A C B D 例2 E )我能解 解： ( A B C 例3 F E ) ( A B C 例3 G H F E )例3 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点E，F分别为边AC，BC上的点，连接BE，EF，∠BEF＝120°，若 ＝ ，求 的值． 怎样解 作辅助线的依据：∠BAC＝∠BEF＝120°，AB＝AC 辅助线作法：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH∥AG交AC于点H 结论：△ABE∽△HEF， ( A B C 例3 F E )思路点拨：设AE＝x，FH＝2，表示出CH，CF，BF，BC，AC，AB，AH，EH，根据△ABE∽△HEF列出比例式，求出x的值，即可得到 的值． 我能解 解： 针对训练 1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形ABE，顶点E恰好落在CD边上，若AD＝1，则CE的长是（ ） ( A D B C E 第1题 )A． B． C．2 D．1 2．如图，在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，∠BEC＝120°，AE＝7，DE＝12，则AB的长为_________． ( B C 第2题 A D E ) ( B C 第3题 A D E F )3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别为边AD，CD上的点，∠BEF＝120°，若 ＝ ，则 的值为_________． ( A B C 第4题 D E F )4．如图，△ABC中，AB＝AC＝6，点D为BC的中点，点E，F分别为边AB，AC上的点，∠EDF＝∠B，若△DEF的面积为△ABC面积的 ，则EF的长为_________． ( A B C D E F G 第5题 )5．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，点D为BC的中点，点A在EF上，DE与AB交于点G，若AE∶AF＝3∶4，则 的值为_________． ( B C 第6题 A D E F )6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别为边AD，CD上的点，∠BEF＝90°，若 ＝ ，求证：点E是AD的中点． 7．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是边AC，BC上的点，BE＝DE，AF⊥BD交BC于点F，求证：CD＝EF． ( A B C 第7题 D E F ) 8．如图，△ABC为等边三角形，点D是BC的中点，点E，F分别是边AB，AC上的点，且∠EDF＝60°，若AE＋CF＝EF，求AE∶CF∶EF的值． ( A B C D E F 第8题 ) ( A B C 第9题 G F D E )9．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是BC延长线上一点，DG⊥AE于点G，交AC于点F，若 ＝ ，求 的值． ( A B F C E D 第10题 )10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边AB上一点，DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，若DE＝DF， ＝ ，求 的值． ( A E B D C 第11题 )11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanB＝ ，点D是AC的中点，点E是边AC上一点，∠ADE＝∠B，求 的值． 12．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E是对角线AC上的一点，EF⊥DE交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，当矩形DEFG的面积为 时，求 的值． ( A D B C 第12题 F E G ) 13．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BDA＝∠BDC＝30°，AD＝5，CD＝18，求BD的长． ( A D B C 第13题 ) 14．如图，在矩形ABCD中，点E是边AB上一点，将△BCE沿CE翻折得到△FCE，点B的对应点F恰好落在边AD上，点G是CD的中点，连接BG分别交CE，CF于点H，P，若BE＝BH，求 的值． ( B C 第14题 A D E F G P H ) 15．如图，在等边△ABC中，点D为AB的中点，点E为边AC上一点，点F在DE的延长线上，且 ( A B C D F E 第15题 )∠AFC＝60°，若 ＝ ，求 的值． ( A F E G B D 第16题 C )16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D是BC的中点，点E是边AB上一点，点F是CA延长线上一点，∠EDF＝∠B，DF交AB于点G，若 ＝ ，求EG的长． 17．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D为BC的中点，点E，F分别是边AB，AC上的动点，且∠EDF＝120°，设BE＝x，CF＝y，求y关于x的函数关系式． ( A B C 第17题 D F E ) 18．如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB，点P为边AD上一动点，连接BP，过点P作PQ⊥BP交DC于点Q，过点B作BM∥PQ，交DC的延长线于点M，连接BQ，当△BQM是等腰三角形时，求tan∠ABP的值（用含n的式子表示）． ( A B C 第18题 D P M Q ) 19．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠AED，连接BE，CD，过点A作AM⊥BE于点M，交CD于点N，探究CN与DN的数量关系，并证明． ( A E D B C N M 第19题 ) 20．如图，在矩形ABCD中，点E为边AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠得到△FDE． （1）如图1，若点F在边BC上， ＝ ，求 的值； （2）如图2，若AB＝8，AD＝12，点E是AB的中点，EF的延长线交BC于点G，求BG的长． ( B C 图1 第20题 F B C 图2 G E A D A D E F ) 21．【问题提出】（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是边BC上一点，CD＝3BD，点E是线段AD上一点，连接BE，CE，∠BEC＝135°，求 的值； 【问题拓展】（2）如图2，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E在边AD上，AE＝2DE，连接BE，点F在线段BE上，连接AF，CF，∠AFC＝120°，AF＝，求CF的长． ( 图1 A A D E B C 第21题 E D 图2 B C ) 5.4 构造十字架相似 已知条件（正十字架）：如图①，△ABC和△BDE都是直角三角形，∠ABC＝∠BDE＝90°，AC⊥BE 结论：△ABC∽△BDE 已知条件（斜十字架）：如图②，在△ABC和△BDE中，∠ABC＝∠BDE，∠BAC＝∠DBE， 结论：△ABC∽△BDE ( A B C D E 图 ① ) ( A E B C D 图 ② ) 典例透析 例1 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，点A关于BC的对称点为D，连接BD，CD，点E，F分别是边AB，AC上的动点，连接CE，DF，且CE⊥DF，求 的值． ( A D B C H E F 例1 ) ( A D B C E F 例1 ) 怎样解 作辅助线的依据：∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，CE⊥DF， 辅助线作法：连接AD交BC于点H 结论：△ADF∽△BCE 思路点拨：由题意可得AD与BC的数量关系，再导角证△ADF∽△BCE，即可求出比值． ( A D B C E F 例1 )我能解 解： ( C 例2 B E A D ) ( F C 例2 B E A D )例2 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AB的中点，AE⊥AC，BE⊥CD，求证：∠ACE＝ ∠ACB． 怎样解 作辅助线的依据：∠ABC＝90°，AE⊥AC，BE⊥CD 辅助线作法：延长EA，CB交于点F 结论：△FBE∽△ADC，△BFA∽△AFC 思路点拨：先导角证△FBE∽△ADC，△BFA∽△AFC，列出比例式，根据点D为AB的中点可得，点A为EF的中点，CA为EF的垂直平分线，可证结论． ( C 例2 B E A D ) 我能解 解： 例3 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别为边AC，BC上的点，且∠ADB＝∠AEB＝45°，AE与BD交于点F，若AF＝7，CE＝5，求BE的长． ( A B C 例3 F D E G H ) ( A B C 例3 F D E ) 怎样解 作辅助线的依据：AB＝AC，∠ADB＝∠AEB＝45° 辅助线作法：分别过点A，F作AE的垂线，交BC于点G，H 结论：△ACE∽△BFH 思路点拨：可证△ABG≌△ACE，△ACE∽△BFH，设EF＝x，则FH＝x，表示出AE，利用△ACG∽△BFE，求出x的值，即可得到BE的长． ( A B C F D E 例3 ) 我能解 解： 针对训练 1．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝9，AD＝CD＝3，点E，F分别为边BC，CD上的点，且AE⊥BF，DF＝2CF，则CE的长为_________． ( A B C 第1题 E D F ) ( A B C E 第2题 D F )2．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝5，AD＝5，点E，F分别在边BC，AB上，且AE⊥DF，则 的值为_________． ( B C 第3题 A E F D )3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosC＝ ，点D为AC的中点，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，交BC于点F，则 ＝_________． ( B F C 第4题 D E A )4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D，E分别为边AB，AC上的点，连接DE，过点A作AF⊥DE交BC于点F，若 ＝k，DE＝2AF，求 的值． ( A E D B C 第5题 G F )5．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的点，且BF⊥CE，垂足为G，连接AG，若G为CE的中点，求证：sin∠AGB＝ ． ( C 第6题 A F D B E )6．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝2AB，CD＝3BC，点E，F分别是边AB，AD上的动点，连接DE，CF，且DE⊥CF，求 的值． ( A B C 第7题 F D E )7．如图，在等边△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，且AD＝CE，AF⊥DE，求 的值． 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝7，BC＝9，点E，F分别为边AD，BC上的点，将四边形ABFE沿EF翻折得到四边形GHFE，GH交AD于点K，若AK＝6，求EF的长． ( B C 第8题 F E G H A D K ) 9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别为边AB，AC上的点，∠ADE＝∠BDC，EF⊥CD交BC于点F，若AB＝12，BC＝24，BF＝11，求BD的长． ( A D B F C E 第9题 ) 10．【问题提出】（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE与DF交于点O，若∠FOC＝90°，求证： ＝ ． 在□ABCD中，AB＝4，BC＝7，点E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE与DF交于点O，且∠COD＋∠BAD＝180°，求 的值． 【迁移应用】（2）如图2，在□ABCD中，AB＝4，BC＝7，点E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE与DF交于点O，且∠COD＋∠BAD＝180°，求 的值． 【拓展提高】（3）如图3，在四边形ABCD中，点E是边AD上一点，连接BD与CE交于点O，∠BOC＝∠BAD＝∠BCD＝120°， ＝ ， ＝ ，求 的值． ( A D E B C 图2 C 图3 A D E O F B O A D E O F B C 图1 ) 5.5 构造共边共角相似 已知条件：如图，在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB ( A D B C )结论：△ACD∽△ABC，AC 2＝AD·AB 典例透析 ( A B C 例1 D E F ) ( A B C 例1 D E F )例1 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F，若AB＝7，AC＝5，BC＝6，求CF的长． 怎样解 作辅助线的依据：AD平分∠BAC，EF垂直平分AD 辅助线作法：连接AF 结论：△CAF∽△ABF 思路点拨：导角可得∠CAF＝∠B，则△CAF∽△ABF，列出比例式即可求出CF的长． ( A B C 例1 D E F ) 我能解 解： ( A D B C 例2 E F G ) ( A D B C 例2 E F )例2 如图，在正方形ABCD中，点E，F为BC边上两点，且∠BAE＋∠AFC＝135°，若AB＝20，EF＝7，则BE的长为_________． 怎样解 作辅助线的依据：∠BAE＋∠AFC＝135° 辅助线作法：延长CB到点G，使BG＝AB，连接AG 结论：∠GAE＝∠GFA，△AGE∽△FGA 思路点拨：导角可得∠GAE＝∠GFA，则△AGE∽△FGA，设BE＝x，表示出EG，FG，代入比例式即可求出x的值，即BE的长． ( A D B C 例2 E F ) 我能解 解： ( A B 例3 C E D ) ( A B F 例3 C E D G )例3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝ ，点D是BC延长线上一点，CD＝AC，点E是边AB上一点，∠CED＝45°，求 的值． 怎样解 作辅助线的依据：tan∠ABC＝ ，CD＝AC，∠CED＝45° 辅助线作法：过点E作EG⊥BC于点G，延长CB到点F，使FG＝EG 结论：△CDE∽△EDF ( A B 例3 C E D )思路点拨：由△CDE∽△EDF可得DE 2＝CD·DF，在Rt△EGD中，由勾股定理可得DE 2＝EG 2＋GD 2，设AC＝3，EG＝3x，表示出CD，EG，GD，DF，解方程求出x的值，根据平行线分线段成比例，即可得到 的值． 我能解 解： 针对训练 1．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，AD＝，BC＝7，则BD的长为_________． ( A B C 第1题 D ) 2．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，若 ＝ ，则 ＝_________． ( A B C 第2题 D ) ( A B 第3题 C D )3．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝6，点D为边BC上一点，∠BAD＝90°，且AD＝CD，则BC的长为_________． ( A B D C B ′ A ′ D ′ C ′ 第4题 )4．如图，将菱形ABCD沿对角线AC平移得到菱形A'B'C'D'，连接BC'，若∠ABC'＝90°，AA'＝7，AB＝15，则BC'的长为_________． ( B 第5题 C D E A )5．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点E是线段DC上一点，∠DAE＝∠C，若DE＝ ，CE＝11，则BD的长为_________． 6．