湖南省长沙市2025届高三上学期10月阶段考试数学针对性训练试题

湖南省长沙市2025届高三10月阶段考试针对性训练数学试题 一、单选题 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（    ） A．31 B．30 C．29 D．28 6．若函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为曲线，直线，若直线与曲线交于不同的两点，是坐标原点，且有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（    ） A． B．数列的通项公式为： C．数列的前n项和为： D．数列为递减数列 10．设函数，则（   ） A．当时，是的极大值点 B．当时，有三个零点 C．若满足，则 D．当时，若在上有最大值，则 11．如图所示，四面体的底面是以为斜边的直角三角形，体积为，平面，，为线段上一动点，为中点，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积和三棱锥的体积相等 B．当时， C．当时， D．四面体的外接球球心为，且外接球体积与之比的最小值是 三、填空题 12．已知点是椭圆上的一点，且以点及焦点，为顶点的三角形的面积等于2，则点的坐标为 ． 13．已知函数，若曲线在处的切线的斜率为，则实数的值为 . 14．在甲､乙､丙､丁四人踢毽子游戏中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢给另外三人中的任何一人，若第二次踢出后恰好踢给丙，则此毽子是由乙踢出的概率为 ；第次踢出后，建子恰好踢给乙的概率为 . 四、解答题 15．在中，内角，，的对边分别为，，.已知. (1)求； (2)若，，设为延长线上一点，且，求线段的长. 16．如图，在直角梯形中，，四边形为菱形且，对角线和相交于点，平面平面，点为线段的中点.    (1)求证：平面； (2)若，求二面角的正弦值. 17．设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 18．已知函数． (1)证明：曲线是轴对称图形； (2)若函数在上有三个零点，求实数的取值范围． 19．对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”. (1)求20以内的质数“理想数”； (2)已知.求m的值； (3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省长沙市2025届高三10月阶段考试针对性训练数学试题参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D C C D B C ACD AC 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】解不等式求得集合，进而求得. 【详解】由解得，所以， 而，所以. 故选：A 2．A 【分析】根据复数的除法运算可得复数，再平方，即可求解. 【详解】因为，故，故 故选：A. 3．D 【分析】根据进行求解，得到答案. 【详解】因为，， 所以在上的投影向量为. 故选：D 4．C 【分析】代入二倍角公式，以及诱导公式，即可求解. 【详解】由条件可知，， 而. 故选：C 5．C 【分析】赋值法得到方程，求出，求出展开式通项公式，得到，，从而得到展开式中的系数为. 【详解】中令得，解得， 展开式通项公式为，， 当时，，当时，， 故展开式中的系数为. 故选：C 6．D 【分析】的对称轴为；结合单调性可得，然后求解即可. 【详解】因为，所以的对称轴为， 在单调递减，则在单调递增， 又因为，由对称性可得， 所以，， . 故选：D 7．B 【分析】首先根据三角函数的图象与性质计算即可得表达式，先根据三角函数的图像变换得，结合正弦函数的单调性、对称性可判定m的取值范围. 【详解】由函数的部分图象可知，， 因为，所以， 又，所以，解得， 由可得，所以， 将的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，令，由，可得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 因为关于的方程在上有两个不等实根， 即与的图像在上有两个交点， 即与在上有两个交点， 所以实数的取值范围为， 故选：B. 8．C 【分析】由可求得点轨迹为圆，取中点，根据向量线性运算可得，利用垂径定理可求得的范围，结合点到直线距离公式可构造不等式求得的取值. 【详解】设，由得：， 整理可得曲线，即点轨迹是以为圆心，为半径的圆； 设的中点为，则， ，， ，，解得：， 是直线与圆的两个不同交点，， 即，，又，解得：， 即实数的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的综合应用问题，解题关键是能够根据向量的线性运算，结合垂径定理求得圆心到直线的距离所处的范围，进而利用点到直线距离公式来构造不等式求得结果. 9．ACD 【分析】令可求；利用已知求的方法求数列通项公式；利用裂项相消法求数列的前n项和;根据数列与函数的关系判断数列的单调性. 【详解】因为， 所以当时，， 两式相减得，所以， 又因为当时，满足上式， 所以数列的通项公式为：，故A正确，B错误， ， 所以 ， 故C正确； 因为，随着的增大，在减小，所以数列为递减数列， 故D正确. 故选:ACD. 10．AC 【分析】根据导数的形式讨论导数的符号后可判断A的正误，再讨论单调性后可判断BD的正误，根据题设中的恒等式可求的值，故可判断C的正误. 【详解】对于A，， 当时，或时，；当时，， 故为的极大值点，故A正确； 对于B，当时，由A的分析同理可得： 当或时，；当时，， 故在为减函数，在上为增函数， 而，， ，故只有一个零点； 对于C， ， 由题设可得恒成立， 故即，故C正确. 对于D，取，由B的分析可得： 在为增函数，在上为减函数，在为增函数， 而，，此时在无最大值， 故选：AC. 11．ABD 【分析】根据锥体体积的计算公式可得两个三棱锥高和底面积相等，即A正确；利用线面垂直判定定理以及面面垂直的性质定理可证明平面，可判断B正确；当与重合，可知，这与矛盾，因此C不成立；利用三棱锥性质可求得外接球球心为的位置及其半径与三棱锥棱长的关系即可求得与之比的最小值. 【详解】对于A，因为为中点，则，而两个三棱锥高相等，故体积相等，A正确； 对于B，因为平面，平面，所以， 又，，平面， 故平面，平面，故平面平面， 过作，垂足为，如下图所示： 因为面平面，平面，故面， 而面，故，若， 则，而平面，故平面， 又平面，故，故B正确. 对于C，若与不重合，由平面，平面，可得； 又是以为斜边的直角三角形可知， 又,平面，所以平面, 又平面，所以， 当时，，平面， 所以平面，又平面， 可得， 但若与重合，由于，若，，平面， 所以平面，平面，故，这与矛盾，所以不成立， 故与重合，满足，但此时不成立，故C错误； 对于D，由平面，平面，故， 故，为外接球球心，且，， 又，可以在以中点为圆心，为半径的圆上运动， 到的距离为， 当且仅当时等号成立， 故到的距离最大为，此时， 故，D正确， 故选：ABD. 12． 【分析】依题意可得，根据，求出，再代入椭圆方程求出横坐标，即可得解； 【详解】解：由已知，椭圆的焦距． 因为的面积等于2，所以，解得． 代入椭圆的方程，得，解得． 所以点的坐标是． 故答案为： 13． 【分析】求导，即可根据切线斜率求解. 【详解】由可得， 由于曲线在处的切线的斜率为， 故，解得， 故答案为： 14． / 【分析】根据条件概率公式之积可得第二次毽子由乙踢出的概率，再由若第次踢出后，建子恰好踢给乙，则第次踢出后，建子恰好不踢给乙，再由其踢给乙，即可得概率的递推公式，进而可得概率. 【详解】由已知接到前两次踢出的毽子的情况有（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），共种， 设事件：第二次的毽子由丙接到，事件：第二次的毽子由乙踢出，丙接到， 则，， 则； 设第次踢出后，建子恰好踢给乙的概率为， 易知若第次踢出后，建子恰好踢给乙，则第次踢出后，建子恰好不踢给乙，再由其踢给乙， 即，，且， 则， 即是以为首项，为公比的等比数列， 则， 即， 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：根据题意结合概率知识可得递推公式，进而分析求解. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）利用正弦定理求出，即可求出，从而求出，再由锐角三角函数求出，即可求出. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即， 又，所以，所以，则. （2）在中，由正弦定理得 ∴，又，所以 ∴， ∴， ∵，则， 又，即， 所以 ， ∴. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用中位线性质以及线面平行判定定理即可证明得出结论； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得两平面法向量即可得出二面角的正弦值. 【详解】（1）因为四边形为菱形，所以是中点. 连接，如下图所示：    又为线段的中点，则，且. 又且，所以， 所以四边形是平行四边形，所以. 又平面平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：    则有. 则， 设平面的一个法向量为， 则有， . 令，得，故. 设平面的一个法向量为， 则有， . 令，得，故. 所以. 所以二面角的正弦值为. 17．(1) (2)为定值，且定值为 【分析】（1）根据点到直线的距离以及点到点的距离公式，即可列方程化简求解， （2）由题意，设直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立，结合条件求出即可． 【详解】（1）设，到定直线的距离为则， 故，平方后化简可得， 故点的轨迹的方程为： （2）由题意，, 设直线的方程为，,，,， 由，可得， 所以，． 则，， 所以 ； 当直线的斜率不存在时，，此时， 综上，为定值．    18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，即可说明曲线是轴对称图形； （2）首先求出，然后将问题转化为与的图象在上有三个交点，结合的图象即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由函数，定义域为， 则， 因此可得， 故函数的图象关于，即曲线是轴对称图形. （2）由， 若函数在上有三个零点， 则方程在上有三个实根， 即在上有三个实根， 令，则与的图象在上有三个交点， 又， 当或时，， 则在和上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 又，， ，， 因此可得的图象如图所示， 结合图象，要使与的图象在上有三个交点， 则实数的取值范围为. 19．(1)2和5为两个质数“理想数” (2)的值为12或18 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解； （2）分析题意知道必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解； （3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）以内的质数为， ，故，所以为“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； 和5为两个质数“理想数”； （2）由题设可知必为奇数，必为偶数， 存在正整数，使得，即： ，且， ，或，或，解得，或， ，或，即的值为12或18． （3）显然偶数"理想数"必为形如的整数， 下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：， 若奇数，不妨设， 若为"理想数"，则，且，即，且， ①当，且时，； ②当时，； ，且， 又，即， 易知为上述不等式的唯一整数解， 区间]存在唯一的奇数"理想数"，且， 显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为， 所有的奇数"理想数"的倒数为， ，即． 【点睛】知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$