第4单元 第4节 相似三角形(含位似)-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（河北专用）

·.∠DCE+∠GCB=∠DCB-∠ECG=90°- 2 AB BC. 在△ABD和△BCE中， ∠ABD=∠BCE. 与(3)同理可得△CED≌△CFB BD =CE, .∠DCE=∠BCF,CE=CF, ∴.△ABD≌△BCE(SAS),.∠BAD=∠CBE. .∠FCG=∠GCB+∠BCF=∠GCB+∠DCE=90°- 又'∠BDA=∠FDB.∴.△ABD∽△BFD. 2a,∠FCG=LECG 1 品0 又CG=CG,∴，△CFG≌△CEG(SAS), BD=AD·FD=(AF+FD)·FD=8, ,∴.FG=EG,即BF+BG=EG 六BD=2 DE BF,..DE BG=EG. 过点D作DH⊥AB于点H,如解 第四节相似三角形（含位似） 图2 ①片②2k③3k④4k 52k+36+4h 2k ⑥9 ∠ABD=60°..∠BDH=30°， 治能⑧器品国呢⑩相等尼成比例 BM=2BD=2 ∴DM=BD-BF=6, B相似比相似比⑤相似比的平方⑥成比例 解图2 ∴AH=√AD-Dm=58, ⑦夹角⑧相等9相等团成比例①相似比 ②相似比的平方②相似比图（任，y)或(-x,-y) 六.AB=BH+AI=2+√58， 12④⑤02号【变式D 即△ABC的边长为2+58 第五节等腰三角形和直角三角形 3.2【变式】平行线分线段成比例 ①相等②相等③G④相互重合⑤轴⑥1 416号 (2)是两边成比例且夹角相等的两个三 ⑦相等⑧相等⑨60°国60①轴3B店 角形相似(3)2√15 5.26.(1,1)或(-1，-1)7.3.2 4360°52(180°-a）045°D2(180°-a）) 8()证明AE=E,E能 8180°-2a92a+b②02b+a2I90°290° 又：∠AEF=∠BEA,∴△AEF∽△BEM 因-半5雪-半⑧四1：52⑧+= (2)证明：AB=AD,∴.∠ABD=∠ADB. 由(1)可知，△AEF∽△BEA,∴∠EAF=∠EBA. 2☒90° 国互余G+8=e山82h :∠ABD=∠EBA+∠CBE,∠ADB=∠EAF+∠C, 相等5相等45°45°，45°，90°1：1：2 .∠CBE=∠C.∴BE=EC. 38909 045°①45°42两边 (3)解：过点A作AM⊥BD于点M,交BE于点G,连接 GD,如解图1， 1(1)①43②12243号 5 5 5 .AB=AD,AM⊥BD .BM=MD,即AM为BD的垂直平分线， (2)0或120（6)等边多5255 4 .GB=GD,∴.∠GBC =∠GDB. 2.2133 3.14 2 由(2)可知，∠CBE=∠C, 4.(1)①65°②65或50°或57.5 .∠GDB=∠C.GD∥EC. (2)解：AB=AC,AD为BC边上的中线， .△BGD∽△BEC, 解图 ·品院 ..ADLRC.BD-CD-C=5. AD=√AB-BD=12. BD:CD=4:3.EC=BC7 GD BD 4 :∠ADE=∠AED,∴.AE=AD=12 如解图，过点D作DF⊥AC于 点F BD:CD =4:3.BM MD, Souc=- AD.CD-TAC.DF. MDDc=230-号 号x12x5=x130r .GD∥EC,.△MGD∽△MAC 32 F=60 CD MD 7 2 AC-MC AC5 溜 ∴AC=9AB=AC-BC=9 (3)①证明：，∠DAM=∠BAC ∴∠DAM-∠BAD=∠BAC-∠BAD (4)解：，△ABC是等边三角形， 即∠BAM=∠CAD. .AB=BC.∠ABD=∠BCE. 河北数学 51第四节 相似三角形（含位似) 了教材知识全梳理 考点1比例的性质、成比例线段、黄金分割 1.比例的性质 (山)若号=台则ad=c:(文又相秦) 基本性质 (2)若ad=bc(abc,d都不为0)，则号=① 等比性质 若 =…=m(b+d+…+n≠0)，则g+C+…+m=4 b+d+…+nb 合比性质 若号=则， db d 【技巧点拨】常用“设k法”求解比例相关问题。 【奥例别已知号-台-a0),表台中“的值 a 解：设号=号==0)，则0=2 =34 ,b=③ ,c=④ a+b+c=⑤ =6 2.成比例线段 对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相 等，如号=分（即ad=c),我们就说这四条线段成比例 特别地，如果号=名，即公=ac,就把6叫做a,c的比例中项 【特别提醒】成比例线段是有顺序的，如：线段a,b,c,d是成比例线段，但线段c,b,a,d不一定是 成比例线段 3.黄金分割 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC,且⑦ ,那么就说线段AB被点C 黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比，即AC=5,10.618. AB 2 62 众相原创赋能中考 考点2平行线分线段成比例 内容 几何表述 如图，1∥2∥13， D 两条直线被一组平行 基本 线所截，所得的对应 则5-DE4B 事实 c6FMC⑧ 线段成比例 BC AC =⑨ 平行于三角形一边的 直线截其他两边（或 如图，DE∥BC,则D=4二 推论 两边的延长线)，所得 AD 的对应线段成比例 AB =00 考点3相似三角形的性质与判定（重点） (1)相似三角形的对应角① 对应边② 性质 (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于 (3)相似三角形的周长比等于函 ,面积比等于⑤ 方法 图示 几何表述 平行于三角形一边的直线和其 :DE∥BC 他两边相交，所构成的三角形与 .△ADE∽△ABC 原三角形相似 三边0 的两个三角 AB=BC AC A'B=B'CA'C 判定 形相似 ·,△ABC∽△A'B'C 两边成比例且 相等 AB BC A'BB"C∠B=∠B, 的两个三角形相似 .△ABC∽△A'B'C 两角分别⑧ 的两个三 ∠A=∠A',∠B=∠B 角形相似 .△ABC∽△A'B'C 【技巧点拨】相似三角形的判定思路： (1)有平行截线，直接判定相似； (2)有一对等角我，另一对等角， 夹角相等， (3)有两边成比例 找 或第三边也对应成比例， 或该角的两边成比例： ,或一对直角； 斜边和一条直角边成比例， (4)有两个直角三角形找 或一对锐角相等， 或两组直角边成比例 【易错提醒】“△，∽△，”和“△，与△，相似”的区别：当两个三角形用“∽”连接时，对应顶点已确 定，只有一种情况；当用文字“△，与△2相似”表达时，对应顶点不确定，需要分类讨论 ②【链接】小专题培优六种常见相似模型，见分层进阶练习册P84. 河北数学 63 考点4相似多边形 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫 概念 做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比 (1)相似多边形的对应角四 ,对应边0 性质 (2)相似多边形的周长比等于四 面积比等于2 考点5位似 如图，如果一个图形上的点A,B,…,P,…和另一个图形上的点 A',B',…,P,…分别对应，并且它们的连线AM,BB,…,PP,… 概念 都经过同-点0，且4'_0B OP' 0A=0B=…=Op=…,那么这两个图形 叫做位似图形，点O是位似中心 (1)位似图形是相似图形，具有相似图形的所有性质： (2)对应点的连线所在直线都经过同一点； (3)对应边互相平行或在同一条直线上： 性质 (4)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于3 (5)在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形位似的图形，使 它与原图形的相似比为k,那么原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为 4 (注意：有同侧和异侧两种情况) 【特别提醒】位似必相似，相似不一定位似. 考点6相似三角形的实际应用 运用相似三角形的有关性质可解决现实生活中的实际问题，如：①利用光的反射定律求物体 的高度：2利用影子计算建筑物的高度：同一时刻，物高和影长成正比，即物意=建筑物高度 影长建筑物影长 二阶了追本潮源练考点 教材·真题·课标 白考点1比例的性质、成比例线段、2.教材（北师九上79随堂练习T3改编） 黄金分割 已知a,b,c,d是成比例线段，其中a= 3,则 1教（翼教九上61T1改编）若号 4cm,b=3cm,c=6cm,则线段d的长 为 cm. 下列式子成立的是 (填序 号) 【变式】下列各组中的四条线段成比例的 ①2a=36:2号= =3:③b= 3a:④b=3 是 ( A.1,1,2,3 B.3,6,4,7 58号-号：6-62 C.5.6.7.8 D.2,3.6,9 64 众相原创赋能中考 份考点2平行线分线段成比例(2021.26) (2)如图1，若D是AB的中点，AD=2. 3.教材（人教九下29探究改编）如图， AC=3,4E=;,那么△MDE和△1GB是相似 AB∥CD∥EF,直线I,l,2与这三条平行线 三角形吗？ (填“是”或“否”)：依据是 分别交于点A,C,E和点B,D,F已知AC 3,CE=6,BF=6,则BD的长为 (3)如图2，当点E与点C重合时，若∠ACD B D ∠B,AD=6BD=4.则AC= 品考点4相似多边形 5.教材（人教九下P28T6改编）将边长为4， 【变式】下面是小明画线段AB的三等分 6,6的等腰三角形、边长为4的正方形和 点的步骤（如图）： 长、宽分别为6,4的矩形按如图所示的方 式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对 应边的间距均为1，则新图形与原图形相 似的有 个 B (1)以4为端点画一条射线： (2)用圆规在射线上依次截取3条等长 线段AC,CD,DE,连接BE: (3)过点C,D分别作BE的平行线，交线 段AB于点M,N.M,N就是线段AB的三 □考点5位似(2020.8) 等分点.这个过程体现的数学依据 6.教材（人教九下P51T5改编）在平面直角 是 坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为 A(2,2),B(4,2),C(6,4),以原点0为位似中 日考点3相似三角形的性质与判定(10 心，将△ABC缩小后得到的△DEF与△ABC 年10考：2024.25(3)①，2023.26,2022.18(2)、26 的对应边的比为1：2，则点A的对应点D的 (2)) 坐标为 4.教材（北师九上P91例2改编）在△ABC 日考点6相似三角形的实际应用(221.8) 中，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的 7.教材（冀教九上P89做一做改编）同学们 点，连接DE, 一题多点 在物理课上做“小孔成像”实验.如图，蜡 烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小 孔”的纸板与光屏之间距离的一半，当蜡烛 火焰的高度AB为1.6cm时，所成的像的 图1 图2 火焰的高度A'B为 cm. (1)如图1，若∠ADE=∠ACB,4 2 AC 3” AE=4,则AB= S网边形BDEC 河北数学65 三阶厂分层设问攻重难 基础·能力·培优 ©重难点相似三角形的相关证明与 培优层》 计算 (4)若△ABC是等边三角形，把题干中的 8.如图，在△ABC中，点D,E分别在边BC, “AB=AD,AE2=FE·BE”改为“BD=CE, AC上，AD与BE相交于点F,且AB=AD AF=7,DF=1”,求△ABC的边长 AE2=FE·BE. 基础层》】 (1)求证：△AEF∽△BEA: 能力层》》 (2)求证：BE=EC: (3)若BD:CD=4:3,CE=8,求线段AE 的长； 温馨提示 请完成分层进阶练习册P81~P83习题 66 众相原创赋能中考