精品解析：广东省江门市省实学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

省实江门学校2023-2024学年第一学期中段检测 九年级数学 命题：李业军 审题：林艺燕 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分120分，考试用时120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，共30分．） 1. 下列事件中，是随机事件的为（ ） A. 一个三角形的内角和是 B. 负数大于正数 C. 掷一枚骰子朝上一面的点数为5 D. 明天太阳从西方升起 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件的分类进行判断即可． 【详解】解：A．一个三角形的内角和是，是必然事件，故A不符合题意； B．负数大于正数，是不可能事件，故B不符合题意； C．掷一枚骰子朝上一面的点数为5，是随机事件，故C符合题意； D．明天太阳从西方升起，是不可能事件，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了事件的分类，解题的关键是熟练掌握事件分为确定事件和随机事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； B. ，时，是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； C. ，是分式方程，故该选项不正确，不符合题意； D. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 3. 将二次函数的图象向上平移1个单位，所得图象的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的平移规律“上加下减”解答即可． 【详解】将抛物线的图象向上平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为， 故选A． 【点睛】本题考查的是二次函数图象的平移，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键． 4. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，连结OB、OC，若OB=BC，则∠BAC等于【 】 A. 60° B. 45° C. 30° D. 20° 【答案】C 【解析】 【分析】由OB=BC，OA=OB，可得△BOC是等边三角形，则可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠BAC的度数． 【详解】∵OB=BC=OC， ∴△OBC是等边三角形 ∴∠BOC=60° ∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠BAC=∠BOC=30° 故选C. 【点睛】本题考查了圆周角定理及等边三角形的判定及性质，熟练掌握性质及定理是解题的关键. 5. 如图，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠B＝55°，则∠ADE等于(　　) A. 5° B. 10° C. 15° D. 20° 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得AC=CD，∠CED=∠B，再判断出△ACD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC， ∴AC=CD，∠CED=∠B=55°， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴∠CAD=45°， 由三角形的外角性质得，∠ADE=∠CED-∠CAD=55°-45°=10°． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，解题关键是熟记各性质并准确识图． 6. 在一只不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个， 黑球8个， 黄球个， 搅匀后随机从中摸取一个恰好是白球的概率为， 则黄球的个数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用概率公式，将白球个数除以所有球总个数即可得出随机从中摸取一个恰好是白球的概率，列出等式即可求解． 【详解】解：由题可知：， 解得：， 经检验，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了随机事件的概率，解题的关键是牢记概率公式，正确列出方程并求解． 7. 已知a是方程的解，则代数式的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】把代入方程得到关于a的等式，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵a是方程的一个解， ，即 ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，理解一元二次方程的解的定义是解答本题的关键． 8. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得， 当a＜0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴负半轴， 一次函数经过一、二、四象限； 当a＞0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴正半轴， 一次函数经过一、二、三象限． 符合条件的只有选项C， 故选：C． 9. 对于抛物线y＝（x﹣1）2﹣3，下列说法错误的是（　　） A. 抛物线开口向上 B. 当x＞1时，y＞0 C. 抛物线与x轴有两个交点 D. 当x＝1时，y有最小值﹣3 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质进行逐一求解判断即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数开口向上，故A选项不符合题意； 当时不满足，，故B选项符合题意； 令，则解得或，故C选项不符合题意； 当时，二次函数有最小值-3，故D选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 10. 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】连接OC，由圆周角定理可知，又由DC是⊙O切线，可知，根据直角三角形中两锐角互余，即可求得答案． 【详解】解：连接OC，如下图： ∵， ∴ 又∵DC切⊙O于点C，OC为半径 ∴ ∴是直角三角形 ∴ ∴ 故选：C 【点睛】本题考查切线的性质定理，圆周角定理，以及直角三角形性质，牢记相关知识点，数形结合解题是关键． 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的两个队，横纵坐标都互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称， ∴点的坐标为， 故答案为：． 12. 如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，则CD＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接OA，先利用垂径定理得出AD的长，再由勾股定理得出OD的长即可解答． 【详解】解：连接OA， ∵AB=6，OC⊥AB于点D， ∴AD=AB=×6=3， ∵⊙O的半径为5， ∴， ∴CD=OC-OD=5-4=1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线构造出直角三角形，再利用勾股定理求解． 13. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干长出同样数量的小分支．若主干，支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意设每个支干长出个小分支，每个小分支又长出个分支，则又长出个分支，则共有个分支，即可列方程． 【详解】解：设每个支干长出个小分支， 根据题意列方程得：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 14. 已知，是方程的两个实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，所以先计算的值以及的值即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的根与系数的关系等知识内容，正确掌握根与系数的关系是解题的关键． 15. 二次函数的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．先化为顶点式，根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 故答案为：． 16. 如图，P是正方形内一点，将绕点B顺时针方向旋转，能与重合，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，图形的旋转问题，勾股定理．根据正方形的性质以及旋转的性质可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴． 故答案为： 三、解答题一（本大题共3题，共14分） 17. 解方程 【答案】 【解析】 【分析】方程常数项移到右边，两边加上1，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：移项得：， 配方得：，即， 开方得：， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程求解，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程． 18. 如图，二次函数的图象与x轴交于点、，根据图象解答下列问题： （1）写出方程的两个根：______； （2）当x为何值时，？当x为何值时，? （3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． 【答案】（1）， （2）当时，；当或时， （3） 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的性质及二次函数与一元二次方程、不等式的关系．会读图用图是解决本题的关键． （1）根据抛物线与轴的交点的横坐标就是二次方程的两个实数根，可直接得结论； （2）观察图象，在轴上方的部分总大于0；在轴下方的部分总小于0； （3）根据抛物线与轴交点的坐标，确定对称轴方程，结合图象得结论． 【小问1详解】 二次函数的图象与轴交于、， 的根为：，． 故答案为：， 【小问2详解】 二次函数的图象与轴交于、， 观察图象可知：当时，图象总在轴的上方． 不等式的解集为：． 观察图象可知：当或时，图象总在轴的下方． 当或时，， 【小问3详解】 二次函数的图象与轴交于、， 该图象的对称轴为直线， 图象开口向下， 当时，随的增大而减小． 即随的增大而减少时． 19. 已知关于的方程总有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若它的两个实数根满足，求的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）设方程的两根分别为，，根据根与系数的关系得，，从而可求出的值． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得； 【小问2详解】 解：若它的两个实数根满足， 设方程的两根分别为，， 根据根与系数的关系得，， 解得，， 故的值为1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式．熟练掌握根与系数的关系是本题的关键． 四、解答题二（本大题共4题，共34分） 20. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的△A1B1C1； （2）请画出△ABC以点O为对称中心的中心对称图形△A2B2C2； （3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标． 【答案】 （1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求； （3）如图，点P即为所求，点P的坐标为（2，0）． 【解析】 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）分别作出A，B，C 的对应点A2，B2，C2即可； （3）作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于点P，连接PA，此时PA+PB的值最小． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了作图-旋转变换，轴对称-最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21. 如图，的直径垂直弦于点，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，解直角三角形，圆周角定理，根据圆周角定理得到，由垂径定理得到，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 直径垂直弦于， ∴， ， ． 22. 如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F连接DF、DC．已知OA＝OB，CA＝CB． （1）求证：直线AB是⊙O的切线； （2）求证：∠FDC＝∠EDC； （3）已知：DE＝10，DF＝8，求CD的长． 【答案】 （1）证明：连接OC． ∵OA＝OB，AC＝CB， ∴OC⊥AB， ∵点C在⊙O上， ∴AB是⊙O切线． （2）证明：∵OA＝OB，AC＝CB， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵OD＝OF， ∴∠ODF＝∠OFD， ∵∠AOB＝∠ODF+∠OFD＝∠AOC+∠BOC， ∴∠BOC＝∠OFD， ∴OC∥DF， ∴∠CDF＝∠OCD， ∵OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD， ∴∠ADC＝∠CDF． （3）3． 【解析】 【分析】（1）欲证明直线AB是⊙O的切线，只要证明OC⊥AB即可； （2）首先证明OC∥DF，再证明∠CDF＝∠OCD，∠EDC=∠OCD即可； （3）作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M，在RT△CDM中，求出DM、CM即可解决问题. 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M． ∵ON⊥DF， ∴DN＝NF＝4， 在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝4， ∴ ＝3， ∵∠OCM+∠CMN＝180°，∠OCM＝90°， ∴∠OCM＝∠CMN＝∠MNO＝90°， ∴四边形OCMN是矩形， ∴ON＝CM＝3，MN＝OC＝5， 在RT△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝3，DM＝DN+MN＝9， ∴CD＝ ＝3 ． 【点睛】此题主要考查切线的判断定理、圆周角定理及垂径定理.灵活掌握是关键. 23. 一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有1，2，3，4．小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回去），再从剩下的3个球中随机抽取第二个乒乓球． （1）请你用树状图或列表法列出所有可能的结果； （2）求两次取得乒乓球的数字之积为奇数的概率． 【答案】 （1）根据题意列表如下： 1 2 3 4 1 （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） 由以上表格可知：有12种可能结果 （2） 【解析】 【详解】分析：（1）根据题意画出表格，即可得所有可能的结果；（2）在（1）的基础上，根据概率公式列式进行计算即可得解． 详解：（1）略 （2）在（1）中的12种可能结果中，两个数字之积为奇数的只有2种， 所以，P（两个数字之积是奇数） ． 点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 五、解答题三（本大题共2题，共24分） 24. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）若OB=4，OC=5，求AO的长． 【答案】（1）60°；（2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；  （2）由旋转的性质得：AD=OB=4，结合题意得到∠ADO=90°．则在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长． 【详解】（1）由旋转的性质得：CD=CO，∠ACD=∠BCO． ∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=60°， ∴∠DCO=∠ACO+∠ACD=∠ACO+∠OCB=60°， ∴△OCD为等边三角形， ∴∠ODC=60°． （2）由旋转的性质得：AD=OB=4． ∵△OCD为等边三角形，∴OD=OC=5． ∵∠BOC=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=90°． 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO=． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理. 25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）当动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标和的最大面积． （3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，请求出所有Q点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的最大面积为，此时点； （3）点的坐标为：或或或 【解析】 【分析】本题为二次函数的综合应用，面积问题，特殊三角形问题； （1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）当，，为斜边时，勾股定理建立方程解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为：， 则，则， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：由抛物线的表达式，当时，，则， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则的面积， 即的最大面积为，此时点； 【小问3详解】 解：存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为，故设点， 由点、、的坐标得，，，， 当为斜边时，则， 解得：； ∴点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 省实江门学校2023-2024学年第一学期中段检测 九年级数学 命题：李业军 审题：林艺燕 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分120分，考试用时120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，共30分．） 1. 下列事件中，是随机事件的为（ ） A. 一个三角形的内角和是 B. 负数大于正数 C. 掷一枚骰子朝上一面的点数为5 D. 明天太阳从西方升起 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 将二次函数的图象向上平移1个单位，所得图象的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，连结OB、OC，若OB=BC，则∠BAC等于【 】 A. 60° B. 45° C. 30° D. 20° 5. 如图，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠B＝55°，则∠ADE等于(　　) A. 5° B. 10° C. 15° D. 20° 6. 在一只不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个， 黑球8个， 黄球个， 搅匀后随机从中摸取一个恰好是白球的概率为， 则黄球的个数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 7. 已知a是方程的解，则代数式的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 8. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 对于抛物线y＝（x﹣1）2﹣3，下列说法错误的是（　　） A. 抛物线开口向上 B. 当x＞1时，y＞0 C. 抛物线与x轴有两个交点 D. 当x＝1时，y有最小值﹣3 10. 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为________． 12. 如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，则CD＝_____． 13. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干长出同样数量的小分支．若主干，支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为__________． 14. 已知，是方程的两个实数根，则______． 15. 二次函数的顶点坐标为______． 16. 如图，P是正方形内一点，将绕点B顺时针方向旋转，能与重合，若，则______． 三、解答题一（本大题共3题，共14分） 17. 解方程 18. 如图，二次函数的图象与x轴交于点、，根据图象解答下列问题： （1）写出方程的两个根：______； （2）当x为何值时，？当x为何值时，? （3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． 19. 已知关于的方程总有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若它的两个实数根满足，求的值． 四、解答题二（本大题共4题，共34分） 20. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的△A1B1C1； （2）请画出△ABC以点O为对称中心的中心对称图形△A2B2C2； （3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标． 21. 如图，的直径垂直弦于点，，，求的长． 22. 如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F连接DF、DC．已知OA＝OB，CA＝CB． （1）求证：直线AB是⊙O的切线； （2）求证：∠FDC＝∠EDC； （3）已知：DE＝10，DF＝8，求CD的长． 23. 一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有1，2，3，4．小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回去），再从剩下的3个球中随机抽取第二个乒乓球． （1）请你用树状图或列表法列出所有可能的结果； （2）求两次取得乒乓球的数字之积为奇数的概率． 五、解答题三（本大题共2题，共24分） 24. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）若OB=4，OC=5，求AO的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）当动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标和的最大面积． （3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，请求出所有Q点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $