四川省遂宁市遂宁中学高新学校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

试题第 1页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 遂宁中学高新学校高 2024 级 10 月月考 数学试题 总分：150 时间：120 分钟 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 设全集  4,3,2,1U ，  3,1A ，  4B ，则   BACU  （ ） A.  2,4 B.  4 C.  D.  1,3,4 2. 设命题 p：任意的 x R ， 2 1 0x + > ，则 p 为 （ ） A. 不存在 x R ， 2 1 0x + > B. 存在 x R ， 2 1 0x + > C. 任意的 x R ， 2 1 0x   D. 存在 x R ， 2 1 0x   3. 下列各组函数中，表示相等函数的是 A. y x 与  2y x B. 1y  与 0y x C. y x 与 3 3y x D. 3y x  与 2 9 3 xy x    4．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事 休”.函数   1f x x x   的图象大致是（ ） A． B． C． D． 5. 若 2(2 1) 3 1(0 2)f x x x x      ，则 （ ） A. 2 3( ) 2 (0 2) 4 4 xf x x x     B. 2 3( ) 2 ( 1 3) 4 4 xf x x x      试题第 2页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 C. 2( ) 4 2 3(0 2)f x x x x     D. 2( ) 4 2 3( 1 3)f x x x x      6. 已知 , , ,a b c mR ，则下列说法正确的是 （ ） A. 若 a b ，则 2 2am bm B. 若 a b c c  ，则 a b C. 若 2 2ac bc ，则 a b D. 若 2 2 , 0a b ab  ，则 1 1a b 7. 设 2 2 2( ) , ( 1,1) 2 2 x xf x x x       ，则 （ ） A. min( ) 1f x  B. max( ) 1f x  C. min( ) 1f x   D. max( ) 1f x   8. 若      2 4 1 3, 0,2    f x ax a x x ，且    2f x f 恒成立，则 a的取值范围为（ ） A. 1 , 2    B. 1, 2     C. 10, 2      D. 10, 2      二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 9. 已知函数   2 2, 1 , 1 2 x x f x x x         ，则 （ ） A.  0 2f  B.  f x 的值域为  , 4 C.   1f x  的解集为    , 1 1,1   D. 若   3f x  ，则 3x  或 1 10. 若实数 a，b满足1 5, 1 3a b a b       ，则下列说法正确的有（ ） A. a的取值范围为 0,4 B. b的取值范围是 1,3 C. 3 2a b 的取值范围是 2,10 D. 3 2a b 的取值范围是 6,14 11. 已知不等式 2 0ax bx c   的解集为 | 1x x  或 3x  ，则下列结论正确的是（ ） A. 0c  B. 2 4 0a b c   C. 0cx a  的解集为 1| 3 x x      D. 2 0cx bx a   的解集为 | 1x x   或 13x     12. 若正实数 a，b满足 1ab  ，则下列选项正确的是（ ） A. a b 有最小值 2 B. 2 2a b 有最小值 4 C. a b 有最小值 2 D. 2 22 2 a b a b    有最大值 2 12 试题第 3页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 函数 2 0 1( ) 4 5 ( 2) 3 f x x x x x         的定义域为______. 14. 不等式 2 1 x x   的解集_________. 15．设         2 2 5 4 3 , 1 22 3, 1 1 x a a x a x f x x x x             ，若  f x 的最小值为  0f ，则 a的值为_______. 16.定义在 R 上的函数  f x 对任意实数 x，y恒有      f x y f x f y   ，当 0x  时  0 1f x  ．已知 1 2 2 2 f       ，则  3f   ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17(10分).已知 aR，集合  1 2 1A x a x a     ，  3 3B x x    ．   BA  UC2，，(1)若1 （2）若“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件，求实数 a的取值范围． 18(12分)．已知函数     2 1,1 xf x x x     ． (1)根据函数单调性的定义证明函数  f x 在区间 1, 上单调递减； (2)若    2 2 3f a f a  ，求实数 a的取值范围． 19(12分). 已知二次函数 ( )y f x 的两个零点为 1 和3，且方程 ( ) 4f x  的两根相等. （1）求函数 ( )y f x 解析式； （2）求不等式 ( ) (1 ) 3f x m x m    的解集. 试题第 4页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 20(12分). 2022年 9月 22日，中国政府提出双碳目标两周年之际，由《财经》杂志、《财经十一人》、中创 碳投联合主办的第二届“碳中和高峰论坛”在京落幕.过去一年，全球地缘政治重构，低碳转型先驱欧洲陷入 能源危机，中国也不时出现煤荒电荒.在此背景下，与会专家观点各异，共识是低碳转型大势所趋，不会被 暂时的波动所动摇.为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备.通过市场分 析：全年需投入固定成本 2000 万元，每生产 x（百辆）新能源汽车，需另投入成本  C x 万元，且 210 400 ,0 30 ( ) 14400901 6310, 30 x x x C x x x x          ，由市场调研知，每辆车售价 9 万元，且生产的车辆当年能全部销 售完. （1）请写出 2022年的利润  L x （万元）关于年产量 x（百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本） （2）当 2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 21(12分). 已知二次函数 2( )f x ax bx c   . （1）若当 2x  时，函数 ( )y f x 取得最小值 2，且 (0) 6f  ，求方程 ( ) 2 1f x x  的实数根； （2）若对任意 xR ，   22 1 2 2 3x f x x x     恒成立，求 ab的最大值. 22(12分). 对于函数  f x ，若  0 0f x x ，则称 0x 为  f x 的“不动点”，若  0 0f f x x   ，则称 0x 为  f x 的“稳定点”，函数  f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和 B，即   |A x f x x  ，   |B x f f x x    ，那么， （1）求函数   3 8g x x  的“稳定点”； （2）求证： A B ； （3）若    2 1 ,f x ax a x R   ，且 A B   ，求实数 a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 答案第 1页/共 7页 遂宁中学高新学校高 2024 级 10 月月考数学参考答案 1.A 2.D 3.C 4．B 5.B 6.C 7.D 8.【答案】B 因为    2f x f ，所以    2 4 1 3 4 8 1 3      ax a x a a ， 即  2 4 1 8 12 0    ax a x a 在  0,2x 恒成立， 令    2 4 1 8 12    g x ax a x a ， 综上所述， 1 2 a  . 9.【答案】BC 10【答案】ABC 设 3 2 ( ) ( ) ( ) ( )a b m a b n a b m n a m n b         ， 学科网（北京）股份有限公司 答案第 2页/共 7页 所以 3 2 m n m n       ，解得 1 2 5 2 m n       ，则 1 53 2 ( ) ( ) 2 2 a b a b a b     ， 因为1 5a b   ，所以 1 1 5( ) 2 2 2 a b   ， 又因为 1 3a b    ，所以 5 5 15( ) 2 2 2 a b    ， 所以 1 52 ( ) ( ) 10 2 2 a b a b      ，即 2 3 2 10a b    ，故 C正确，D错误. 11【答案】ABC 【详解】因为不等式 2 0ax bx c   的解集为 | 1x x  或 3x  ， 所以 2 0ax bx c   的两个根为 1和 3，且 a<0， 由韦达定理得1 3 ,1 3b c a a      ，得 4 , 3b a c a   ， 因为 3 0c a  ，所以 A正确， 因为 8 12 5 02 4a b c a a a a     ，所以 B正确， 不等式 0cx a  可化为3 0ax a  ，因为 a<0，所以3 1 0x   ，得 1 3 x   ， 所以 0cx a  的解集为 1 3 x x      ，所以 C正确， 不等式 2 0cx bx a   可化为 23 4 0ax ax a   ，因为 a<0， 所以 23 4 1 0x x   ，即 ( 1)(3 1) 0x x   ，得 11 3 x    ， 所以不等式 2 0cx bx a   的解集为 11 3 x x        ，所以 D错误. 故选：ABC. 12【答案】ACD 【详解】依题意， 0, 0a b  ， 由基本不等式， 2 2a b ab   ，当且仅当 1a b  时，等号成立， a b 有最小值 2，选项 A正确； 2 2 2 2a b ab   ，当且仅当 1a b  时，等号成立， 2 2a b 有最小值 2，选项 B错误； 学科网（北京）股份有限公司 答案第 3页/共 7页 2( ) 2 2 4a b a b ab a b        , 当且仅当 1a b  时，等号成立， 所以 a b 有最小值为 2，选项 C正确； 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 2 ) ( ) 2 2 (2 )(2 ) 4 2( ) a b a b ab a b a b a b a b a b a b               2 2 25 2( 2 ) 4 9 2( ) a b a b a ab b ab a b           ， 如上式取最大值，须 0a b  ，且 29 2( )a b a b    取最小值， 29 2( ) 9 2( ) 2 9 2 6 2a b a b a b a b           ， 当且仅当 9 2( )a b a b    时，等号成立， 所以 2 22 2 a b a b    有最大值 1 2 126 2  ，选项 D正确. 故选：ACD 13.      1,2 2,3 3,5    2x1x.14  15.【答案】1 【详解】当 1x  时，    2 1 12 3 2 1 5 4 1 5 9 1 1 1 f x x x x x x x                  ， 当且仅当 11 1 x x    ，即 2x  时等号成立. 故 1x  时， min( ) (0) 3f x f a  ， 由二次函数性质可知对称轴 2 5 4 0 2 a ax    ，且3 9a  ， 解得 1a  或 4a  （舍去）， 16．8 【详解】由已知，对于任意实数 x， y恒有      f x y f x f y  ， 令 1x  ， 0y  ，可得      1 1 0f f f ，因为当 0x  时，  0 1f x  ， 所以  1 0f  ，故  0 1f  . 学科网（北京）股份有限公司 答案第 4页/共 7页 令 y x  ，设 0x  ，则      0f f x f x  ，     1f x f x   . 由于 1 2 2 2 f       ，则 1 1 1 1 1(1) 2 2 2 2 2 f f f f                     ，       11 1 (2) 1 1 4 f f f f     ，则       12 1 (3) 2 1 8 f f f f     . 由于 0x  ，     1f x f x   ，则     13 8 3 f f    . 故答案为：8. 17.【解析】（1）当 2a  时，集合  1 5A x x   ，可得 R { 1A x x ð 或 5}x  ， 所以    R 3 1A B x x    ð ； （2）由题知，集合 A是集合 B的真子集， 当 A   时， 1 2 1a a   ，即 2a   ，符合题意， 当 A  时，则 2 1 1a a   ，即 2a   ，且满足 2 1 3 1 3 a a       ，两式不能同时取等号，解得 2 1a   ， 综上，实数 a的取值范围为 ． 18.【解析】（1）任取 1 2 1x x  ， 则              2 2 2 1 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 x x x xx x x x x x x xf x f x x x x x x x                ， 因为 1 2 1x x  ，则    2 21 21 1 0x x   ， 2 1 0x x  ， 1 2 1 0x x   ， 则 1 2( ) ) 0(f x f x  ，故 ( )f x 在 1, 上单调递减. （2）由（1）得， ( )f x 在 1, 上单调递减， 所以， 2 2 1 2 3 1 2 3 a a a a         ，解得 1 1 1 1 3 a a a a          或 ， 所以1 3a  ，即实数 a的取值范围是  1,3 . 19.【答案】（1）   2 2 3f x x x    （2）当 1m  时，解集为  ,1m ；当 1m  时，解集为  1,m ；当 1m  时，解集为 . 【小问 1详解】 因为二次函数 ( )y f x 的两个零点为 1 和3，设     1 3f x a x x   ，  0a  ， 且方程 ( ) 4f x  的两根相等，即    1 3 4a x x   有两相等实根， 学科网（北京）股份有限公司 答案第 5页/共 7页 化简可得，  2 2 3 4 0ax ax a    ，即  24 4 3 4 0a a a     ，解得 1a   ， 所以       21 3 2 3f x x x x x        . 【小问 2详解】 不等式 ( ) (1 ) 3f x m x m    ，即 2 2 3 (1 ) 3x x m x m       ， 化简可得，  2 1 0x m x m    ，即   1 0x x m   ， 当 1m  时，解得 1m x  ； 当 1m  时，解得1 x m  ； 当 1m  时，无解； 综上，当 1m  时，解集为  ,1m ， 当 1m  时，解集为  1,m ， 当 1m  时，解集为 . 20.【答案】（1） 210 500 2000,0 30 ( ) 144004310 , 30 x x x L x x x x               （2）2022年的总产量为 25百辆时，企业所获利润最大，最大利润为 4250万元 【小问 1详解】 由题意得当0 30x  时，   2 29 100 10 400 2000 10 500 2000L x x x x x x         ， 当 30x  时，   144009 100 901 6310 2000L x x x x       144004310 x x        ， 所以 210 500 2000,0 30 ( ) 144004310 , 30 x x x L x x x x               ， 【小问 2详解】 由（1）得 210 500 2000,0 30 ( ) 144004310 , 30 x x x L x x x x               ， 当0 30x  时，   2 210 500 2000 10( 25) 4250L x x x x        ， 所以当 25x  时，  L x 取得最大值 4250， 学科网（北京）股份有限公司 答案第 6页/共 7页 当 30x  时， 14400( ) 4310L x x x        144004310 2 4070x x     当且仅当 14400x x  ，即 120x  时取等号，此时  L x 取得最大值 4070， 因为 4250 4070 ， 所以当 25x  ，即 2022年的总产量为 25百辆时，企业所获利润最大，最大利润为 4250万元. 21.【答案】（1）1，5 （2） 12 【小问 1详解】 因为当 2x  时，函数 ( )y f x 取得最小值 2，故可设    22 2f x a x   ，且 0a  ， 又因为 (0) 6f  ，即  20 2 2 6a    ，解得 1a  ，所以    22 2f x x   ， 即   2 4 6f x x x   ，则方程 ( ) 2 1f x x  ，化简可得 2 6 5 0x x   ， 解得 1 1x  ， 2 5x  . 【小问 2详解】 令 1x  ，则3 3a b c    ，所以 3a b c   ，因为对任意 xR ， 22 1x ax bx c    恒成立，所以  2 2 1 0ax b x c     恒成立， 所以 0a  ，        2 22 4 1 3 2 4 1b a c a c a c                2 21 4 1 1 0a c a c a c               ， 所以 1c a  ，此时 2 2b a  ， 所以   21 1 12 2 2 2 2 2 ab a a a           ， 当 1 3, 1, 2 2 a b c   时取等号， 此时，  2 2 2 21 3 3 32 2 3 2 2 3 3 2 2 2 2 x x f x x x x x x x                 23 1 0 2 x   成立，即  22 2 3x x f x   成立， 故 ab的最大值为 12 . 学科网（北京）股份有限公司 答案第 7页/共 7页 22.【答案】（1）“稳定点”为 4x  ；（2）见解析；（3） 1 3, 4 4     【详解】（1）由  f f x x    有  3 3 8 8x x   ，得： 4x  ，所以函数   3 8g x x  的“稳定点”为 4x  ； （2）证明：若 A  ，则 A B ，显然成立； 若 A  ，设 t A ，有  f t t ，则有    f f t f t t     ， 所以 t B ，故 A B （3）因为 A  ，所以方程 2 1ax x  有实根，即 2 1 0ax x   有实根， 所以 0a  或 0 1 4 0 a a      ，解得 1 4 a   又由  f f x x    得：   22 1 1a ax x   即  3 4 2 22 1 0 *a x a x x a     由（1）知 A B ，故方程  * 左边含有因式 2 1ax x  所以    2 2 21 1 0ax x a x ax a      ，又 A B ， 所以方程 2 2 1 0a x ax a    要么无实根，要么根是方程 2 1 0ax x   的解， 当方程 2 2 1 0a x ax a    无实根时， 0a  或  2 2 0 4 1 0 a a a a        ，即 3 4 a  ， 当方程 2 2 1 0a x ax a    有实根时，则方程 2 2 1 0a x ax a    的根是方程 2 1 0ax x   的解， 则有 2 2a x ax a  ，代入方程 2 2 1 0a x ax a    得2 1 0ax   ，故 1 2 x a   ， 将 1 2 x a   代入方程 2 1 0ax x   ，得 1 1 1 0 4 2a a    ，所以 3 4 a  . 综上： a的取值范围是 1 3, 4 4     .