第6单元 第2节 与圆有关的位置关系-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（河北专用）

第二节 与圆有关的位置关系 阶了教材知识全梳理 考点1点、直线与圆的位置关系 点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 (设⊙O的半径为「，点到圆心O的距离为) (设⊙0的半径为r,圆心0到直线l的距离为d) 位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外 位置关系 相交 ④ 相离 d与r的 d与r的 d①r d② d>r d③ rd⑤ rd⑦ 关系 关系 0.1 图形 图形 公共点 ⑥ 0 个数 考点2切线的性质与判定（重点） 切线的性质 切线的判定 (1)圆的切线⑧ (1)经过半径的外端并且① 于这条半径的直线是圆的切 于过切点的半径 线（判定思路：已知公共点，连② ,证B (2)圆心到切线的距离等于 (2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的④ ,那么这条直线 ⑨ 是圆的切线（判定思路：未知公共点，作⑤ ,证0 (3)切线和圆只有0 (3)和圆只有☑ 公共点的直线是圆的切线（定义）】 公共点 ⑦【链接】(1)小专题培优与切线有关的辅助线作法，见分层进阶练习册P135;(2)利用尺规作 与直线相切的圆，见本册P100, 考点3切线长和切线长定理 内容 示例 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点 切线长 如图，PA,PB分别切 之间线段的长，叫做这点到圆的切线长 ⊙0于A,B两点，则 从B 点可以引圆的两条切 PA=20 切线长 线，它们的切线长相等，这一点和圆心的 ∠AP0= 定理 连线9 两条切线的夹角 ∠APB 河北数学93 二阶尸追本潮源练考点 教材·真题·课标 日考点1点、直线与圆的位置关系 (2)如图2，若OA=OB=13,AB=24,⊙0 (2020.22(2),2018.25) 的直径为10，求证：AB是⊙O的切线 1.教材（人教九上P101T2改编）如图，在 Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,BC=10. D是BC的中点，以A为圆心，r为半径作 ⊙A. 一题多点 图2 (1)若r=6,则点B在 点C在 ,点D在 (填“圆内”“圆外”或“圆 上”)：直线BC与⊙A的位置 关系是 (2)若r-4,则直线Bc与OA的位登关 系是 :若r=3,则直线BC与⊙A 的位置关系是 2.教材（北师九下PI22T17改编）已知点A 与半径为r的⊙0上的点的最小距离为2， 最大距离为6 (1)若点A在⊙0内，则r= (2)若点A在⊙0外，则r= 4.教材（冀教九下P14T1改编）已知P为 (3)若点A的位置不确定，则r ⊙0外一点，它到⊙0上的点的最大距离与 ☒考点2切线的性质与判定(10年10 最小距离分别为18,8，PA与⊙0相切于点A. 考：2024.25(3)①，2023.24,2022.10) 则⊙0的半径为 ,PA的长为 3.教材（人教九上PI23T4改编）△OAB为 日考点3切线长和切线长定理(2021. 等腰三角形，OA=OB. 24(3)) (1)如图1，若⊙0经过AB的中点C,求5.教材（冀教九下P22T1改编）如图，P为 证：直线AB是⊙O的切线。 ⊙O外一点，PA,PB分别⊙0于点A,B, CD切⊙O于点E,分别交PA,PB于点 C.D. (1)若PA=6,则△PCD的周长为 (2)若∠P=60°，连接OA,OB,则∠AOB= 图1 94众相原创赋能中考 三阶了分层设问攻重难 基础·能力·培优 ©重难点圆与几何图形相切的分类讨论 6.如图，在△DCE中，∠DCE=90°，∠DEC=30°，CD=23.