精品解析：湖南省永州市祁阳市祁阳文昌中学2024-2025学年九年级上学期第一阶段核心素养调研数学试题

祁阳市文昌中学2024年下学期第一阶段核心素养调研 九年级数学（试题卷） （时量：120分钟 分值：120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义判断． 【详解】解：A. 符合定义，是一元二次方程， B.含有多个未知数，不符合定义，不是一元二次方程； C.分母含有未知数，不是一元二次方程； D.含有两个未知数，不是一元二次方程， 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2. 若点在反比例函数 的图象上，那么下列各点在此函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据点在反比例函数的图象上，求出k，再利用A，B，C，D，所给点判断即可． 【详解】解：点在反比例函数 的图象上， ， 只有满足才符合要求， 只有A符合要求，， 故选：A． 3. 、、、是成比例线段，其中，，，则线段的长可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义得到，据此代值计算判断即可． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段，，，， ∴， ∴， 故选：D． 4. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，根据一次函数与反比例函数的图象与性质逐一排除即可，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，符合题意； 故选：． 5. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将点代入得：， 则反比例函数的解析式为， 所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， 又点在函数的图象上，且， ，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 6. 如图，点A是反比例函数y=（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD的面积为6，则k的值为（　　） A. 6 B. 3 C. ﹣6 D. ﹣3 【答案】C 【解析】 【详解】作AE⊥BC于E，如图： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥x轴， ∴四边形ADOE为矩形， ∴S平行四边形ABCD=S矩形ADOE， 而S矩形ADOE=|−k|， ∴|−k|=6， 而k<0，即k<0， ∴k=−6. 故选C. 7. 如图，是叶脉的黄金分割点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金分割数的性质（如果把一条线段分为两部分，使其中较长一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数）求解即可． 【详解】根据黄金分割数的性质可知． 故选：A． 【点睛】本题主要考查黄金分割数，牢记黄金分割数的性质（如果把一条线段分为两部分，使其中较长一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数）是解题的关键． 8. 已知方程可以配方成，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【详解】解：对原方程配方得：， ，， ∴ 故选：B． 9. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． ⑤存在实数，使得 其中正确的是（） A. ①②④ B. ①②④⑤ C. ①②③④⑤ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，正确的变形是解题的关键．根据一元二次方程根与判别式的关系、根的定义及代数变形逐一判断各命题． 【详解】解：∵若，则是方程的根，此时判别式，当方程有两个相等的实数根时，；当方程有两个不同的实根时，， ∴判别式，故①正确； ∵方程有两个不等实根，则其判别式，即， ∴方程的判别式，故②正确； ∵若c是方程的根，则，即，当时，不一定为0，故③错误； ∵是方程的根，则，， ，故④正确； ∵存在实数使，如取，则需，取即可(若，取，)，故⑤正确． 综上，正确的是①②④⑤． 故选：B． 10. 反比例函数y=（a＞0，a为常数）和y=在第一象限内的图像如图所示，点M在y=的图像上，MC⊥x轴于点C，交y=的图像于点A；MD⊥y轴于点D，交y=的图像于点B，当点M在y=的图像上运动时，以下结论： ①S△ODB=S△OCA； ②四边形OAMB的面积不变； ③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点． 其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质和比例系数的几何意义逐项分析可得出解． 【详解】①由于A、B在同一反比例函数y=图像上，由反比例系数的几何意义可得S△ODB=S△OCA=1,正确，符合题意； ②由于矩形OCMD、△ODB、△OCA为定值，则四边形MAOB的面积不会发生变化，正确，符合题意； ③连接OM，点A是MC的中点，则S△ODM=S△OCM=，因S△ODB=S△OCA=1,所以△OBD和△OBM面积相等，点B一定是MD的中点．正确，符合题意； 故答案选D． 二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的基本性质，由题意得到，再利用比例的基本性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 12. 反比例函数的图象在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数图象在每个象限内的函数值y随自变量x的增大而减小，得出，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内的函数值y随x的增大而减小， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 已知，点C在线段上，是，的比例中项，则的长______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例中项的定义，首先设，由线段，可求得的值，又由是，的比例中项，列方程即可求得线段的长． 【详解】解：∵，点C在线段上， ∴设，则， ∵是，的比例中项， ∴， 即， 整理得 解得：， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________. 【答案】16 【解析】 【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长． 【详解】解：解方程x2-10x+21=0得x1=3，x2=7， ∵3＜第三边的边长＜9， ∴第三边的边长为7． ∴这个三角形的周长是3+6+7=16． 故答案为16． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 15. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有225个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染给了______人． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，根据题意，设每轮传染中平均一人传染人，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意，设每轮传染中平均一人传染人， ∴，整理得得，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了人， 故答案为：14 ． 16. 对于实数a，b，定义运算“﹡”：．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42－4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2－5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=________． 【答案】3或2##2或3 【解析】 【分析】先解出所给的一元二次方程的根，再根据新定义的运算法则分情况求即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， ， 解得：或2， ①当，时，； ②当，时，． 故答案为：3或2． 【点睛】本题考查新定义实数运算、解一元二次方程，理解新定义运算法则是解答的关键． 17. 如图，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在反比例函数的图象上，有点，，，，…，，…，它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，…，，…，则的结果为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为．根据反比例函数几何意义，等于点与坐标轴围成的矩形面积，即可解题． 【详解】解：由题可知：点坐标为，点的坐标为， ∴点与点的纵坐标之差为， ∴． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分66分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据求根公式可进行求解； （2）利用整体思想和十字相乘法可进行求解方程． 【小问1详解】 解：原方程可变形为， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： 或， 解得：，． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）若一元二次方程的两根为，，且满足，求的值． 【答案】（1） 证明：△ ； 又， ， 无论取任何实数，方程总有实数根； （2）5或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根,还考查了一元二次方程根与系数关系． （1）利用根的判别式求出关于的代数式，整理成非负数的形式即可判定； （2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把，转换为，然后利用前面的等式即可得到关于的方程，解方程即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， ， 整理得， 解得：， 故的值为5或． 21. 年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红据统计“江南忆”公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件． （1）若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一家店铺“江南忆”公仔的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率是 （2）售价应降低元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意并列出方程求解是解题的关键． （1）本题需计算月平均增长率，属于增长率问题，可用一元二次方程求解； （2）本题需建立利润方程，考虑降价后的售价、销量及利润关系，求解降价金额并选择符合题意的解． 【小问1详解】 解：设月平均增长率是， 依题意得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：月平均增长率是． 【小问2详解】 解：设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 要尽量减少库存， ． 答：售价应降低元． 22. 如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3． （1）求EC的值； （2）求证：AD•AG=AF•AB． 【答案】（1）6； （2）∵DE∥BC，EF∥CG， ∴， ∴AD•AG=AF•AB． 【解析】 【分析】（1）由平行可得 ，可求得AC，且EC=AC-AE，可求得EC； （2）由平行可知 ，可得出结论． 【详解】解：（1）∵DE∥BC， ∴， 又，AE=3， ∴， 解得AC=9， ∴EC=AC-AE=9-3=6； （2） 略 23. 在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，的长度等于？ （2）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当秒或2秒时，的长度等于 （2）存在，当秒时，使得五边形的面积等于 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，理解题意，正确找到相应关系是解题的关键； （1）先求出，，再利用勾股定理得到，即可建立方程，解方程即可得到答案； （2）由长方形的面积是：，五边形的面积等于，得到的面积为，即可得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：从点开始沿边向终点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动 ， ， ， 由长方形得， ∴， ∵， ∴， 解得：，； 当秒或2秒时，的长度等于； 【小问2详解】 解：存在，当秒，能够使得五边形的面积等于． 理由如下： ∵长方形的面积是：，五边形的面积等于， ∴的面积为， ∴， 解得：，． ∵当点Q运动到点C时，两点停止运动，此时， ∴， ∴， 即当秒时，使得五边形的面积等于． 24. 第135届春季广交会于2024年4月15日—5月5日在琶洲广交会展馆举行．某公司用5万元研发的一批文创产品，在本届广交会中参展销售．已知生产这种产品的成本为3元/件，在销售过程中发现；销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．设公司销售这种文创产品的利润为W（万元）． （1）求出y（万件）与销售价格x（元/件）的函数解析式； （2）求出这种文创产品的利润W（万元）与x（元/件）的函数解析式，并求出当售价定多少时，利润最大？是多少？ 【答案】（1） （2）定价为7元时，利润最大，最大为11万元 【解析】 【分析】（1）分，两种情形解答即可； （2）根据两种解析式，分别计算利润，比较大小后定结论即可． 本题考查了待定系数法，反比例函数的性质，构造二次函数求最值，熟练掌握待定系数法，构造法求最值是解题的关键． 【小问1详解】 当时，设，代入，得， 此时解析式为； 当时，设直线的解析式为， 根据题意，得，解得， 故解析式， 综上所述，． 【小问2详解】 当时，根据题意，得：， 当时，W最大，此时（万元）； 当时，根据题意，得：， 当时，W最大，此时（万元）； ， 综上所述， 故定价为7元时，利润最大，最大为11万元． 25. 如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集______； （3）将直线向上平移后与轴交于点，与双曲线在第二象限内的部分交于点，如果的面积为12，求平移后的直线表达式． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入一次函数解析式中，求出的值，即可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式； （2）通过解方程组得，然后利用函数图象写出反比例函数图象在一次函数上方所对应的自变量的范围，从而得到的解集； （3）设平移后直线于轴交于点，连接、，设平移后的解析式为，由平行线的性质可得出，结合正、反比例函数的对称性以及点的坐标，即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【小问1详解】 解：令一次函数中，则， 解得：，即点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解方程组：， 解得：或，则， 结合图象：当或时，， 即的解集为或； 【小问3详解】 设平移后直线于轴交于点，连接、，如图所示， 设平移后的解析式为， 当时，即有， ， 该直线平行直线， ， 的面积为， ， ，， ， ， ． 平移后的直线的函数表达式为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征．三角形的面积公式以及平行线间的距离公式，解题的关键是：（1）求出点的坐标；（2）把两个函数关系式联立成方程组求解；（3）找出关于的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用面积法要比找相似三角形简单明了的多． 26. 若是一元二次方程的两个实数根，且满足，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）判断下列方程是否是“差根方程”： ①______； ②______；（填是或否） （2）已知关于的方程是“差根方程”，求a的值； （3）若关于的方程（是常数，）是“差根方程”，请写出与之间的数量关系式． 【答案】（1）否，是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“差根方程”定义判断即可． （2）根据是“差根方程”，解方程求得得到，从而得到； （3）设是一元二次方程（是常数，）的两个实数根，根据根与系数的关系得到，整理即可得到． 【小问1详解】 解：①设是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴方程不是差根方程； ②设是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴方程是差根方程； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， 解得：， ∵关于x的方程是“差根方程”， ∴，即； 【小问3详解】 解：设是一元二次方程（是常数，）的两个实数根， ∴，， ∵关于x的方程（是常数，）是“差根方程”， ∴， ∴=1，即， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 祁阳市文昌中学2024年下学期第一阶段核心素养调研 九年级数学（试题卷） （时量：120分钟 分值：120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若点在反比例函数 的图象上，那么下列各点在此函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 3. 、、、是成比例线段，其中，，，则线段的长可能为（ ） A. B. C. D. 4. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A是反比例函数y=（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD的面积为6，则k的值为（　　） A. 6 B. 3 C. ﹣6 D. ﹣3 7. 如图，是叶脉的黄金分割点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知方程可以配方成，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 9. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． ⑤存在实数，使得 其中正确的是（） A. ①②④ B. ①②④⑤ C. ①②③④⑤ D. ①②③ 10. 反比例函数y=（a＞0，a为常数）和y=在第一象限内的图像如图所示，点M在y=的图像上，MC⊥x轴于点C，交y=的图像于点A；MD⊥y轴于点D，交y=的图像于点B，当点M在y=的图像上运动时，以下结论： ①S△ODB=S△OCA； ②四边形OAMB的面积不变； ③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点． 其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 若，则______． 12. 反比例函数的图象在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是______． 13. 已知，点C在线段上，是，的比例中项，则的长______． 14. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________. 15. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有225个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染给了______人． 16. 对于实数a，b，定义运算“﹡”：．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42－4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2－5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=________． 17. 如图，，，，则________． 18. 如图，在反比例函数的图象上，有点，，，，…，，…，它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，…，，…，则的结果为______． 三．解答题（共8小题，满分66分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）若一元二次方程的两根为，，且满足，求的值． 21. 年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红据统计“江南忆”公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件． （1）若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一家店铺“江南忆”公仔的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 22. 如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3． （1）求EC的值； （2）求证：AD•AG=AF•AB． 23. 在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，的长度等于？ （2）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 24. 第135届春季广交会于2024年4月15日—5月5日在琶洲广交会展馆举行．某公司用5万元研发的一批文创产品，在本届广交会中参展销售．已知生产这种产品的成本为3元/件，在销售过程中发现；销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．设公司销售这种文创产品的利润为W（万元）． （1）求出y（万件）与销售价格x（元/件）的函数解析式； （2）求出这种文创产品的利润W（万元）与x（元/件）的函数解析式，并求出当售价定多少时，利润最大？是多少？ 25. 如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集______； （3）将直线向上平移后与轴交于点，与双曲线在第二象限内的部分交于点，如果的面积为12，求平移后的直线表达式． 26. 若是一元二次方程的两个实数根，且满足，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）判断下列方程是否是“差根方程”： ①______； ②______；（填是或否） （2）已知关于的方程是“差根方程”，求a的值； （3）若关于的方程（是常数，）是“差根方程”，请写出与之间的数量关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $