精品解析：广东省揭阳市惠来县第一中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段考试数学试题

2024——2025学年惠来一中高二第一学期第一次阶段考试 数 学 试 题 满分150分，时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数z满足，则（ ） A 1 B. 2 C. D. 4 3. 设的平均数为与的平均数为与的平均数为.若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 4. 已知某圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ） A. B. C. D. 5. 小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为，，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且恒成立，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 7. 如图，边长为2的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4 8. 是定义在R上的函数，若，且对任意，满足，，则（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量，共面 10. 把函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数是一个奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 当时，的值域为 D. 若方程在区间上恰有六个不等实根，则实数m的取值范围为 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ） A. 当在平面上运动时，四棱锥体积不变 B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行等比例的分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多______ 人 13. 邢台一中高二年级研究性学习小组为了实地测量某塔的高度，选取与塔底中心O在同一个水平面内的两个测量基点A与B，在A点测得：塔顶P的仰角为45°，O在A的北偏东60°处，B在A的正东方向36米处，且在B点测得O与A的张角为45°，则此塔的高度约为___________米（四舍五入，保留整数.参考数据：，）. 14. 已知函数若关于x的方程有4个解，分别为，，，，其中，则______，的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中三点，设 （1）已知，求的值； （2）若，且，求的坐标. 16. 已知的内角所对的边分别是. （1）求角； （2）若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围. 17. 某年级数学兴趣小组组织游戏闯关活动，共设置了20道数学问题，满分100分.结束后在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该年级全体学生这次数学成绩的中位数； （2）活动中，甲、乙两位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，假设每道数学问题难度相当，被答对可能性都相同.任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率. 18. 《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，，，，为棱的中点，为棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正切值； （3）求与平面所成角的正弦值． 19. 已知是指数函数，且过点是定义域为奇函数 （1）求的值； （2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； （3）若函数恰有2个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024——2025学年惠来一中高二第一学期第一次阶段考试 数 学 试 题 满分150分，时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得集合，再根据交集的定义求解即可． 【详解】由题可知，，所以， 故选：D． 2. 复数z满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数运算求得，进而求得. 【详解】由得， 两边乘以得， 所以. 故选：C 3. 设的平均数为与的平均数为与的平均数为.若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，利用作差法比较大小. 【详解】由题意可知：， 则， 因为，则， 可得，即. 故选：B. 4. 已知某圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设相应长度，根据圆锥的侧面积和轴截面面积列式可得，再结合线面夹角运算求解. 【详解】设圆锥的母线为，底面半径为，高为， 由题意可得：，解得， 设该圆锥的母线与底面所成的角为，则， 可得，所以该圆锥的母线与底面所成的角为. 故选：C. 5. 小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为，，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，先求的有关值，再求对应事件的概率. 【详解】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立， 且. 恰好能答对两道题为事件，且两两互斥， 所以 ， 整理得，他三道题都答错为事件， 故. 故选：C. 6. 已知，，且恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用“1”的代换求得的最小值，再由求解. 【详解】解：设， 则，解得， 则， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2， 又因为对，，且恒成立， 所以， 故选：B 7. 如图，边长为2的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的数量积求出，再利用三棱锥体积公式计算即得. 【详解】取中点，连接，则， 而平面， 于是平面，，， 又，则， 解得，，而，则， ， 所以三棱锥的体积为. 故选：C 8. 是定义在R上的函数，若，且对任意，满足，，则（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】首先推导出，从而得到，再根据计算可得. 【详解】因为，即， 所以 ， 又，所以， 所以. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量，共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示得出向量夹角可判断A；由向量相乘为0可得向量垂直B正确；根据投影向量的定义可计算出投影向量为所以C错误，得出向量共面判断D. 【详解】因为，所以， 可得，则向量与向量的夹角为，故A正确； 因为， 所以，即B正确； 根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以C错误； 由向量，，，可知， 向量与向量，共面， 所以D正确. 故选：ABD 10. 把函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数是一个奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 当时，的值域为 D. 若方程在区间上恰有六个不等实根，则实数m的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简，即可利用平移以及奇函数的性质求解，由周期公式即可求解A，代入验证即可求解B，利用整体法求解即可判断CD. 【详解】由， 得， 故， 由于为奇函数，故， 由于，故取，则， 故， 对于A，最小正周期，A错误， 对于B，由于，故B正确， 对于C，当时，则，故，故的值域为，C正确， 对于D，时，则，要使在区间上恰有六个不等实根，则，解得，故D正确， 故选：BCD 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ） A. 当在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，考虑锥体的底面积、高均未变，故体积不变；B选项，找出异面直线所成的角，在三角形中判断角的大小；CD选项，找到点轨迹，计算可得. 【详解】对A：如图： 当在平面上运动时，四棱锥的底面面积为定值4，高为点到平面的距离为定值2，所以为定值.故A正确； 对B：如图 当在线段上运动时，与所成角就是与所成的角，因为为等边三角形，所以当点与线段的端点重合时，与所成的角最小，为，当点为线段中点时，与所成的角最大，为.故B正确； 对C：如图： 因为是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，所在的平面为如图正六边形，正六边形的边长为，当点与中点重合时，最小，为.故C错误； 对D：如图： 使直线与平面所成的角为的点P的轨迹为对角线、以及平面内以为圆心，以2为半径的圆的，故点的轨迹长度为：.故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：与立体几何有关的轨迹问题，关键是要弄清楚动点的轨迹形状. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行等比例的分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多______ 人 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意可以计算出分层随机抽样的抽样比例，进而计算出中年人和青年人的人数，最后计算出中年人比青少年多多少个. 【详解】设中年人抽取人，青少年抽取人， 由分层随机抽样可知，， 解得，， 故中年人比青少年多9人， 故答案为：9. 13. 邢台一中高二年级研究性学习小组为了实地测量某塔的高度，选取与塔底中心O在同一个水平面内的两个测量基点A与B，在A点测得：塔顶P的仰角为45°，O在A的北偏东60°处，B在A的正东方向36米处，且在B点测得O与A的张角为45°，则此塔的高度约为___________米（四舍五入，保留整数.参考数据：，）. 【答案】26 【解析】 【分析】中,运用正弦定理，先求出，再根据等腰直角三角形知识得到即可. 【详解】中，，,.所以. 在中，运用正弦定理，可得，代入值求得， 由于为等腰直角三角形，则，则此塔的高度约为米. 故答案为：26. 14. 已知函数若关于x的方程有4个解，分别为，，，，其中，则______，的取值范围是______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】作出图象，将方程有4个解，转化为图象与图象有4个交点，根据二次函数的对称性，对数函数的性质，可得的、的范围与关系，结合图象，可得m的范围，综合分析，即可得答案. 【详解】作出图象，由方程有4个解，可得图象与图象有4个交点，且，如图所示： 由图象可知：且 因为， 所以， 由，可得， 因，所以 所以，整理得； 当时， 令，可得， 由韦达定理可得 所以， 因为且， 所以或，则或， 所以 故答案为：1，． 【点睛】解题的关键是将函数求解问题，转化为图象与图象求交点问题，再结合二次函数，对数函数的性质求解即可，考查数形结合，分析理解，计算化简的能力，属中档题. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中三点，设 （1）已知，求的值； （2）若，且，求的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，，再利用向量垂直的坐标表示，即可求解； （2）根据条件得到，再利用，即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 又，所以，得到. 【小问2详解】 因为，又，所以，解得或， 所以的坐标为或. 16. 已知的内角所对的边分别是. （1）求角； （2）若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，可得，再结合余弦定理，即可求得角B； （2）求出的外接圆半径，由正弦定理结合三角恒等变换可表示出，结合角A的范围，即可求得答案. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得， 化简可得，由余弦定理得， 因为为三角形内角，，所以. 【小问2详解】 因为的外接圆面积为，故其外接圆半径为， 因为，所以由正弦定理可得 故， 所以 ， 因为为锐角三角形，则， ， 即的周长的取值范围为. 17. 某年级数学兴趣小组组织游戏闯关活动，共设置了20道数学问题，满分100分.结束后在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a值，并估计该年级全体学生这次数学成绩的中位数； （2）活动中，甲、乙两位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率. 【答案】（1），75； （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为即可求出，根据频率分布直方图中中位数的求法求中位数即可； （2）根据相互独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图有，解得， 因为， 所以中位数在区间内，设为x， 则有，得， 所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75； 【小问2详解】 设“任选一道题，甲答对”，“任选一道题，乙答对”，“任选一道题，丙答对”， 则由古典概型概率计算公式得：，， 所以有， 记“甲、乙两位同学恰有一人答对”， 则有，且有与互斥， 因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与，与B，与均相互独立， 所以 ， 所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率. 18. 《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，，，，为棱的中点，为棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正切值； （3）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）二面角的正切值为； （3）与平面所成角的正弦值为. 【解析】 【分析】（1）先证明，根据线面平行判定定理证明平面，再证明平面，根据面面平行判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式求二面角的余弦值，根据同角关系求结论； （3）求直线方向向量和平面的法向量，由线面夹角公式求结论. 【小问1详解】 由已知，， 因为为棱的中点，为棱的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面， 连接，因为，， 因为为棱的中点，为棱的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，， 又，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 由已知平面，平面， 所以，又， 所以直线两两垂直， 以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则 ，，，，， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，所以， 取，可得，， 所以为平面的一个法向量， 又为平面的 法向量， 设二面角的平面角为， 所以， 观察可得，所以， 所以， 所以二面角的正切值为. 【小问3详解】 因为，， 所以， 因为平面平面，为平面的一个法向量， 所以为平面的一个法向量， 设与平面所成角为， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为. 19. 已知是指数函数，且过点是定义域为的奇函数 （1）求的值； （2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； （3）若函数恰有2个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先运用待定系数法求出指数函数解析式，再用奇函数性质求出； （2）将不等式问题运用奇函数性质转化为，再考虑的单调性，脱去括号，后转化为二次函数最值即可； （3）将零点问题转化为有两个不同根，运用奇函数性质脱括号，有两个不同根即可,再用换元法，转化为二次方程的根的问题即可. 【小问1详解】 设，函数过，代入，即，解得，则. 定义域为的奇函数，则，解得，则， 由于，解得，则. 检验：，则满足题意. 则. 【小问2详解】 ，即， 即存在，使得成立. 由于，越大，则由指数单调性知道越大， 则也变大，变小，变小.则在定义域内单调递减. 即存，使得成立. 即存在，使得. 则对于，使得即可. 对于， ，则. 【小问3详解】 恰有2个零点,即有两个不同根. 即有两个不同根. 由于是定义域为的奇函数且单调递减， 则有两个不同根即可. 则有两个不同根即可. 令，q与x个数一一对应，转化为有两个不同正根即可. 满足，解得，即. 实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$