精品解析：上海市虹口实验学校2024-2025学年上学期九年级数学学科学情调研试题

2024学年度第一学期九年级数学学科学情调研 （时间：100分钟，满分150分） 注意： 1．本试卷含三个大题，共25题； 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上． 1. 将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被缩小的是（ ） A. 图形的面积 B. 图形的周长 C. 角的度数 D. 边的长度 2. 2024年8月2日，北横通道东段主线正式试通车，标志着这一世界最长城市核心区地下道路全线双向贯通．在一张比例尺为的地图上，北横通道长约1.9厘米，那么北横通道实际长度约为（ ） A. 0.19千米 B. 1.9千米 C. 19千米 D. 190千米 3. 在下列四个图形中，已知，则四个图中不一定有相似三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作图中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知点，点，，，点D在第一象限内，如果以点D、O、C为顶点的三角形与相似，那么这样的点D有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果，那么______． 8. 计算：________． 9. 已知线段x是线段a、b的比例中项，且，则______． 10. 如图，，那么________． 11. 已知，的面积与的面积的比值是，分别是它们对应边上的中线，且，则______． 12. 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为米，那么它的下部应设计为____米． 13. 已知与单位向量的方向相同，且长度为，那么用表示___________． 14. 已知在中，是中线，G是重心，如果，那么______． 15. 如图，在锐角中，矩形的顶点D在边上，顶点E、F在边上，顶点G在边上，如果矩形的长为6，宽为4，底边上的高为6，则的面积为________． 16. 如图，在四边形ABCD中，，AC平分，过点C作交AB于点E，连接DE交AC于点F，若，，则______． 17. 如图，E、F为的边上的点，且，那么________． 18. 在直角梯形中，，对角线交于点E，过点E作于点F，O为边的中点，且，则________． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 已知：，且，求的值． 20. 如图，矩形中，点E、F分别在边上，且，交于G，设． （1）用向量表示 ________；________；________． （2）在图上求作向量分别在方向上的分向量． 21. 已知：如图，点D，F在的边上，点E在边上，且，．求证：． 22. 已知：如图，分别是的边上的高，与相交于点D． （1）求证：； （2）如果．，求的值 23. 已知：中，AB=AC，点 D、E 分别是线段 CB、AC 延长线上的点，满足 ADE ABC . （1）求证： AC CE BD DC ； （2）若点 D 在线段 AC 的垂直平分线上，求证： 24. 【阅读理解】如图，在四边形的边上任取一点点不与重合，分别连接、，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形的边上的“强相似点”． 【解决问题】 （1）如图，，求证：点是四边形的边上的相似点； （2）如图，在矩形中，、、、四点均在正方形网格的格点即每个小正方形的顶点上，试在图中画出矩形的边上的强相似点E； （3）如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若点恰好是四边形的边上的强相似点，请求出的值． 25. 如图，在直角梯形中，，E在边上，F在边上，． （1）如果，则________； （2）当________时，是等腰三角形； （3）与能否相似？如果能相似，求出的长，如果不相似，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年度第一学期九年级数学学科学情调研 （时间：100分钟，满分150分） 注意： 1．本试卷含三个大题，共25题； 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上． 1. 将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被缩小的是（ ） A. 图形的面积 B. 图形的周长 C. 角的度数 D. 边的长度 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，根据题意可得图形甲和图形乙相似，再由相似图形对应角相等，对应边的长成比例即可得到答案． 【详解】解：∵将图形甲通过缩小得到图形乙， ∴图形甲和图形乙相似， ∵相似图形对应角相等，对应边的长成比例， ∴在图形甲与图形乙的对应量中，没有被缩小的是角的度数，面积，周长和边长都被缩小， 故选：C． 2. 2024年8月2日，北横通道东段主线正式试通车，标志着这一世界最长城市核心区地下道路全线双向贯通．在一张比例尺为的地图上，北横通道长约1.9厘米，那么北横通道实际长度约为（ ） A. 0.19千米 B. 1.9千米 C. 19千米 D. 190千米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例尺的意义的运用，比例线段．由比例尺的定义：图上距离与实际距离的比叫做比例尺建立等量关系，就可以求出实际距离． 【详解】解：设地铁线路的实际长度约为是厘米，由题意，得 ， 解得：， 1900000厘米千米． 故选：C． 3. 在下列四个图形中，已知，则四个图中不一定有相似三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐一判断即可，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、如图， ∵，， ∴，不符合题意； 、如图， ∵，， ∴，不符合题意； 、如图， ∵，， ∴，不符合题意； 、如图， 由，不能证明和相似，符合题意； 故选：． 4. 已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． B、，计算正确，故本选项符合题意． C、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． D、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． 故选：B． 5. 已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作图中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．利用图形得比例线段，再与已知式作对比，可以得出结论． 【详解】解：A、由图可得，即，故此选项不符合题意； B、由图可得，即，故此选项不符合题意； C、由图可得，即，故此选项符合题意； D、由图可得，即，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中，已知点，点，，，点D在第一象限内，如果以点D、O、C为顶点的三角形与相似，那么这样的点D有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】分情况讨论，当时，再分和讨论；当时，再分和讨论即可求解． 【详解】解：如图，当时， 若，则； 若，则； 当时， 若，则； 若，则； 综上，如果以点D、O、C为顶点的三角形与相似，那么这样的点D有4个， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形性质，作出图形，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．由可得，再将变形为，代入即可求解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 8. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查向量的加减法，属于基础题，根据向量的加减法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 已知线段x是线段a、b的比例中项，且，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质．根据比例的基本性质，即可得出答案． 【详解】解：∵线段x是线段a、b的比例中项，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 故答案为：6． 10. 如图，，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，得到，从而得到，即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11. 已知，的面积与的面积的比值是，分别是它们对应边上的中线，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由相似三角形的面积比可得相似比，再根据对应边上的中线之比等于相似比即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，的面积与的面积的比值是， ∴相似比为， ∵分别是它们对应边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为米，那么它的下部应设计为____米． 【答案】 【解析】 【分析】设雕像的下部高为，则上部长为，然后根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设雕像的下部高为，则上部长为，根据题意可得： ， 整理得：， 解得：，(舍去)， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于读懂题目列出方程． 13. 已知与单位向量的方向相同，且长度为，那么用表示___________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据平行向量的性质求解即可． 【详解】解：与单位向量的方向相同，长度为， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 14. 已知在中，是中线，G是重心，如果，那么______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查重心的性质，掌握重心的性质是解题的关键．根据重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1求解即可． 【详解】解：由题意可知，即， ∴． 故答案为：6． 15. 如图，在锐角中，矩形的顶点D在边上，顶点E、F在边上，顶点G在边上，如果矩形的长为6，宽为4，底边上的高为6，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，利用相似比求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：设交于点， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：54． 16. 如图，在四边形ABCD中，，AC平分，过点C作交AB于点E，连接DE交AC于点F，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先证，求出AC，进而求出BC，再证是等边三角形，求出CE，CD，进而求出DE，接着证明，可得，则问题得解． 【详解】解：∵AC平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴是等边三角形， ∴， 在Rt△ADC中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是一道三角形的综合题，考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行的性质以及解含特殊角的直角三角形等知识，证得是等边三角形是解答本题的关键． 17. 如图，E、F为的边上的点，且，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．由，设，证明是中位线，是中位线得， ，证明，得，进而可求出结论． 【详解】解：∵， ∴设， 过点D作，交于点G，交于点H， ∴， ∴， ∴是中位线，是中位线， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 18. 在直角梯形中，，对角线交于点E，过点E作于点F，O为边的中点，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质；也考查了勾股定理和代数式的变形．设，，，，在中，利用勾股定理得到，由，得到，，则，，得出①，②，然后用，化简即可得． 【详解】解：设，， ∵， ∴， 而，O为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵，即， ∴，， ∴，， ∴①，②， 得，②， ∴， 故答案为：16 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 已知：，且，求的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解一元一次方程，由已知可设，，，进而可得关于的一元一次方程，解方程即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴可设，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，． 20. 如图，矩形中，点E、F分别在边上，且，交于G，设． （1）用向量表示 ________；________；________． （2）在图上求作向量分别在方向上的分向量． 【答案】（1），， （2） 如图：，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查向量的线性计算，相似三角形的判定和性质： （1）根据三角形法则，结合相似三角形的判定和性质，进行求解即可； （2）根据平行四边形法则，过点作，过点作，则，即为所求． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：，， 【小问2详解】 解：略． 21. 已知：如图，点D，F在的边上，点E在边上，且，．求证：． 【答案】 证明：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 首先证明出，得到，然后等量代换得到，进而证明出，得到，即可得到． 【详解】略 22. 已知：如图，分别是的边上的高，与相交于点D． （1）求证：； （2）如果．，求的值 【答案】（1） 证明：∵分别是的高线， ∴． ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 对于（1），根据两角相等的两个三角形相似得出答案； 对于（2），结合（1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 已知：中，AB=AC，点 D、E 分别是线段 CB、AC 延长线上的点，满足 ADE ABC . （1）求证： AC CE BD DC ； （2）若点 D 在线段 AC 的垂直平分线上，求证： 【答案】 证明：中，AB=AC, 证明：点D在线段AC的垂直平分线上， 【解析】 【分析】证明,根据相似三角形的性质即可证明. 证明,根据相似三角形的性质即可证明. 【详解】略 略 【点睛】考查相似三角形的判定与性质以及线段的垂直平分线的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 24. 【阅读理解】如图，在四边形的边上任取一点点不与重合，分别连接、，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形的边上的“强相似点”． 【解决问题】 （1）如图，，求证：点是四边形的边上的相似点； （2）如图，在矩形中，、、、四点均在正方形网格的格点即每个小正方形的顶点上，试在图中画出矩形的边上的强相似点E； （3）如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若点恰好是四边形的边上的强相似点，请求出的值． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴， ， ∽， 点是四边形的边上的相似点； （2）如图， （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角的性质证明和，得到； （2）根据题意分两种情况：点E靠近点A时，点E靠近点B时，画图即可； （3）根据强相似点定义得出，得出，根据折叠得出，，得出，根据三角函数定义得出，得出，即可求出，最后得出答案即可． 【详解】（1）略 （2）解：点为靠近点A，边上的强相似点； ∵四边形为矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E为矩形的边上的强相似点； 同理点为靠近点B，边上的强相似点，如图所示： （3）解：∵点是四边形的边上的一个强相似点， ， ， 由折叠可知：， ，， ，， 在中，， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的综合应用，三角函数的定义，余角的性质，勾股定理，理解新定义、掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 25. 如图，在直角梯形中，，E在边上，F在边上，． （1）如果，则________； （2）当________时，是等腰三角形； （3）与能否相似？如果能相似，求出的长，如果不相似，请说明理由． 【答案】（1） （2）或6 （3）满足条件的的值为或 【解析】 【分析】（1）如图中，作于于．由，设，则，构建方程组即可解决问题； （2）分两种情形①如图中，当时，设．构建方程组解决问题；②如图中，当时，只要证明，推出，推出即可； （3）分两种情形，利用相似三角形的性质即可解决问题； 【小问1详解】 解：如图中，作于于． ∵， ∴设， ， ， ， ∴， 则， ， ①， 在中，②， 由①②解得或， 当时，（舍去）， ； 【小问2详解】 解：①如图中， 当时，设． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图中，当时， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或6． 故答案为：或6． 【小问3详解】 解：存在． ①如图中，当时，． ， ， ， ， ， ②如图中，当时，．作于M． ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或． 【点睛】本题考查相似形综合题、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数、直角梯形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程或方程组解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $