第3单元 第6节 二次函数的实际应用-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（河北专用）

第六节 二次函数的实际应用 考向1抛物线型问题(2023.23,2018.26) (2)定义“高差”：当抛物线L上的点到喷 【解题思路】1，建坐标系：观察、分析图象，根据 头C的水平距离x在0≤x≤1时，抛物线L 题意建立合造的平面直角坐标系，将题目中的 上的点到水平地面的距离y(m)的最大值 条件转化为点的坐标； 与最小值的差叫做0到t之间的“高差”， 2.找点设式：找出抛物线的顶点和另一点坐标 或与x轴的两个交点和另一点坐标，设出二次 记作h(单位：m). 函数解析式： ①当t=1时，求“高差”h的值： 3.代值求式：将已知点的坐标代入所设解析 式，运用待定系数法求出二次函数解析式： 4.计算检验：利用二次函数的性质进行相关计 算，并检验结果是否符合实际要求 1.教材（冀教九下P42做一做改编）如图1. 在立柱上竖直安装了一个喷水装置ABC, 建立如图2所示的平面直角坐标系，一个 单位长度代表1m长，水流从y轴上的喷 头C喷出，C0=子m,水流的路线为抛物 线L:y=-x2+bx+c(x>0,b,c均为常数)】 的一部分，当水流到达D处时，达到最大高 ②若0≤x≤1时，总有人=}m,请直接写 度，此时水流的最高点D到喷头C的水平 出1的取值范围。 距离为}m 图1 图2 (1)求抛物线L的表达式及点D的坐标： 考向2几何图形问题(2020.23) 【解题思路】1，用含有自变量的代数式表示相 关线段的长度； 2.根据几何图形的相关计算公式，列出所求几何 量与自变量之间的关系式，并确定自变量的取值 范围； 3.根据二次函数的性质（增减性或最值），结合 自变量的取值范围解决问题， 50 众相原创赋能中考 2.课标(P148例71改编)如图，用一段长为3.教材（冀教九下P44例3改编）某公司推 18m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜 出一款成本为100元的农特产礼盒，当每 园，墙长为12m,设矩形菜园的一边长为 盒售价为150元时，每天可销售300盒.为 xm,面积为ym2. 增大市场占有率，在保证盈利的情况下，公 (1)求y与x的函数 12m 司采取降价措施，根据市场调查发现，每盒 关系式： 鹅 售价每降低1元，每天销量可增加10盒 菜国 设每盒售价降低x元时，公司销售该礼盒 每天所获利润为W元 (2)若矩形菜园的面积为40m2,求此时x (1)求W与x之间的函数关系式： 的值； (2)当每盒售价降低多少元时，公司每天 (3)当x为多少时，菜园面积最大？最大面 所获的利润最大？最大利润为多少元？ 积是多少？ 考向3其他问题（含利润问题）(2017.26) 【解题思路】1.审题，找出题目中的数量关系： 【变式设问】若要满足利润率不低于 4 2.根据数量关系确定二次函数解析式和自变 10%,不高于30%，那么当每盒售价降低 量的取值范围： 多少元时，公司每天所获的利润最大？ 3.利用二次函数的性质（增减性或最值），结合 最大利润为多少元？ 自变量的取值范围进行求解 【常用等量关系】1.常用公式： (1)每件利润=每件售价-每件成本； (2)总利润=每件利润×销售量： (3)利润率=利润÷成本×100%， 2.每每问题中，单价每涨a元，少卖b件，则涨 价x元时，少卖的数量为·b件。 ⑦I链接】小专题培优函数与方程（组）、不等式结合的实际应用，见分层进阶练习册P63. 温馨提示 请完成分层进阶练习册P60~P62习题 河北数学 51555 得y1=9a-1,为2=a-1, 微0"品高言 3 为-y3=8a=3,a= 8 .0Q=2,PQ=1,点P的坐标为(2，-1) ÷该二次函数的表达式为y=8-立1+2 32 3 第五节二次函数的图象与性质 ①上②下③x=-2a 会“ (5)<a≤l. 【解法提示】：a>0,.二次函数的图 ⑤减小 象开口向上.