精品解析：辽宁省铁岭市部分学校2024-2025学年九年级上学期阶段练习数学试卷

2024-2025学年度上学期阶段练习 九年数学（一）北师大 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1. 下列方程为一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 、是一元二次方程，故本选项符合题意； 、是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是正确理解只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程． 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质的运用，根据题意，设，可得，代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，设， ∴， ∴， 故选：A ． 3. 关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为（ ） A. 0 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化简为一般式，再将一次项的系数为0且二次项系数不为0，求解即可． 【详解】解：， 一元二次方程不含一次项， ，， ，， 解得， 故选：D． 4. 下列说法中，正确的是（　　） A. 有一个角相等的两个菱形必相似 B. 有一条边相等的两个矩形必相似 C. 有一个角相等的两个等腰三角形必相似 D. 有一条边相等的两个等腰三角形必相似 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定、相似多边形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．利用相似多边形的判定、相似三角形的判定方法依次判断即可得解． 【详解】解：A．有一个角相等的两个菱形必相似，原说法正确，符合题意； B．有一条边相等的两个矩形不一定相似，原说法错误，不符合题意； C．有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，原说法错误，不符合题意； D．有一条边相等的两个等腰三角形必相似不一定相似，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，正方形的边长为，将该正方形沿方向平移，得到正方形，交于点E，交于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，正方形的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键，连接，则，得出是等腰直角三角形，进而即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵正方形平移得到正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵, ∴， 故选：C． 6. 某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙不是从同一节车厢上车的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．画树状图，共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把3节车厢分别记为、、， 画树状图如图： 共有9种等可能的结果，甲和乙不是从同一节车厢上车的结果有6种， 甲和乙从同一节车厢上车的概率为， 故选：A． 7. 学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据在1个主干上的主干为1、枝干为x和小分支的数量之和是73个，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：主干为1，枝干为x，x枝干又长出个小分支， 根据题意有：， 故选：C． 8. 如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 解得：， 故选C． 9. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似， 故本选项符合题意； D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意． 故选：C． 10. 如图，在菱形中，，对角线、相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点．由以下结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．利用菱形的性质和等边三角形的判定可判断①；根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理可判断②④；根据三角形的内角和定理可判断③，进而可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴为等边三角形，，则， 故①②正确； ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， 故③④正确， 综上，正确的有4个， 故选：D． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 已知a、b、c是线段．且c是a、b的比例项，若a＝6cm，b＝8cm，则c=____cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据成比例线段的性质求解即可． 【详解】 a、b、c是线段．且c是a、b的比例项， a＝6cm，b＝8cm， 故答案为： 【点睛】本题考查了成比例线段，掌握比例的性质是解题的关键． 12. 若是一元二次方程的一个根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程，然后利用整体代入求值即可，解题的关键是熟记把方程的解的概念和掌握整体代入思想． 【详解】解：把代入方程得：， ∴， ∴ 故答案为：． 13. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有_____个． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了运用频率估算概率的计算方法，解分式方程，掌握频率的计算方法是解题的关键． 根据题意设有白球个，根据频率的计算方法列分式方程求解即可． 【详解】解：设白球有个， ∴， 解得，， 检验，当，原分式方程有意义， ∴口袋中白球可能有个， 故答案为： ． 14. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为，则道路的宽为 _______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设道路的宽为，则剩余空地可合成长为，宽为的矩形，根据种植花苗的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设道路的宽为，则剩余空地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴道路的宽为． 故答案为：1． 15. 如图，矩形中，．点E为边上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为___________． 