如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别是边AB，AD，BC上的点，且AG⊥EF，∠AEF＝∠BEG，EF交AC于点H，若AE＝7，BE＝9，则AH＝_________． ( A D C 第6题 B G E F H ) 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，tanB＝ ，点D为射线BC上一动点，以点D为顶点作∠ADE＝ ∠B，射线DE交边AB于点E，过点A作AF⊥DE交射线DE于点F，当DE＝3EF时，求 的值． ( A C B 第7题 E F D ) ( A B 第8题 C D E )8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D为AB上一点，∠ACD＝∠ABC，AC＝nAD，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E，求 的值． 9．如图，在△ABC中，点D为AC的中点，点E为AB上一点，∠CEB＝∠ACB＝45°，若BE＝2，BC＝，求DE的长． ( C A 第9题 E B D ) 10．如图，△ABC和△DBF都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBF＝90°，DF与AB相交于点E，点G在DF的延长线上，∠FAG＝∠ABF，DE＝3，EF＝2，求FG的长． ( A B D C 第10题 E F G ) 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，BC延长线上的点，AD＝AE，∠CAE＝∠BAC，若BD＝2，BE＝7，求BC的长． ( A B E D C 第11题 ) ( A B C 第12题 E D )12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，点D是AC上一点，连接BD，点E是BD上一点，连接CE，∠CED＝60°， ＝ ，求tan∠BCE的值． ( A D B C 第13题 E F )13．如图，在等边△ABC中，点D为边AB上一点，点E为BC延长线上一点，且BD＝CE，连接DE交AC于点F，若AF＝2，BE＝5，求CF的长及 的值． 14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E是直线BC上两点（点D在点E左侧），∠DAE＝45°，过点C作CF⊥AC交AE的延长线于点F，若 ＝ ，求CF的长． ( A B C D E F 第14题 ) 15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝14，点D是BC边上一点，BD＝BA，点E是BA延长线上一点，∠ADE＝∠B，求DE的长． ( A B D C E 第15题 ) 16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，点E为BC的中点，AE⊥BD于点F，点G在DF上，且CF平分∠BCG，求CG的长． ( A D B 第16题 E C G F ) 17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为AB边上一点，点E为线段CD上一点， ( A B E C 第17题 D F )∠AED＝45°，连接BE并延长交AC于点F，若 ＝ ，求 的值． 18．如图，在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△A'BE，连接BD交A'E于点F，连接DA'，若∠DA'E＝∠ADB，AE＝3，DE＝2，求AB的长． ( A D B 第18题 C F E A ′ ) ( G A 第19题 B C D E F )19．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠DAE＝90°，点D在线段AB上，连接CE，过点D作DF⊥CE于点F，交AC于点G，若AG＝CG，求 及 的值． ( A B 第20题 C D E F )20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AD上一点，BE的延长线交AC于点F，若CF＝5，BE＝3，求EF的长． ( A B C E D F 第21题 )21．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，点E在AC的延长线上，连接BE，∠E＝∠ABC，连接AD并延长交BE于点F，若BC＝4，BF＝，求EF的长． ( A D C B 第22题 E F G )22．如图，在菱形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE与BD交于点F，连接DE与CF交于点G，若∠BFE＝∠ABC，DE⊥CF，求cos∠ABD的值． ( A B 第23题 C F D E )23．如图，在△ABC和△DEC中，∠BAC＝∠EDC，AB＝AC，DE＝DC，点D在BC的延长线上，连接AD与BE交于点F，若AF＝DF，BC＝3CD，求cos∠ABC的值． 24．如图，在△ABC和△DEC中，∠BAC＝∠EDC，AB＝AC，DE＝DC，点D在BC的延长线上，连接AD与BE交于点F． ( A B 第24题 C D F E )（1）求证：∠AFB＝∠ACB； （2）若AF＝DF，BC＝kCE，tan∠BEC＝ ，求k的值． 25．如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E，点F为DE延长线上一点，∠ACF＝∠B，且∠AFC＋∠AFD＝180°． ( B 第25题 C D E F A )（1）求证：AC＝BD； （2）若BD＝kDC，求 的值． 26．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在AB、BC的延长线上，且BD＝CE，连接AE交DC的延长线于点F． ( A B C E F D 第26题 )（1）求证：∠AFC＝45°； （2）若CD＝5CF，求 的值． 27．如图，在△ABC中，点D是BC延长线上一点，点E是线段AD上一点，∠BAC＝∠BEC＝90°． （1）求证：∠CAD＝∠EBD； ( A E B 第27题 C D )（2）若AB＝2，AC＝，AE·AD＝2，求CD的长． 28．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝nBC，点D是AC的中点，连接BD，过点C作CE⊥BD于点E，交AB于点F． 【问题提出】（1）如图1，当n＝1时，求 的值； 【问题拓展】（2）如图2，连接AE，求 的值及tan∠EAC的值（用含n的式子表示）． ( B C 图1 第28题 B C 图2 A A E E F F D D ) 培优必练 ( A E F B C 第1题 D )1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠ADE＝90°，点D在边BC上，DE与AB交于点F，若BD＝kDC，求 的值（用含k的式子表示）． ( A D B C 第2题 F E G H )2．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接AF与DE交于点G，连接BD与AF交于点H，求 的值． ( B C 第3题 A F E D )3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为AB边上一点，AE⊥CD于点E，连接BE并延长交AC于点F，若 ＝ ，求 的值． ( B C 第4题 A F E D )4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为AB边上一点，AE⊥CD于点E，连接BE并延长交AC于点F，若 ＝ ，求 的值． ( A B C 第5题 E D F )5．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AB上一点，BD＝kAD，AE⊥CD于点E，交BC于点F，求 的值（用含k的式子表示）． ( B C 第6题 A D F E )6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边AC上一点，过点D作DE⊥BC于点E，连接AE，BD交于点F，若 ＝ ，求 的值． ( B 第7题 C E H F A D G )7．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，点F是线段AE上一点，且AF＝AD，过点F作FG⊥DF交AB于点G，交BC于点H，若AG＝9，EF＝2，求 的值． 8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD＝5，AC＝7，点E为AD的中点，∠BED＝60°，求BE的长． ( A E B C 第8题 D ) ( B C A F 第9题 D E G )9．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC＝CD＝5，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且AE⊥BF，垂足为G，求 的值． ( A B C D E F 第10题 )10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D，E分别为边BC，AC上的点，连接AD，BE交于点F，∠AFB＝60°，若 ＝ ，求 及 的值． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点E，点E为边AC上一点，连接BE交AD于点F，过点E作EG⊥BC于点G，若AF＝2EG，求证：DG 2＝BD·CG． ( A B D C 第11题 E G F ) 12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为AC上一点，AE⊥BD于点E，连接CE并延长交AB于点F． ( B E C 第12题 D F A )（1）求证： ＝ ； （2）若 ＝ ，求 的值． 13．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E为AC的中点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交BC于点F． ( A B C 第13题 F 图1 D E A B C F D E 图2 G )（1）求证：点F为BC的中点； （2）如图2，连接BE与DF相交于点G． ①若 ＝ ，求sinA； ②若 ＝ ，sinA＝_________． 14．【问题探究】（1）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AB上一点，CD＝3BD，点E是AD的中点，连接CE并延长交AB于点F，求 的值． ( B C 图2 第14题 A D E F 图1 B C A E D G F )【问题拓展】（2）如图2，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，AE＝kAB，CF垂直平分BE，垂足为F，连接DF交EC于点G，求 的值（用含k的式子表示）． 15．如图，在△ABC中，∠C＝45°，点E是BC边上一点，AE＝AB，BD⊥AE于点D，交AC于点F． （1）求证：BF＝AE； ( A B 第15题 C F E D )（2）若 ＝ ，求 的值． 16．如图，在菱形ABCD中，点E为BC延长线上一点，连接AE交CD于点F，连接BF，DE交于点G，DG＝4，GE＝3． ( B 第16题 E C F G A D )（1）求 的值； （2）若∠ABC＝120°，求CE的长． 17．如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD与CE相交于点O． ( B 第17题 C O D E A )（1）求证：OD＝OE； （2）若BD＝8，CE＝5，求△OBC的面积． 18．如图1，在□ABCD中，点E为BC中点，点F在CD上，连接BF与DE交于点G，连接AG并延长交CD于点H， （1）求证：DF＝FH； （2）如图2，若AH⊥CD， ＝ ，AB＝5，△BEG的面积为3，求AG的长． ( B C 图1 第18题 E B C 图2 E G G A D A D F H F H ) 19．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12． （1）求BC边上的高； （2）如图2，点D在边AB上，AD＝4，点E是BC边上的动点，连接DE，将△BDE沿DE折叠得到△FDE，当DF与△ABC其中一边垂直时，求BE的长． ( A C B 图1 A C B 图2 D 第19题 E F ) 20．如图，△ABC∽△BDC，∠A＝∠CBD＝90°，AB＝4，BE平分∠CBD交CD于点E，交AC的延长线于点F，连接DF． ( A F C B D E F D A 图2 第20题 B 图1 C )（1）设AC＝x， ＝y，求y关于x的函数关系式； （2）当△DEF与△BCE相似时，求AC的长． 21．在△ABC和△DAE中，∠ABC＝∠DAE＝90°，∠BAC＝∠ADE，点D在BC上，AC与DE相交于点F． 【基础巩固】（1）如图1，求证：①△ADF∽△ECF；②EC⊥BC． ( B C 图1 第21题 D B C 图2 E A F E D F A )【尝试应用】（2）如图2，若tan∠ACB＝ ， ＝ ，求 的值． 22．在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC上的点，连接DE并延长交AC的延长线于点F． 【问题提出】（1）如图1，若∠BDE＝∠FCE，求证：△ADF∽△ACB； 【尝试应用】（2）在（1）的条件下，若AD＝1，AF＝，EF＝2DE，求BD的长； 【问题拓展】（3）如图2，若∠BED＝∠A，tanA＝2， ＝ ，求 的值． ( A D C B E F A C B E F D 图1 第22题 图2 ) 23．如图1，在△ABC中，AB＝AC，D为BA延长线上一点，E为AC上一点，连接DE并延长交BC于点F，DF＝DC． ( B C F E A D B C F A D E 图1 第23题 图2 )（1）求证：∠ADE＝∠ACD； （2）若 ＝m，求 的值； （3）如图2，若 ＝ ，求 的值． 24．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D、F分别在BA、BC的延长线上，点E在线段BC上，AF＝DF，∠AEB＝∠DEC． ( B C A D E F 第24题 )（1）求证：∠EAF＝∠EDF； （3）若AC＝3，BC＝5，BE＝3EC，求CF的长． 25．在矩形ABCD中， ＝k（k＞1），点E为BC边上一点，过点E作EG⊥AE交∠BCD的外角平分线于点G． （1）如图1，过点G作FG⊥EG交CD于点F，且∠EAF＝45°． ①求证：EG＝FG； ②求 的值（用含k的式子表示）． （2）如图2，连接AG交CD于点F，连接EF，若BE＝2EC，AF⊥EF，求k的值． ( A D B C 图1 第25题 E B C 图2 E F G G F A D ) 26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，点D为AB的中点，点E为边BC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE交射线AC于点F，连接EF，射线DC交直线EF于点G． ( A B 第26题 E 图1 C F G D A B E 图2 C F D G )（1）求 的值； （2）当EF＝3FG时，求BE的长． 27．已知点D为△ABC外一点，过点C作AD，BD的垂线，垂足为E，F，设AE＝kBF． 【问题提出】如图1，若△ABC是等边三角形，∠ADB＝60°，k＝2，求 的值； 【问题拓展】如图2，若△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2BC，∠ADB＝2∠BAC，求 的值（用含k的式子表示）． ( D F 第27题 B D B 图2 F C A E 图1 C E A ) 28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′． （1）如图1，当点A′ 落在CB的延长线上时，连接AA'，求AA′ 的长； （2）如图2，连接AC' 交A′B于点D，当∠A'DC'＝∠A'C'D时，求sin∠C'AB的值； （3）如图3，连接A'A，A'C，在旋转过程中，当△A'AC是以AC或A'C为斜边的直角三角形时，求A'C的长． ( 第28题 A 图1 C A B C ′ A ′ B C A ′ C ′ 图2 图3 A ′ C ′ A B C D ) 29．【问题提出】（1）如图1，在菱形ABCD中，cosA＝ ，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过点E作EF⊥AD于点F，若菱形ABCD的面积为24，求EF·BC的值． 【问题拓展】（2）如图2，在□ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，AD＝5，点E，F分别是边CD，BC上的点，且CE＝2，连接EF，过点E作EG⊥EF交□ABCD的边于点G，若EF·EG＝7，求AG的长． ( 第29题 A B C 图1 图2 D F E C D E A B ) 30．在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上． 【基础巩固】（1）如图1，AF与DE交于点M，且DE∥BC，求证： ＝ ； 【尝试应用】（2）如图2，若AD＝AE，BD＝BF，过点F作FH∥AB，分别交DC，DE于点G，H，GH＝4，CE＝6，FG＝9，求CF的长； 【拓展提高】（3）如图3，AF与CD交于点N，若∠ACD＝∠AFC，BF＝1，CF＝3，CN＝5DN，直接写出CD的长． ( A A A B C D E M F D B C F E G D N B C F 图1 图2 图3 第30题 H ) 31．【问题提出】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且AE＝AF，连接BF，过点A作AG⊥BF于点G，连接CG，EG，求证：CG⊥EG． 【问题拓展】如图2，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别为边AB，AD上的点，且AE＝AF，连接BF，点G在线段BF上，连接AG，CG，EG，若∠AGB＝60°，AG＝2，CG＝3，求EG的长． ( B C 图1 图2 第31题 A D F E A D F B C G E G ) 32．在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，连接BF，CE交于点P． 【基础巩固】（1）如图1，若 ＝ ，DE＝3，∠AEP＋∠ABP＝180°，求CF的长； 【尝试应用】（2）如图2，若∠EBP＝∠DEC， ＝ ，求 的值； 【拓展提高】（3）如图3，连接AP，若∠EBP＝∠DEC，AP＝AB＝，BC＝3，直接写出BP的长． ( A D E P B C 图1 B C 图2 P A D E F F A D E B C 图3 P F 第32题 ) 几何辅助线 第5章 相似 104 学科网（北京）股份有限公司 第6章 二倍角 6.1 作二倍角的平分线构造等腰三角形 ( A D B C )已知条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠B 辅助线作法：作∠ABC的平分线交AC于点D 结论：∠DBC＝∠C，DB＝DC 典例透析 ( A C 例1 B E D ) ( A C 例1 B D )例1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB上一点，∠ACD＝2∠B， ＝ ，求cosB的值． 怎样解 作辅助线的依据：∠ACB＝90°，∠ACD＝2∠B 辅助线作法：过点C作CE⊥AB于点E 结论：AC＝DC，AE＝DE，△CEA∽△BEC 思路点拨：先导角证AC＝DC，则AE＝DE，设AE＝DE＝a，表示出AD，BD，BE，利用△CEA∽△BEC求出CE，根据勾股定理求出BC，即可求出cosB的值． ( A C 例1 B D )我能解 解： 例2 如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝2∠BDC，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，求BC的长． ( B C 例2 A E F D ) ( B C 例2 A D ) 怎样解 作辅助线的依据：∠ABD＝2∠BDC，AB＝AC＝BD 辅助线作法：过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥BE于点F 结论：CD⊥AD，四边形CDEF是矩形 思路点拨：先导角证CD⊥AD，得四边形CDEF是矩形，利用勾股定理求出AD，BC的长． ( B C 例2 A D ) 我能解 针对训练 ( A C 第1题 D B )1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为边BC上一点，∠BAD＝2∠C，BD＝2，CD＝3，求AD的长． ( A 第2题 B E D C )2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，点D为BC边上一点，BD＝2CD，∠ABC＝2∠DAC，求 的值． ( A C 第3题 D B E )3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上一点，DE⊥AD交AC于点E，∠ABC＝2∠EDC，设 ＝t，求 的值（用含t的式子表示）． 6.2 延长二倍角的一边构造等腰三角形（由倍角造半角） ( A C B D )已知条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB 辅助线作法：延长CB到D，使BD＝BA，连接AD 结论：AD＝AC，△BDA∽△ADC 典例透析 例1 如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BC＝a，AC＝b，AB＝c，探究a，b，c满足的关系． ( A C 例1 B ) ( A C D 例1 B ) 怎样解 作辅助线的依据：∠ABC＝2∠C 辅助线作法：延长CB到D，使DB＝AB，连接AD 结论：AD＝AC，△BDA∽△ADC 思路点拨：先导角证AD＝AC，△BDA∽△ADC，列出比例式，即可得到a，b，c满足的关系． ( A C 例1 B ) 我能解 解： 例2 如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，点D是BC的中点，AE是BC边上的高，若AE＝4，CE＝2，求DE的长． ( A B C D 例2 E M ) ( A B C D 例2 E ) 怎样解 作辅助线的依据：∠C＝2∠B，点D是BC的中点，AE是BC边上的高 辅助线作法：取AB的中点M，连接MD，ME 结论：DE＝DM＝ AC 思路点拨：利用三角形中位线和直角三角形斜边上中线的性质导角证DE＝DM＝ AC． ( A B C D 例2 E ) 我能解 解： 例3 如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，∠ADB＝2∠DBC，AB＝AC＝5，BC＝6，求AD的长． ( A B C 例3 D ) ( A B C 例3 H E D ) 怎样解 作辅助线的依据：∠BCD＝90°，∠ADB＝2∠DBC，AB＝AC 辅助线作法：过点A作AH⊥BC于点H，延长AD，BC交于点E 结论：DB＝DE，CE＝BC，△EDC∽△EAH 思路点拨：利用勾股定理求出AH，导角可得DB＝DE，则CE＝BC，利用△EDC∽△EAH求出CD，从而求出AD的长． ( A B C 例3 D ) 我能解 解： 针对训练 1．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AB＝3，AC＝2，求BC的长． ( A B 第1题 C ) 2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠DAC＝2∠DAB，BD＝4，DC＝9，求AD的长． ( A B C D 第2题 ) ( B C 第3题 A DC )3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为边AB上一点，∠ACD＝2∠B，若BD＝2，AD＝4，求CD的长． ( A B C 第4题 D )4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，BD＝2CD，∠DAC＝2∠B，AD＝，求AB的长． 5．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC于点D，AE为BC边上的中线，BD＝3，DE＝2，求AE的长． ( A C 第5题 D B E ) 6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D为BC边上一点，BD＝2DC，点E在AD的延长线上，∠ABC＝2∠DEC，AD·DE＝18，求sin∠BAC的值． ( A 第6题 B E C D ) 7．如图，在□ABCD中，∠D＝2∠ACB，AE平分∠BAC交BC于点E，若BE＝2，CE＝3，求AE的长． ( A D B C 第7题 E ) 6.3 延长半角的一边构造等腰三角形（由半角造倍角） 已知条件：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，连接AD，∠B＝2∠CAD ( A B C D E )辅助线作法：延长BC到E，使CE＝CD，连接AE 结论：AD＝AE，∠DAE＝∠B，BA＝BE，△ADE∽△BAE 典例透析 ( B C A DC 例1 ) ( B C A H DC E 例1 )例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AC的中点，连接BD，∠A＝2∠DBC，求tan∠ABD的值． 怎样解 作辅助线的依据：∠ACB＝90°，∠A＝2∠DBC 辅助线作法：延长AC到E，使CE＝CD，连接BE，过点D作DH⊥AB于点H 结论：AB＝AE，△ABE∽△BDE 思路点拨：BC垂直平分DE，导角可得AB＝AE，△ABE∽△BDE，设AD＝CD＝CE＝a，表示出AB，AE，DE，利用△ABE∽△BDE，表示出BD，根据勾股定理表示出BC，利用△ADH∽△ABC或三角函数，表示出DH，AH，BH，即可求出tan∠ABD的值． ( B C 例1 A DC ) 我能解 解： 例2 如图，在△Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别是边AB，BC上的点，DC平分∠ADE，∠B＝2∠ACD，AD＝5，BE＝12，求CE的长． ( D A B C 例2 E ) ( D A F H B C 例2 E ) 针对训练 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC上一点，∠B＝2∠CAD，AB·CD＝5，求AD的长． ( A B D C 第1题 ) ( A 第2题 B D C )2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC边上一点，BD＝2CD，∠B＝2∠DAC，AB＝4，求AD的长． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，∠B＝2∠DAC，BD＝3，DC＝2，求AD的长． ( A 第3题 B D C ) 4．如图，在△ABC中，AD，AE分别为角平分线和高线，∠B＝2∠DAE，BD＝2DE，AE＝3，求AC的长． ( B C 第4题 D E A ) 6.4 在三角形内或外构造二倍角 已知条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为边BC上一点，∠BAD＝2∠CAD ( A B C D E )辅助线作法：延长AD到E，使AE＝AB，连接BE 结论：BD＝BE，∠DBE＝∠BAD，△BDE∽△ABE 典例透析 例1 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D为边AC上一点，∠DBC＝2∠ABD，CD＝3，BC＝7，求BD的长． ( D A E B C 例1 ) ( D A B C 例1 ) 怎样解 作辅助线的依据：∠A＝90°，∠DBC＝2∠ABD 辅助线作法：延长BD到E，使BE＝BC，连接CE 结论：CE＝CD，△CDE∽△BCE ( D A B C 例1 )思路点拨：先导角证CE＝CD，△CDE∽△BCE，求出DE，可得BD的长． 我能解 解： 例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，∠ABC＝2∠DBA，DE⊥BA交BA的延长线于点E，若BE＝8，CD＝11，求BD的长． ( D F E A G B C 例2 ) ( E A B C 例2 D ) 怎样解 作辅助线的依据：AB＝AC，∠ABC＝2∠DBA 辅助线作法：过点D作DF∥BC交BE的延长线于点F，在EB上截取EG＝EF，连接DG 结论：AF＝AD，BF＝CD 思路点拨：先导角证AF＝AD，BF＝CD，求出EG，在Rt△DGE中利用勾股定理求出DE，在Rt△DBE中利用勾股定理求出BD的长． ( E A B C 例2 D ) 我能解 解： 针对训练 1．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是中线，AB＝6，AD＝，求BC，AC的长． ( A B C 第1题 D ) 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，BC上，且∠DBC＝2∠BAE，AE＝2，BD＝，求AB的长． ( A B C 第2题 E D ) 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上，∠CED＝2∠BAD，若AE＝9，DE＝3，求BC的长． ( A C B 第3题 D E ) 4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别为边BC，AC上的点，连接AD，DE，∠AED＝2∠DAE，CE＝7，BD＝18，求DE的长． ( A B C 第4题 D E ) 5．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC，BD＝3，CD＝2，求AD的长． ( A C B 第5题 D ) 6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥CD，AB＝AC，∠ABD＝2∠ADC，CD＝2，求AD的长． ( A D B C 第6题 ) 7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，∠ACD＝2∠ABD，AD＝19，CD＝25，求AB的长． ( A D B C 第7题 ) 培优必练 ( A B C 第1题 D )1．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，D为△ABC内一点，∠BDC＝2∠BAD，BD＝CD，求△ABD的面积． ( A B E 第2题 C D )2．如图，在等边△ABC中，点D在边AB上，点E在BC的延长线上，∠CAE＝2∠DCB，BD＝2，AD＝6，求CE的长． 3．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，∠DAC＝2∠ADB，若CD＝4，BD＝10，求△ACD的面积． ( A D B C 第3题 ) 4．如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，∠ADC＝60°，∠BAD＝2∠CAD，BD＝5，CD＝1，求AD的长． ( A 第4题 B D C ) 5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC＝4，CD＝2，∠ABD＝2∠DBC，求BD的长． ( A D B C 第5题 ) ( A B C 第6题 D E )6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是边AC上一点，连接BE，DE，∠ABE＝2∠EDC，AE＝3，求DE的长． ( A E B C 第7题 D )7．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是边AC上一点，连接BE，DE，∠ABE＝2∠EDC，CE＝2，求AE的长． ( A B C 第8题 E DC )8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别为边AC，BC上的点，∠ABD＝2∠BAE，BE＝3，CD＝7，求BD的长． ( A B D C E 第9题 )9．如图，在等边△ABC中，点D，E分别为边BC，AC上的点，连接AD，DE，∠ADB＝2∠CDE，BD＝3，CE＝4，求CD的长． ( A D E B C 第10题 F )10．如图，在四边形ABCD中，∠C＝2∠ABD，过点A作AF∥DC交BD于点E，交BC于点F，且AF＝BC，求证：AE＝AD． ( A B C 第11题 E D )11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝14，点D为AC的中点，点E为线段DC上一点，CE＝3，连接BD，BE，∠AEB＝2∠ABD，求BE的长． 12．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，BC＝BD，点E为AD边上一点，连接CE交BD于点F，连接BE，若∠DBC＝2∠ABE，△ABE的面积为a，△DEF的面积为b，求△BCF的面积． ( A E F B D C 第12题 ) ( A D B E C 第13题 )13．如图，在矩形ABCD中，点E为BC延长线上一点，连接AE，DE，∠AED＝2∠AEB，BC＝6，DE＝，求CE的长． 14．如图，在等边△ABC中，点D在BC的延长线上，连接AD，点E在AD上，连接BE交AC于点F，∠EBD＝2∠CAD，若CF＝5，BD＝12，求AD的长． ( A B D 第14题 C E F ) ( D A B C 第15题 )15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边上一点，AD＜BD，∠ADC＝2∠ACD，AB＝8，CD＝3，求AD的长． 16．如图，在□ABCD中，∠BAC＝60°，AB＝4，AC与BD相交于点O，∠BOC＝2∠DAC，求BC的长． ( A D B C 第16题 O ) ( A B C 第17题 D E )17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D，E为边BC上两点（点D在点E左侧），且BD＝CE，∠DAE＝ ∠BAC，求DE的长． ( A C 第18题 B E D F )18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AC，BC上的点，连接AE与BD交于点F，∠BFE＝∠BAC＝2∠AEB，探究AF，EF与BF的数量关系，并证明． ( A B C 第19题 D E )19．如图，在△ABC中，点D为边BC上一点， ＝ ，点E为AD的中点，若∠BAC＝∠BED＝ 2∠CED，求 的值． ( A B C P E D 第20题 )20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P为BC边上一点，连接AP，分别过点B，C作AP的垂线，垂足为D，E，若∠ADC＝2∠ABC， ＝ ，求tan∠ACB的值． ( A B C 第21题 D E )21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D，E为边BC上两点（点D在点E左侧），∠BAD＝∠CAE，∠AED＝2∠ADE，BD＝7，CE＝2，求AE，DE的长． ( 第22题 B C D A )22．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BA，BC的延长线上，连接DE，EF，DE＝，EF＝5，∠BEF＝2∠DEF，求BF的长． 几何辅助线 第6章 二倍角 116 学科网（北京）股份有限公司 第7章 四点共圆和辅助圆 7.1 四边形对角互补 已知条件：如图①，在四边形ABCD中，∠BAD＋∠BCD＝180° 结论：A，B，C，D四点共圆，∠BAC＝∠BDC，∠ADB＝∠ACB 特别地，如图②，∠BAD＝∠BCD＝90°，即异侧出现共斜边的直角三角形 ( A B D C 图 ① A B D C 图 ② ) 注意：四点共圆的方法一般用于选择题或填空题，多数情况下可以快速求出答案，对于解答题，不主张用四点共圆的方法． 典例透析 例1．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，∠BCD＝30°，AB＝AC＝2，则AD的长为_________． ( A B C H 例1 D ) ( A B C 例1 D ) 怎样解 作辅助线的依据：∠BAC＝∠BDC＝90°，∠BCD＝30°，AB＝AC 辅助线作法：过点B作BH⊥AD于点H ( A B C 例1 D )结论：A，B，D，C四点共圆，∠BAD＝∠BCD＝30°，∠ADB＝∠ACB＝45° 思路点拨：根据30°，45°，求出BH，DH，AH，即可得到AD的长． 我能解 解： 例2 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＋∠BCD＝180°，AC⊥BD，垂足为E，AC＝CD，AB＝，AD＝4，则BC的长为_________． ( A B D 例2 C E ) ( A B D 例2 C E F G ) 怎样解 作辅助线的依据：∠BAD＋∠BCD＝180°，AC⊥BD，AC＝CD 辅助线作法：过点C作CG⊥AD于点G，交BD于点F，连接AF 结论：A，B，C，D四点共圆，△ABC≌△DFC，△DFG∽△CDG 思路点拨：先导角证△ABC≌△DFC，得DF，FG，利用△DFG∽△CDG，求出CG的长，即得BC的长． ( A B D 例2 C E )我能解 针对训练 1．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝5，BC＝2CD，则AC的长为_________． ( A B D 第1题 C ) 2．如图，等边△ABC的边长为2，点D，E分别为边BC，AC上的点，且AE＝CD，连接AD与BE交于点P，若∠DPC＝∠EBC，则BD的长为_________． ( A C D 第2题 B E P ) 7.2 同底同侧张等角（定弦定角） 已知条件：如图①，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠BDC 结论：A，B，C，D四点共圆，∠ADB＝∠ACB 特别地，如图②，∠BAC＝∠BDC＝90°，即同侧出现共斜边的直角三角形 ( C 图 ① B A D D A C 图 ② B ) 典例透析 ( C D E A 例1 B ) ( C D E A 例1 B F )例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D是BC边上一动点，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E，则 的最大值为_________． 怎样解 作辅助线的依据：∠C＝∠AEB＝90° 辅助线作法：过点E作EF⊥BC于点F 结论：A，B，E，C四点共圆，AB是圆的直径，△ADC∽△EDF 思路点拨：设圆的半径为r，用r表示AC，当点E为弧BC中点时，EF最大，利用垂径定理和三角形中位线表示出此时EF，利用△ADC∽△EDF，将比值转化为EF与AC的比． ( C D E A 例1 B ) 我能解 解： 例2 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，以AB为边作菱形ABDE，∠ABD＝60°，连接AD，BE交于点O，连接OC，则OC的长为_________． ( A E O D B C 例2 ) ( A E O D B C 例2 F ) 怎样解 作辅助线的依据：∠ACB＝∠AOB＝90°，∠ABD＝60° 辅助线作法：过点O作OF⊥OC交AC于点F 结论：A，B，C，O四点共圆，△AOF∽△BOC 思路点拨：利用∠ACB＝∠AOB＝90°说明A，B，C，O四点共圆，则∠ACO＝∠ABO＝30°，∠OAF＝ ( A E O D B C 例2 )∠OBC，△AOF∽△BOC，求出AF，CF，即可得到OC的长． 我能解 解： 针对训练 ( 第1题 B C A D )1．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，∠BCD＝60°，AB＝AC＝2，则AD的长为_________． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，点D是边BC上一点，连接AD，作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于点F，连接AE，则AD·AF的值为_________． ( A F 第2题 D B C E ) 3．如图，在四边形ABCD中，∠DAC＝90°，∠BAC＝75°，∠DBC＝45°，∠BDC＝30°，AB＝2，则AD的长为_________． ( A B 第3题 C D ) 4．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接EF，将△BEF沿EF翻折，使点B落在边AD上点G处，EG交AC于点H，连接FH，若FH⊥EG，则 的值为_________． ( G D A E B F C 第4题 H ) 7.3 利用圆的定义构造辅助圆（共顶三等腰） 已知条件：如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD 结论：B，C，D三点在以点A为圆心、AB为半径的圆上，∠BDC＝ ∠BAC，∠CBD＝ ∠CAD， ( A B C D E )∠BCD＝180°－ ∠BAD 典例透析 例1 如图，D为等边△ABC外一点，AD＝AC＝7，BD＝2，则CD＝__________． ( A B C D 例1 ) ( A B C E D 例1 ) 怎样解 作辅助线的依据：AB＝AD＝AC 辅助线作法：过点C作CE⊥BD交BD的延长线于点E 结论：B，D，C三点在以点A为圆心、AB为半径的圆上，∠BDC＝150° 思路点拨：利用共圆推出∠BDC＝150°，则∠CDE＝30°，在Rt△BCE中，利用勾股定理求出CD的值． ( A B C D 例1 ) 我能解 解： 例2 如图，四边形ABCD中，∠BDC＝90°，AD＝BD＝CD，若AC＝6，则四边形ABCD的面积为___________． ( A D B E C 例2 F ) ( A D B C 例2 ) 怎样解 作辅助线的依据：∠BDC＝90°，AD＝BD＝CD 辅助线作法：过点D作DE⊥AC于点E，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F 结论：A，B，C三点在以D为圆心、半径为DA的圆上，∠BAC＝45°，△BCF∽△DCE 思路点拨：利用共圆推出∠BAC＝45°，导角证△BCF∽△DCE，可得S△BCF ＝2S△DCE ＝S△ACD，将四边形ABCD的面积转化为△ACF的面积． ( A D B C 例2 ) 我能解 解： 针对训练 1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝BC＝AD＝，CD＝，则BD＝__________． ( A B C D 第1题 ) 2．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BDC＝30°，AC＝AD＝7，BD＝18，则AB＝_________，BC＝_________． ( A C 第2题 B D ) 3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E为菱形ABCD内部一点，∠BEC＝120°，BE＝5，CE＝3，将△BCE沿CE翻折到△FCE，连接AF，则AF的长为__________． ( A D B C E F 第3题 ) 7.4 作三角形的外接圆 已知条件：如图，作△ABC的外接圆，点D为外接圆上一点，连接AD，BD ( A B C D )结论：∠ADB＝∠ACB 典例透析 例1 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，△ADE是等边三角形，点E在BC上，若AB＝6，CD＝9，则BC的长为_________，△ADE的面积为_________． ( B C 例1 D A E ) ( H B C 例1 D A F E ) 怎样解 作辅助线的依据：∠B＝∠C＝90°，△ADE是等边三角形 辅助线作法：作△ADE的外接圆交BC于另一点F，连接AF，DF，过点A作AH⊥CD于点H 结论：∠AFB＝∠DAE＝60° ( B C 例1 D A E )路点拨：先导角证∠AFD＝∠AED＝60°，可求出BF，CF，BC，在Rt△ADH中利用勾股定理求出AD 2，可得△ADE的面积． 我能解 解： 例2 如图，已知点A（3，0），点B在y轴正半轴上，将线段AB绕点A顺时针旋转120°到线段AC，若点C的坐标为（7，h），则h＝_________． ( A xC 例2 B O y C ) ( A xC 例2 D B O y C E ) 怎样解 作辅助线的依据：OA＝3，AB＝AC，∠BAC＝120°，点C的横坐标为7 辅助线作法：作△ABC的外接圆交y轴于另一点D，连接AD，CD，BC，过点C作CE⊥y轴于点E 结论：∠BDC＝60°，∠ADO＝30° 思路点拨：先导角证∠BDC＝60°，∠ADO＝30°，求出DE，OD，OE，h＝OE． ( A xC 例2 B O y C ) 我能解 解： 针对训练 1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，若点C的坐标为（m，3），则m的值为_________． ( y x O 第1题 B C A ) 2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝2，BC＝3，E为AB上一点，∠DCE＝45°，∠EDC＝60°，则AB的长为_________． ( A D E B C 第2题 ) 3．如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，点F为边BC上一点，连接DE，DF，EF，∠DEF＝30°，∠EDF＝45°，若AB＝6，则AD＝_________． ( A D B C 第3题 E F ) ( B C 第4题 E A D )4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，△ADE是等边三角形，点E在BC上，若 ＝ ，则 ＝_________． ( A D B C 第5题 G E F )5．如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，CD上，连接EF，EG，FG，且△GEF是等边三角形，若AF＝1，DF＝2，则EF的长为_________． ( A xC 第6题 B O y C )6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴，y轴正半轴上的点，点C的坐标为（7，）， ∠BAC＝120°，AB＝AC，则点A的坐标为_________． 7．如图，点D为等边△ABC外一点，∠ADC＝90°，过点B作BE⊥CD于点E，若BE＝5AD，DE＝2，则CE的长为_________． ( D A E B C 第7题 ) 8．如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，AE＝2，DE＝5，连接BE，CE，∠BEC＝60°，则△BEC的面积为_________． ( A E D B C 第8题 ) 培优必练 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，AD＜BD，∠ADC＝2∠ACD，若AB＝8，CD＝3，则AD的长为_________． ( A D B C 第1题 ) 2．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝60°，BD平分∠ABC，BC＞BA，若AC＝，BD＝5＋，则AB的长为_________． ( B C 第2题 A D ) 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D为边AB上一点，∠BCD＝30°，则 的最大值为_________． ( A B C 第3题 D ) 4．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，CD是中线，则sin∠BCD的最大值为_________． ( 第4题 B C D A ) 5．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，点D为边BC上一点， ＝ ，则 的最大值为_________． ( A 第5题 B D C ) ( M 第6题 P O B A N )6．如图，∠MON＝120°，点P，A分别为射线OM，ON上的动点，将射线PA绕点P逆时针旋转30°交射线ON于点B，则 的最大值为_________． 7．如图，在△ABC中，∠A＝45°，BC＝4，点D为边AC上一点，且AB＝2CD，则BD的最小值为_________． ( A 第7题 B D C ) 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝9，点E，F分别为边BC，CD上的点，且∠EAF＝45°，则EF的最小值为_________． ( A D F 第8题 B C E ) ( B 第9题 C G E A D F )9．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD上的点，连接EF，AC交于点G，若∠BGC＝ ∠BFC， ＝ ，则 的值为_________． 10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D，E，F分别为边BC，AB，AC上的动点，且∠EDF＝135°，则EF的最小值为_________． ( A B 第10题 C D E F ) 11．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边AC，BC上，且AD＝CE，连接AE与BD交于点F，点G在BD的延长线上，设tan∠BGC＝x， ＝y，直接写出y关于x的函数关系式． ( B 第11题 C A D F E G ) 12．如图，等边△ABC的边长为6，点E是BC边上一点，BE＝2，点F是AB边上一动点，连接EF，以EF为边向右作等边△EFG，连接GC，当△EGC是等腰三角形时，直接写出BF的长． ( B C 第12题 A E G F ) 几何辅助线 第7章 四点共圆和辅助圆 281 学科网（北京）股份有限公司 第1章 角平分线 1.1 作垂线 典例透析 ( A C 例1 B D E )例1 解：过点D作DF⊥BC于点F． ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2， ∴S△ABC ＝S△ABD ＋ S△DBC ＝ AB·DE＋ BC·DF ＝ ×6×2＋ ×5×2＝11． ( A B C 例2 D E F )例2 解：过点D作DF⊥AC于点F． ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DF＝DE＝1． ∵∠B＝30°，∠C＝45°， ∴BD＝2DE＝2，DC＝DF＝， ∴BC＝BD＋DC＝2＋． 针对训练 ( A E B C 第1题 D )1．解：过点D作DE⊥AB于点E． ∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝DC＝4． ∵S△ABD ＝28，∴ AB·DE＝28， ∴ AB·4＝28，∴AB＝14． 2．解：过点D作DE⊥AB于点E． ( A B C 第2题 D E )∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝DC＝4， ∴AE＝＝ ＝3． ∵∠DBE＝∠DBC，BD＝BD，∠BED＝∠C＝90°， ∴△BDE≌△BDC，∴BE＝BC． 设BE＝BC＝x，则AB＝x＋3． 在Rt△ABC中，x 2＋9 2＝( x＋3 )2， 解得x＝12，∴AB＝15． 3．解：过点C中CF⊥AB，交AB的延长线于点F． ( A E B D C 第3题 F )∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，∴CF＝CE． ∵BC＝CD，∴△BCF≌△DCE，∴BF＝DE． ∵CF＝CE，AC＝AC，∴△ACF≌△ACE， ∴AF＝AE． ∵AE＋DE＝AD，∴AF＋DE＝AD， ∴AB＋BF＋DE＝AD，∴AB＋2DE＝AD． ∵AB＝4，AD＝10，∴4＋2DE＝10， ∴DE＝3． 4．证明：过点D作DF⊥AC于点F，DG⊥BC于点G． ( A B P 第4题 C G D E F )∵∠DCF＝∠DCG，∴DF＝DG． ∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°． ∵∠ADB＝45°，∴∠DAF＝∠DBG． ∵∠AFD＝∠BGD＝90°，∴△ADF≌△BDG， ∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA＝67.5°， ∴∠AEB＝67.5°，∴AE＝AB． 5．解：过点F作FG⊥BC于点G． ( A B 第5题 D G C F E )∵∠ACB＝90°，AF平分∠CAB，∴CF＝FG． ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＝∠B＝90°－∠CAD． ∵∠CEF＝∠CAF＋∠ACD，∠CFE＝∠BAF＋∠B ∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF＝FG． ∵∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10， ∴BC＝＝ ＝8． ∵S△ABF ＝ AB·FG＝ BF·AC ∴AB·FG＝BF·AC， ∴10FG＝6( 8－CF )＝6( 8－FG )， 解得FG＝3，∴CE＝FG＝3． 1.2 作平行线 典例透析 例1 解：过点D作DE∥AB交BC于点E，DH⊥BC于点H． ( A B C 例1 E D H )则∠DEH＝∠ABC＝30°． ∵∠ACB＝45°，∴DH＝ DC＝． ∵BD平分∠ABC，∴BE＝DE＝2DH＝2， ∴EH＝＝，BH＝2＋， ∴BD＝＝2＋2． 例2 解：过点D作DE∥AB交BC于点E，DH⊥BC于点H． ( A B C 例2 E D H )则∠BDE＝∠ABD，∠DEC＝∠ABC＝30°． ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBE， ∴∠BDE＝∠DBE，∴BE＝DE． ∵∠A＝90°，∠ABC＝30°，∴∠ACB＝60°． ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCE＝30°， ∴DH＝ CD＝1，∠DEC＝∠DCE， ∴DE＝CD＝2，∴BE＝2，EH＝＝， ∴BH＝2＋，∴BD＝＝＋． 针对训练 1．证明：连接AD，过点D作DE∥BC交AB于点E， DF⊥AB于点F，DG⊥BC于点G，DH⊥AC于点H． 则∠AED＝∠ABC＝30°，∠EDB＝∠CBD． ( A B 第1题 G C E F H D )∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴DF＝DG＝DH． ∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADH，∴∠DAE＝∠DAC． ∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD， ∴∠EDB＝∠EBD，∴EB＝ED． ∵∠BAC＝90°，∴∠ACB＝60°． ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝30°， ∴∠AED＝∠ACD． ∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADC， ∴AE＝AC，ED＝CD，∴BE＝CD， ∴AC＋CD＝AE＋BE＝AB． 2．解：过点O作AB，AC的平行线，分别交BC于点F，G． ( A B C 第2题 O E D F G )则∠OFG＝∠ABC，∠OGF＝∠ACB， ∴△OFG∽△ABC，∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ． 设OF＝4a，则BF＝4a，CG＝OG＝5a，FG＝6a， ∴BG＝10a，CF＝11a． ∵OG∥AC，∴ ＝ ＝ ＝2． ∵OF∥AB，∴ ＝ ＝ ＝ ． 1.3 截取等线段 典例透析 例1 解：在AB上截取AE＝AC，连接DE． ( A B C 例1 D E )∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝2， ∴∠C＝60°，AB＝2． ∵AE＝AC，∠DAE＝∠DAC，AD＝AD， ∴△ADE≌△ADC，∴DE＝CD，∠AED＝∠C＝60°， ∴∠EDB＝∠B＝30°，∴BE＝DE， ∴CD＝BE＝AB－AE＝AB－AC＝2－2． 例2 解：在BC上截取BF＝BE，连接OF． ( A B C 例2 F D E O )∵BF＝BE，∠OBF＝∠OBE，OB＝OB， ∴△OBF≌△OBE，∴OF＝OE，∠BOF＝∠BOE． ∵∠A＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝120°， ∴∠BOE＝∠COD＝∠OBC＋∠OCB＝60°， ∴∠BOF＝60°，∠BOC＝120°， ∴∠COF＝60°，∴∠COD＝∠COF． ∵OC＝OC，∠OCD＝∠OCF， ∴△OCD≌△OCF，∴OD＝OF，∴OD＝OE． 针对训练 ( A B 第1题 D C E )1．解：在AC上截取AE＝AB，连接DE． ∵AE＝AB，∠EAD＝∠BAD，AD＝AD， ∴△ADE≌△ADB，∴ED＝BD，∠AED＝∠B． ∵∠B＝2∠C，∴∠AED＝2∠C， ∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC，∴EC＝BD， ∴AC＝AE＋EC＝AB＋BD＝3＋2＝5． 2．解：在AC上截取AE＝AB，连接DE，过点A作AH⊥DE，交DE的延长线于点H． ∵AE＝AB，∠EAD＝∠BAD，AD＝AD， ( A H B 第2题 D C E )∴△ADE≌△ADB，∴∠ADE＝∠ADB＝45°，ED＝BD． ∴∠BDE＝90°，∴∠CDE＝90°，∴∠H＝∠CDE． ∵AE＝AB＝5，AC＝10，∴AE＝CE＝5． ∵∠AEH＝∠CED，∴△AHE≌△CDE， ∴AH＝CD，EH＝ED＝BD， ∴S△ADC ＝2S△ADE ＝2S△ADB，∴CD＝2BD＝2ED＝DH， ∴AH＝2EH＝DH． 设EH＝x，则AH＝2x，AE＝x＝5． ∴x＝，∴AH＝2，∴AD＝AH＝2． 3．证明：在BC上截取BF＝BE，CG＝CD，连接OF，OG， ( A B 第3题 F C O D E G M N )过点D作DM⊥CE于点M，过点G作GN⊥OF于点N． ∵BF＝BE，∠OBF＝∠OBE，OB＝OB， ∴△OBF≌△OBE，∴OF＝OE，∠BOF＝∠BOE． 同理可证△OCG≌△OCD，∴OG＝OD，∠COG＝∠COD． ∵∠A＝90°，∴∠ABC＋∠ACB＝90°， ∴∠BOE＝∠COD＝∠OBC＋∠OCB＝45°， ∴∠DOE＝∠BOC＝135°，∴∠BOF＝∠COG＝45°， ∴∠FOG＝45°，∴DM＝GN． ∵S△ODE ＝ OE·DM，S△OFG ＝ OF·GN， ∴S△ODE ＝S△OFG． ∵△OBF≌△OBE，△OCG≌△OCD， ∴S△OBF ＝S△OBE，S△OCG ＝S△OCD， ∴S1＝2S2． 培优必练 1．解：过点D作DF⊥AB于点F． ( A B 第1题 D C E F )∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DF＝DC． ∵∠DAF＝∠DAC，∠AFD＝∠C＝90°， ∴△ADF≌△ADC，∴AF＝AC． ∵∠B＝∠DEC，∠BFD＝∠C＝90°，BD＝DE， ∴△BDF≌△EDC，∴BF＝CE， ∴AB＝AF＋BF＝AC＋CE＝AE＋CE＋CE． ∵AB＝8，AE＝2，∴2＋2CE＝8， ∴CE＝3． 2．解：过点D作DE⊥AB于点E． ( A B 第2题 D C E )∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝DC＝3， ∴BE＝＝ ＝4． ∵AD＝AD，∴AE＝AC． 设AE＝AC＝x，则AB＝x＋4． 在Rt△ABC中，8 2＋x 2＝( x＋4 )2， 解得x＝6，∴AB＝10． 3．证明：延长AE交BC的延长线于点F． ( A B F C 第3题 E D )∵BD平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE． ∵AE⊥BD，∴∠AEB＝∠FEB＝90°． ∵BE＝BE，∴△ABE≌△FBE， ∴AE＝EF，∴AF＝2AE． ∵∠AEB＝∠ACB＝90°，∠ADE＝∠BDC， ∴∠CAF＝∠CBD． ∵AC＝BC，∴△ACF≌△BCD， ∴AF＝BD，∴BD＝2AE． 4．解：延长BA，CD交于点E． ( A E D B C 第4题 )∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD． ∵CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CBD＝90°． ∵BD＝BD，∴△BDE≌△BDC， ∴DE＝DC，BE＝BC＝5， ∴AE＝BE－AB＝5－4＝1， ∴S△ACE ＝ S△ABC ＝ m， ∴S△ACD ＝S△ADE ＝ S△ACE ＝ m． 5．解：过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于点D， ( F D E A B C 第5题 )过点C作CE⊥AB，交BA的延长线于点E，交BD的延长线于点F． ∵∠ACB＝45°，∴∠DBC＝45°． ∵∠ACB＝2∠ABC＝45°，∴DB＝DC，∠EBF＝∠EBC． ∵BE＝BE，∠BEF＝∠BEC＝90°， ∴△BEF≌△BEC，∴EF＝CE． ∵∠BDA＝∠CEA＝90°，∠BAD＝∠CAE， ∴∠ABD＝∠FCD． ∵∠BDA＝∠CDF＝90°，∴△DBA≌△DCF， ∴CF＝AB＝4，∴CE＝EF＝2， ∴S△ABC ＝ AB·CE＝ ×4×2＝4． 6．解：连接AD，过点D作AB，BC，AC的垂线，垂足为E，F，G． ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴BC＝＝5． ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴DE＝DF＝DG． 设DE＝DF＝DG＝x． ∵S△ABD ＋ S△BCD ＋ S△ACD ＝S△ABC， ( A B 第6题 F C D E G )∴ AB·DE＋ BC·DF＋ AC·DG＝ AC·BC， ∴AB·DE＋BC·DF＋AC·DG＝AC·BC， ∴5x＋4x＋3x＝4×3，∴x＝1． ∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴CF＝DF＝1， ∴BF＝3，CD＝， ∴BD＝＝，∴BD＝CD． 7．解：过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N． ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠ACD＝45°， ( D A B 第7题 G C E F N M )∴EM＝EN． 在△DGC中，由面积法可得CD·CG＝CG·EM＋CD·EN， 即CD·CG＝ CE·CG＋ CE·CD． 由BF＝15，CG＝14，可设FG＝x，则CD＝BC＝x＋29， FC＝x＋14，CE＝ ( x＋14 )， ∴14( x＋29 )＝7( x＋14 )＋ ( x＋14 )( x＋29 )， 解得x＝－35（舍去）或x＝6，即FG的长为6． 8．解：连接CF，过点E作EH⊥AB于点H． ( A B 第8题 D C E H F G )∵∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，∴EH＝EC＝4． 由点G为CE的中点，点D为BC的中点， 可设S△EFG ＝S△CFG ＝a，S△BFD ＝S△CFD ＝b，则S△BEC ＝2a＋2b． ∵S△AFG ＝15，∴S△ABD ＝S△ACD ＝15＋a＋b， ∴S△ABC ＝30＋2a＋2b， ∴S△ABE ＝S△ABC －S△BEC ＝30， ∴(1/2)AB·EH＝30，∴4AB＝60，∴AB＝15． 9．解：分别过点D，C作AB，AE的垂线，垂足为G，H，M，N． ∵AD⊥AC，AE⊥AB，∴∠DAC＝∠BAE＝90°． ( A B E D C 第9题 H G N M )∵∠BAC＝135°，∴∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝∠CAM＝45°， ∴DG＝DH，CM＝CN． ∴ ＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ，∴ ＝ ， 解得DE＝－20（舍去）或DE＝3， ∴DE的长为3． 10．（1）证明：由题意，∠MBC＝∠BMP． ∵ABCD是正方形，∴AD∥BC， ( M D A B 第10题 C P F N H E )∴∠AMB＝∠MBC，∴∠AMB＝∠BMP． （2）解：连接BP，过点B作BH⊥MN于点H． ∵∠AMB＝∠BMP，∴BH＝BA＝BC． ∵BM＝BM，∴△BMA≌△BMH，∴AM＝MH． ∵BP＝BP，∴△BPH≌△BPC， ∴PH＝PC＝DC－DP＝3－1＝2． 设AM＝MH＝x，则MD＝3－x，MP＝x＋2． 在Rt△DMP中，( 3－x )2＋1 2＝( x＋2 )2， 解得x＝ ，∴MD＝3－x＝ ． 11．（1）证明：如图1，在BC上截取BF＝BE，连接OF． ∵∠OBE＝∠OBF，OB＝OB，∴△OBE≌△OBF， ( A B C F D E O 图1 )∴∠BOE＝∠BOF． ∵∠A＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝120°， ∴∠OBF＋∠OCF＝60°， ∴∠BOC＝120°，∴∠BOE＝∠BOF＝60°， ∴∠COD＝∠COF＝60°． ∵OC＝OC，∠OCD＝∠OCF，∴△OCD≌△OCF， ∴CD＝CF，∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD． （2）解：如图2，过点O作AB，AC的平行线，分别交BC于点F，G． 则∠BOF＝∠OBE＝∠OBF，∠COG＝∠OCD＝∠OCG， ( A B G F C O D E 图2 第11题 )∠OFG＝∠ABC，∠OGF＝∠ACB， ＝ ＝ ， ∴BF＝OF，CG＝OG，∠FOG＝∠A＝90°． 