第4单元 小专题培优20 解直角三角形实际应用题的常见模型-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学分层进阶练习册（河北专用）

小专题培优20 解直角三角形实际应用题的常见模型 (2024河北中考新题型) 解题思想 构造直角三角形,利用已知角的三角函数值,建立已知线段和未知线段之间的等量关系求解.(通常涉及线 段的和、差、比值) 模刊 独立型 1.(2024沧州任丘八中四模)如图,在离地面高 【模型特点】 度为1.5米的A处放风筝,风筝线AC长5 单一的直角三角形. 来,用测倾仪测得风筝线与水平面的夹角为 【解题策略】 9.则风筝的高度CD为 在直角三角形中利用锐角三 A.(1.5+5sin)米 B.(1.5+5cos)米 角函数或勾股定理进行 求解. .模型 背靠背型 2.(2024石家庄一模)如图,一艘轮船位于灯塔P的南偏东30*方向。 【模型特点】 距离灯塔100海里的A处,此时船长接到台风预警信息,台风将在 两个直角三角形是背对背的 7小时后袭来,他计划沿正北方向航行,去往位于灯塔P的北偏东 关系,有公共直角顶点和一 45*方向上的避风港B处. 条直角边,另一条直角边分 (1)问避风港B处距离灯塔P有多远?(结果精确到0.1海里) 别在直角项点的两侧 (2)如果轮船的航速是每小时20海里,问轮船能否在台风到来前赶 【解题策略】 分别求解两个直角三角形的 到避风港B处?(参考数据:/2~1.414,3~1.732) 异侧直角边长,然后相加,得 到总的线段长. 【常见辅助线作法】 -_ 【变式】如图,拦水坝的横断面为梯形 __ ABCD.AD=4m.AF=DE=6m.斜面坡度 i=1:1.5是指坡面的铅直高度AF与水平 !面宽度BF的比,斜面坡度i三1:3是指DE与CE的比,则BC的长 过为 m. 第四单元 三角形:97 模型 母子型 3.(2024沧州孟村县模拟)如图1,嘉淇在量角器的圆心0处挂一铅 【模型特点】 锤,制作了一个简易测角仪,将此测角仪拿到眼前,使视线沿着仪器 两个直角三角形的共线(或 的直径刚好到达树的最高点M 平行)直角边均在直角顶点 (1)在图1中,过点A画出水平线,并标记观测V的仰角g.若铅垂 的同一侧. 线在量角器上的读数为53*,求a的值; 【解题策略】 (2)如图2,已知嘉淇眼晴离地1.5米,站在B处观测M的仰角为 分别求解两个直角三角形的 (1)中的a,向前走1.25米到达D处,此时观测点M的仰角为45^*, 共线直角边长,然后相减,得 到相差的那一段的长.(个别 求树MV的高度.(注:tan37。~3 时候求总量,会用到和的关 系) 【常见辅助线作法】 C B 1.5米{ 铅键 D 阁1 阁2 D n” r“r-★”+u 【变式】某校学生开展综合实践活动,测量一建 筑物CD的高度,在建筑物旁边有一高度为10 420 采的小楼房AB,小李同学在小楼房楼底B处 1 □□ 测得C处的仰角为60{}.在小楼房楼顶A处河 得C处的仰角为30{*(AB,CD在同一平面内. 600 , D B.D在同一水平面上),则建筑物CD的高为 米 98 众相原创 赋能中考 河北数学 模型 拥抱型 4.(2024呼伦贝尔)综合实践活动中,数学兴趣小组利用无人机测量 【模型特点】 大楼的高度,如图,无人机在离地面40米的D处,测得操控者A的 两个直角三角形的共线(或 俯角为30{}测得楼BC楼顶C处的俯角为45*},又经过人工测量得 平行)直角边被两直角夹在 到操控者A和大楼BC之间的水平距离是80米,则楼BC的高度是 中间. 【解题策略】 多少米?(点A.B.C.D都在同一乎面内,参考数据:/3~1.7) 找共线(或平行)直角边的和 差或相等关系. 【变式】如图,嘉嘉和淇淇住在同一单元楼,他们 想测量对面大楼的高度(VN).嘉嘉在窗台B处 测得对面大楼顶部N的仰角/1的度数,淇湛在 窗台C处测得大楼底部M的俯角乙2的度数 且/1=/2.已知A.B.C三点共线.CA1AM NM1AM,AB=31m.BC=18m.