由(2)可知，二次函数图象的顶点坐标为 ⑥增大⑦左侧国右侧⑨=一名)小⑩小 (2,-1).又：点M,N在二次函数图象的对称轴的异 侧，x2-x1=2,.点M在对称轴的左侧，点V在对称轴 Rduc-b 的右侧，，当，≤x≤x时，函数在x=2处取得最小值 4a =-名大西大， ⑦小 -1.:当，≤x≤，时，函数的最大值与最小值的差为 B大⑧>0③<0轴②=08-六>0 1,当x≤x≤x时，函数的最大值为0.①若≥为： 异号5c=0c<0762-4ac<08-1四-1 则2-，≥2-2，即2-x1≥x1+2-2,解得x,≤1，.0 周-2a(x-h)2+k2a(x-x)(x-x:）图a(x <x,≤1.函数的最大值为y=a(x1-2)2-1=0,a 1 1 m)2+b(x-m)+c ax+bx+c+m ax+bx+e- (6-2)心4≤a≤1：②若y<,则2-4<5 m a(x-h-m)2+k a(x-h)2+k+m 3a(x- 2,即2-1<x1+2-2,解得x1>1,1<<2.函数 h)2+k-m8-a(x-h)2-k0a(x+h)2+k -a(x-h)2+k 12-a(x+h)2-k Bax+bx+c=0 Bax'+bx+e=0 ax'+bx+e=t ax'+bx +e=t 的最大值为ya名-2-1=-1=0.a 没有无实数根491①两个相等2显两个 <a<1.综上所述，a的取值范围为}<a≤1. 不相等3x<x1或x>x1x,<x< 第六节二次函数的实际应用 1.y=(x-2)2-9y=(x+1)(x-5) 2.(1)下x=12(-1,0)和(3,0)(0,3)大大 1解：()由题意得，抛物线L经过点C0,子)，对称轴是 4(1.4) (2)画出该地物线如解图： 直线=2e=子-2x心-D子b=3, 六抛物线L的表达式为y=-+3x+4 7 当x=时，y=4点D的坐标为号4)。 (2)①当1=1时，0≤x≤1， :抛物线的开口向下，自变量的取值都在对称轴的左 侧，∴y随x的增大而增大， (3)增大3-5≤y≤4(4)<< 六当x=0时，y取得最小值，最小值为子： 3.②3④5810 4.(1)直线x=1(2)y=x2-4x+12 当x=1时取得最大值，最大值为 3y=-2+2+3(4=号-子-2 心“高差”h=5_7」 44=2 5.(1)y=-x2+2x+2(2)y=-x2+6x-5 ②≤1≤3【解法提示】易知1≥ ”抛物线L的 (3)y=x2-2x-3(4)y=x2+2x-3【拓展设问】4 6.(1)x1=-3,1=0(2)x1=-3,2=1 最高点D的坐标为子，4)当0≤≤1时，取得量 (3)-3<x<1(4)2 7.解：(1)y=a(x-2)2-1(2)x=2(2,-1) 大值4：=号m心y的最小值为4-号=子令- (3)①该二次函数的表达式为y=-2x+1 +子=子解得无=05=3当号≤≤3时，总 +3x+ ②> ③：y,=2.M,N两点关于直线x=2对称， 有= .x1+x3=4. 2.解：(1)根据题意，得y=x(18-2x)=-2x2+18x 3-无=2，=3,1=1 (2)根据题意，得-2x2+18x=40, 将x=1代人y=子-2+1，得y=-子 解得x1=4,x2=5. 墙长为2m,篱笆长为18m, 六点M的坐标为1，-子》 18-2x≤12,2x<18,解得3≤x<9 ∴.此时x的值为4或5， (4)x1=-1,x1-x1=2,x1=1. 将x,=-1,x2=1分别代人y=a(x-2)2-1, （3)y=-2x+18=-2x-号产+ 河北数学 49 -2<0,由(2)知，3≤x<9 :1.(1)1<AC<5(2)120钝角(3)85锐角 当x=号时，取得最大值 2.(1)40°130°(2)①19②18③4 (3)①115°25°②2 答：当x为？时，菜园面积最大，最大面积是 第三节 全等三角形 3.解：(1)由题意，得W=(150-100-x)(300+10x)= ①完全重合②相等③相等④相等⑤相等 ⑥相等⑦三边⑧夹角⑨夹边0对边 -10x2+200x+15000. (2)W=-10x2+200x+15000=-10(x-10)2+16 1.(I)AB=DE(2)∠ACB=∠DFE(或AC∥DF) 000,∴.当x=10时，W取得最大值16000. (3)∠A=∠D(4)AC=DF 答：当每盒售价降低10元时，公司每天所获的利润最 (5)证明：AC∥DF,∴.∠ACB=∠DFE. 大，最大利润为16000元 ∠B=∠E 在△ABC和△DEF中，{BC=EF, 【变式设问】由题意，得10%≤150-100-≤30%， 100 L∠ACB=∠DFE 解得20≤x≤40.由(2)知，W=-10(x-10)2+16000, .△ABC≌△DEF(ASA), .当x=20时，W取得最大值15000. .AC DF. 答：当每盒售价降低20元时，公司每天所获的利润最 2.(1)甲和乙 大，最大利润为15000元. (2)解：（答案不唯一，选择其中一个方案说明即可） AC =DC. 第四单元 三角形 选甲：在△ABC和△DEC中， ∠ACB=∠DCE, 第一节线段、角、相交线与平行线（含命题） BC=EC. ①两②线段③线段的长度④BC⑤AC⑥BC .△ABC≌△DEC(SAS),∴.AB=DE, ⑦AC⑧AB⑨7055°m90°290°<a<1800 ∴DE的长即为A,B的距离. r∠ABD=∠CBD. B14424590°6相等1D180°B相等 选乙：在△ABD和△CBD中，BD=BD. 四相等③相等④角平分线巴) ∠BDA=∠BDC. PN 2外一 ,△ABD≌△CBD(ASA),∴.AB=CB 雪垂线段垂线段的长度⑦相等②中点四垂直 BC的长即为A,B的距离 30垂直平分线0⊥也=8=3∠2或∠4 AB=AD 否∠1或∠3180°团∠38∠4翅相等细∠5 3.(1)证明：在△ACB和△ACD中 CB CD. 4①∠62∠73∠80∠85∠50∠54⑦L8 LAC=AC. 级一0∥0相等①∠22相等3上3互补 .△ACB≌△ACD(SSS). 180°，闭距离⑦相等0∠1+∠2 (2)解：由(1)可知，△ACB≌△ACD 0360°-∠1-∠20∠2-∠1 ∠ACB=∠ACD. 1.(1)两点确定一条直线(2)两点之间，线段最短 2.(1)2或4(2)1.51或2 LDCB=120°LACB=LACD=7∠DCB=60 3.(1)85.46锐角(2)4.5494.54(3)42.73 (3)证明：∠DAB+∠DCB+∠D+∠ABC=360°， (4)2(5)①2③④ ∠DAB=60°，∠DCB=120°，∴∠D+∠ABC=180°. 4.垂线段最短 :∠ABC+∠CBF=180°，.∠D=∠CBF 5.(1)50°130°(2)同旁内角同位角内错角 DE BF. 6.证明：如解图.连接AC 在△CED和△CFB中， ∠D=∠CBF :BC边的垂直平分线MN经过点 CD CB. A...AB=AC. 六△CED≌△CFB(SAS),∴CE=CF 又·AB=AD..AC=AD (4)解：DE+BG=EG.证明如下： ∴.点A在线段CD的垂直平分线上 ∠DCB=120°，∠ECG=60°， 7.B8.②④X⑤9.②⑤10.A ,∠DCE+∠GCB=∠DCB-∠ECG=60 11.a=b=矛盾a≠b 由(3)可知，△CED≌△CFB. 第二节三角形及其基本性质 ∴∠DCE=∠BCF,CE=CF '.∠FCG=∠GCB+∠BCF=∠GCB+∠DCE=6O°， ①等边②直角③90°④90°⑤大于⑥小于 .∴.∠ECG=∠FCG ⑦a-b<c<a+b⑧180°⑨不相邻0和①大于 又CG=CG. e7hB=4=590°6内部@直角边 ∴.△CFG≌△CEG(SAS), ,∴FG=EG.即BF+BG=EG 8内部9外部⑧内部①号巴】 必一半 :DE=BF.∴，DE+BG=EG ②】5相等雪垂直平分线 必外接圆 (5)解：当∠ECG=90°-2a时，DE+BG=EG仍然成 三个顶点 立.证明如下： 8中点国 y∠0B=180-a,∠BcG=90-2a 50 众相原创赋能中考