【答案】9或18 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质的综合应用，分情况讨论，作出图形是解题关键． 分两种情况分别求解，（1）当时，如图1，根据轴对称的性质得，得；（2）当时，如图2，根据轴对称的性质得，得、、在同一直线上，根据勾股定理得，设，则，根据勾股定理得，，代入相关的值，计算即可． 【详解】解：（1）当时，如图1， ∵， 根据轴对称的性质得， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）当时，如图2， 根据轴对称的性质得， 为直角三角形， 即， ∴， ∴在同一直线上， 根据勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， 即； 综上所述：的长为9或18； 故答案为：9或18． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法得出，进而即可求解； （2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴ ∴ ∴ 解得： 【小问2详解】 解： ∴ ∴ ∴或 解得： 17. 工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 n （1）表格中m的值为 ，n的值为 ． （2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率． （3）该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除给工厂2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了460件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 【答案】（1）475，0.95 （2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率为0.05 （3）46元 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的方法： （1）根据频数等于总数乘以频率，即可求解； （2）根据6次次衬衫从50件增加到1000件时，衬衣合格的频率趋近于0.95，所以估计衬衣合格的概率为0.95，即可； （3）用2乘以被抽检出一件不合格产品的数量，即可求解． 【小问1详解】 解：，； 故答案为：475，0.95 【小问2详解】 解：∵抽取件数为1000时，合格的频率趋近于0.95， ∴估计衬衣合格的概率为0.95， ∴估计衬衣不合格的概率为 故答案为0.05． 【小问3详解】 解：（元）， 即估计要在他奖金中扣除46元材料损失费． 18. 小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，为的中点，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析； （2）24． 【解析】 【分析】（1）通过为菱形得到，，又，所以可知，从而得到为平行四边形，再通过对角线垂直进而可知其为菱形． （2）易知是直角三角形，为斜边的中点，得到，进而可得到是等边三角形，再通过角度计算出，再通过勾股定理求出，进而可得到四边形的周长． 【详解】解：（1）证明： ∵四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2） ∵， ∴是直角三角形． ∵为的中点， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵． ∴． ∴， ∴． ∵四边形为菱形． ∴． 在中，， ∴ ∴（负值舍去）． ∵四边形为菱形， ∴菱形的周长为． 【点睛】本题考查菱形的证明及基本性质，等边三角形性质，勾股定理、直角三角形斜边上中线等于斜边一半，熟练掌握基本知识点是解题关键． 19. 有一种葡萄：从树上摘下后不保鲜最多只能存放一周，如果放在冷藏室，可以延长保鲜时间，但每天仍有一定数量的葡萄变质，假设保鲜期内的重量基本保持不变，现有一位个体户，按市场价收购了这种葡萄200千克放在冷藏室内，此时市场价为每千克2元，据测算，此后每千克鲜葡萄的市场价格每天可以上涨0.2元，平均每天还有1千克葡萄变质丢弃． （1）设5天后每千克鲜葡萄的市场价为P元，则________； （2）如果该个体户将这批葡萄一次性出售后销售金额为760元，为了尽快回收资金，那么他应存放多少天后再一次性售出？ 【答案】（1）3 （2）10天 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据金额、售价、质量之间的关系列出方程是解题的关键． （1）市场价等于原价与5天上涨的价格之和，由此可解； （2）根据销售金额等于x天后的市场价可售葡萄的总质量列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：设应存放x天后再一次性售出， 由题意得， 整理，得， 解得，， 要尽快回收资金， ， 即他应存放10天后再一次性售出． 20. 如图，在平行四边形中，是边的延长线上一点，连接交于点，交对角线于点． （1）若，求 的值； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）知，则， 在平行四边形中，， ． 【解析】 【分析】本题考查几何综合，涉及平行四边形性质、相似三角形的判定与性质和平行线性质等知识，熟记平行四边形性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由平行四边形性质，结合三角形相似的判定与性质即可得到答案； （2）由平行线性质得到、，结合平行线性质得到，利用相似三角形的判定定理即可得证． 【小问1详解】 解：在平行四边形中，，， ， ； 【小问2详解】 略 21. 某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务． 如图，①分别以点，为圆心，大于的长为半径在两侧画弧，四段弧分别交于点，点；②连接，，，作射线；③以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；④连接，交于点．点即为的一个三等分点（即． 学习任务： （1）填空：四边形的形状是 ； 你的依据是 ； （2）证明： 【答案】（1）菱形，四条边相等的四边形为菱形 （2） 证明：四边形的形状是菱形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． ． 【解析】 【分析】本题主要考查了基本作图，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）利用菱形的判定与性质解答即可； （2）利用菱形的性质，平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可． 【小问1详解】 解：由作法可知：， 四边形的形状是菱形， 依据是：四条边相等的四边形为菱形； 故答案为：菱形，四条边都相等的四边形是菱形； 【小问2详解】 略 22. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程是倍根方程． （1）若一元二次方程是“倍根方程”，则______． （2）判断方程是不是倍根方程？并说明理由． （3）若是倍根方程，求代数式的值． 【答案】（1）2 （2）不是，理由见解析 （3）0 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程是“倍根方程”，得到即可得到结论； （2）求出方程的解即可判断出结论； （3）解方程得，由方程两根是2倍关系，得到或4，代入解方程即可得到结论． 【小问1详解】 ∵一元二次方程是“倍根方程”， 又 ∴ ∴ 故答案为：2； 【小问2详解】 方程不是“倍根方程”，理由如下： ， 解得， ∴ ∴方程不是“倍根方程”； 【小问3详解】 解方程得， ∵方程两根是2倍关系， ∴或4， 当时，即代入代数式得 当时，即代入代数式得 综上， 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若是一元二次方程的两根时，也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程． 23. 在四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点． （1）如图1，若四边形是正方形， ①求证：； ②当G是中点时，________________度； （2）如图2，若四边形是菱形，，当为的中点时，求的长； （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上，且满足，当是直角三角形时，请直接写出的长为__________________________． 【答案】（1） ①证明：∵正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴； ②67.5 （2） （3）或或2 【解析】 【分析】（1）①正方形的性质结合即可得证；②连接，先证明垂直平分，进而得到，利用等边对等角进行求解即可； （2）取的中点，连接，三角形的中位线，得到，设，证明，列出比例式进行求解即可； （3）分点为直角顶点和点为直角顶点，两种情况，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①略 ②连接，则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 取的中点，连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； 经检验：是原方程的解， ∴； 【小问3详解】 ∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当点为直角顶点时，如图： 设， 则：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：或； 经检验或是原方程的解， ∴或； 当点为直角顶点时，如图：过点作， 则：，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上： 或或． 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期阶段练习 九年数学（一）北师大 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1. 下列方程为一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为（ ） A. 0 B. C. 4 D. 4. 下列说法中，正确的是（　　） A. 有一个角相等的两个菱形必相似 B. 有一条边相等的两个矩形必相似 C. 有一个角相等的两个等腰三角形必相似 D. 有一条边相等的两个等腰三角形必相似 5. 如图，正方形的边长为，将该正方形沿方向平移，得到正方形，交于点E，交于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙不是从同一节车厢上车的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，对角线、相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点．由以下结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 已知a、b、c是线段．且c是a、b的比例项，若a＝6cm，b＝8cm，则c=____cm． 12. 若是一元二次方程的一个根，则的值是______． 13. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有_____个． 14. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为，则道路的宽为 _______． 15. 如图，矩形中，．点E为边上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为___________． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程 （1） （2） 17. 工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 n （1）表格中m的值为 ，n的值为 ． （2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率． （3）该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除给工厂2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了460件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 18. 小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，为的中点，，求四边形的周长． 19. 有一种葡萄：从树上摘下后不保鲜最多只能存放一周，如果放在冷藏室，可以延长保鲜时间，但每天仍有一定数量的葡萄变质，假设保鲜期内的重量基本保持不变，现有一位个体户，按市场价收购了这种葡萄200千克放在冷藏室内，此时市场价为每千克2元，据测算，此后每千克鲜葡萄的市场价格每天可以上涨0.2元，平均每天还有1千克葡萄变质丢弃． （1）设5天后每千克鲜葡萄的市场价为P元，则________； （2）如果该个体户将这批葡萄一次性出售后销售金额为760元，为了尽快回收资金，那么他应存放多少天后再一次性售出？ 20. 如图，在平行四边形中，是边的延长线上一点，连接交于点，交对角线于点． （1）若，求 的值； （2）求证：． 21. 某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务． 如图，①分别以点，为圆心，大于的长为半径在两侧画弧，四段弧分别交于点，点；②连接，，，作射线；③以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；④连接，交于点．点即为的一个三等分点（即． 学习任务： （1）填空：四边形的形状是 ； 你的依据是 ； （2）证明： 22. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程是倍根方程． （1）若一元二次方程是“倍根方程”，则______． （2）判断方程是不是倍根方程？并说明理由． （3）若是倍根方程，求代数式的值． 23. 在四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点． （1）如图1，若四边形是正方形， ①求证：； ②当G是中点时，________________度； （2）如图2，若四边形是菱形，，当为的中点时，求的长； （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上，且满足，当是直角三角形时，请直接写出的长为__________________________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $