湖南省长郡梅溪湖中学2023-2024学年高二下学期寒假作业检测数学试题卷

长郡梅溪湖中学高二年级寒假作业检测 数学试题卷 本试卷共 7页，19题．全卷满分 150分．考试用时 120分钟。 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试 题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答 题卡上的非答题区域均无效。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1．已知集合  2 15 , 3, 2, 1,0, ,12A x x B            Z∣ ，则 A B 中元素的个数为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知在 ABC△ 中， 52, 1,cos 6 AB AC A   ，则 BC （ ） A．1 B． 5 2 C． 5 3 D． 15 3 3．若 20 20 19 18 2 19 20 0 1 2 19 20( 2 )a b x a x a b x a b x ab x b       ，则 19x （ ） A． 20 B． 1920 2  C． 192 D． 1920 2 4．某企业在今年年初贷款 a万元，年利率为 ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年 应偿还（ ） A．    5 1 1 1 a      万元 B．     5 5 1 1 1 a      万元 C．     5 4 1 1 1 a      万元 D．  51 a  万元 5 若 πtan 2 4 tan 0 4         ，则 sin 2 （ ） A． 4 5  B． 2 5  C． 2 5 D． 4 5 6．在某电路上有 C、D 两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换 C 元件的概率为 0.2，需要更换 D 元件的 概率为 0．1，则在某次通电后 C、D有且只有一个需要更换的条件下，C 需要更换的概率是（ ） A． 3 10 B． 1 50 C． 9 13 D． 3 4 7．已知抛物线C：  2 2 0x py p   的焦点 F 与 2 2 1 8 4 y x   的一个焦点重合，过焦点 F 的直线与C交于A，B两 不同点，抛物线C在A， B两点处的切线相交于点M ，且M 的横坐标为 4，则弦长 AB （ ） A．12 B．14 C．15 D．16 8．在各棱长都为 2 的正四棱锥V ABCD 中，侧棱 VA 在平面 VBC 上的射影长度为（ ） A． 2 6 3 B． 2 3 3 C． 3 D．2 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得 6分，部分选对的得 3分，有选错的得 0分。 9．若 z满足 6,| | | 2i |z z z z    ，则（ ） A．z的实部为 3 B．z的虚部为 1 C． 1 3i 3 i 2 z    D．z对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为 3 10．设 0a  ， 0b  ，且 2 2a b  ，则（ ） A．ab的最大值为 12 B． a b 的最小值为1 C． 2 2a b 的最小值为 4 5 D． 2a b ab   的最小值为 9 2 11．关于函数     2e ,xf g xx x  ，下列说法正确的是（ ） A．若过点  ,a b 可以作曲线  f x 的两条切线，则 eab  B．若   0f x kx  在R 上恒成立，则实数 k的取值范围为0 ek  C．若    g mfx x 在 1,3 上恒成立，则 24em  D．若函数       g x h x t f x   有且只有一个零点，则实数 t的范围为 2 4 e t  三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．如图是一个正四棱台 1 1 1 1ABCD ABC D ，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为 2和 6，体积为 104 2 3 ， 则侧面积为_________． 13．已知直线 2 0l x y  : 与 x轴交于点A，点 P在直线 l上，圆  2 2: 2 2C x y   上有且仅有一个点 B满足 AB BP ，则点 P的横坐标的取值可以为________．（答对一个即可） 14. 在 ABC 中，角A，B，C所对的边长分别为 a，b，c，且满足 sin sin 2sin cosB C A B  .如图，点D在线 段 AB的延长线上，且 3AB  ， 1BD  ，当点C运动时，则 CD CA 的值为_________． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分 13分） 如图，在圆锥 SO中，若轴截面 SAB是正三角形，C为底面圆周上一点，F为线段 OA上一点，D（不与 S重合） 为母线上一点，过 D作 DE垂直底面于 E，连接 OE，EF，DF，CF，CD，且 COF EFO   ． （1）求证：平面 SCO∥平面 DEF； （2）若 EFO△ 为正三角形，且 F为 AO的中点，求平面 CDF与平面 DEF夹角的余弦值． 16.（本小题满分 15分） 第 33 届奥运会将于 2024 年 7 月 26 日至 8 月 11 日在巴黎举行，本届奥运会增设了滑板，攀岩，冲浪和霹雳舞 四个竞赛项目，国家体育总局为了深入了解各省在“攀岩”和“霹雳舞”两个竞赛项目上的整体水平，随机选取了 10 个省进行研究，便于科学确定国家集训队队员，各省代表队人数如下表 省代表队 A B C D E F G H I J 攀岩 45 51 27 38 57 19 26 47 34 29 霹雳舞 26 15 44 42 32 28 56 36 48 20 (1)从这 10 支省代表队中随机抽取 3 支，在抽取的 3 支代表队参与攀岩的人数均超过 30 人的条件下，求这 3 支 代表队参与霹雳舞的人数均超过 30 人的概率； (2)若霹雳舞参与人数超过 40 人的代表队所在地可以成为国家队集训基地，现从这 10 支代表队中随机抽取 4 支， 记 X为选出代表队所在地可以成为国家队集训基地的个数，求 X的分布列和数学期望； (3)某省代表队准备进行为期 3 个月的霹雳舞封闭训练，对太空步､空中定格､整体移动三个动作进行集训，且在 集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这 3 个动作至少有 2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”， 已知在一轮测试的 3 个动作中，甲队员每个动作达到“优秀”的概率均为 3 4 ，每个动作互不影响且每轮测试互不 影响：如果甲队员在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于 9 次，那么至少要进行多少轮测试？ 17．（本小题满分 15分） 已知函数 ( ) cos ( ).xf x ae x x a R    （1）若 1a  ，证明： ( ) 0f x  ； （2）若 ( )f x 在 (0, ) 上有两个极值点，求实数 a的取值范围. 18．（本小题满分 17分） 如图，已知点  1 3, 5T  和点  2 5, 21T  在双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     上，双曲线C的左顶点为A，过点  2 , 0L a 且不与 x轴重合的直线 l与双曲线C交于 P，Q两点，直线 AP，AQ与圆 2 2 2:O x y a  分别交于M ，N 两点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设直线 AP， AQ的斜率分别为 1k ， 2k ，求 1 2k k 的值； (3)证明：直线MN过定点. 19．（本小题满分 17分） 在无穷数列 na 中，令 1 2n nT a a a  ，若  *, n nn T a  N ，则称 na 对前 n项之积是封闭的． （1）试判断：任意一个无穷等差数列 na 对前 n项之积是否是封闭的？ （2）设 na 是无穷等比数列，其首项 1 2a  ，公比为 q．若 na 对前 n项之积是封闭的，求出 q的两个值（若 多求，则按前 2个计分）； （3）证明：对任意的无穷等比数列 na ，总存在两个无穷数列 nb 和 nc ，使得  *n n na b c n  N ，其中 nb 和 nc 对前 n项之积都是封闭的．