第4单元 第5节 等腰三角形和直角三角形-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（河北专用）

·.∠DCE+∠GCB=∠DCB-∠ECG=90°- 2 AB BC. 在△ABD和△BCE中， ∠ABD=∠BCE. 与(3)同理可得△CED≌△CFB BD =CE, .∠DCE=∠BCF,CE=CF, ∴.△ABD≌△BCE(SAS),.∠BAD=∠CBE. .∠FCG=∠GCB+∠BCF=∠GCB+∠DCE=90°- 又'∠BDA=∠FDB.∴.△ABD∽△BFD. 2a,∠FCG=LECG 1 品0 又CG=CG,∴，△CFG≌△CEG(SAS), BD=AD·FD=(AF+FD)·FD=8, ,∴.FG=EG,即BF+BG=EG 六BD=2 DE BF,..DE BG=EG. 过点D作DH⊥AB于点H,如解 第四节相似三角形（含位似） 图2 ①片②2k③3k④4k 52k+36+4h 2k ⑥9 ∠ABD=60°..∠BDH=30°， 治能⑧器品国呢⑩相等尼成比例 BM=2BD=2 ∴DM=BD-BF=6, B相似比相似比⑤相似比的平方⑥成比例 解图2 ∴AH=√AD-Dm=58, ⑦夹角⑧相等9相等团成比例①相似比 ②相似比的平方②相似比图（任，y)或(-x,-y) 六.AB=BH+AI=2+√58， 12④⑤02号【变式D 即△ABC的边长为2+58 第五节等腰三角形和直角三角形 3.2【变式】平行线分线段成比例 ①相等②相等③G④相互重合⑤轴⑥1 416号 (2)是两边成比例且夹角相等的两个三 ⑦相等⑧相等⑨60°国60①轴3B店 角形相似(3)2√15 5.26.(1,1)或(-1，-1)7.3.2 4360°52(180°-a）045°D2(180°-a）) 8()证明AE=E,E能 8180°-2a92a+b②02b+a2I90°290° 又：∠AEF=∠BEA,∴△AEF∽△BEM 因-半5雪-半⑧四1：52⑧+= (2)证明：AB=AD,∴.∠ABD=∠ADB. 由(1)可知，△AEF∽△BEA,∴∠EAF=∠EBA. 2☒90° 国互余G+8=e山82h :∠ABD=∠EBA+∠CBE,∠ADB=∠EAF+∠C, 相等5相等45°45°，45°，90°1：1：2 .∠CBE=∠C.∴BE=EC. 38909 045°①45°42两边 (3)解：过点A作AM⊥BD于点M,交BE于点G,连接 GD,如解图1， 1(1)①43②12243号 5 5 5 .AB=AD,AM⊥BD .BM=MD,即AM为BD的垂直平分线， (2)0或120（6)等边多5255 4 .GB=GD,∴.∠GBC =∠GDB. 2.2133 3.14 2 由(2)可知，∠CBE=∠C, 4.(1)①65°②65或50°或57.5 .∠GDB=∠C.GD∥EC. (2)解：AB=AC,AD为BC边上的中线， .△BGD∽△BEC, 解图 ·品院 ..ADLRC.BD-CD-C=5. AD=√AB-BD=12. BD:CD=4:3.EC=BC7 GD BD 4 :∠ADE=∠AED,∴.AE=AD=12 如解图，过点D作DF⊥AC于 点F BD:CD =4:3.BM MD, Souc=- AD.CD-TAC.DF. MDDc=230-号 号x12x5=x130r .GD∥EC,.△MGD∽△MAC 32 F=60 CD MD 7 2 AC-MC AC5 溜 ∴AC=9AB=AC-BC=9 (3)①证明：，∠DAM=∠BAC ∴∠DAM-∠BAD=∠BAC-∠BAD (4)解：，△ABC是等边三角形， 即∠BAM=∠CAD. .AB=BC.∠ABD=∠BCE. 河北数学 51 AB =AC. 第五单元 四边形 在△ABM和△ACD中 ∠BAM=∠CAD, LAM=AD. 第一节多边形（含正多边形与圆） ∴△ABM≌△ACD(SAS),∴∠ABM=∠C. ①(n-2)·180° ②360° ③(n-3)④"(m-3】 2 AB=AC,,∠ABC=∠C,∠ABM=∠ABC .MN∥BC,..∠MNB=∠ABC..∠MNB=∠ABM. ⑤(m-1）或n或(m+1）6n-2)·180°⑦360 ∴.△BMN是等腰三角形. ②解：P长的最小值为子 【解法提示】：△ABC为 ⑧n⑨偶国奇（受）22RB分m 5108°672°10361B7219720°②④60°①30 等边三角形，.∠C=∠BAC=60°.由(3)①知，△ABM≌ △ACD,△BMN是等腰三角形，·.∠MBA=∠C=60°， 260812553号 ⑦1080°④135 ∠MAB=∠DAC,.△BMN是等边三角形，.MN=BN, ∠BMN=60°.D为BC边的中点，∴.AD平分∠BAC, 四等膜直角国5③号 ®1图1+2 ·.∠BAD=∠DAC=30°，∴.