精品解析：山西省忻州市代县多校2024-2025学年上学期八年级数学期中质量检测卷

2024—2025学年度八年级数学期中质量检测卷 考试时间：120分钟；满分120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 小强周末骑自行车出行，他的骑行轨迹恰好是一个三角形．若其中两条边的长度分别为和，则另一条边的长度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，根据三角形三边关系求得第三边的取值范围，进而逐项判断即可． 【详解】解：设三角形的另一条边的长度为， 由题意，得，则， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意， 故选：A． 2. 2009年9月联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会，中国申报的中国剪纸项目入选“人类非物质文化遗产”．在下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不合题意； D、不是轴对称图形，不合题意； 故选B． 3. 三角板是我们学习数学的工具，一副三角板拼成如图方式，则图中的值为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的外角性质求解． 【详解】解：由图可得：∠2-∠1=45°， 故选B． 【点睛】本题考查三角形基础知识的应用，熟练掌握三角板的角度构成及三角形的外角性质是解题关键． 4. 如下图，点E，F是线段上的两点，如果，且，，则的长等于（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的对应边相等即可得到结论． 【详解】解：∵△ABF≌△DCE，AB=3， ∴CD=AB=3， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键． 5. 如图，已知；，线段，求作． 作法；（1）作线段； （2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 故选C． 6. 如图，平分，于点，，，，则的长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于， ∵，， ， ∵， ， 平分，，， ， ∴ ． 故选： C． 7. 如图，小强站在五边形健身步道的起点P处，沿着P，B，C，D，E，A，P的方向行走，最终回到了P处．在这过程中，小强转过的角度说明了（　　） A. 五边形的内角和是 B. 五边形的外角和是 C. 五边形的内角和是 D. 五边形的外角和是 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和外角．根据题意可知小强转过的角度之和正好是五边形的外角和，再根据多边形的外角和性质即可得出答案． 【详解】解：小强转过的角度之和正好是五边形的外角和， 小强转过的角度之和为． 故选：B． 8. （1）小明回顾用尺规作一个角等于已知角的作图过程（如图①所示）． （2）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图②所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线． （3）如图③，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线，就是的平分线． （4）小颖在作业本上画的被墨迹污染（如图④），小颖想用尺规作一个与原来完全一样的． 以上作图过程都用到了三角形全等的判定，其中，判定方法不一样的是（　　） A. （1） B. （2） C. （3） D. （4） 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等判定的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，先根据作图分别判断三角形全等的判定方法，然后进行判断即可． 【详解】解：（1）从作图可知：，， 根据“”可得：， 所以； （2）从操作可得：，，，根据“”得； （3）因为，，，根据“”得， 所以是的平分线； （4）从图形可知：应该先画，然后边和上分别截取，，连接，根据“”得； 综上分析可知：判定方法不一样的是（4）． 故选：D． 9. 如图，点在的边上，，，若，，则与之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，关键是是据等腰三角形的两个底角相等的知识点． 根据等腰三角形的性质可求，再根据等腰三角形的性质可求，依此可得与之间的关系． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， 即， ， 故选：B． 10. 将斜边相等的两块三角形如图放置，其中含45°角的三角板ABC的斜边与含30°的三角板ADC的斜边重合，B、D位于AC的两侧，若S四边形ABCD＝8，连接BD．则BD的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】将△BCD绕点B逆时针旋转90°，得到△BCE，可证D、A、E在一条直线上，△DBE是等腰直角三角形，面积是8，即可求出BD的长． 【详解】解：将△BCD绕点B逆时针旋转90°，得到△BCE， 可知，BE=BD，∠BCD=∠BAE， ∵∠ADC=∠ABC=90°， ∴∠BCD+∠BAD=180°， ∴∠BAE +∠BAD=180°， ∴D、A、E在一条直线上， ∴△DBE是等腰直角三角形，面积等于四边形ABCD的面积，即， ，， 故选：B 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是恰当作辅助线，得到等腰直角三角形． 