第4单元 第1节 线段、角、相交线与平行线(含命题)-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（河北专用）

第四单元三角形 第一节线段、角、相交线与平行线（含命题)》 一阶教材知识全梳理 考点1直线和线段 ① 点确定一条直线 两个基本事实 两点之间，② 最短 两点的距离 连接两点间的③ (注意：距离是长度，而不是线段) 如图，在线段AC上有一点B. 线段的和、差 A B 则：AB+④ =AC:AB=⑤ -⑥ :BC=⑦ -⑧ 如图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM和MB,则点M叫做线段 概念 AB的中点 线段的中点 H 性质 若M是线段AB的中点，则AM=BM=⑨ AB @【链接】利用尺规作一条线段等于已知线段，见本册99. 考点2角和角平分线（重点） 1.量角器的使用 量角器的中心点0和角的顶点重合，量角器的零刻度线和角 的一条边重合，然后看角的另一条边对应的刻度线的度数 (简记：两重合，再读数).如图，∠AOB的度数为四 2.角的分类 分类 锐角 直角 钝角 平角 周角 角度 0°<a<90 x=① 2 a=180° a=360° 3.度、分、秒之间的换算：1°=60'，1'=60”.如：7.24°=73 '④ 52 众相原创赋能中考 4.余角、补角 定义 性质 余角 若∠1+∠2= 则∠1与∠2互为余角 同角（等角）的余角6 补角 若∠1+∠2=团 ,则∠1与∠2互为补角 同角（等角）的补角⑧ 5.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的 定义 角的射线 如图，PM⊥OA,PN⊥OB. (1)角平分线分成的两个角四 性质 (2)角平分线上的点到角两边的距离四 (1)从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相 (1)OC平分∠AOB=∠AOC= 等的角的射线是这个角的平分线： 判定 ∠BOC=2 ∠AOB: (2)在角的内部，到角两边距离相等的点在 (2)OC平分∠AOB=PM=3 到 上 QI链接】利用尺规作等角和角平分线，见本册99. 考点3垂线与相交线 1.垂线 基本事实 在同一平面内，过一点有且只有型 条直线与已知直线垂直 垂线段的性质 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，② 最短 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的 2.垂直平分线 (1)垂直且平分线段： 如图. 性质 (2)线段垂直平分线上的点到线段两端点 的距离@ (1)过线段的8 且与线段29 (1)I是线段AB的垂直平分线→l① 的直线是这条线段的垂直平分线： 判定 AB且AC® BC; (2)到一条线段两端点距离相等的点在这 (2)点P在线段AB的垂直平分线上曰 条线段的) 上 PA PB ②（链接】利用尺规作垂线和垂直平分线，见本册P100 河北数学 53 3.三线八角 类型 图示 对应的角 ∠1与网 ,∠2与5 邻补角 性质：邻补角之和等于 ∠1与闭 ,∠2与8 对顶角 性质：对顶角翅 同位角（形如F) 4 ∠1与0 ,∠2与① 2 ∠3与42 ,∠4与4 内错角（形如Z) ∠2与0 ,∠3与5 76 同旁内角（形如） ∠2与40 ,∠3与0 【特别提醒】三线八角只是说明角之间的位置关系，加了平行条件之后，才能得到角之间的数量 关系 考点4平行线的性质与判定（重点） 平行公理 经过直线外一点，有且只有⑧ 条直线与这条直线平行 若ac,b∥c,则a4 b. 推论 【知识拓展】在同一平面内，若a⊥c,b⊥c,则a∥b 两直线平行一同位角0 如图，a∥b白∠1=① 平行线 的性质 两直线平行一内错角型 如图，a∥b白∠4=3 与判定 两直线平行一同旁内角⑤团 如图，a∥b分∠3+∠2=5 两条平行 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的⑤® 线之间的 距离 性质：两条平行线之间的距离处处⑦ 【思维拓展】利用平行线求角度时常见的辅助线作法： 作法1：过拐点 作平行线 B←- 2e c 作法2：从拐点 处延长相交 B队 结论 ∠ABC=8 ∠ABC=® ∠ABC=O 54 众相原创赋能中考 考点5命题与定理（含反证法） 类型 概念 命题 判断一件事情的语句叫做命题.命题由题设和结论两部分组成 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题 假命题 如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题 在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，且第一个命题的结论是 逆命题 另一个命题的题设，把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推 定理 理的依据 如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理.一个 互逆定理 定理和它的逆定理是互逆定理 【特别提醒】(1)判断一个命题是假命题，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结 论就可以了；(2)证明一个命题是真命题时，可以用反证法，假设命题的结论不成立，由此经过 推理得出矛盾，由矛盾断定假设不正确，从而得到原命题成立。 二阶了追本潮源练考点 教材·真题·课标 白考点1直线和线段(10年3者：2022.13、白考点2 角和角平分线(10年5考：2024. 23(2) 10.2023.26) 1.教材（人教七上P130T8改编） 3.教材（人教七下P8T8改编）如图，已知 (1)如图1，锯木板前，在木板两端固定两 ∠A0B=8527'36”,0C平分∠A0B. 个点，用墨盒弹一根墨线然后再锯，这样做 (1）∠AOB= 0 的数学道理是 它是 (填“钝角”“直 角”或“锐角”)： (2)∠AOB的余角等于 ∠AOB的补角等于 0: 图1 图2 (3)∠AOC= (2)如图2，嘉淇将一个正五边形纸片沿图 (4)若点P是射线OC上一点，点P到OA的 中虚线剪掉一个小三角形后，发现剩下纸 距离为2，则点P到OB的距离为 片的周长变小了，能正确解释这一现象的 (5)在∠AOB的内部有一点Q,有以下条 数学知识是 件，满足 (填出所有符合要求 2.教材（人教七上P130T10改编）已知点A, 的序号)，可说明点Q在射线OC上 B,C在同一条直线上，AB=3,BC=1. (1)AC的长为 ①∠A0Q=2∠A0B:②LA0B=2LB00: (2)若D为AB的中点，E为BC的中点，则 ③∠AOQ=∠B0Q:④点Q到OA和OB的 AD的长为 DE的长为 距离相等 一题多点 河北数学55 份考点3垂线与相交线(10年4考：2024.11) 变，这就是光的折射现象（如图），已知水 4.教材（冀教七下P40T3改编）如图，斑马 面与容器的底面平行，且∠1=80°，∠2= 线的作用是引导行人安全地通过马路.小 40°，则∠3的度数为 丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马 A.30 B.409 C.50 D.70° 线更为合理，这一想法体现的数学依据 3 是 4 第7题图 第8题图 8.教材（人教七下P9T11改编）如图，点E 第4题图 第5题图 在BC的延长线上，下列结论正确的 5.教材（冀教七下37B组T1改编）如图， 是 .(填序号) 直线AB与CD相交于点O, ①若∠1=∠2，则AD∥BC; (1)若∠D0B=50°，则∠A0C= ②若∠3=∠4，则AD∥BC: ∠AOD= ③若AD∥BC,则∠B=∠DCE: (2)∠CAO是∠AOC的 是 ④若AB∥CD,则∠1+∠3+∠D=180°： ∠COB的 ,是∠AOD的 ⑤若∠D=∠DCE,则AD∥BC. (填“同位角”“内错角”或“同旁内角”) 品考点5命题与定理（含反证法) 6.教材（北师八下P24例2改编）如图，在 (2021.13,2015.22) 四边形ABCD中，AB=AD,BC边的垂直平9.教材（人教七下P22练习T2改编）关于 分线MN经过点A.求证：点A在线段CD “同一个角的两个邻补角是对顶角”，下列 的垂直平分线上 说法正确的是 .（填序号) ①它不是命题：②它是真命题；③它是假命 题：④它的题设是“对顶角”；⑤它的逆命 题是“对顶角是同一个角的两个邻补角”， 10.教材？（人教七下P24T12改编）能说明 “相等的角是对顶角”是假命题的一个反 例是 30P 30 140 40 309 30 30e 30w 日考点4平行线的性质与判定(10年1山 11.用反证法证明“若1al≠1b1,则a≠b”.补 考：2024.25(2)，2023.15、19、24,2022.11,24) 全下面证明过程。 7.