∠MAB=∠DAC=30. 1.(1)900°360°14(2)53：2(3)6 :∠MBA=60°，∠AMB=90°，∴.∠AMN=∠AMB-2.D ∠BMN=30°，MN=AN=BN,N是AB的中点，3.(1)9(2)140° 40°(3)是不是(4)6 N=2AB=5.:P是AW上的动点心当P⊥AW 4.(1)60°30°(2)号 (3)63 2 时，P的长取得最小值在R△APN中，P=2AN= (4)53+5 2 4 多P长的最小值为号 5.0哈 22 第六节锐角三角函数及其应用 (3)解：如解图，连接OG,OH,过点G作GR⊥OB于 点R. 设AB=1,则由(2)可知，Sa0m= ⑨105ma2+b62=2290° ®片B号 5 6北偏东30°⑦南偏东60°⑧北偏西45°⑧上方 ⑧下方①比②坡角31 Som0 CR= 43 2.(1)45° 0(2)号 1-0c·oc=g(0c- 2 3(1)060°30②22③7后 0c)…4(oc-06- (2)①45°22②1(3)⑤ 解得0G=} 2 5或0G= (舍去) 26 4.D 5.解：(1)25°60°(2)矩750 0m1-0c=-0=0G=}+得 4+12 CD 7 (3)在R△ACD中，AD= an25e0.5=14(m）, ∴R=0R-0m=士+9.cR=50R=+ 在△BEF中，B成= EF 7 s4.1(m). mmm号0-号 .AB AD DF BF=760(m), 第二节平行四边形 .A,B两点之间的距离约为760m (4)小汽车从点A行驶到点B没有超速， ①平行且相等②相等③互补④平分⑤中心 ⑥对角线的交点⑦中位线⑧FCB⑨FBCQ0平行 理由如下： ①相等2平行且相等B相等互相平分 小汽车的速度为760÷38=20(m/s)=72(km/h). 72<80,小汽车从点A行驶到点B没有超速 1.(1)10(2)60°120(3)①132②33 (5)由题意，得DN=CD-1=6(m),∠NMD=45°， ③w77 (4)1(5)2 ,△DMN是等腰直角三角形，.DM=DN=6m, .AM =AD+DM=20(m), 2.①②85 ∴.小汽车与大货车之间的距离约为20m. 3.(1)3 (2)解：方案甲：连接AC,如解图。 (6)由(4)知，小汽车的速度为72kmh. :四边形ABCD是平行四边 .*60<72<100.20m<50m, “小汽车与大货车不在安全距离以内，建议小汽车减 形，O为BD的中点， OB=0D,点0在AC上，且 速慢行 52众相原创赋能中考第五节 等腰三角形和直角三角形 阶尸 教材知识全梳理 考点1等腰三角形和等边三角形的性质与判定（重点） 等腰三角形 等边三角形 (1)边：两腰① ,如图，AB=AC: (1)边：三条边⑦ 如图，AB= (2)等边对等角：两个底角 AC=BC; ② ,如图，∠B=∠③； (2)角：三个内角都⑧ (3)三线合一：顶角平分线、底边 并且每一个角都等于⑨ 性质 上的中线、底边上的高④ B D C 如图，∠BAC=∠B=∠C=B 0 (4)对称性：是⑤ 对称图形，有⑥ (3)对称性：是⑩ 对称图形，有② 条对称轴，对称轴是底边上的高所在直线： 条对称轴，对称轴是三边上的高所在直线： (5)面积：8=BC·A0 (4)面积5=h=国 (1)定义：三条边都相等的三角形是等边三 (1)定义：有两边相等的三角形是等腰三 角形： 角形： 判定 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形： (2)等角对等边：有两个角相等的三角形是 (3)有一个角是画 的等腰三角形是 等腰三角形 等边三角形 【技巧点拨】等腰三角形的“三线合一”是一条重要性质，在证明和计算中，往往作为辅助线，需 灵活添加 【特别提醒】等腰三角形中的分类讨论： (1)遇角需讨论（顶角和底角）： 已知等腰三角形的一个角为《，求顶角或底角的度数时： 若α为钝角，则α为顶角，底角的度数为⑤ 若为直角，则α《为顶角，该三角形为等腰直角三角形，底角的度数为⑥ 若α为锐角，则应分两种情况讨论： 情况一：当α为顶角时，底角的度数为⑦ 情况二：当α为底角时，顶角的度数为⑧ (2)遇边需讨论（腰和底）： 已知等腰三角形的两边长分别为a,b(a≠b),求周长时，分两种情况： 「若2a>b,则周长为四 情况一：当a为腰长时 若2a≤b,则不能构成三角形： 若2b>a,则周长为20 情况二：当b为腰长时 若2b≤a,则不能构成三角形 河北数学 67 考点2直角三角形的性质与判定（重点） (1)两锐角之和等于四 ,如图，∠A+∠B=2 (2)斜边上的中线等于斜边的 ,如图，若CD是斜边上的中线，则 CD=2④ AB: (3)30°角所对的直角边等于斜边的 ,如图，若∠A=30°，则BC= 性质 列 AB:(含30°角的直角三角形的三边之比为⑦ CE (4)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么四 【知识拓展】在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角等 于30°（选填题可直接用结论，解答题应用时需先证明）》 (1)有一个角等于四 的三角形是直角三角形（定义）： (2)有两个角0 的三角形是直角三角形： 判定 (3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c,且满足① ,那 么这个三角形是直角三角形. 