设BF＝OF＝3m，CG＝OG＝n，则CF＝11m，FG＝11m－n． 在Rt△OFG中，( 3m )2＋ n 2＝( 11m－n )2， 解得m＝ n，∴BG＝3m＋11m－n＝14m－n＝ n， ∴ ＝ ＝ ． 参考答案与解析 第1章 角平分线 第2章 中点 2.1 构造中位线 典例透析 例1 解：取AB的中点F，连接DF． ( A B C D E F 例1 )∵点D为边BC的中点，∴DF为△ABC的中位线， ∴DF∥AC，DF＝ AC＝2， ∴∠DFE＝180°－∠A＝90°． ∵∠BED＝30°，∴DE＝2DF＝4． 例2 解：取AC的中点G，连接FG． ( A B C F 例2 D E G )∵点F是BC的中点，∴FG是△ABC的中位线， ∴FG∥AB，FG＝ AB，∴∠GFC＝∠B． ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC． ∵EF∥AD，∴∠EFC＝∠ADC，∠FEG＝∠DAC， ∴∠BAD＝∠FEG， ∴∠EFG＋∠GFC＝∠B＋∠BAD＝∠B＋∠FEG， ∴∠EFG＝∠FEG，∴EG＝FG， ∴EC＝EG＋GC＝ AB＋ AC＝ ( 7＋11 )＝9． 针对训练 ( A E F B C 第1题 D )1．证明：取AC的中点F，连接DF． ∵点D是BC的中点，∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AB，DF＝ AB， ∴∠DFC＝∠A＝2∠DEC， ∴∠DEF＝∠EDF，∴EF＝DF， ∴AB＋AE＝2DF＋AE＝EF＋EF＋AE＝EF＋AF＝EF＋CF＝CE． ( A B C D E F 第2题 )2．证明：延长AC，BD交于点F． ∵∠BAD＝∠FAD，AD＝AD，∠ADB＝∠ADF＝90°， ∴△ABD≌△AFD，∴BD＝DF，AB＝AF， ∴CF＝AF－AC＝AB－AC． ∵点E为BC的中点，∴DE为△BCF的中位线， ∴DE＝ CF＝ ( AB－AC )． ( B C 第3题 E A D F )3．3 提示：取AC的中点F，连接EF． ∵点E是边BC的中点，∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AB，EF＝ AB＝3． ∵∠BAC＝120°，∴∠DFE＝60°． ∵DE平分△ABC的周长，∴AB＋AD＋BE＝CD＋CE． ∵BE＝CE，∴AB＋AD＝CD＝CF＋DF＝AF＋DF＝AD＋2DF， ∴AB＝2DF，∴DF＝EF， ∴△DEF是等边三角形， ∴DE＝EF＝3． 4．证明：取AC的中点G，在AC上截取AH＝AB，连接FG，DH． ∵点F是BC的中点，∴FG是△ABC的中位线， ( A C B 第4题 D E G H F )∴FG∥AB，FG＝ AB，∴∠GFC＝∠B． ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC． ∵EF∥AD，∴∠EFC＝∠ADC，∠FEG＝∠DAC， ∴∠BAD＝∠FEG， ∴∠EFG＋∠GFC＝∠B＋∠BAD＝∠B＋∠FEG， ∴∠EFG＝∠FEG，∴EG＝FG＝ AB， ∴AE＝AG－EG＝ ( AC－AB )． ∵AB＝AH，∠BAD＝∠HAD，AD＝AD， ∴△ABD≌△AHD，∴BD＝HD，∠AHD＝∠B＝2∠C， ∴∠HDC＝∠C，∴HD＝HC， ∴BD＝HC＝AC－AH＝AC－AB， ∴BD＝2AE． 2.2 构造中线 典例透析 例1 解：取AB的中点D，连接DE，DF． ∵点E是边AC的中点，∴DE是△ABC的中位线， ( A B C 例1 E F D )∴DE∥BC，DE＝ BC＝7． ∵∠AFB＝90°，∴DF＝ AB＝4． ∵EF∥BC，∴D，F，E三点共线， ∴EF＝DE－DF＝7－4＝3． 例2 解：连接BE交AD于点O． ∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ( A B C 例2 D E O )∴BC＝＝5． ∵点D为BC的中点，∴AD＝ BC＝ ， S△ABD ＝ S△ABC ＝ ××3×4＝3． 由题意，AD垂直平分线段BE， ∴S△ABD ＝ AD·OB＝ ×·OB＝3， ∴OB＝ ，∴BE＝ ． ∵BD＝CD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∠DCE＝∠DEC． ∵∠DBE＋∠DEB＋∠DCE＋∠DEC＝180°， ∴∠DEB＋∠DEC＝90°，∴∠BEC＝90°， ∴CE＝＝ ． 例3 解：连接CD． ( A D E B C 例3 F )∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点， ∴CD⊥AB，CD＝AD＝ AB， ∴∠A＝∠DCF＝45°． ∵∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF， ∴△ADE≌△CDF，∴AE＝CF＝3， ∴CE＝BF＝4， ∴EF＝＝5． 例4 解：过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F． ∵∠ACB＝90°，∴四边形DECF是矩形， ( A D B C 例4 E F )∴DE＝CF，DF＝CE． ∵DB＝DC，∴BE＝CE＝ BC＝2， ∴DF＝2，∴AF＝＝2， ∴DE＝CF＝AC－AF＝4－2， ∴S△DBC ＝ BC·DE＝ ×4×( 4－2 )＝8－4． 针对训练 1．－1 提示：取AB的中点F，连接FH，CH． ( B 第1题 E D A C F H )∵AB＝4，∴BC＝2，BF＝1， ∴CF＝＝ ＝． ∵BH⊥AE，∴∠AHB＝90°，∴FH＝ AB＝1． ∵CH＋FH≥CF，∴CH≥CF－FH， ∴CH的最小值为－1． 2．证明：延长AM与CD交于点E． ( A B C 第2题 E D M )∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，∠BAM＝∠CEM． ∵点M为BC的中点，∴AM＝EM， ∴△ABM≌△ECM，∴AM＝EM． ∵∠ADC＝90°，∴DM＝ AE＝AM． 即AM＝DM． ( D A G B 第3题 C E F )3．证明：延长AD与BE交于点G． 由题意，DG∥BC，DE＝CE， ∴∠G＝∠EBC，∠EDG＝∠C， ∴△EDG≌△ECB，∴DG＝BC＝AD． ∵AF⊥BE，∴∠AFG＝90°， ∴DF＝ AG＝AD＝DC． ( A B 第4题 C E D F )4．证明：在BC上取点E，连接AE，使AE＝BE，过点A作AF⊥BC于点F． ∵∠ADC＝45°，∴AF＝DF． ∵AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝15°，∴∠AEC＝30°， ∴AE＝BE＝2AF＝2DF． ∵∠C＝30°，∴AC＝AE，∴EF＝CF． ∴BD＝BE＋ED＝2DF＋ED＝DF＋ED＋DF＝EF＋DF＝CF＋DF＝DC． 5．解：取AE的中点M，连接CM，DM， ( A B l E M 第5题 C D )则CM＝DM＝AM＝EM， ∴∠MAC＝∠MCA，∠MAD＝∠MDA，∠MDC＝∠MCD． ∵直线l∥AB，∴∠ACD＝∠BAC． 设∠MAC＝∠MCA＝x，则∠MDC＝∠MCD＝x＋∠BAC， ∠AMC＝180°－2x，∠DMC＝180°－2x－2∠BAC， ∠AMD＝∠AMC－∠DMC＝2∠BAC， ∴∠AED＝∠MDE＝∠BAC． 6．3－ 提示：过点A作AH⊥BC于点H． ( A 第6题 E D B C H )∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°， ∴AH＝ AB＝3，BH＝CH＝3，∠BAH＝∠CAH＝30°． ∵∠DAE＝30°，∴∠DAH＝∠EAC，∴tan∠DAH＝tan∠EAC＝ ， ∴DH＝ AH＝，∴BD＝BH－DH＝3－． 7． 提示：过点D作DH⊥EF于点H． ( A D F 第7题 E B C G H )由题意，∠DEF＝∠DEC＝∠FDE，∴DF＝EF． ∵∠DHE＝∠C＝90°，∴DH＝DC＝AB＝3． ∵BG＝BE，∴∠DGF＝∠BGE＝∠BEG＝∠DFG， ∴DF＝DG，∴FH＝GH，EF＝DG． 在Rt△ABD中，∵AB＝3，AD＝BC＝4，∴BD＝5． 设BG＝BE＝x，则EH＝EC＝4－x，EF＝DG＝5－x， ∴FH＝5－x－( 4－x )＝1， ∴DF＝＝ ＝． 8．证明：连接BF，CF． ( B D C 第8题 A E F G )∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ABD＝∠ACD， ∴BF＝CF，∴∠FBD＝∠FCD，∴∠ABF＝∠ACF． ∵FG垂直平分BE，∴BF＝EF， ∴CF＝EF，∴∠FEC＝∠ACF＝∠ABF． ∵∠FEC＋∠AEF＝180°，∴∠ABF＋∠AEF＝180°， ∴∠BAE＋∠BFE＝180°，∴∠EFG＋∠BAF＝90°， ∴∠BEF＝90°－∠EFG＝∠BAF． 9．解：取AB的中点G，在AB上截取AH＝AC，连接DG，FG，EH． ∵AH＝AC，∠EAH＝∠EAC，AE＝AE， ( A B 第9题 C G H D E F )∴△AEH≌△AEC，∴EH＝CE，∠AHE＝∠ACB＝80°， ∵∠B＝40°，∴∠BEH＝40°，∴BH＝EH＝CE， ∴AC＝AH＝AB－BH＝AB－CE． ∵AD是中线，点G为AB的中点，∴DG为△ABC是中位线， ∴DG∥AC，AC＝2DG，∴∠BDG＝∠ACB＝80°． ∵AF是高线，∴∠AFB＝90°，∴BG＝FG， ∴∠BFG＝∠B＝40°，∴∠DGF＝40°， ∴DF＝DG，∴AC＝2DF，∴AB－CE＝2DF． ( A B 第10题 C D P E )10．解：∵AB＝AC，点D为BC的中点，∴BD＝CD，AD⊥BC， ∴CP＝BP＝3． ∵PE＝1，∴BE＝4，CE＝＝2， ∴AB＝AC＝AE＋2． 在Rt△ABE中，4 2＋AE 2＝( AE＋2 )2， 解得AE＝． 11．解：取BC的中点F，连接DF，EF． ( A B 第11题 C F D E )∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴DF＝EF＝ BC＝BF＝CF， ∴∠BEF＝∠ABC，∠CDF＝∠ACB， ∴∠BFE＝180°－2∠ABC，∠CFD＝180°－2∠ACB， ∴∠BFE＋∠CFD＝2( 180°－∠ABC－∠ACB )＝2∠A＝120°， ∴∠DFE＝60°，∴△DEF是等边三角形， ∴DE＝EF，∴BC＝2EF＝2DE＝2， ∴CE＝＝3，∴AE＝3， ∴AB＝4，∴AD＝2，BD＝2，∴CD＝＝4． 培优必练 ( A B 第1题 GE C E D F )1．解：延长AE交BC于点F，延长AD交BC于点G． ∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠FEC＝90°． ∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE＝∠FCE． ∵CE＝CE，∴△AEC≌△FEC， ∴AE＝EF，FC＝AC＝6． 同理可得AD＝DG，BG＝AB＝5， ∴DE是△AFG的中位线， FG＝BG＋FC－BC＝5＋6－7＝4， ∴DE＝ FG＝2． 2．解：延长AG交BC于点P，延长AH交BC于点Q． ( A B 第2题 D C E F M N G H P Q )∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ABD＝∠DAC＝90°－∠BAD． ∵CF是∠ACB的平分线，∴∠ACF＝∠BCF． ∵∠AFN＝∠ABD＋∠BCF，∠ANF＝∠DAC＋∠ACF， ∴∠AFN＝∠ANF，∴AF＝AN． ∵点G为FN的中点，AG⊥FN， ∴∠AGC＝∠PGC＝90°． ∵CG＝CG，∴△AGC≌△PGC， ∴AG＝GP，PC＝AC＝4． 同理可得AH＝HQ，BQ＝AB＝3， ∴GH是△APQ的中位线． ∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC＝＝5， ∴PQ＝BQ＋PC－BC＝3＋4－5＝2， ∴GH＝ PQ＝1． 3．解：延长FE到点P，使PE＝EF，连接PB，PC， 过点B作BH⊥PC于点H． ( A D B 第3题 C G M E F P H )∵M是BF的中点，∴EM是△BPF的中位线． ∵四边形CEFG是正方形，∴CE＝EF， ∴PE＝CE，∴∠PCE＝∠CPE＝45°， ∴∠PCB＝45°，∴BH＝ BC＝2． ∵BP≥BH，∴BP的最小值为2， ∴EM的最小值为． 4．解：延长CB到点P，使PB＝BC，取AD的中点M， ( E A D P 第4题 B C N F M )连接EM，PE，PM，过点M作MN⊥BC于点N． 则MN＝AB＝4，BN＝ BC＝2，PN＝6， ∴PM＝＝2． ∵∠AED＝90°，∴EM＝ AD＝2． ∵PE≤PM＋EM，∴PE≤2＋2． ∵PB＝BC，EF＝FC，∴BF是△CEP的中位线， ∴BF＝ PE，∴BF≤＋1， ∴BF的最大值是＋1． 5．延长DE交AB于点F，取BC的中点G，连接DG，EG． ( A F D 第5题 B C G E )∵∠BEC＝90°，∠BEF＋∠CED＝90°． ∵∠CED＝∠ABE，∴∠BEF＋∠ABE＝90°， ∴∠BFE＝90°． ∵点D是AC的中点，点G是BC的中点， ∴DG是△ABC的中位线，∴DG∥AB，DG＝ AB＝3， ∴∠EDG＝90°，∴EG＝＝， ∴BC＝2EG＝2． 6．解：分别过点D，F作BC的垂线，垂足为G，H． ( A 第6题 B C E D F G H )∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝10． ∵DB＝DE，∴BG＝GE，∠B＝∠DEB． 设∠B＝∠DEB＝α，则∠FEC＝∠C＝90°－α， ∴FE＝FC，∴EH＝HC， ∴GH＝GE＋EH＝ BC＝5． ∵DF≥GH，∴DF的最小值为5． 7．证明：延长CB到E，连接AE，使∠AED＝30°，在DC上截取DF＝BD，连接AF． ∵AD⊥BC，∴AB＝AF，∠ADE＝90°， ( 第7题 B C E A D F )∴∠AFB＝∠ABC＝75°，AD＝ AE， ∴∠EAF＝75°，∴AE＝EF． ∵AD＝ BC，∴AE＝BC，∴EF＝BC， ∴DE＝DC，∴AE＝AC，∴AC＝BC． ( A B C D E G F 第8题 )8．解：过点A作AG⊥CE于点G． 由题意，△ABD≌△AED，∴AB＝AE，∠BAD＝∠EAD． ∵∠EAC＝120°，AB＝AC，∴AC＝AE，∠B＝∠ACB＝30°， ∴∠AEC＝∠ACE． 设∠BAD＝∠EAD＝α，则∠EAC＝120°－2α， ∠AEC＝∠ACE＝30°＋α，∴∠F＝∠AEC－∠EAD＝30°． ∵CE＝6，EF＝9，∴CG＝EG＝3，∴FG＝12． 设AG＝x，则AF＝2x，FG＝x＝12， ∴x＝4，∴AF＝8． 9．（1）证明：∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠B． ( C A B E F G D H P 第9题 )∵EF⊥AD，∴∠DFG＝∠ACB＝90°， ∴∠ADC＋∠CGF＝180°，∴∠ADC＝∠AGE． ∵∠ADC＝∠EDB，∴∠AGE＝∠EDB， ∴∠AEG＝∠BED． （2）解：过点A作AP⊥AC，交DE的延长线于点P， 过点D作DH⊥AP于点H． 则∠GAE＝∠PAE＝45°． ∵∠AEG＝∠BED，∠AEP＝∠BED，∴∠AEG＝∠AEP． ∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEP， ∴AG＝AP，∠P＝∠AGE＝∠ADC＝45°＋∠BAD＝∠DAP， ∴DA＝DP，∴AH＝PH，∴AG＝AP＝2AH＝2CD． 由 ＝ ，可设CD＝a，则BD＝na，AG＝2a， AC＝BC＝na＋a，CG＝na－a， ∴ ＝ ＝ ． 10．（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°． ∵CA＝CD，∴∠D＝∠CAD． 设∠ACD＝2x，则∠D＝∠CAD＝90°－x， ∠BCD＝90°＋2x，∠BCE＝∠DCE＝45°＋x， ∠BAE＝180°－∠BAC－∠CAD＝45°＋x， ∴∠BAE＝∠BCE，∴∠AEC＝∠ABC＝45°． （2）解：连接AM，BE，EF，分别过点F，M，C作DE的垂线，垂足为K，G，H． ∵BC＝DC，∠BCE＝∠DCE，EC＝EC， ( A B C 第10题 D H NH G K E F M )∴△BCE≌△DCE，∴∠BEC＝∠AEC＝45°， ∴∠BEA＝90°，∴EF＝AF，∴AK＝EK． ∵CA＝CD，∴AH＝DH． ∵FK⊥DE，MG⊥DE，CH⊥DE，∴FK∥MG∥CH． ∵CM＝FM，∴GH＝KG， ∴AE＝EN－AN＝DN－( AH－NH )＝DN－( DH－NH )＝2NH， ∴AK＝NH，∴AG＝GN，∴MN＝AM． ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，CF⊥AB， ∴CF＝AF＝ AC＝． ∵M是CF的中点，∴FM＝2， ∴MN＝AM＝＝． 11．（1）证明：如图1，过点B作BG⊥CD于点G，过点C作CH⊥DE于点H． ∵BC＝BD，∴CG＝DG＝ CD． ∵∠CDE＝30°，∴CH＝ CD，∴CG＝CH． ∵BC＝CE，∴△BCG≌△ECH， ∴∠BCG＝∠ECH，∴∠BCE＝∠DCH＝60°， ∴△BEC是等边三角形． （2）解：如图2，在AB上截取AP＝AE，连接PE． 设∠A＝2α，则∠APE＝∠AEP＝90°－α． ∵△BEC是等边三角形，∴∠BEC＝60°， ∴∠ABE＝60°－2α，∴∠BDE＝∠BED＝60°＋α， ∴∠PED＝30°＝∠CDE． ∵DE＝ED，∴△PDE≌△FED， ∴DP＝EF，∴AE＝AP＝AD＋DP＝AD＋EF． （3）解：如图3，过点B作BM⊥AC于点M． 则EM＝CM＝ BC，BM＝ BC． ∵AE＝AD＋EF＝kEF，∴AM＝kEF＋ BC，AB＝AD＋BD＝kEF－EF＋BC． 在Rt△ABM中，( kEF＋ BC )2＋( BC )2＝( kEF－EF＋BC )2， ∴( k－2 )BC＝( 2k－1 )EF，∴ ＝ ． ( A B C E D F G H 图1 A B C E D P F 图2 A B C E D F M 图3 第11题 ) 参考答案与解析 第2章 中点 第3章 全等 3.1 遇到中点倍长中线或作平行线 典例透析 例1 解：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE． ( A B C 例1 D E )∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD． ∵∠ADB＝∠EDC，∴△ABD≌△ECD， ∴CE＝AB＝3． ∵AD＝2，∴AE＝4， ∴AE 2＋CE 2＝4 2＋3 2＝25． ∵AC＝5，∴AC 2＝25， ∴AE 2＋CE 2＝AC 2，∴∠E＝90°， ∴S△ABC ＝S△AEC ＝ AE·CE＝ ×4×3＝6． ( A B C 例2 D E F )例2 证明：过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F． ∵BF∥EC，∴∠F＝∠CED，∠FBD＝∠ECD． ∵AD是中线，∴BD＝CD， ∴△FBD≌△ECD，∴BF＝CE． ∵∠CED＝∠BAD，∴∠F＝∠BAD， ∴AB＝BF，∴CE＝AB． 针对训练 ( A B C 第1题 E F D G )1．证明：过点A作AG∥BE交CD的延长线于点G． 则∠G＝∠DEB，∠DAG＝∠DBE． ∵AD＝BD，∴△AGD≌△BDE，∴AG＝BE． ∵BE＝AC，∴AG＝AC，∴∠G＝∠FCE． ∵∠FEC＝∠DEB，∴∠FCE＝∠FEC， ∴EF＝CF． 2．解：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE． ( A B C 第2题 D E )∵点D为BC的中点，∴BD＝CD． ∵∠EDB＝∠ADC，∴△EDB≌△ADC， ∴BE＝AC＝2． ∵∠BAC＝120°，∠DAC＝90°，∴∠BAE＝30°， ∴AE＝BE＝2， ∴S△ABC ＝S△ABE ＝ AE·BE＝ ×2×2＝2． ( A D E F B C 第3题 G ) 3．解：延长AF到点G，使FG＝AF，连接CG． ∵∠CFG＝∠DFA，∠CF＝DF，∴△CFG≌△DFA， ∴CG＝AD＝AE，∠G＝∠DAF， ∴CG∥AD，∴∠ACG＋∠DAC＝180°． ∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAE＋∠DAC＝180°， ∴∠ACG＝∠BAE． ∵AC＝AB，∴△CAG≌△ABE， ∴AG＝BE，∠CAF＝∠ABE， ∴AF＝ AG＝ BE． ∵∠BAF＋∠CAF＝90°，∴∠BAF＋∠ABE＝90° ∴AF⊥BE． 4．证明：过点B作BG∥AE交AC于点G． ( A B C 第4题 D E F G )则∠BGF＝∠EAF，∠FBG＝∠E． 设∠BAD＝α，则∠CAD＝60°－α，∠BGF＝∠EAF＝60°＋α， ∴∠CBG＝α，∴∠BAD＝∠CBG． ∵AB＝BC，∠ABD＝∠C，∴△ABD≌△BCG， ∴BG＝AD＝AE，∴△BFG≌△EFA，∴FG＝AF． ∵△ABD≌△BCG，∴BD＝CG， ∵BC＝AC，∴CD＝AG＝2AF． 5．证明：过点D' 作D'F∥BE交AE于点F． ( A D B C 第5题 E D ′ P F G H )则∠ADH＝∠FD'H，∠DAH＝∠D'FH． ∵DH＝D'H，∴△ADH≌△MD'H， ∴AD＝D'F，AH＝FH＝ AF． ∵∠D'FH＝∠DAH＝∠EAD'＝2∠AED'， ∴∠FD'E＝∠AED'，∴D'F＝EF，∴AD＝EF． ∵点G为AE的中点，∴AG＝GE＝ AE， ∴GH＝AG－AH＝ AE－ AF＝ EF＝ AD． ( E A D F H M B C 第6题 G )6．证明：证明：连接BF，过点B作BH⊥FC于点H． ∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠FBC． ∵BC＝FC，∴∠BFC＝∠FBC， ∴∠AFB＝∠BFC，∴BH＝BA＝GC． ∵∠BHM＝∠GCM＝90°，∠BMH＝∠GMC， ∴△BMH≌△GMC，∴BM＝GM． 7．证明：过点E作EH⊥BC交CD于点H，连接HF． ( 第7题 F B C E A D G H )∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB， ∴CD＝AD，∠DCB＝45°，∴CE＝HE． ∵∠DEF＝90°，∴∠CED＝∠HEF． ∵ED＝EF，∴△CED≌△HEF， ∴CD＝HF，∠CDE＝∠HFE， ∴∠DHF＝∠DEF＝90°， ∴AD＝HF，∠ADG＝∠DHF． ∵∠AGD＝∠FGH，∴△AGD≌△FGH， ∴AG＝GF． 8．证明：证明：过点A作DC的垂线，垂足为H，过点E作AH，DC的垂线，垂足为G，M． ∵∠ACB＝90°，∴∠ACH＋∠CAH＝90°， ( A B C H G E D F M 第8题 )∠ACH＋∠BCD＝90°， ∴∠CAH＝∠BCD． ∵AC＝CB，∴△CAH≌△BCD（AAS）， ∴AH＝CD，CH＝BD． 同理可证△DAH≌△AEG（AAS）， ∴DH＝AG， ∴EM＝GH＝AH－AG＝CD－DH＝CH＝BD． ∵∠BFD＝∠EFM，∠BDF＝∠EMF， ∴△BDF≌△EMF（AAS）， ∴BF＝EF． 9．证明：延长EG到点H，使GH＝EG，连接AH，DH． ∵AG＝FG，∠AGH＝∠FGE，∴△AGH≌△FGE， ( A C B D G E H F 第9题 )∴AH＝EF，∠GAH＝∠GFE，∴AH∥EF． ∵∠FEC＝90°，∴EF⊥EC，∴AH⊥EC． ∵AD⊥BC，∴∠DAH＝∠DCE， ∵△ABC和△EFC都是等腰直角三角形， ∴EF＝CE，AD＝CD， ∴AH＝CE，∴△ADH≌△CDE， ∴DH＝DE，∠ADH＝∠CDE， ∴∠EDH＝∠ADC＝90°， ∴△DEH是等腰直角三角形， ∴△GDE是等腰直角三角形． 10．（1）证明：过点E作EG∥AB交AC于点G． ( A E B C 第10题 D F G )则∠AFB＝∠GFE，∠AGE＝∠BAC＝∠DBA． ∵∠CAE＝∠ADB，AD＝AE，∴△ABD≌△EGA， ∴AB＝EG，∴△ABF≌△GEF，∴BF＝EF． （2）解：∵△ABD≌△EGA，∴AG＝BD． ∵△ABF≌△GEF，∴AF＝FG． 设CD＝2，则AG＝BD＝2k，AF＝k， AC＝BC＝2k＋2，FC＝k＋2， ∴ ＝ ． 3.2 遇到平分线段作平行线 典例透析 ( A D B C F G E 例1 )例1 证明：过点D作DG∥AC交BC于点G． 则∠DGB＝∠ACB，∠DFG＝∠EFC，∠DGF＝∠ECF． ∵DF＝EF，∴△DFG≌△EFC， ∴DG＝CE． ∵BD＝CE，∴DG＝BD，∴∠B＝∠DGB， ∴∠ACB＝∠B，∴AB＝AC． ( A B C 例2 E D G H F )例2 解：过点D作DH∥BC交AC于点H． 则∠AHD＝∠ACB，∠DFH＝∠EFC，∠DHF＝∠ECF． ∵DF＝EF，∴△DFH≌△EFC， ∴HF＝CF． ∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°， ∴∠A＝∠AHD，∴DA＝DH． ∵DG⊥AC，∴AG＝GH， ∴GF＝GH＋HF＝ AC＝ AB＝1． 针对训练 1．证明：过点D作DH∥AC交BC于点H． ( A B C G H F D E 第1题 )则∠DHB＝∠ACB，∠DFH＝∠EFC，∠DHF＝∠ECF． DF＝EF，∴△DFH≌△EFC， ∴HF＝CF，DH＝CE． ∵GF＝GH＋HF＝ BC，∴BG＝GH． ∵DG⊥BC，∴DB＝DH， ∴∠B＝∠DHB＝∠ACB，∴AB＝AC． 2．证明：连接CE，过点B作BG∥CE，交EF的延长线于点G． ( A D E B C 第2题 F G )则∠G＝∠CEF，∠BFG＝∠CFE． ∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE． ∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC． ∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∠ADE＋∠BDF＝90°， ∴∠AEC＝90°，∴∠AED＋∠CEF＝90°， ∴∠AED＋∠G＝90°． ∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED， ∴∠ADE＋∠G＝90°，∴∠BDF＝∠G， ∴BG＝BD，∴BG＝CE， ∴△BFG≌△CFE，∴BF＝CF． 3．证明：过点D作DG∥BC交AC于点G，交FE的延长线于点H． 则∠EGH＝∠C，∠H＝∠EFC． ( A G H D E B F C 第3题 )∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠A＝∠C＝60°， ∴∠AGD＝∠C＝60°，∴△ADG是等边三角形， ∴AD＝AG＝DG，∴BD＝CG． ∵BD＝2CE，∴CG＝2CE， ∴GE＝CE，∴△EGH≌△ECF， ∴EH＝EF，GH＝CF． ∵EF⊥DE，∴DF＝DH＝DG＋GH＝AD＋CF． 4．解：过点D作DG∥BC交AC于点G，作DH⊥AC于点H． ( A D F B E C 第4题 H G )可证△DFG≌△EFC，∴DF＝EF，GF＝CF， ∴AF＝AG＋GF＝AD＋CF． 设△ADF的周长为12a，则△CEF的周长为10a， ∴AD＋AF＋DF＝12a，CE＋CF＋EF＝10a， ∴AD＋AD＋CF＋EF＝12a，AD＋CF＋EF＝10a， ∴AD＋10a＝12a，∴AD＝CE＝2a， ∴AH＝GH＝a，DH＝a，2a＋GF＋DF＝10a， ∴GF＋DF＝8a． ∵DF 2＝DH 2＋FH 2，∴( 8a－GF )2＝( a )2＋( a＋GF )2， 解得GF＝ a，则CF＝ a，AF＝ a∶ a＝8∶5． 3.3 构造共顶点旋转全等（手拉手） 典例透析 例1 解：将△ACD绕点A顺时针旋转到△ABG． ( E A F B C 例1 D G )则CD＝BG，AG＝AD＝AE，∠DAC＝∠GAB． ∵∠DAE＋∠BAC＝180°，∴∠DAC＋∠CAE＋∠BAC＝180°， ∴∠GAB＋∠CAE＋∠BAC＝180°， ∴G，A，E三点共线． ∵BF＝EF，∴AF是△BEG的中位线， ∴BG＝2AF，∴CD＝2AF． ( A B C 例2 D E )例2 解：将△ACD绕点A顺时针旋转到△EBD，连接AE． 则BE＝AC＝2，ED＝AD，∠EDB＝∠ADC． ∵AB＝3，AE≤AB＋BE，∴AE的最大值为5． ∵∠BDC＝90°，∴∠ADE＝90°， ∴AD＝ AE，∴AD的最大值为 ． 针对训练 ( A B C D E F 第1题 )1．证明：过点A作AF⊥AD，交BC的延长线于点F． ∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAF． ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°． ∵BD⊥BC，∴∠ABD＝∠ACF＝135°． ∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACF，∴AD＝AF． ∵∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠CAE＝45°， ∴∠BAD＋∠CAE＝45°，∴∠CAF＋∠CAE＝45°， ∴∠DAE＝∠FAE＝45°． ∵AE＝AE，∴△AED≌△AEF，∴DE＝EF． ∵EF＝CF＋CE，∴DE＝BD＋CE． 2．－1 提示：过点A作AE⊥AD，交BD于点E． ∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD． ( A B 第2题 C E D )∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠ABE＝∠ACD． ∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD， ∴AE＝AD，BE＝CD． ∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝2． ∵∠ABD＝15°，∴∠DBC＝30°， ∴CD＝ BC＝，BD＝CD＝， ∴BE＝，∴DE＝－， ∴AD＝ DE＝－1． 3．2 ( A B C D G E F 第3题 )提示：在AF上截取AG＝AE，连接GE． ∵∠BAC＝120°，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD＝60°， ∴AD＝ AB＝ ，△AGE是等边三角形， ∴GE＝AE＝2，∠AEG＝60°． ∵∠BEF＝60°，∴∠BEF＝∠BAD，∠AEB＝∠GEF， ∴∠ABE＝∠F，∴△ABE≌△GFE， ∴GF＝AB＝3，∴AF＝AG＋GF＝5， ∴DF＝AF－AD＝5－ ＝ ． 4． 提示：在AD上取点E，使DE＝CD，连接BE，CE． ( A B 第4题 C D E )∵∠ADC＝60°，∴△CDE是等边三角形， ∴CD＝CE，∠ECD＝60°． ∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE， ∴∠BEC＝∠ADC＝60°， ∴∠BEC＝∠ECD，∴BE∥CD， ∴S△BDC ＝S△EDC ＝ CD 2＝． ( A B 第5题 C D E )5．2 提示：过点B作BE⊥BD交AD的延长线于点E． ∵∠ADB＝135°，∴∠BDE＝45°， ∴∠BED＝45°，∴BD＝BE． ∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABD＝∠CBE． ∵AB＝BC，∴△ABD≌△CBE， ∴CE＝AD＝1，∠CEB＝∠ADB＝135°， ∴∠AEC＝90°，∴DE＝＝ ＝2， ∴BD＝ DE＝2． 6．－ 提示：过点A作AM⊥DE于点M，过点D作DG⊥AB于点G， ( A B C 第6题 D E H G M F )过点E作EH⊥AC于点H， 设DE与AC相交于点F． ∵∠BAC＝∠DAE，∴∠DAG＝∠EAH． ∵∠AGD＝∠AHE＝90°，AD＝AE， ∴△ADG≌△AEH，∴DG＝EH，∠EAF＝∠BAD＝15°． ∵∠DAE＝90°，AD＝AE，∴∠ADF＝∠AEF＝45°， ∴∠AFM＝60°，∴AM＝ME＝ AE＝ AD＝2， ∴MF＝ ＝ ，∴EF＝2－ ， ∴EH＝ EF＝－． 7．2 ( A D B C 第7题 F E G )提示：延长CB到G，使BG＝DE，连接AG． 则△ABG≌△ADE，∴∠BAG＝∠DAE， ∴∠GAE＝∠BAD＝90°， ∴∠GAF＝90°－∠FAE＝90°－∠BAF＝∠AFG， ∴AG＝FG＝BG＋BF＝DE＋BF＝5＋8＝13， ∴BC＝CD＝AB＝＝ ＝12， ∴CE＝12－5＝7，CF＝15－8＝4， ∴EF＝＝ ＝． 8．3 提示：将△ABP绕点A逆时针旋转120°到△ACD，连接PD， 过点C作CE⊥BP交BP的延长线于点E． ( A D E P B C 第8题 )则∠ADC＝∠APB＝120°，∠PAD＝120°， AD＝AP＝，BP＝CD， ∴∠APD＝∠ADP＝30°，∴∠PDC＝90°，PD＝AP＝． ∵∠APB＝120°，∠APC＝90°，∴∠BPC＝150°， ∴∠CPE＝30°，∴CE＝ PC． ∵∠APC＝90°，∴∠DPC＝60°， ∴PD＝ PC，BP＝CD＝PD＝3， ∴CE＝PD＝，∴S△PBC ＝ BP·CE＝ ×3×＝3． 9．AD＝CF，AD∥CF，理由如下： ( B A C D 第9题 E F G )连接DF交AB于点G． 由题意，AB＝AC，BE＝DE，AE＝EF，∠BEA＝∠DEF， ∴△BEA≌△DEF，∴AB＝DF，∠BAE＝∠DFE． ∴AC＝DF，∠AGF＝∠AEF＝90°． ∵∠BAC＝90°，∴AC∥DF，∴∠FAC＝∠AFD． ∵AF＝AF，∴△FAC≌△AFD， ∴AD＝CF，∠DAF＝∠CFA，∴AD∥CF． ( A B 第10题 C P E D ) 10．证明：在AC上取点D，使AD＝BD，在BD上取点E， 使∠BPE＝∠CPD． 则∠BAC＝∠ABD，∴∠BDC＝2∠BAC＝∠BPC， ∴∠PBE＝∠PCD，∴∠PEB＝∠PDC，∴∠PED＝∠PDA． ∵PB＝PC，∴△PBE≌△PCD，∴PE＝PD， ∴∠PDB＝∠PED，∴∠PDA＝∠PDB． ∵PD＝PD，∴△PAD≌△PBD，∴PA＝PB． 11．证明：在AC上截取AG＝AE，连接DG，EG． ( B 第11题 C A D E F G )∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴BE＝CG，△AEG是等边三角形， ∴AE＝GE，∠AEG＝60°． ∵△DEF是等边三角形，∴ED＝EF，∠DEF＝60°， ∴∠AEF＝∠GED，∴△AEF≌△GED，∴AF＝GD． ∵BE＝CG，∠B＝∠C，BD＝CD， ∴△BED≌△CGD，∴ED＝GD， ∴AF＝ED＝EF． 12．证明：过点C作CG⊥AB于点G，连接EG，过点E作EH⊥EG交CG于点H． ( A B 第12题 C F D E G H )∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DEC＝90°， ∴AG＝CG，CE＝DE，∠ECH＝∠EDG，∠CEH＝∠DEG， ∴△CEH≌△DEG，∴EH＝EG，∴∠EHG＝∠EGC＝45°， ∴∠EGA＝∠EGC＝45°． ∵EG＝EG，∴△AEG≌△CEG， ∴AE＝CE，∴∠ACE＝∠CAE， ∴∠ECF＝∠EFC，∴EF＝CE，∴AE＝EF． 13．证明：延长FC到点G，使FG＝AF，连接BF，AG． ( A B C E P D F G 第13题 )∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝∠ACE＝60°． ∵AD＝CE，∴△ABD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠CAE， ∴∠APD＝∠ABD＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE＝60°． ∵CF∥BD，∴∠AFG＝∠APD＝60°， ∴∠BPF＝∠APD＝60°，△AFG是等边三角形， ∴AF＝AG，∠FAG＝∠G＝60°， ∴∠BAF＝∠CAG，∴△ABF≌△ACG， ∴BF＝CG，∠AFB＝∠G＝60°， ∴△BPF是等边三角形，∴BF＝PF， ∴PF＝CG，∴AP＝CF． 14．解：过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H． ∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ( B 第14题 D C E F G H A )∴∠GDH＝120°． ∵∠EDF＝120°，∴∠EDG＝∠FDH． ∵BD＝CD，∴△BDG≌△CDH， ∴BG＝CH，DG＝DH． ∵∠DGE＝∠DHF＝90°，∴△DEG≌△DFH， ∴EG＝FH，∴BG－BE＝CF－CH， ∴BG－1＝2－BG，∴BD＝2BG＝3， ∴AB＝BC＝2BD＝6． ( C 第15题 B D A H E )15．解：将△DBC绕点C逆时针旋转90°到△AEC，连接BE， 过点A作AH⊥BE于点H． 则CE＝BC＝4，∠BCE＝90°， ∴BE＝BC＝8，∠CBE＝∠CEB＝45°， ∵∠ABC＝15°，∴∠ABH＝60°， ∴BH＝ AB＝ ，AH＝ ， ∴EH＝BE－BH＝ ， ∴BD＝AE＝＝7． 16．解：过点D作DE⊥DB交BC于点E，连接AE，作DH⊥AE于点H． ∵AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠CAD＝45°． ( A B 第16题 E C D H )∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB． ∵∠ABD＝BCD，∴∠DBE＝∠ACD＝45°， ∴∠DEB＝∠DBE＝45°，∴DB＝DE． ∵∠ADC＝∠BDE＝90°，∴∠ADE＝∠CDB， ∴△ADE≌△CDB，∴AE＝BC＝4，∠AED＝∠DBE＝45°， ∴∠AEB＝90°，∴BE＝CE＝2， ∴DB＝DE＝，∴DH＝EH＝1， ∴S△ABD ＝S△ABE － S△ADE － S△BDE ＝ ×2×4－ ××－ ×4×1＝1． 17．解：将△ADC绕点A顺时针旋转90°到△ABE，连接CE， 过点E作EH⊥CB交CB的延长线于点H． ( B C A E D H 第17题 )则AE＝AC＝，BE＝CD＝，∠EAC＝90°， ∴EC＝AE＝． 设BH＝a，EH＝b，则a 2＋b 2＝5，( a＋3 )2＋b 2＝26， ∴a 2＋b 2＋6a＋9＝26，∴5＋6a＋9＝26， ∴a＝2，∴b＝1， ∴S四边形ABCD ＝S△ABC ＋ S△ADC ＝S△ABC ＋ S△ABE ＝S△AEC － S△BEC ＝ ××－ ×3×1＝5． 18．证明：连接AE，过点A作AH⊥AE，交BD于点H，AH⊥AE，交BD于点H． ∵∠BAC＝∠BEC＝90°，∠ADB＝∠EDC， ( A B 第18题 C E D G F H M )∴∠ABH＝∠ACE． ∵∠BAC＝∠FAG＝90°，∴∠BAF＝∠CAG． ∵AB＝AC，∴△ABF≌△ACG， ∴AF＝AG，BF＝CG，∠AFB＝∠AGC， ∴∠AFH＝∠AGE． ∵∠FAG＝∠HAE＝90°，∴∠FAH＝∠GAE， ∴△AFH≌△AGE，∴AH＝AE，FH＝EG， ∴△AHE是等腰直角三角形，∴EH＝2AM． ∵点D为AC的中点，∴AD＝CD． ∵∠AMD＝∠CED＝90°，∠ADM＝∠CDE， ∴△ADM≌△CDE，∴AM＝CE，∴EH＝2CE ∴EF－EG＝EF－FH＝EH＝2CE． 19．解：将△ABC绕点A逆时针旋转120°到△ADE，连接CE， ( A C 第19题 D B G E H )过点A作CE的垂线，垂足为G，过点E作CD的垂线，垂足为H． 则DE＝BC＝2，CE＝2CG＝2× AC＝AC＝7， ∴EH＝ DE＝，DH＝3， ∴CH＝＝12，∴CD＝9． 20．解：将△BCD绕点C顺时针旋转60°到△ACE，连接DE， ( A B 第20题 C D F E )过点E作EF⊥AD交AD的延长线于点F． 则BD＝AE，CD＝CE，∠DCE＝60°， ∴△CDE是等边三角形，∴DE＝CD＝，∠CDE＝60°． ∵∠ADC＝90°，∴∠ADE＝150°， ∴∠EDF＝30°，∴EF＝ DE＝ ，DF＝ ． ∵AD＝2，∴AF＝ ，∴BD＝AE＝＝． 21．解：将△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACE，连接DE， ( A D C E 第21题 F B )过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F． 则CE＝BD＝2，∠ACE＝∠ABD， ∴∠DCE＝360°－∠ACD－∠ACE＝360°－∠ACD－∠ABD ＝∠BAC＋∠BDC＝135°，∴∠ECF＝45°， ∴CF＝EF＝ CE＝． ∵CD＝3，∴DF＝4， ∴DE＝＝，∴AD＝ DE＝． 22．解：过点B作BE⊥AD于点E，将△BAE绕点B顺时针旋转90°到△BCF， ( E B 第22题 C G D A F )延长FC交AD于点G． 则AE＝CF，BE＝BF，∠BEG＝∠EBF＝∠F＝90°， ∴四边形BEGF为正方形，∴BE＝EG＝FG． ∵∠ADC＝45°，∴CG＝DG， ∴AD＝AE＋EG＋DG＝CF＋EG＋CG＝EG＋FG＝2BE， ∴BE＝ AD，∴S△ABD ＝ AD·BE＝ AD 2＝9，∴AD＝6． 23．解：在BD上取点F，连接AF，使AF＝AD，过点F作FG⊥AB于点G，过点A作AH⊥BC于点H． ∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠C＝30°， ∠BAH＝∠CAH＝60°． ∵∠DBC＝10°，∴∠ABF＝20°，∠AFD＝∠ADF＝40°， ( A B C E D F G H 第23题 )∴∠BAF＝20°，∴AF＝BF，∴AG＝BG＝ AB＝AH． ∵∠CAE＝40°，∴∠EAH＝20°，∴∠FAG＝∠EAH． ∵∠AGF＝∠AHE＝90°，∴△AFG≌△AEH， ∴AF＝AE，∴AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝70°，∴∠BDE＝30°． 24．EN＝DN． 证明：连接AM，BE，并延长BE交MN的延长线交于点G，MG交AB于点F， 过点E作EH∥BC交MG于点H． 则∠NEH＝∠NDM，∴∠ENH＝∠DNM． ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C． ( A B 第24题 C E M H G F N D )∵∠EAD＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CAD． ∵AB＝AC，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD， ∴BE＝CD，∠ABE＝∠C，∴∠ABC＝∠ABE． ∵MN⊥AB，∴∠BFM＝∠BFG＝90°， ∴∠BMF＝∠G，∴BG＝BM，∠EHG＝∠BFM＝∠G， ∴EG＝EH． ∵M为BC的中点，∴BM＝CM， ∴BG＝CM，∴EG＝DM，∴EH＝DM， ∴△ENH≌△DNM，∴EN＝DN． 3.4 构造邻边相等对角互补 典例透析 ( A O N 例1 H P B G M )例1 证明：过点P作PG⊥OA于点G，PH⊥PB于点H． 则∠PGM＝∠PHN＝90°，∠AOB＋∠GPH＝180°． ∵∠AOB＋∠MPN＝180°，∴∠GPH＝∠MPN， ∴∠MPG＝∠NPH． ∵OP平分∠AOB，∴PG＝PH， ∴△PGM≌△PHN，∴PM＝PN． 例2 证明：延长CD到E，连接AE，使AE＝AD． ( A E B D C 例2 )则∠ADE＝∠E． ∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB． ∵∠ACD＝∠ADB，∴∠ACD＝∠ABD， ∴∠BDC＝∠BAC． 设∠ABD＝∠ADB＝α，∠BDC＝β， 则∠ACD＝α，∠BAC＝β，∠E＝∠ADE＝180°－α－β， ∴∠EAC＝β，∴∠EAC＝∠BAC． ∵AB＝AD，∴AE＝AB． ∵AC＝AC，∴△AEC≌△ABC， ( D C 例3 F E A B )∴∠ACE＝∠ACB，∴AC平分∠BCD． 例3 解：延长DC到F，使CF＝AD，连接EF． ∵∠ADC＝∠AEC＝90°，∴∠DAE＋∠DCE＝180°． ∵∠FCE＋∠DCE＝180°，∴∠DAE＝∠FCE． ∵AE＝CE，∴△ADE≌△CFE， ∴DE＝EF，∠AED＝∠CEF， ∴∠DEF＝∠AEC＝90°． ∵AB＝2，∴CF＝AD＝BD＝2， ∴DC＝＝3，∴DF＝5， ∴DE＝ DF＝ ． 针对训练 1．5 提示：延长BC到E，使CE＝AB，连接DE． ( A D B E 第1题 C )∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠DAB＋∠BCD＝180°． ∵∠DCE＋∠BCD＝180°，∴∠DAB＝∠DCE． ∵AD＝CD，∴△ADB≌△CDE， ∴DB＝DE，∠ADB＝∠CDE， ∴∠BDE＝∠ADC＝90°， ∴BE＝BD＝8，∴BC＝BE－CE＝5． 2．3 提示：延长CB到E，使BE＝DC，连接AE，过点A作AH⊥BC于点H． ∵∠BAD＝120°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＋∠ADC＝180°． ( A D B H 第2题 C E )∵∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠ABE＝∠ADC． ∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADC， ∴AE＝AC，∠BAE＝∠DAC， ∴∠EAC＝∠BAD＝120°，∴∠E＝∠ACB＝30°． ∵BC＝7，CD＝2，∴EC＝9，∴EH＝CH＝ ， ∴AH＝ CH＝ ，∴AC＝2AH＝3． ( A D B C 第3题 F E G )3．解：过点B作BG⊥BE交EA的延长线于点G． ∵∠AEB＝45°，∴∠G＝45°，BE＝BG． ∵EF⊥AE，∴∠AEF＝∠ABF＝90°， ∴∠BEF＝45°＝∠G，∠BAE＋∠BFE＝180°． ∵∠BAE＋∠BAG＝180°，∴∠BFE＝∠BAG， ∴△BEF≌△BGA，∴BF＝AB＝CD＝DE＋CE＝3． 4．解：过点D作AB，BC的垂线，垂足为F，G． ( A F D B C 第4题 G E )则∠ABC＋∠FDG＝180°，∴∠FDG＝180°－α． ∵BD平分∠ABC，∴DF＝DG． ∵DE⊥AC，AE＝CE，∴AD＝CD， ∴△ADF≌△CDG，∴AE＝CF． ∵BD＝BD，∴△BDE≌△BDF， ∴∠ADF＝∠CDG，∴∠ADC＝∠FDG＝180°－α， ∴∠ADE＝∠CDE＝90°－ ． 5．解：过点P作PG⊥OB于点G，则∠AOB＋∠DPG＝180°． ( O B 第5题 F A D E G P )∵PD⊥OA，OC平分∠AOB，∴PD＝PG， ∵∠PEO＋∠PFO＝180°，∴∠AOB＋∠EPF＝180°， ∴∠DPG＝∠EPF，∴∠DPE＝∠GPF． ∵∠PDE＝∠PGF＝90°，∴△PDE≌△PGF，∴DE＝FG． ∵PD＝PG，OP＝OP，∴△OPD≌△OPG，∴OD＝OG， ∴OE－OD＝OG－OF，∴OE＋OF＝OD＋OG＝2OD． 6．解：过点D作AB，BC的垂线，垂足为E，F． ( B C 第6题 E F D A )∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF． ∵AD＝CD，∴△ADE≌△CDF，∴AE＝CF． ∵BD＝BD，∴△BDE≌△BDF，∴BE＝BF． 设AE＝CF＝x，则BE＝x＋3，BF＝5－x， ∴x＋3＝5－x，∴x＝1，∴BE＝4， DE 2＝AD 2－AE 2＝3， ∴BD＝＝． ( E D A B C 第7题 F )7．解：过点D作AB，BC的垂线，垂足为E，F． ∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF． ∵AD＝CD，∴△ADE≌△CDF，∴AE＝CF． ∵BD＝BD，∴△BDE≌△BDF，∴BE＝BF． 设AE＝CF＝x，则BF＝BE＝x＋3，BC＝2x＋3， DE 2＝AD 2－AE 2＝3 2－x 2，DF 2＝BD 2－BF 2＝5 2－( x＋3 )2， 解得x＝ ，∴BC＝2x＋3＝ ． 8．解：过点D作AB，BC的垂线，垂足为E，F． ( D E B C 第8题 F A )∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF． ∵AD＝CD，∴△ADE≌△CDF，∴AE＝CF． ∵BD＝BD，∴△BDE≌△BDF，∴BE＝BF． ∵∠BDC＝90°，∴BD 2＋CD 2＝BC 2＝( BF＋CF )2． ∵DF⊥BC，∴BF 2＋DF 2＝BD 2，CF 2＋DF 2＝CD 2， ∴BF 2＋DF 2＋CF 2＋DF 2＝( BF＋CF )2， ∴DF 2＝BF·CF． 设AE＝CF＝x，则BF＝BE＝x＋7，DF 2＝CD 2－CF 2＝15 2－x 2， ∴15 2－x 2＝x( x＋7 )，解得x＝－ （舍去）或x＝9， ∴BC＝2x＋7＝25． 9．证明：延长CD到E，使BE＝BC，过点B作BF⊥BC交 ( A B C D O F E 第9题 )AD的延长线于点F，连接EF，设BF交DE于点O． 则∠BED＝∠BCD，BF∥AC， ∴∠BFD＝∠CAD＝∠BAD，∴BA＝BF． 设∠BCD＝α，则∠BAD＝∠BED＝α，∠BAC＝2α， ∠CBE＝∠ABF＝180°－2α，∠FBE＝∠ABC＝90°－2α， ∴△ABC≌△FBE，∴AC＝EF，∠FEB＝∠ACB＝90°， ∴∠EOF＝∠OEF＝90°－α，∴OF＝EF＝AC， ∵∠ADC＝∠FDO，∴△ADC≌△FDO， ∴AD＝DF，∴BD⊥AF，∴∠ADB＝∠ACB＝90°， ∴∠CBD＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD，∴BD＝CD． 10．解：如图1，图2，过点P作OA，OB的垂线，垂足为D，E． ∵OC平分∠AOB，∴PD＝PE． ( O B 第10题 图1 E P D A N C M 图2 M O D E N B C A P )∵PM＝PN，∴△PDM≌△PEN， ∴DM＝EN，∠DPM＝∠EPN， ∴∠MPN＝∠DPE＝180°－∠AOB＝120°， ∴∠PMN＝∠PNM＝30°． ∵PD＝PE，OP＝OP，∴△OPD≌△OPE$$