半圆O的半径OB=3,半圆O以 每秒1个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，点A,B始终在直线CE上.设运动时间 为1s,当1=0时，半圆O在△DCE的左侧，BC=2 D 0 B C B C 0 B C 备用图1 备用图2 基础层》 (1)CE= ,点C到直线DE的距离为 (2)当t=」 时，半圆O与CD所在直线第一次相切： (3)半圆O与CD所在直线 (填“可能”或“不可能”)有第二次相切：与DE所在直 线有 次相切： 能力层》 (4)当t为何值时，半圆O与△DCE的边所在直线相切？ 培优层》 (5)若把题干中的“半圆O”改为“⊙O”,当1为何值时，⊙O与△DCE的边所在直线相切？ 直接写出答案. 温馨提示请完成分层进阶练习册P129~P132习题 河北数学95⑧劣弧同G等⑥重合圆心⑧圆上 当AB和CD在圆心O的异侧时， 四相交①圆心①圆心②半径3不在同一条直线上 4相等雪相等②少相等④相等四相等四相等 Sam5+②x2.6+5+2 4 别平分团平分足垂直3平分 34BM35⊥ 当AB和CD在圆心O的同侧时， 多一半金相等国直角⑧直径围∠ADC到】 、r=3+月x26-5 配90°g互补8雪180°-26互补 综上所述，以A,B,C,D为顶点的四边形的面积为 4180°移外角型∠BAD励DCF 6DBCF 6+5+2+2或6-5-2+2 4 1.A 2.(1)①A (④：s血L0--7nLoD-9咒-号 00=2 ②证明：AB=CD,AB=CD ∠0AB=30°，∠0CD=45. .AB+AC=CD+AC,BBAC =ACD,..BC=AD. (5)由(4)可知，∠A0E=90°-∠0AB=60°，∠C0F= 90°-∠0CD=45°. (2)C 当AB和CD在圆心O的异侧时 3.(1)B(2)①4328②32(3)55 ∠A0C=180°-∠A0E-∠C0F=75°： 4.85.90°64°64°64°32°6.2 当AB和CD在圆心O的同侧时， 7.解：(1)过圆心O作OE⊥AB于点E,连接OA,如解图 ∠A0C=∠AOE-∠C0F=15. 1.由垂径定理，得4B=分B-受 综上所述，∠A0C的度数为75或15 第二节与圆有关的位置关系 0A=,由勾服定理，得0E=V0-A瓜=了 ①<②=③<④相切⑤=⑥1⑦> ⑧垂直⑨半径0一个①垂直②半径B垂直 4圆心0到弦B的距离为 ④半径5垂直⑥半径一个⑧圆外四平分 过圆心O作OF⊥CD于点F,连接OC,如解图2， ⑧PB①LBPO② 则cF=CD= 2 1.1)圆上圆外圆内相交(2)相切相离 2.(1)4(2)2(3)2或4 0C=1…0F=V0c-CF=2 3.证明：(1)连接OC,如解图1. OA=OB,C为AB的中点，.OC⊥AB. 国60到弦D的距离为号 又，0C是⊙0的半径， ,∴，直线AB是⊙0的切线 ) 解图1 解图2 解图1 解图2 (2)由(1)得0E=宁，0F=孕当B和cD在圆心0 (2)过点0作OD⊥AB于点D,如解图2. 的异侧时，如解图3，易知E,O,F三点共线，则EF=OE 0M=0B=1B,AB=24AD=24B=2。 +0F:2当AB和CD在圆心0的同测时，如解图 0D=0M-AD=5. :⊙0的直径为10，⊙0的半径r为5， 4,则EF=0F-0E=2-】 OD=r.AB是⊙0的切线. 2 4.512 综上所述，弦B和弦CD之间的距离为'或2 5.(1)12(2)120% 2 6.解：(1)63(2)2(3)可能1 (4)当半圆0与CD所在直线第一次相切时，如解图1. 开始运动前，BC=2,1=2÷1=2: D 解图3 解图4 O R(C) A(C)(BE) (3)AB∥CD,.以A,B,C,D为顶点的四边形是梯 解图1 解图2 形S=(AB+CD)·ER 当半圆0与CD所在直线第二次相切时，如解图2 ,开始运动前，AC=AB+BC=8, 54众相原创 赋能中考 1=8÷1=8 第二节投影与视图 当半圆O与DE所在直线相切时，如解图3， ①平行②垂直③CDF④同一点（点光源）⑤HEF 过点0作OM⊥DE于点M,则OM=3. 