【知识拓展】某边上的中线等于该边的一半的三角形是直角三角形 S=2 =8 (其中a,b为两直角边长，c为斜边长，h为 面积 斜边上的高) 公式 【技巧点拔】通常用等面积法求直角三角形的边长或高 【特别提醒】(1)已知直角三角形的两边长，求第三边长时，若设有明确直角边和斜边，则需分 类讨论：(2)已知三角形为直角三角形，当未明确直角顶点时，需分类讨论 【知识拓展】 1.勾股定理的拓展应用：如图1,2,3，若直角三角形的三边长分别记为a,b,c,分别以三条边为 边向外作等边三角形、正方形、半圆，则有S,+S2=S,: S,a 图I 图2 图3 2,勾股定理的证明有以下几种思路：（图中的直角三角形（除图6中的等腰直角三角形）均全 等，记直角三角形的三边长分别为a,b,c) (1)赵爽弦图：如图4，S大正苏利=S正方形+4S生三角利： 图4 图5 图6 (2)毕达哥拉斯拼图：如图5，S左国大正才移=S右国大画方形： (3)伽菲尔德总统拼图：如图6，S根形=2S小直角三角移+S大等直商兰角移 68 众相原创赋能中考 考点3等腰直角三角形的性质与判定（重点） (1)两条直角边3④ ,如图，AC=BC: (2)两个底角 ,且都等于团 性质 如图，∠A=∠B=45° 【技巧点拨】等腰直角三角形的三个内角的度数分别为网 三边之比为网 (1)有一个角等于翅 的等腰三角形是等腰直角三角形： 判定 (2)有两个角等于⑩ 的三角形是等腰直角三角形： (3)有一个角等于⑩ 的直角三角形是等腰直角三角形： (4)有② 相等的直角三角形是等腰直角三角形 面积公式 S= 12 2chs 2h(其中a为腰长，c为底边长，h为底边上的高) ⑦@（链接】(1）小专题培优与中点有关的辅助线作法，见分层进阶练习册P89:与角平分线有关 的常见模型，见分层进阶练习册P91:直角三角形斜边上的高的应用，见分层进阶练习册P93: (2)已知直角边，利用尺规作等腰直角三角形，见本册P100 二阶了追本潮源练考点 教材·真题·课标 日考点1等腰三角形和等边三角形的品考点2直角三角形的性质与判定(10 性质与判定(10年12考：2024.10,25(1)， 年23考：2024.22、25,2023.11、24、26,2022. 18、26) 2023.5、13、15,2022.26) 2.教材（北师八下P13T2改编）如图，在 1.教材（冀教八上P153做一做改编）如图， △ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，D是AB的 在△ABC中，AB=AC=5,AD⊥BC于点D. 中点，若CD=1,则AB= .BC= (1)若BC=8. AC= ,点C到AB所在直线的距离 ①CD= AD= 为 ②△ABC的面积为 点B到直线AC的距离为 ③过点D作DE⊥AC于点E,则DE= 凸考点3等腰直角三角形的性质与判 点D到AB的距离为 定(10年5考：2024.23,2022.16) (2)若△ABC有一个内角为30，则∠BAC=3.教材（冀教九上P125B组T1改编）如图， 在△ABC中，∠A=45°，AB=42,BC=5, (3)若∠B=60°，则△ABC是 三角 则△ABC的面积为 形，BD= ,AD= ,△ABC 的面积为 一题多点 河北数学 69 三阶厂分层设问攻重难 基础·能力·培优 ©重难点 等腰三角形的相关证明与 培优层》 计算 (3)如图2，以AD为一边在AD的左侧作 4.如图1，在△ABC中，AB=AC,D.E分别为 △ADM,使AM=AD,∠DAM=∠BAC, BC,AC上的点，连接AD,DE. MN∥BC交AB于点N,连接BM, B 图2 图1 ①求证：△BMN是等腰三角形： 基础层》 (1)若∠BAC=50. ①∠C= ； ②若△DEC为等腰三角形，则∠EDC的度数 为 能力层》】 (2)若AD为BC边上的中线，∠ADE= ∠AED,AB=13,BC=10,求△ADE的 面积 ②若△ABC是边长为10的等边三角形，D 为BC边的中点，P为AM上一动点，连接 NP,直接写出NP长的最小值 温馨提示 请完成分层进阶练习册P87~P88习题 70 众相原创赋能中考