第4单元 第2节 三角形及其基本性质-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（河北专用）

-2<0,由(2)知，3≤x<9 :1.(1)1<AC<5(2)120钝角(3)85锐角 当x=号时，取得最大值 2.(1)40°130°(2)①19②18③4 (3)①115°25°②2 答：当x为？时，菜园面积最大，最大面积是 第三节 全等三角形 3.解：(1)由题意，得W=(150-100-x)(300+10x)= ①完全重合②相等③相等④相等⑤相等 ⑥相等⑦三边⑧夹角⑨夹边0对边 -10x2+200x+15000. (2)W=-10x2+200x+15000=-10(x-10)2+16 1.(I)AB=DE(2)∠ACB=∠DFE(或AC∥DF) 000,∴.当x=10时，W取得最大值16000. (3)∠A=∠D(4)AC=DF 答：当每盒售价降低10元时，公司每天所获的利润最 (5)证明：AC∥DF,∴.∠ACB=∠DFE. 大，最大利润为16000元 ∠B=∠E 在△ABC和△DEF中，{BC=EF, 【变式设问】由题意，得10%≤150-100-≤30%， 100 L∠ACB=∠DFE 解得20≤x≤40.由(2)知，W=-10(x-10)2+16000, .△ABC≌△DEF(ASA), .当x=20时，W取得最大值15000. .AC DF. 答：当每盒售价降低20元时，公司每天所获的利润最 2.(1)甲和乙 大，最大利润为15000元. (2)解：（答案不唯一，选择其中一个方案说明即可） AC =DC. 第四单元 三角形 选甲：在△ABC和△DEC中， ∠ACB=∠DCE, 第一节线段、角、相交线与平行线（含命题） BC=EC. ①两②线段③线段的长度④BC⑤AC⑥BC .△ABC≌△DEC(SAS),∴.AB=DE, ⑦AC⑧AB⑨7055°m90°290°<a<1800 ∴DE的长即为A,B的距离. r∠ABD=∠CBD. B14424590°6相等1D180°B相等 选乙：在△ABD和△CBD中，BD=BD. 四相等③相等④角平分线巴) ∠BDA=∠BDC. PN 2外一 ,△ABD≌△CBD(ASA),∴.AB=CB 雪垂线段垂线段的长度⑦相等②中点四垂直 BC的长即为A,B的距离 30垂直平分线0⊥也=8=3∠2或∠4 AB=AD 否∠1或∠3180°团∠38∠4翅相等细∠5 3.(1)证明：在△ACB和△ACD中 CB CD. 4①∠62∠73∠80∠85∠50∠54⑦L8 LAC=AC. 级一0∥0相等①∠22相等3上3互补 .△ACB≌△ACD(SSS). 180°，闭距离⑦相等0∠1+∠2 (2)解：由(1)可知，△ACB≌△ACD 0360°-∠1-∠20∠2-∠1 ∠ACB=∠ACD. 1.(1)两点确定一条直线(2)两点之间，线段最短 2.(1)2或4(2)1.51或2 LDCB=120°LACB=LACD=7∠DCB=60 3.(1)85.46锐角(2)4.5494.54(3)42.73 (3)证明：∠DAB+∠DCB+∠D+∠ABC=360°， (4)2(5)①2③④ ∠DAB=60°，∠DCB=120°，∴∠D+∠ABC=180°. 4.垂线段最短 :∠ABC+∠CBF=180°，.∠D=∠CBF 5.(1)50°130°(2)同旁内角同位角内错角 DE BF. 6.证明：如解图.连接AC 在△CED和△CFB中， ∠D=∠CBF :BC边的垂直平分线MN经过点 CD CB. A...AB=AC. 六△CED≌△CFB(SAS),∴CE=CF 又·AB=AD..AC=AD (4)解：DE+BG=EG.证明如下： ∴.点A在线段CD的垂直平分线上 ∠DCB=120°，∠ECG=60°， 7.B8.②④X⑤9.②⑤10.A ,∠DCE+∠GCB=∠DCB-∠ECG=60 11.a=b=矛盾a≠b 由(3)可知，△CED≌△CFB. 第二节三角形及其基本性质 ∴∠DCE=∠BCF,CE=CF '.∠FCG=∠GCB+∠BCF=∠GCB+∠DCE=6O°， ①等边②直角③90°④90°⑤大于⑥小于 .∴.∠ECG=∠FCG ⑦a-b<c<a+b⑧180°⑨不相邻0和①大于 又CG=CG. e7hB=4=590°6内部@直角边 ∴.△CFG≌△CEG(SAS), ,∴FG=EG.即BF+BG=EG 8内部9外部⑧内部①号巴】 必一半 :DE=BF.∴，DE+BG=EG ②】5相等雪垂直平分线 必外接圆 (5)解：当∠ECG=90°-2a时，DE+BG=EG仍然成 三个顶点 立.证明如下： 8中点国 y∠0B=180-a,∠BcG=90-2a 50 众相原创赋能中考第二节 三角形及其基本性质 教材知识全梳理 考点1三角形的分类 按边分 按角分 (1)三边都不相等的三角形： (1)锐角三角形（三个角都小于90）： (2)底边和腰不相等的等腰三角形： (2)② 三角形（有一个角是③ (3)① 三角形 (3)钝角三角形（有一个角大于④ 考点2三角形的基本性质（重点） 稳定性 三角形具有稳定性.只要三角形的三边长度固定，其形状和大小就固定不变 三角形两边之和⑤ 第三边： 三角形两边之差⑥ 第三边， 三边关系 【特别提醒】若已知三角形的两边a>b,则第三边c的长需满足⑦ 此方法可用于：(1)判断三角形的存在性：(2)求边长的取值范围：(3)求解线段最 值问题 内角和定理 三角形三个内角的和等于⑧ 三角形的一个外角等于与它⑨ 的两个内角的① 内外角关系 三角形的一个外角① 任意一个与它不相邻的内角 边、角关系 在同一个三角形中，等边对等角，大边对大角，小边对小角 如图1，S=② (其中a为底边长， D h为底边上的高). h 面积公式 【知识拓展】同底（等底）等高（同高）的三 角形面积相等.如图2，若AB∥CD,则 h h2,SA④ 图1 图2 考点3三角形中的重要线段（重点） 重要线段 图示 性质 (I1)AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=5 (2)锐角三角形的高都在三角形0 ;直角三角形的两条高恰 好是⑦ ,另一条高在三角形⑧ :钝角三角形的两 B 条高在三角形四 ,另一条高在三角形四 ·(三角形 高 的三条高一定交于一点) 【特别提醒】(1)在解面积相关问题时，通常需要添加辅助线一作 高：(2)在解与高有关的问题时，若未指明三角形的形状，也无图示， 通常需要分类讨论 河北数学 57 续表 (1)BD=CD=① BC;(2)平分面积：SAm=SAm=2 【知识关联】直角三角形斜边上的中线等于斜边的3 中线 【知识拓展】三角形的重心是三角形三条中线的交点，它到三角形顶 点的距离等于它到该顶点对边中点的距离的2倍 (1)∠BAD=∠CAD=24 ∠BAC: (2)三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心：三角形的内心到 角平分线 三角形三边的距离巧 ,是三角形内切圆的圆心 B 【对比学习】三角形的外心是三角形三条边的的 的交点， 到三角形 的距离相等，是三角形圆 的圆心 若E,F分别是AB,AC的2四 ,则EF是△ABC的中位线，EF∥ BC,EF=30 BC. 中位线 【技巧点拔】解题时遇到中点，通常构造中位线.特别地，在平行四边 形中，当边上有中点时，通常连接中，点和对角线的交点，即得中位线 ⊙【链接】小专题培优几何图形中的等分面积问题，见分层进阶练习册门4， 二阶了追本潮源练考点 教材·真题·课标 品考点1三角形的基本性质(10年20 (1)当∠A=50°，BD,CE都 考：2024.10,2023.5,9、15,2022.11、13、16) 是△ABC的高时，∠ABD= 1.教材（人教八上P15练习改编）如图，已知 ,∠B0OC= △ABC,D是BC延长线上一点 一题多点 (2)当BD,CE都是△ABC (1)若AB=2,BC=3, 则AC的长的取值范 的中线时， 围是 ①若AB=8,BC=7,△ABD的周长为20. ； B (2)若∠B=15°，∠ACB=45°，则∠A= 则△BDC的周长为 ； △ABC是 三角形（填“锐角”“直 ②若△BEC的面积是9，则△ABC的面积 角”或“钝角”)： 是 (3)若∠ACD=120°，∠B=35°，则∠A= o,△ABC是 三角形（填“锐 ③连接DE,若BC=8,则DE= 角”“直角”或“钝角”) (3)当BD,CE都是△ABC的角平分线时， 日考点2三角形中的重要线段(10年7 ①若∠A=50°，连接AO并延长，交BC于点 考：2024.5、19.2022.2) F,则∠BOC= LBAF=; 2.教材（人教八上P29T11改编）如图，在 ②若BC=6,△OBC的面积为6，则点0到 △ABC中，D,E分别是AC,AB上的点，且 BD与CE相交于点O, 一题多点 AB的距离为 温馨提示 请完成分层进阶练习册P72~P73习题 58 众相原创赋能中考