第6单元 第2节 与圆有关的位置关系-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学分层进阶练习册（河北专用）

第二节与圆有关的位置关系 阶了基础巩固分点练 考点1点、直线与圆的位置关系(2020.22(2)， 5.如图，在△POM中，点M在⊙O上，点P在⊙O 2018.25) 外，OP交⊙O于点V,以下条件不能判定PM 是⊙O的切线的是 () 1.(2023石家庄四十七中模拟)如图，⊙0的半径 A.∠0+∠P=90 B.∠O+∠P=∠OMP 为5，圆心0到一条直线的距离为2，则这条直 C.OM+PM2=OP D.N是OP的中点 线可能是 A.1 B. C.I D. 第5题图 第6题图 第1题图 第2题图 6.三角板、量角器和直尺如图摆放，三角板的斜 2.(2024邯郸广平县模拟)如图，已知空间站A 边BC与半圆O相切于点C,点B,D,E分别与 与星球B的距离为a,信号飞船C在星球B附 直尺的刻度1,9,19重合，则三角板的直角边 近沿圆形轨道行驶，B,C之间的距离为b.数据 AC的长为 () s表示飞船C与空间站A的实时距离，那么s A.55 B.6、3C.5 D.6 的最大值是 ( 7.(2024邯郸模拟)如图，在平面直角坐标系中， A.a B.b C.a+b D.a-b 过格点A,B,C作一圆弧，点B与下列格点的连 3.(2024广州)如图，在⊙0中，弦 线中，能够与该圆弧相切的是 () AB的长为43，点C在⊙0上， A.点(0,3) B.点(1,3) C.点(6,0) D.点(6,1) 0C⊥AB,∠ABC=30°.⊙0所 在的平面内有一点P,若OP= 5,则点P与⊙O的位置关系是 A.点P在⊙0上 B.点P在⊙0内 第7题图 第8题图 C.点P在⊙0外 D.无法确定 8.(2024唐山一模)如图，AB是半圆0的直径， 考点2切线的性质与判定(10年10考：2024 点C,D将AB分成相等的三段弧，点M在AB的 25(3)①，2023.24.2022.10) 延长线上，连接MD.三个人给出以下说法： 4.(2024河北一模)如图，过⊙0上一点A作⊙0 甲：若MD为半圆O的切线，则能得出 的切线，可以作 ∠0MD=30°： 乙：若连接AC、CD,则∠ACD=130°； 丙：若连接AC、BD,则AC=BD 三位同学给出的结论正确的是 A.甲和乙 B.乙和丙 A.0条 B.1条C.2条 D.无数条 C.甲和丙 D.只有甲 第六单元圆129 9.(2024张家口宣化区一模)如图，在△ABC中 考点3切线长和切线长定理(2021.24(3) 以BC为直径的圆交AB于点D,∠ACD=∠ABC. 10.如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形 (1)求证：CA是圆的切线： 纸片，BC=5cm,⊙O是它的内切圆，小明准 (2)若点E是BC上一点，已知BE=6. 备用剪刀在⊙0的右侧沿着与⊙O相切的任 tan LABC--号，wLAFC=号，求圆的直径 意一条直线MN剪下△AMN,则剪下的三角 形的周长为 ( A.12 cm B.7cm C.6 em D.随直线MN的变化而变化 11.如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板 和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺的交 点，点B为光盘与直尺的唯一交点，若AB= 3,则光盘的直径是 () A.63 B.33 C.6 D.3 交点Cá转角 曲线起点 怕线终点 均线单径 曲线半径 A R 圆心0 第11题图 第12题图 12.(2024河北一模)中国铁路的转弯处可以抽 象为如图所示的模型，若CA和CB都是扇形 的切线，a为60°，OA=1.5km,则起点A到终 点B之间的直线距离是 km. 二阶了能力提升综合练 13.（2024衡水桃城中学二模)如图，等边△ABC 外，其他多边形都不具有稳定性.如图，将正 的周长为16π，半径是2的⊙0从与AB相切 五边形OABCD的边AB固定，向右推动该正 于点D的位置出发，在△ABC 五边形，使得O为AD的中点，且点A,B,C,D 外部按顺时针方向沿三角形 在以点O为圆心的圆上，过点C作⊙0的切 线EF,则∠BCF的度数为 滚动，又回到与AB相切于点 D的位置，则⊙0自转了 A.3周 B.4周 C.5周 D.6周 A.18° B.309 C.36 D.54 14.(2024廊坊广阳区二模)我们知道，除三角形 130 众相原创赋能中考河北数学 15.题日：“如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=18.如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中 3,AC=5,以点B为圆心的⊙B的半径为T,若 点，P是边BC上的动点，连接PM,以点P为 对于r的一个值，⊙B与AC只有一个交点，求 圆心，PM长为半径作⊙P. r的取值范围.”对于其答 (1)当BP=4时，点C在⊙P 案，甲答：r=4.乙答：3<r< (填“上”“内”或 4.丙答：=号则正确的是 “外”) (2)当⊙P与正方形ABCD的 ( 边相切时，BP的长为 A.只有乙答的对 19.在学习了第24章《圆》后，张老师在电子白板 B.甲、乙的答案合在一起才完整 上给出了以下内容： C.乙、丙的答案合在一起才完整 如图，△ABC内接于⊙0，AB D.三人的答案合在一起才完整 是⊙0的直径，过点C的切 16.(2024保定二模)如图，已知⊙0及⊙0外一 线交AB的延长线于点D. 定点P,嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个 张老师要求添加条件后， 结论： 编制一道题目，并解答 为方便学生思维训练，张老师给出如下示例： 若AB=2,∠A=30°，求BD的长 (1)请你给出该问题的解答过程； 第一步 第二步 (2)以下是佳琪和乐乐在解决问题时的一段 ①点A是PO的中点； 对话： ②直线PQ,PR都是⊙0的切线： 佳琪：我添加的条件是BD=1,∠BCD=30°， ③点P到点Q、点R的距离相等： 求AD的长 ④连接PQ,QA,PR,RO,OQ,则SawA= 乐乐：你这样做太简单了，我还发现了一些角 专awm 的变化规律，事实上，当∠A在一定范围内变 上述结论正确的是 化时，始终有∠BCD=(90°-∠CDB)成立. A.只有①正确 B.只有②正确 请你帮乐乐写出所得结论的推理过程 C.①②③正确 D.①2③④都正确 17.(2024沧州桂和中学二模)(1)如图1，AB是 ⊙O的弦，AG,BH是⊙O的切线，则∠GAB+ ∠HBA= (2)如图2，六边形ABCDEF内接于⊙O,AG BH,CI,DJ,EK,FL都是⊙O的切线，则∠BAG +∠CBH+∠DCI+∠EDJ+∠FEK+∠AFL 图1 图2 第六单元圆131 20.生活情境如图，将一把刻度尺l(单位：cm)紧 (2)设夹持片PB与玻璃杯外壁⊙0的接触点 贴玻璃杯外壁⊙0上的点A,用一个简易的 为D,求这只玻璃杯的外径（外壁的直径） “V”字型夹子夹紧玻璃杯外壁（即与外壁相 切)，已知夹子的两个夹持片PB=PC,端点 B,C在刻度尺1上所对应的刻度分别为5和 15,点P与点A正对且相距12cm. (1)求点A对应的刻度值： 三阶了河北中考趋势练 21.中华优秀传统文化在古代，智慧的劳动人民 (2)若⊙0的半径为3，AP=4,求BP的长. 已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘 连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带 动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动 力传输工具为“曲柄连杆机构”。 小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设 计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP,BP 的连接点P在⊙0上，当点P在⊙0上转动 时，带动点A,B分别在射线OM,ON上滑动， OM⊥ON.当AP与⊙O相切时，点B恰好落 在⊙0上，如图2. 图1 图2 请仅就图2的情形解答下列问题 (1)求证：∠PAO=2∠PBO: 132 众相原创赋能中考河北数学' tanc-4B BC=1.7 m.v. tan76~- AB '.BC1CA..CA是则的切线 1.7' .AB=1. 7tan76*}-6.8(m). (2)解:在Rt△AEC中,tan乙AEC= AC 5 (2)画出线段DH,如解图. .3AC. 连接OM..OA=OM. B BAM=7*$ 在Rt△ABC中,tan/ABC= 3 . 0MA=0AM=7 1V 地上地上畔 #.. 4A.# AC2 .AB/MN. . AMD= BAM=7$$$ ·BC-EC=BE$BE=6 .$$$ .0MD=14*. 20 . M0D=76*. , 3 MD 在Rt△MOD中,tanzMOD= 320 0D' MD . tan76o 0.. MD=40D. 10. B 11. A 12. 1.5 13. C 14. B 15. D 16. C 设OD=xm.则MD=4xm. 17.(1)180(2)180 18.(1)内(2)3或43 在Rt△MOD中,OM=0A-AB~3.4(m). 19.解:(1)如解图,连接0C ·AB是直径,CD是圆的 :+(4x)=3.4. 切线, . ACB= 0CD=90" 5。 .乙ACO= BCD $DH=0H-0D=0A-0D-2.6(m). $A=OC. A= AC0. A= BCD$ 1.最大水深约为2.6m. .2A=300. 23.C 24.(1)①22 ②(2)71.5。 .BC= 1AB=1,BCD= A=30” ABC=60°, 小专题培优23 辅助周问题的三大常见模型 '. ADC=30*}.BBD=BC=1$ $100° 2.53 3.213-4 4.4 5.3-1 (2)由(1)知乙BCD=乙A. 6.2 6-22.2【解析】如解图,设△GEF为正方形ABCD A +CDB+ ACB+ BCD=180*,ACB 的一个内接等边三角形,过点E作EK1FG于点K,连接 =90. KA$KD.'$ EKG=$ EDG=90* $E. K.G. D 四点共$$ :.2/BCD=90*- CDB. 圆,.乙EDK=EGK=60*同理 KAE =6 0$$$$$ .2BCD-(90”-2CDB). .△KAD是等边三角形.K必为定点。·等边三角形 面积的大小取决于它的边长,:当FG1AB时,边长FG 20.解:(1)如解图.连接AP 最小,面积也最小,此时△EFG的边长等于正方形的边 由题意得,1.PB,PC都是。0的切线,AP11.AP经过 长,为2;当FG过点B时,即F与点B重合时,△EFG 点0. 的边长最大,面积也最大,此时过点K作KH1BC于点 又:PB=PC.:.A为BC的中点 H.由等边三角形的性质可知,K为FG的中点.·KH/ 'BC=15-5=10(cm).:. AB=-BC=5(cm). CD.:KH为△F'CG'的中位线..CG'=2HK=2(EH EK) =2t(2-2$ sin60)=4-2/3.:F'G$'= 即点A对应的刻度为5+5=10. (2)如解图,连接0D.设⊙0 $$C+CG=2+(4-2/3)=26-22 的半径为rcm. B 则OD1PB. BAP= ODP =90*,乙BPA= 0PD. #。 .△BAP△ODP. .BO B4 BP 在Bt△BAP中. 第二节 与圆有关的位置关系 .AB=5cm.AP=12cm. 1. C 2. C 3. C 4. B 5. D 6. D 7. B 8. C .BP=AB+AP-13(cm). 9.(1)证明:·BC是直径.乙BDC=90* , 10 .乙ABC+ DCB=90. 3 .乙ACD=LABC. .这只玻璃杯的外径为2-20( 20(cm). . ACD+ DCB=90*,即 ACB=90 18 众相原创 赋能中考 21.(1)证明:如解图.连接0P.:AP与⊙0相切. :PB=②+4=25 $P 1APAP0=90* PA0+ POA=90$ AB为直径. APB=90 BPC=90 :OM1ON. POC+POA=90°. : BDP= BPC DBP= PBC .乙POC= PA0 .△BDP△BPC. ·B恰好落在0上, BP BD 乙PBO= .PA0-22PB0 A= C. BA=BC=10.0的半径 $$$ (2)解:如解图,连接CP,过P作 5.证明:如解图,连接0C。 PD1BC于点D.则/PD0=90{*. .0的半径为3.PB=2. 由(1)可知,乙POC=乙PA0. *.$C=0B=3.0P=0B+PB=5 .PC=4..0C+PC=0P. AP0=90. .△PDO△OPA. 2.△0CP是直角三角形,且0C1PC. PD OD OP .pAPA0 又0C是⊙0的半径..PC是0的切线 :A0=AP+0P,0的半径为3.AP=4. PD oD 3 .A0=5.:. :PD-.0D= 12 5. .BD=0B+0D-3+12-27 第5题解图 5=5 第6题解图 6.证明:许接0E,如解图 :PB=PD+BD910 5 :AB=BC.. A=乙C. 第三节 三角形的内心与外心 ·OE=OC...LOEC=乙C. . 乙A=乙OEC..OE/AB 1. B 2. B 3. B 4. B 5. C 6. A 7. B 8. D 9. C ·EG1AB..:OE1EG 10.D 11.A 12.(1)130(2)22 又0E为半径.:.EG是⊙0的切线 AB=AD. 13.(1)证明:在△ABC和△ADE中. 2B=/D. 7.证明:如解图,连接0M,过点O作ON1CD于点N. BC-DE. O与BC相切于点M.:.0M1BC. ·四边形ABCD是正方形.:.CA平分乙BCD .△ABC△ADE(SAS). 乙BAC=LDAE. 又ON1CD.OM1BC...OM=ON. . BAC- DAC= DAE- DAC .乙BAD=乙CAE. .0N为0的半径..CD与⊙0相切 (2)解:'AD=6.PD=6-AP-6-$x .当AP最短时,PD的长最大 当AP1BC时,AP=x最小.PD的长最大 .AB=6. B=30*.t= , B 7 第7题解图 第8题解图 .PD=6-x=3.即PD长的最大值为3 (3)m=105.n=150. 8.证明:连接0P.0D.如解图 14.D 15.C 直线m与0相切,0A1AP.乙0AP=90 小专题培优24 与切线有关的辅助线作法 04=0D. 在△oAP和△oDP中. oP=OP. 1.2m 2.1 3.(1)60 (2)/3-1 P=DP. 4.(1)证明:连接0P,如解图. .△OAP△ODP(SSS). ·PD是0的切线.:.0P1PD . 0DP= 0AP=90:0D10D ·PD1BC.OP/BC 乙OPA= C 又:0D是0的半径, 0A=OP.OPA=乙A. .直线0D是0的切线 .乙A=C (2)解:连接PB,如解图 第四节 与圆有关的计算 在Bt△PBD中, ·PD=2BD=4..BD=2. 8.解:(1)AD1CD.理由如下: 河北数学 19