6CEF⑦由前往后⑧由左往右⑨由上往下 ,点C到直线DE的距离为3. 0长对正①高平齐②宽相等B实线虚线 ∴.此时点O与点C重合，即点O运动到点C处时，半 4 ⑤圆锥6球⑦正方体8长方体9三棱柱 圆O与DE相切. ①三棱锥①矩形②扇形必三角形 此时点0运动的路程为3+2=5， 1.B2.B3.D4.C5.D6.D ..t=5÷1=5. 综上所述，当t的值为2或5或8时，半圆O与△DCE 7.568.369.心查检我、细、心检 的边所在直线相切 第三节图形的对称（含折叠） ①对称轴②完全重合③对称中心④180°⑤完全 重合⑥平行⑦垂直平分⑧对称中心⑨平分 0对称轴①全等2相等3垂直平分 1.①2④5G①8⑨3④568⑨④⑤68⑨ C(O B 2.C3.A 解图3 解图4 4.(1)①BCDC②∠CBD∠CDB∠BCD (5)当：的值为2或5或8或17时，⊙0与△DCE的边 ③垂直平分1=(2)67.50 所在直线相切.【解法提示】若把“半圆O”改为 “⊙0”，(4)中的3种情况仍然成立，还需考虑：当⊙0 5解：(1)43-8 3 (2)36°(3)号 与DE所在直线第二次相切时，如解图4，设切点为Q, (4)由折叠，得DF=DC=4,∠DFE=∠C=90°， 连接0Q,则0Q1DE,0Q=3.在Rt△Q0E中，∠0EQ= ∠DEC=30°，∴.0E=20Q=6,此时，点0运动的路程 ∠AFD=90°，.AF=AD-DF=25. 为17，∴1=17÷1=17.综上所述，当1的值为2或5或 ∠FDC+∠ADF=∠ADF+∠DAF=90 8或17时，⊙0与△DCE的边所在直线相切 ·∠FDC=∠DAF 第三节三角形的内心与外心 tan∠FDC=n∠DAF=DE-4=25 AF255 ①内切圆②角平分线③三条边④号 ⑤外接圆 (5)如解图，过点E作E⊥AD于点H, ⑥垂直平分线⑦①三个顶点⑧2 04+b-c 则四边形ABEH为矩形，.BE=AH 2 由折叠，得CD=FD,∠C=∠F=90 ∴EH=AB=CD=DF,∠EHG=∠F=90 B内部外部5内部 在△DFG和△EHG中， H (2) 23 ,∠F=∠EHG 1.A2.24°3.(1)25 (3)4 3 3 ∠DGF=∠EGH 4203 DF EH. 3 ∴.△DFG≌△EHG. 第四节 与圆有关的计算 ∴，FG=HG HG+AH=AG,..FG+BE=AG. ①2r218a④需 360 ⑤扇形⑥半径 (6)PD的长为子 【解法提示】由折叠，得∠AEF= ⑦弧长⑧ 0P-7 ∠AEB.∠FEP=∠PEC,∴.∠AEF+∠FEP=9O°..'E 1.(1)π3m(2)7.5° 3 为BC的中点，E=CE=2BC=3设PD=b,则CP 2.(1)82cm120(2)27m CD-PD=4-6在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB+ 第七单元 图形的变换 BE=AE,在Rt△ECP中，由勾股定理，得CE+CP= EP,在R△ADP中，由勾股定理，得AD+PD=AP 第一节尺规作图 在R△AEP中，由勾股定理，得AE+EP2=AP ①A②线段a的长③0④0'⑤0C的长⑥C .AB+BE+CE+CP=AD+PD,3+32+ ⑦CD的长⑧0⑨大于之N的长DLA0B的内部 4-6P=6+8,解得6=子Pm=子 ①A2B B大于2AB的长P5大于2CD的长 第四节图形的平移与旋转 ①方向②距离③相等④平行⑤平行6平移距离 6PK的长 D大于，DE的长 ⑦中心⑧方向⑨角0相等①相等2相等 1.BC的垂直平分线∠ABC的平分线BD过点A作 3旋转角 BC的垂线（或BC边上的高）与LB相等的角 1.(1)①2③④⑥(2)120°(3)菱形 2.C3.C4.C5.A (4)垂直AE=3CD(5)35(6)23 河北数学 55