教材（人教七下24T8改编）当光线从空 证明：假设 ,则1al 1b1, 气射入水中时，光线的传播方向发生了改 这与已知 温馨提示 请完成分层进阶练习册P69~P71习题 56 众相原创赋能中考-2<0,由(2)知，3≤x<9 :1.(1)1<AC<5(2)120钝角(3)85锐角 当x=号时，取得最大值 2.(1)40°130°(2)①19②18③4 (3)①115°25°②2 答：当x为？时，菜园面积最大，最大面积是 第三节 全等三角形 3.解：(1)由题意，得W=(150-100-x)(300+10x)= ①完全重合②相等③相等④相等⑤相等 ⑥相等⑦三边⑧夹角⑨夹边0对边 -10x2+200x+15000. (2)W=-10x2+200x+15000=-10(x-10)2+16 1.(I)AB=DE(2)∠ACB=∠DFE(或AC∥DF) 000,∴.当x=10时，W取得最大值16000. (3)∠A=∠D(4)AC=DF 答：当每盒售价降低10元时，公司每天所获的利润最 (5)证明：AC∥DF,∴.∠ACB=∠DFE. 大，最大利润为16000元 ∠B=∠E 在△ABC和△DEF中，{BC=EF, 【变式设问】由题意，得10%≤150-100-≤30%， 100 L∠ACB=∠DFE 解得20≤x≤40.由(2)知，W=-10(x-10)2+16000, .△ABC≌△DEF(ASA), .当x=20时，W取得最大值15000. .AC DF. 答：当每盒售价降低20元时，公司每天所获的利润最 2.(1)甲和乙 大，最大利润为15000元. (2)解：（答案不唯一，选择其中一个方案说明即可） AC =DC. 第四单元 三角形 选甲：在△ABC和△DEC中， ∠ACB=∠DCE, 第一节线段、角、相交线与平行线（含命题） BC=EC. ①两②线段③线段的长度④BC⑤AC⑥BC .△ABC≌△DEC(SAS),∴.AB=DE, ⑦AC⑧AB⑨7055°m90°290°<a<1800 ∴DE的长即为A,B的距离. r∠ABD=∠CBD. B14424590°6相等1D180°B相等 选乙：在△ABD和△CBD中，BD=BD. 四相等③相等④角平分线巴) ∠BDA=∠BDC. PN 2外一 ,△ABD≌△CBD(ASA),∴.AB=CB 雪垂线段垂线段的长度⑦相等②中点四垂直 BC的长即为A,B的距离 30垂直平分线0⊥也=8=3∠2或∠4 AB=AD 否∠1或∠3180°团∠38∠4翅相等细∠5 3.(1)证明：在△ACB和△ACD中 CB CD. 4①∠62∠73∠80∠85∠50∠54⑦L8 LAC=AC. 级一0∥0相等①∠22相等3上3互补 .△ACB≌△ACD(SSS). 180°，闭距离⑦相等0∠1+∠2 (2)解：由(1)可知，△ACB≌△ACD 0360°-∠1-∠20∠2-∠1 ∠ACB=∠ACD. 1.(1)两点确定一条直线(2)两点之间，线段最短 2.(1)2或4(2)1.51或2 LDCB=120°LACB=LACD=7∠DCB=60 3.(1)85.46锐角(2)4.5494.54(3)42.73 (3)证明：∠DAB+∠DCB+∠D+∠ABC=360°， (4)2(5)①2③④ ∠DAB=60°，∠DCB=120°，∴∠D+∠ABC=180°. 4.垂线段最短 :∠ABC+∠CBF=180°，.∠D=∠CBF 5.(1)50°130°(2)同旁内角同位角内错角 DE BF. 6.证明：如解图.连接AC 在△CED和△CFB中， ∠D=∠CBF :BC边的垂直平分线MN经过点 CD CB. A...AB=AC. 六△CED≌△CFB(SAS),∴CE=CF 又·AB=AD..AC=AD (4)解：DE+BG=EG.证明如下： ∴.点A在线段CD的垂直平分线上 ∠DCB=120°，∠ECG=60°， 7.B8.②④X⑤9.②⑤10.A ,∠DCE+∠GCB=∠DCB-∠ECG=60 11.a=b=矛盾a≠b 由(3)可知，△CED≌△CFB. 第二节三角形及其基本性质 ∴∠DCE=∠BCF,CE=CF '.∠FCG=∠GCB+∠BCF=∠GCB+∠DCE=6O°， ①等边②直角③90°④90°⑤大于⑥小于 .∴.∠ECG=∠FCG ⑦a-b<c<a+b⑧180°⑨不相邻0和①大于 又CG=CG. e7hB=4=590°6内部@直角边 ∴.△CFG≌△CEG(SAS), ,∴FG=EG.即BF+BG=EG 8内部9外部⑧内部①号巴】 必一半 :DE=BF.∴，DE+BG=EG ②】5相等雪垂直平分线 必外接圆 (5)解：当∠ECG=90°-2a时，DE+BG=EG仍然成 三个顶点 立.证明如下： 8中点国 y∠0B=180-a,∠BcG=90-2a 50 众相原创赋能中考