第4单元 小专题培优18～19 与角平分线有关的常见模型 直角三角形斜边上的高的应用-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学分层进阶练习册（河北专用）

小专题培优18 与角平分线有关的常见模型(10年3考：2023.26) 模型①双角平分线型(2019.23) L.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点F, 【模型特点】 且∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC= 三角形的两个内（外）角平分线 所夹的角与第三个角之间的数 量关系： 如图1，当这两个角均为内角 时，∠BPG=90+2L B 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与 ∠ACE的平分线相交于点D,则∠D的度数为 3.如图，△ABC的两个外角的平分线交于点O. 求证：∠B0C=0-3∠A 图1 图2 如图2，当这两个角均为外角 时，∠BPG=90-∠： 如图3，当这两个角为一内角、一 外商时，∠BnPC=LA 图3 【解题策略】 根据角平分线的定义及三角形内 角和定理，找出待求角和已知角 之间的关系，进而求解 模型2单角平分线型 模型2-1角平分线+垂线段或等线段→全等三角形(2023.26， 【模型特点】 2016.16) 已知角平分线上一点P和边上 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于 一点的连线 点D.若CD=m,AB=n,则△ABD的面积是 .(用含m,n 【解题策略】 的代数式表示) 1,作辅助线的方法： ①当该连线是垂线时，所作辅助 线也是垂线：PE⊥BC; 第4题图 第5题图 5.如图，在△ABC中，∠A=2∠B,CD平分∠ACB,AD=2,AC=3,则 BC的长为 第四单元三角形91 6.如图，∠BAD=∠CAD,AB>AC,CD⊥AD于点D,H是BC的中②当该连线不是垂线时，所作辅 点.求证：DM=2(AB-AC). 助线为截取等线段：在BC上截 取BE=BD 2.结论：△BIDP≌△BEP 模型2-2角平分线+平行线曰等腰三角形 【模型特点】 7.(2024秦皇岛青龙县模拟)如图，∠AOB= 如图，BE平分∠ABC,D是BE 30°，OP平分∠AOB,PD⊥OB于点D,PC∥OB 上一，点.过点D作DF∥BC,交 交0M于点C.若PC=10,则0C=, AB于点F,则△FBD是等腰三 PD= 角形，FB=FD. 8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E是边CD上一点，且AE 平分∠BAD,BE平分∠ABC.求证： D-k (1)AE⊥BE: B 【解题策略】 (2)DE CE. 1.根据题图及已知条件，识别出 (构造)角平分线+平行线 模型： 2.根据平行线的性质、三角形内 角和定理、等腰三角形性质等知 识进行求解。 92众相原创赋能中考河北数学 小专题培优19 直角三角形斜边上的高的应用 己知与图示 应用 在△ABC中，∠ACB= L,利用同角或等角的余角相等可知，∠ACD=∠B,∠BCD=∠A 90°，CD⊥AB于，点D 2利用等面积法可知，Sa=4CBC=B·CD(此四条线段可“知二求二 3.相似三角形：△ACD∽△ABC∽△CBD: 线段间关系：AC=AB·AD,BC2=AB·BD,CD=BD·AD 4.常在圆中作为辅助线出现 应用1同角或等角的余角相等 5.如图，在△ABC中，AB=AC,AD为边BC上的 中线，DE⊥AB于点E. 1.如图，在△ABC中，∠BAC= (1)求证：△ADE∽△ABD: 90°，AC≠AB,AD是斜边BC 上的高，DE⊥AC,DF⊥AB, 乃 D 垂足分别为E,F,则图中与∠C(∠C除外)相 等的角有 ( A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 (2)若AB=13,BC=10,则tan∠ADE的值 应用2等面积法 为 2.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,BE⊥ 应用④圆内常用的辅助线 AC,则BE= 6.中华优秀传统文化如图1，中国古代的马车已 经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和 工艺，所彰显的智慧让人拜服.如图2是马车 的侧面示意图，AB为车轮⊙O的直径，过圆心 O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮 第2题图 第3题图 ⊙O相切于点D,连接AD,BD, 3.余相原u如图，在△ABC中，∠ACB=90, CD⊥AB于点D,CD=4.8,AB=10,AC>BC 则AC= BC= 图 图2 (1)求证：∠C+2∠BDC=90°： 应用3三个三角形相似 4.如图，在R1△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于 （2)者0c=2米，直接写出车轮的直 点D,下列四个结论中：①∠B+∠DAC=90°： 径AB的长 ②∠B=∠DAC;③CD:AD=AC:AB:④AB= BD·BC.其中正确的有 第四单元三角形934证明BC=BD·AB,G肥 BCBD .AQ+BQ=AB 3 又∠DBC=∠CBA,∴.△CDB∽△ACB 2x+3江=3，解得x=亏心P=5=3 5.A 第五节等腰三角形和直角三角形 6.解：(1)相似.理由如下： 1.B【变式设问】72.C3.C4.D 能子品名分器 5.(-3,35)956.B7.B8.B9.D10.B 又：∠AED=∠CEB,.△AED∽△CEB. 11.B12.B13.D14.B15.7秒或19秒 （2△MD△cEB,2-装即克-宁 16.(1)20(2)13.17.118.15 小专题培优17与中点有关的辅助线作法 ,.BC=8 7.证明：△ABC绕点A顺时针旋转a得到△ADE, 1B2.2 ,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE, 3.证明：如解图，连接OD。 ÷格-2△40maCE ∠BDC=∠BEC=90°，O 为BC的中点， 8.证明：在题图1中，DE∥BC ∴.0D=OE=0B=OC 品能品光 ,∠CBA=∠BDO,∠BCA= ∠CEO. 在题图2中，由旋转的性质，得∠BAD=∠CAE. ,∠BAC=120°. 又：0-提△4 DCE. ,∴，∠CBA+∠BCA=180°-120°=60 ∠BOE=∠BCA+∠CE0=2∠BCM,∠COD=∠CBA 9.解：在题图1中，：四边形ABCD是正方形， +∠BDO=2∠CBA, ∠ACD=45,cD1Bc,%=2 ∠B0E+∠C0D=120°，∴.∠D0E=60°， △DOE是等边三角形，，DE=OE. EG∥BC,∴EG⊥CD, 4.A5.96.16cm7.1<AD<4 ·△ECG是等腰直角三角形， 8.证明：如解图，延长AE到点F,使EF=AE,连接DF …“ =2 :AE是△ABD的中线， .BE ED. 在题图2中，由旋转的性质，得∠ACE=∠DCG 在△ABE和△FDE中， 又品-器△4GB△06能-品-2 BE DE, ∠AEB=∠FED 10.证明：四边形ABCD为矩形， LAE FE. .∠A=∠B=90°，.∠APE+∠AEP-90. .△ABE≌△FDE(SAS): ∠EPF=90°，∴.∠APE+∠BPF=90°， ,AB=DF,∠BAE=∠EFD ∴∠AEP=∠BPF,.△APE∽△BFP ∠ADB是△ADC的外角， 11.证明：'△MBC为等边三角形， ∴∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD. .∠A=∠B=60°，∴.∠AEP+∠APE=120 .·∠BAE+∠EAD=∠BAD,∠BAE=∠EFD. ∠EPF=60°，∴.∠APE+∠BPF=120°， .∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD. .∠AEP=∠BPF,.△APE∽△BFP. ,∠ADF=∠ADC 12.解：如解图，作PQ⊥AB于点Q,PR⊥BC于点R AB=DC. ·∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°， ∴.DF=DC .四边形PQBR是矩形， AD=AD. ∴.∠QPR=90°=∠MPV 在△ADF和△ADC中， ∠ADF=∠ADC, .∠QPE=∠RPF, LFD =CD. PQ PE △0PE△RPF.PR=PF=2 △ADF≌△ADC(SAS), ∴，∠C=∠AFD ∴PQ=2PR=2BQ. ∠EFD=∠BAE PQ∥BC, ,∠C=∠BAE ∴△APQ△ACB, 小专题培优18 与角平分线有关的常见模型 怨北瓷 L.1202.15 3.证明：如解图，∠ABC+∠ACB AB=3,BC=4. =180°-∠4. AC=√AB+BC=5. ·.∠DBC+∠BCE=360°- 9g兴 (∠ABC+∠ACB)=I8O°+∠A. D 又：△ABC的两个外角的平分线 设PQ=4x,则AQ=3x,AP=5x,BQ=2x 12 众相原创赋能中考 交于点0， A∠0Bc+L0GB=(LDBc+LBGE)=90°+ ∠B=30°AD=)AB=1000(米) 答：小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站 34A 之间最短的距离是1000米 六∠B0C=180°-（∠0BC+∠0CB)=90°- 2<4 309 .mn 5.5 -D 6.证明：如解图，延长CD交AB于点E. 东 在△EAD和△CAD中， 45 r∠EAD=∠CAD. AD =AD. (2)在R△ADC中，∠DAC=45°，AD=1000米， (∠ADE=∠ADC .AC=AD c450=1000,2=1414(米). ·△EAD≌△CAD(ASA). .1414<15×100. ∴AE=AC,ED=DC. ∴.小欢15分钟内能到达公共汽车站。 又：BM=HCM=E, 2D1B号多 2 .DWI(AB-AE)=(AB-AC). 14.解：(1)由题意，得PQ⊥AE,PQ=2.6m,AB=CD=EQ 7.105 =1.6 m,AE=BQ=4 m,AC BD =3 m, 8.证明：(1).AD∥BC,.∴.∠ABC+∠BAD=180°. .CE=1m,PE=1m,∠CEP=90°， :AE平分∠BAD,BE平分∠ABC, .CE =PE, ÷LABE=子LABC,∠BME=7∠BMD 六B=∠P0E=4se,mm=wLPAE=器= :∠AEB=180°-（∠ABE+∠BAE)=180°- (2)CE=PE=Im,∠CEP=90°， (∠ABC+∠BAD)=0 .AELRE .'CP=2 m. 如解图，过点C作CH (2)过点E作EF∥AD交AB于点F,如解图.则∠DAE ⊥AP于点H. =∠AEF.AE平分∠BAD, A ,tana=tan∠PAE= .∠DAE=∠BAE. ∴.∠BAE=∠AEF,.AF=EF 册子 同理可得BF=EF,AF=BF, 设CH=xm, 0 点F是AB的中点 则AH=4xm, .AD∥BC,∴.EF∥BC .x2+(4x)2=AC2=9,解得x .点E是CD的中点，DE=CE. 3(负值已舍去)， 17 小专题培优19直角三角形斜边上的高的应用 0n=3 17 m,∴.sin∠APC= CH334 1.A2.4.83.864.23④ CP =34 5.(1)证明：AB=AC,AD为边BC上的中线，∴.BD= 1s6:216号 CD.AD⊥BC.又，DE⊥AB.∴.∠DEA=∠BDA=90°.又 4 ∠EAD=∠DAB,△ADE∽△ABD. 17.解：(1)作出αx所在的直角三角形，如解图. 2号 'msas 4 6.(1)证明：连接OD..CD是⊙O的切线，.OD⊥CD. .设b=7x,则c=4x, :AB是直径，.∠ADB=∠ODC=90°， 由勾股定理，得 ∴.∠AD0=∠BDC. a=V√(4x)2-(7x)2=3x. .OA=OD.∴.∠DOC=∠A+∠0DA=2∠BDC :∠C+∠D0C=90°，∠C+2∠BDC=90 .sina =4=3x 3 e 4x 241 (2)车轮的直径AB的长为1米. 第六节锐角三角函数及其应用 又B=30,sin6=sin30°= 2 1A2.D3C4.15.C6.333四 六该介质的折射率为ime=3 7 7.A8.D9.A10.(50-103) (2)由题意可得a=60°，折射率为 2 11.解：(1)过点A作AD⊥BC于点D,如解图. sina_sim60°_3 :B位于A的北偏东30°方向，AB=2000米 3 河北数学13