第II卷（非选择题） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一副三角板有两个直角三角形，其中一个锐角分别是、，另一个锐角都是，把这两个三角形如图方式摆放，那么______度． 【答案】108 【解析】 【分析】本题主要考查了平面内角的运算以及三角形内角和定理，正确理解题意，确定所需数据是解题关键．首先结合题意确定，的值，再利用求解即可． 【详解】解：根据题意，可知，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：108． 12. 如图所示的仪器中，．小州把这个仪器放在直线l上，使点落在直线l上，作直线，则，其中蕴含的道理是__________ 【答案】到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定即可求解，相关基本内容要牢固掌握，灵活运用是正确解答本题的关键． 【详解】解：， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ， 其中蕴含的道理为：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 故答案为：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 13. 如图，为了测量塔的高度，现选取两个测量点A和B（点A、B、C在一条直线上），测得，．如果，那么塔高________（结果用含字母的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握直角三角形中所对的直角边为斜边的一半成为解题的关键． 先根据三角形的外角的性质可得，进而得到，由等腰三角形的判定可得，最后根据直角三角形中所对的直角边为斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为． 14. 如图，点E为线段上一点，，，，结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积为18中正确的有_____．（填序号） 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，直角三角形两锐角互余等知识，证明是解答本题的关键．根据可证明可判断①；求出可判断②；利用全等三角形的性质可判断③；无法判断④正确；利用三角形的面积公式可判断⑤． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； 无法证明，故④不正确； ∵， ∴四边形的面积 ，故⑤正确． 故答案为：①②③⑤． 15. 小茗同学在公园的花圃里发现一只小蚂蚁在搬食物，因为食物比它大，所以它搬得很辛苦．但是它不放弃，一直慢慢往回爬．一会它咬住食物使劲往后拖，一会又咬住食物来回转圈，小茗同学急的想帮它．于是他连续几天都在观察，发现这个花圃的形状，如图，是一个锐角三角形，且∠ACB=50°，边AB上一定点P是小蚂蚁的家，小蚂蚁从家出发，它沿直线寻找食物，线路是从P出发走到AC，再从AC走到BC，最后回到家．假设M、N分别是AC和BC边上的动点，小茗同学想帮小蚂蚁寻找最短的行走路线，所以他求出当小蚂蚁行走路线所构成的PMN周长最小时，∠MPN的度数为______． 【答案】80° 【解析】 【分析】根据轴对称的性质和两点之间线段最短，作点P关于AC，BC的对称点D，G，连接PD，PG分别交AC，BC于E，F，连接DG交AC于M，交BC于N，连接PM，PN，可得PM=DM，PN=NG，此时PMN周长最小．根据内角和的性质，求得∠C+∠EPF=180°，由∠C=50°，易求得∠D+∠G=50°，继而求得答案． 【详解】 作点P关于AC，BC的对称点D，G，连接PD，PG分别交AC，BC于E，F，连接DG交AC于M，交BC于N，连接PM，PN． ∴PD⊥AC，PG⊥BC ∴∠PEC=∠PFC=90° PM=DM，PN=NG PMN周长最小 ∵∠C+∠EPF+∠PEC+∠PFC=360° ∴∠C+∠EPF=180° ∵∠C=50° ∴∠EPF=130° 又∵∠D+∠G+∠EPF=180° ∴∠D+∠G=180°－∠EPF =180°－130°=50° 由对称可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM ∴∠GPN+∠DPM=50° ∴∠MPN=∠EPF－（∠GPN+∠DPM）=130°-50°=80° 故答案为：80° 【点睛】本题考查了轴对称在最短路径问题中的应用，涉及到对称的性质、线段性质、四边形和三角形内角和等知识点，解题的关键是熟练掌握轴对称并灵活运用,属于易错题型． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 如图，中，，，，，求． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形内角的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是本题的关键．根据平角的定义，求得，由于，，，根据直角三角形的性质求得，即可求得． 【详解】解：， ， ∵，，， ， ． 17. 如图，已知在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． （1）求证：． （2）除了已知条件中所给的两个直角外，你还能找出图中的另一个直角吗？请写出该角是______，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即， 又∵， ∴． （2） 解：结论： 理由如下：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等问题要注意找条件，有些条件需在图形中仔细观察，认真推敲方可，做题时，有时需要先猜后证． （1）要证，现有，，需它们的夹角，而由，即可得证； （2）从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力，要证，需证，需证即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 作一个角等于已知角的方法： 已知： 求作：，使， 作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 请你根据提供的材料完成下列问题． （1）请你证明． （2）这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________． 【答案】（1） 解：证明：在和中， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）由作图过程得到相应条件，再根据证明即可； （2）根据作图过程可得这种作一个角等于已知角的方法的依据是． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 这种作一个角等于已知角的方法的依据是． 故答案为： 【点睛】本题考查了作图应用与设计作图，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法． 19. 如图，已知中，的平分线与的外角平分线交于点D，过点D作于点E． （1）若，求的度数； （2）连接，求证：平分． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，过点作于，于， ，平分，平分， ，， ， 平分． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质与判定，角平分线的定义和三角形外角的性质： （1）根据角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质可得，则，据此可得答案； （2）过点作于，于，则由角平分线的性质可得，，则，由角平分线的判定定理即可证明平分． 【小问1详解】 解：∵的平分线与的外角平分线交于点， ，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 20. 如图，在等边中，是的平分线，D 为上一点，以为一边且在下方作等边，连接． （1）求证：； （2）已知，求点O到之间的距离． 【答案】（1） 证明：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴，    在和中． ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由条件结合等边三角形的性质通过“边角边”可证明，可得； （2）由（1）的结论可知C到的距离和C到的距离相等，可求得C到的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的平分线，是等边三角形，， ∴，， 由（1）可知， ∴， 设 O到的距离为h， 则， ∵， ∴， ∴，即点O到的距离为． 21. “学以致用，知行并进”指的是学习不仅仅是为了获取知识，更重要的是将所学知识应用到实际生活中，从而实现知行合一的境界．生活中经常会遇到一些不可直接测量的距离或角度，为了测量出这些距离和角度，项目学习小组进行了如下探究： 项目主题 自制数学工具，测量生活中的“线”与“角” 项目任务 项目一：测量锥形容器内部底面内径 项目二：测量斜坡的倾斜角度 所需材料 刻度尺、两根小棒、螺丝钉等 正方形板、指针、重锤、打印机等 测量方案示意图 实施步骤 1．用螺丝钉将两根小棒在它们的中点O处固定； 2．再将两根小棒的A、B端分别置于杯子内部底面内径的两端； 3．用刻度尺测量两根小棒的C、D端之间的距离． 1．利用正方形板、指针、重锤等材料，借助打印技术，制作“迷你测坡仪”； 2．将“迷你测坡仪”置于斜坡上，特重锤与指针稳定； 3．读出指针所对的的度数． 测量数据 项目结论 锥形容器内部底面内径 斜坡的倾斜角度为 （1）项目一中，利用了全等三角形的性质．通过证明，就可以得到．判定的方法是 _______； A． B． C． D． （2）项目二中，利用了物理中的重力原理与数学中的平行线的性质．如图是简化的测量方案示意图，其中，，请你证明：． 【答案】（1）A （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质： （1）先由线段中点的定义可得，再根据证明即可得到； （2）根据平行线的性质可得，，则． 【小问1详解】 解：∵O为与的中点， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A； 【小问2详解】 略 22. 综合与实践： 已知：等边． 【观察猜想】如图①：为线段上一点，，交于点．可知为______三角形． 【深入探究】：为线段上一点，为线段延长线上一点，且． （1）特殊感知：如图②，已知等边三角形的边长为2，当点为的中点时，求线段的长； （2）特例启发：如图③当为上任意一点，其余条件不变，猜想线段与的数量关系？并说明理由； （3）拓展延伸：在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若的边长为，，则的长为______． 【答案】（1）[观察猜想]等边； （2） 点为上任意一点，如图所示，过点作， ∴由“观察猜想”可得是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且， ∴； （3）或 【解析】 【分析】[观察猜想]根据等边三角形的判定和性质，平行线的性质，即可求解； （1）根据题意可得，，如图所示，过点作于点，运用含角的直角三角形的性质即可求解； （2）点为上任意一点，如图所示，过点作，可得是等边三角形，再证即可求解； （3）分类讨论，①如图所示，点在延长线上，可得是等边三角形，即，再证，可得；②如图所示，点在延长线上，过点作于点，在中，根据含角的直角三角形的性质可得，由可求出的值；由此即可求解． 【小问1详解】 解：[观察猜想]∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； 当等边的边长为2，当点为的中点时，，，平分， ∴， 如图所示，过点作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵的边长为，即，， 由（2）的证明可得， ∴点在线段上，点在射线上，次情况不存在 ∴点在线段的延长线上， ①如图所示，点在延长线上， ∵， ∴点在的延长线上， 过点作，交于点， ∴， ∴是等边三角形，即， ∵， ∴， ∵， ∴，且，， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，点在延长线上，过点作于点， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：为或． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，平行性的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质等知识的综合，掌握全等三角形的判定，等腰三角形的性质是解题的关键． 23. 综合与探究 如图，在长方形中，，，，点E在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点F在线段上由点C向点D运动，它们运动的时间为． （1）______cm（用含t的代数式表示）； （2）若点F的运动速度与点E的运动速度相同，当时，判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）若点F的运动速度为，是否存在v的值，使得与全等？若存在直接写出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），， 点F的运动速度与点E的运动速度相同，当时， 此时cm，cm， 则cm， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，； （3）存在，的值为或 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的几何问题、全等三角形的性质、用代数式表示式： （1）根据总长度减去运动的长度即可得到结果； （2）根据运动的速度以及时间得到线段长度，即可求得结果； （3）分两种情况，根据两个三角形全等，对应边相等可求得结果； 数形结合，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点E在线段上以的速度由点B向点C运动， ∴， ∵， ∴cm， ∵， ∴t最大取到s， ∴cm，其中， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）可得，当时，此时， 当，此时， 即， 解得：， ， 解得：， ∴存在v的值，使得与全等，此时的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度八年级数学期中质量检测卷 考试时间：120分钟；满分120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 小强周末骑自行车出行，他的骑行轨迹恰好是一个三角形．若其中两条边的长度分别为和，则另一条边的长度可能是（ ） A. B. C. D. 2. 2009年9月联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会，中国申报的中国剪纸项目入选“人类非物质文化遗产”．在下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 三角板是我们学习数学的工具，一副三角板拼成如图方式，则图中的值为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 不能确定 4. 如下图，点E，F是线段上的两点，如果，且，，则的长等于（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，已知；，线段，求作． 作法；（1）作线段； （2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平分，于点，，，，则的长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 如图，小强站在五边形健身步道的起点P处，沿着P，B，C，D，E，A，P的方向行走，最终回到了P处．在这过程中，小强转过的角度说明了（　　） A. 五边形的内角和是 B. 五边形的外角和是 C. 五边形的内角和是 D. 五边形的外角和是 8. （1）小明回顾用尺规作一个角等于已知角的作图过程（如图①所示）． （2）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图②所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线． （3）如图③，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线，就是的平分线． （4）小颖在作业本上画的被墨迹污染（如图④），小颖想用尺规作一个与原来完全一样的． 以上作图过程都用到了三角形全等的判定，其中，判定方法不一样的是（　　） A. （1） B. （2） C. （3） D. （4） 9. 如图，点在的边上，，，若，，则与之间的关系是（ ） A. B. C. D. 10. 将斜边相等的两块三角形如图放置，其中含45°角的三角板ABC的斜边与含30°的三角板ADC的斜边重合，B、D位于AC的两侧，若S四边形ABCD＝8，连接BD．则BD的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 第II卷（非选择题） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一副三角板有两个直角三角形，其中一个锐角分别是、，另一个锐角都是，把这两个三角形如图方式摆放，那么______度． 12. 如图所示的仪器中，．小州把这个仪器放在直线l上，使点落在直线l上，作直线，则，其中蕴含的道理是__________ 13. 如图，为了测量塔的高度，现选取两个测量点A和B（点A、B、C在一条直线上），测得，．如果，那么塔高________（结果用含字母的代数式表示）． 14. 如图，点E为线段上一点，，，，结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积为18中正确的有_____．（填序号） 15. 小茗同学在公园的花圃里发现一只小蚂蚁在搬食物，因为食物比它大，所以它搬得很辛苦．但是它不放弃，一直慢慢往回爬．一会它咬住食物使劲往后拖，一会又咬住食物来回转圈，小茗同学急的想帮它．于是他连续几天都在观察，发现这个花圃的形状，如图，是一个锐角三角形，且∠ACB=50°，边AB上一定点P是小蚂蚁的家，小蚂蚁从家出发，它沿直线寻找食物，线路是从P出发走到AC，再从AC走到BC，最后回到家．假设M、N分别是AC和BC边上的动点，小茗同学想帮小蚂蚁寻找最短的行走路线，所以他求出当小蚂蚁行走路线所构成的PMN周长最小时，∠MPN的度数为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 如图，中，，，，，求． 17. 如图，已知在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． （1）求证：． （2）除了已知条件中所给的两个直角外，你还能找出图中的另一个直角吗？请写出该角是______，并说明理由． 18. 作一个角等于已知角的方法： 已知： 求作：，使， 作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 请你根据提供的材料完成下列问题． （1）请你证明． （2）这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________． 19. 如图，已知中，的平分线与的外角平分线交于点D，过点D作于点E． （1）若，求的度数； （2）连接，求证：平分． 20. 如图，在等边中，是的平分线，D 为上一点，以为一边且在下方作等边，连接． （1）求证：； （2）已知，求点O到之间的距离． 21. “学以致用，知行并进”指的是学习不仅仅是为了获取知识，更重要的是将所学知识应用到实际生活中，从而实现知行合一的境界．生活中经常会遇到一些不可直接测量的距离或角度，为了测量出这些距离和角度，项目学习小组进行了如下探究： 项目主题 自制数学工具，测量生活中的“线”与“角” 项目任务 项目一：测量锥形容器内部底面内径 项目二：测量斜坡的倾斜角度 所需材料 刻度尺、两根小棒、螺丝钉等 正方形板、指针、重锤、打印机等 测量方案示意图 实施步骤 1．用螺丝钉将两根小棒在它们的中点O处固定； 2．再将两根小棒的A、B端分别置于杯子内部底面内径的两端； 3．用刻度尺测量两根小棒的C、D端之间的距离． 1．利用正方形板、指针、重锤等材料，借助打印技术，制作“迷你测坡仪”； 2．将“迷你测坡仪”置于斜坡上，特重锤与指针稳定； 3．读出指针所对的的度数． 测量数据 项目结论 锥形容器内部底面内径 斜坡的倾斜角度为 （1）项目一中，利用了全等三角形的性质．通过证明，就可以得到．判定的方法是 _______； A． B． C． D． （2）项目二中，利用了物理中的重力原理与数学中的平行线的性质．如图是简化的测量方案示意图，其中，，请你证明：． 22. 综合与实践： 已知：等边． 【观察猜想】如图①：为线段上一点，，交于点．可知为______三角形． 【深入探究】：为线段上一点，为线段延长线上一点，且． （1）特殊感知：如图②，已知等边三角形的边长为2，当点为的中点时，求线段的长； （2）特例启发：如图③当为上任意一点，其余条件不变，猜想线段与的数量关系？并说明理由； （3）拓展延伸：在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若的边长为，，则的长为______． 23. 综合与探究 如图，在长方形中，，，，点E在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点F在线段上由点C向点D运动，它们运动的时间为． （1）______cm（用含t的代数式表示）； （2）若点F的运动速度与点E的运动速度相同，当时，判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）若点F的运动速度为，是否存在v的值，使得与全等？若存在直接写出v的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $