上海市市西中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

市西中学2024学年第一学期期中考试 高三数学 2024.10 一、填空题（共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共计54分） 1.集合A={x0≤x<4且x∈N}的真子集的个数是 2.函数y=ln(2-3x)的定义域是 3.若扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的弧长1= 4.记i是虚数单位，设复数z=1+bi(b>0)且|z=2,则复数z的虚部为 5.已知平面向量ā，6满足同=-a-=2,则a=一 7.若函数f(x)=aa2-x在[1，+o)上严格递增，则实数a的取值范围是 8.5G技术的数学原理之一便是香农公式：C=Wog2 它表示在受噪声干扰 的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽R信道内信号的平均功率S、信道内 部的高斯噪声功率州的大小，共中是叫做信噪比，按照香农公式，若不改变宽带？ 而将信噪比从1000提升至2000，则C大约增加了%.(2≈0301) 9.函数f(-=2snx-君引o>0)在[0，上存在最小值-2.则实数@的最小值 是 10.数列{a}满足：an为正整数，a= ,an为偶数 2 ，若a=1,则 3an+1,an为奇数 a1+a2+4+…+a2024= +2,x<1, 11.函数f(x)= x+ 关于x的不等式fx)≥ +在R上恒成立，则实数a的 取值范围是 12.对任意两个非零向量m,n,定义m⑧a-m”,若非零向量a.石，满足同≥3，向 2 量a与i的夹角是锐角，且4(b⑧a)是整数，则a⑧b的取值范围是 二、选择题（共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共计18分） 13.a、b中至少有一个不为零的充要条件是() A.ab=0 B.ab>0 C.a2+b2=0 D.a2+b2>0 14.下列四个命题： ①若a>b1,则a2>b2: ②若a>b,c>d,则a-c>b-d ③若a>b,c>d,则ac>bd, ④若a>b>0,c<0,则C>S 其中正确命题的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 15,已知函数f)=4s血(@r+p4>0@>0,0<0<引， 现有如下四个命题： 甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 2 乙：该函数图象可以由y=cos2x-√3sin2x的图象向右平移”个单位长度得到： 4 丙：该函数在区间 上严格递增： 工。该西微满足（仔+小后小0。 如果只有一个假命题，那么该命题是() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 2 16.我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 y=f(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,)成 中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.己知函数y=f(x)是定义在 R上的可导函数，其导函数为g(x),若函数y=f(x+2)-1是奇函数，函数 y=g(x+1)是偶函数，则() A.f(2)=1 B.g(2)=1 C.函数y=f(x)-1是奇函数 D. /()=1012 三、解答题（共5题，共计78分） 17.(第一小题7分，第二小题7分) 如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AB⊥AC,AB=AC=AA=1. (1)求证：AC⊥平面ABC: (2)求直线AB与AC所成角的余弦值. 18.(第一小题6分，第二小题8分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,满足4=1，S1=Sn+2an+5. (1)证明：{an+5}是等比数列： (2)若Sn+5n>128,求n的最小值. 19.(第一小题6分，第二小题8分) 如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备 在河岸一侧建造一个观景台P,已知射线AB,AC为两边夹C 角为120°的公路（长度均超过3千米)，在两条公路AB,AC A 上分别设立游客上下点M、N,从观景台P到M、N建造两 条观光线路PM,PN,测得AM=√5千米，AN=√3千米. 3 (1)求线段N的长度： (2)若∠MPN=60,求两条观光线路PM与PN之和的最大值. 20.(第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分) 已知函数f(x)=-lnx+(2+a)x-2. (1)若∫1)=1，求a的值； (2)设a>-2,求函数f(x)的极值： ③若f在区间怎，网上无零点，求的取值范围。 21.(第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分) 函数f(x)的定义域为R,若f(x)满足对任意x,为∈R,当，-x2eM时，都有 f(x)-f(x)eM,则称f(x)是M连续的. (1)请写出一个是连续的函数∫(x)(不必说明理由)： (2)证明：若f(x)是[2,3]连续的，则f(x)是{2连续且是连续的： 回当x[时，fe=+1abew,且)是到莲续的，求 a,b的值. 4