则对面大楼的高度是 C. 82m tA.76m B. 80m D. 90m 第四单元 三角形 99:四边形ABCD是矩形，点O是AD的中点， ∴AD=20D,∠D=90° =子(x+1.25).解得x=375MB=375米， ∴N=ME+EN=3.75+1.5=5.25(米)， 又∠OcD=B,sinL0CD=sib=号 .树MN的高度约为5.25米. 在Rt△0DC中，设0D=3kcm,OC=3kcm, 【变式】15 CD=√OC-0D=√6k(cm). 4.解：过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥DE于点 F,如解图，则四边形BCFE是矩形. t明-8品-号0m-号c0=52cm 由题意，得AB=80米， 2 DE=40米， 309T458 ,AD=20D=102(cm). ∠ADE=90°-30°=60°. .截面ABCD的面积为AD·CD=1O0,2(em) ∠CDF=90°-45°=45. 小专题培优20解直角三角形实际应用题的常见模型 在Rt△ADE中， 1.A ∠AED=90°， 2.解：(1)如解图，过点P作PC⊥AB于点C 在Rt△ACP中，∠A=30°， mLA0E=能=， 六PC=PA·sml=100x2=50(海里) .AE=BDE=405(米) ∴BE=AB-AE=(80-403)米 在R1△BCP中，∠B=45°， ,四边形BCFE是矩形. .PB=2P℃=502✉70.7（海里）. CF=BE=(80-403)米 答：B处距离灯塔P约70.7海里， 在RL△DCF中，∠DFC=90°，∠CDF=∠DCF=45, (2).·PB=502海里. ∴.DF=CF=(80-403)米， BC三PB=50(海里)为 ∴BC=EF=DE-DF=40-80+405=28(米). 答：楼BC的高度约是28米 .PA=100海里，∠A=30° 【变式】B 4C=P1=03将里). 单元整体构建 30 易错题专练 ∴.AB=(50+505)海里. 1.C2.2或23.40或140°4.A5.3 ,轮船的航速是每小时20海里， 6.解：设ts后，△PBQ与△ABC相似， 50+505=6.8<7. AP =2t cm,BQ =4t em,..BP=(10 -2t)cm. 20 分两种情况：当BP与AB对应时，△PBQ∽△ABC ∴.轮船能在台风到来前赶到避风港B处. 【变式】31 六品即002-数解得1=25 3解：(1)如解图1，过点A作AQ⊥0P,垂足为Q,则 当BP与BC对应时，△PBQ∽△CBA, ∠AQ0=90°. ∠A0Q=53°.∴.a=∠0AQ=90°-∠A0Q=37°， 小能贸即00品解得1=山 ∴.α的值为37， 综上所述，经过2.5s或1s,△PBQ与△ABC相似 知识整合 解：不全等的相似三角形有2对：△BDA∽△ADE, △CAE∽△ADE 选择△BDA∽△ADE 证明如下：：△ABC与△AFG是两个全等的等腰直角 人45 三角形，∠BAC=∠F=90 1.5米 .∠C=∠B=∠FAG=∠G=45°. P 铅锤 B D ∠DAB=∠FAG+∠EAB,∠DEA=∠B+∠EAB, 解图1 解图2 .∠DAB=∠DEA. (2)延长AC交MN于点E,如解图2. 又，∠BDA=∠ADE, 由题意，得AB=CD=EN=1.5米，AC=BD=1.25米， △BDA∽△ADE.(答案不唯一，也可以选择另一组进 AE⊥MN. 行证明) 设CE=x米，则AE=AC+CE=(x+1.25)米 一题一单元 在R△CEM中，∠MCE=45°， .ME=CE·lan45o=x(米. 解：()：AB=AC,AD1BC,BD=CD=2BC=5, 在R△AEM中，∠MAE=37, .AD=√AB2-BD=12, 六ME=,am37=2(x+1.25)米。 ,△ABD的周长为AB+BD+AD=30. (2)①.：AB=AC.AD⊥BC. 14 众相原创赋能中考