第3单元 第5节 二次函数的图象与性质-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（河北专用）

第五节 二次函数的图象与性质 一阶厂教材知识全梳理 考点1二次函数的概念及三种表达形式 概念 三种表达形式 一般地，形如y=a2+bx+ y=ax'+bx+c y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2) c(a,b,c是常数，a≠0)的函 数，叫做二次函数其中，x 是自变量，a,b,c分别是 函数解析式的二次项系 数、一次项系数和常数项 2a 考点2二次函数的图象与性质（重点） 解析式 y=ax2+br+c(a≠0) a的符号 a>0 a<0 大致图象 开口方向 开口向①) 开口向② 对称轴 直线③ 顶点坐标 ④ 在对称轴左侧，y随x的增大而 在对称轴⑦ ,y随x的增大而 ⑤ 增大； 增减性 在对称轴右侧，y随x的增大而 在对称轴⑧ ,y随x的增大而 6 减小 当⑨ 时，y取得最0 值 当B 时，y取得最国 值， 最值 最① 值为12 最 值为⑥ 【技巧点拨】比较抛物线上两点的纵坐标大小的方法： 方法 适用情形 解题步骤 代值 抛物线解析式、点 直接将，点的横坐标代入抛物线的解析式，求出对应的纵坐标， 比较法 的横坐标均已知 进行比较即可 44 众相原创赋能中考 续表 综合利用抛物线的开口方向、增减性及点与抛物线对称轴的距离 进行比较： (1)若两点在对称轴的同侧，则根据抛物线的开口方向和y随x 抛物线解析式 图象 的变化趋势进行判断： 或点的横坐标 比较法 (2)若两，点在对称轴的异侧，则根据抛物线的开口方向和两，点与 中存在参数 对称轴的距离进行判断： ①当a>0时，点与对称轴的距离越小，纵坐标越⑦ ②当a<0时，点与对称轴的距离越小，纵坐标越⑧ 【特别提醒】当a的符号不确定时，需要进行分类讨论 考点3二次函数图象与系数的关系 开口向上台a四 :开口向下a20 开口方向 1a越大，开口越小：la相同，说明抛物线的开口大小相同： (由a决定) y=ax2和y=-ax2(a≠0)的图象关于0 对称 对称辅在)轴左侧台-名<0（即a,6同号）： 对称轴（由 对称辅是)轴口名 =0(即b2 简记：左同右异 a,b决定) ）: 对称轴在y轴右侧一3 (即a,b②4 与y轴正半轴相交一c>0: 与y轴的交点 过原点→5 ； (由c决定) 与y轴负半轴相交一国 与x轴的 与x轴有两个交点b2-4ac>0: 交点个数 与x轴有一个交点台02-4ae=0: (由b-4ac决定) 与x轴无交点一四 看到2a+b, 看到2a-b. 其他特殊关系 比较-乡和1的大小 2a 比较名和国 的大小 (先把含a,b,c 看到a+b+c, 看到a-b+c, 的项移到等式或 不等式的一边) 找当x=1时，y的值 找当x=②四 时，y的值 看到4a+2b+c, 看到4a-2b+c, 找当x=2时，y的值 找当x= 时，y的值 ②I链接】(1)小专题培优含参函数图象过定点问题，见分层进阶练习册P55:(2)二次函数的 最值问题，见分层进阶练习册P58. 河北数学45 考点4二次函数解析式的确定（重点） 1.基本方法：待定系数法： 2.步骤：设解析式→代入已知点的坐标，得方程（组）→解方程（组）→得解析式： 3.根据已知条件，设合适形式的解析式 已知条件 应设解析式 任意三个点的坐标 一般式：y=ax2+br+c(a≠0) 顶点坐标(h,k)+其他点坐标 顶点式：y=① (a≠0) 与x轴的两个交点的坐标(x,0),(2,0)+其他点坐标交点式：y= (a≠0) 【技巧点拨】(1)当抛物线与x轴的两个交点的坐标为(x,0),(2,0)时，抛物线的对称轴为直 线x=,:(2)当已知抛物线与x轴的一个交点坐标+对称轴时，可求出抛物线与x轴台 一个交点的坐标，仍可设交点式 @链接】小专题培优函数解析式的求法，见分层进阶练习册P56 考点5二次函数图象的几何变换（重点） 1.二次函数（一般式）图象的平移 平移前图象的解析式 平移方向(m>0) 平移后图象的解析式 口诀 向左平移m个单位长度 y=a(x+m)2+b(x+m)+c 左+右一， y=ax'+bx+c 向右平移m个单位长度y=图 自变量 (a≠0) 向上平移m个单位长度y=翻 上+下-， 向下平移m个单位长度y=委 常数项 2.二次函数（顶点式）图象的平移、翻折（对称）与旋转 变换前图象的解 变换后 变换后的 变换方式(m>0) 变换后图象的解析式 析式及顶点坐标 的a值 顶点坐标 向左平移m个单位长度 a (h-m,k) y=a(x-h+m)2+k 向右平移m个单位长度 a (h+m,k) y=36 向上平移m个单位长度 a (h,k+m) y=7 y=a(x-h)2+k, 向下平移m个单位长度 a (h,k-m) y=8 (h,k) 沿x轴翻折（关于x轴对称） -d (h,-k) y=8 沿y轴翻折（关于y轴对称） a (-h,k) y=40 绕顶点旋转180° -d (h,k) y= 绕原点旋转180° -d -h,-k)y=4② 【技巧点拨】二次函数的图象在变换过程中，图象开口大小不变，即|不变. 46众相原创赋能中考 考点6二次函数与一元二次方程的关系 1.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点问题 (1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标台一元二次方程B 的解： (2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数台一元二次方程4④ 的解的个数 2.抛物线y=ax2+bx+c与直线y=t的交点问题 (1)抛物线y=x2+bx+c与直线y=t的交点的横坐标一一元二次方程 的解； (2)抛物线y=ax2+bx+c与直线y=1的交点个数台一元二次方程4⑥ 的 解的个数.以a>0为例： 1的取值 关系 图示 当1<4ae-b 如图L,抛物线y=ax2+bx+c与直线y=14⑦ 时 4a 交点曰方程a2+bx+c=t④级 如图2，抛物线y=ar2+br+c与直线y=t有9 当t=4ac- 时 个交点一方程ax2+x+c=t有@ 的 图1 图2 4a 实数根 如图3，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=t有① 当1>4c-b 4a 时 个交点一方程ax2+x+c=t有② 的实数根 图3 3.抛物线y=ar2+br+c与直线y=kx+m的交点问题 可转化为一元二次方程ax2+bx+c=kx+m的解的问题， 4.二次函数y=ax2+bx+c与不等式的关系（拓展） 不等式 解集 图示（以a>0为例） ax2+bx+e> 抛物线y=ax2+br+c位于直线y=kx+m上方对应的点的 y=ux+hx+e kx +m 横坐标的取值范围（如图，解集为8 =k.x+ ax'+bx+c< 抛物线y=ax2+bx+c位于直线y=kx+m下方对应的点 kx +m 的横坐标的取值范围（如图，解集为团 二阶了追本潮源练考点 教材·真题·课标 品考点1二次函数的概念及三种表达品考点2二次函数的图象与性质(10年 形式 10考：2024.26,2023.16、23(1)，2022.23(1)) 1.教材（北师九下P40例2改编）已知二次2.教材（冀教九下P56T3改编）已知抛物线 函数的解析式为y=x2-4x-5,将其化为 y=-x2+2x+3. 一题多点 顶点式是 ,化为交点式 (1)该抛物线开口向 ,对称轴是直线 是 ,与x轴有 个交点，交点坐 河北数学47 标是 ,与y轴的交点坐 品考点4二次函数解析式的确定(10年 标是 ,有最 (填“大”或 3考) “小”)值，最 值为 ,顶点坐标 为 4.教材（人教九上P57T6改编）已知抛物线 (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出 y=ax2 +bx+c. 一题多点 该抛物线： (1)若抛物线与x轴交于点(3,0)和(-1， 0),则抛物线的对称轴是 (2)若抛物线的顶点坐标为(2,8)，且经过点 (3,9),则其解析式是 (3)若抛物线y=ax2+2x+c经过点(-1,0) (3)当x≤0时，y随x的增大而 和(0,3)，则其解析式是 最大值为 ;当0<x≤4时，y的取值范 (4)若抛物线y=ax2+bx-2的对称轴为 围是 直线x=1,且经过点(-1,0)，则其解析式 (4)若抛物线经过点(-2，a)和(-1，b), 则a b:若抛物线经过点(-3，m)和 是 (4,n),则m n.(填“>”“<”或 品考点5二次函数图象的几何变换 “=”) (2024.26(2),2022.23(2)) 日考点3二次函数图象与系数的关系 5.教材（冀教九下P35B组T1改编）已知抛 3.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴负 物线y=-x2+2x+3,求出符合下列要求 半轴交于点(-20)，对称轴为直线x=1,则 的解析式（化为一般形式）： 一题多点 以下结论中正确的是 (1)将该抛物线向下平移1个单位长度，得到 (填序号) 一题多点 ①abc<0: 的新抛物线的解析式为 ②a-b+c>0: (2)将该抛物线向右平移2个单位长度，得到 ③4a+2b+c<0: 的新抛物线的解析式为 ④2a-b>0: (3)将该抛物线沿x轴翻折，得到的新抛物 ⑤e<0; 线的解析式为 ⑥b2<4ac: (4)将该抛物线绕原点旋转180°，得到的 ⑦3a+c=0: ⑧一元二次方程ax2+bx+c-3=0有实 新抛物线的解析式为 数根； 【拓展设问】将该抛物线向下平移n(n> ⑨若(-1，y),(2,y2),(4,)都是抛物线 0)个单位长度，若得到的抛物线与x轴只 上的点，则y,<y2<y; 有一个交点，则n的值为 0am2+bm≥a+b(m为任意实数). 48 众相原创赋能中考 品考点6二次函数与一元二次方程的 (1)方程x2+bx=0的解为 关系 (2)方程x2+b-x=a的解为 6.教材（北师九下P53T4改 ； 编)如图，一次函数y=x+a (3)不等式x+a>x2+bx的解集是 和二次函数y=x2+bx的图 0 象交于点A(-3,0)和点B(1,c). (4)若t>0,则方程x2+br=t的实数根的 一题多点 个数为 三阶了分层设问攻重难 基础·能力·培优 ©重难点二次函数的性质综合题 培优层》 7.点M(x1y),N(,y2)都在二次函数y= (4)若x=-1,y-y2=3,求该二次函数 ax2-4ax+4a-1的图象上，且x2-x1=2. 的表达式； 基础层》 (1)将该二次函数的表达式化为顶点式是 (2)该二次函数的图象的对称轴为直 线 ,顶点坐标为 能力层》 (3)若该二次函数的图象经过点(4,1) (5)若a>0且x,≤x≤x2时，该二次函数 ①直接写出该二次函数的表达式： 的最大值与最小值的差为1，点M,N在二 次函数图象的对称轴的异侧，直接写出a 的取值范围。 ②若0<x1<1,则y y2:（填“>” “<”或“=”) ③若y1=y2,求点M的坐标 温馨提示 请完成分层进阶练习册P51~P54习题 河北数学49## 得y=9-1,v=a-11. #0 OB OD BD .y-y=8a=3.= 8. $.00=2,P0=1..点P的坐标为(2,-1). 第五节 二次函数的图象与性质 (5)<a<1.【解法提示】a>0.v.二次函数的图 减小 象开口向上.由(2)可知,二次函数图象的顶点坐标为 增大 左侧 ⑧右侧 x=-2 小小 (2.-1).又:点M.N在二次函数图象的对称轴的异 侧,x-x.=2..点M在对称轴的左侧,点V在对称轴 #4ac- 小 的右侧.:当x.xx.时,函数在x=2处取得最小值 4a 4 -1.当xxx。时,函数的最大值与最小值的差为 1.$当i<xx。时,函数的最大值为0.①若y.y. 则2-xx.-2.即2-x.x.+2-2.解得x1..0 ②异号$②c=02c<0 ②6^-4ac<0 ②-12-1 -2 ③a(x-h)+k ③a(x-x)(x-x)③a(x- <x.<l.函数的最大值为y=a(x-2)-1=0.a m)+b(x-m)+cax}+bx+c+m ③ax}+bx+c- .4<as1;②若x<y,则2-x<x- (x~2) m ③a(x-h-m){}+k ③a(x-h)+k+m ③a(x- 2.即2-x<x+2-2.解得x>1.1<x<2·函数 $)$}+k-m -a(x-h)-ka(x+h)}+k$ 的最大值为y=a(x-2)-1-ax-1-0.:a-. -a(x-h){}+k-a(x+h)-kax{}+bx+c=$ ax+bx+c=0 ax+bx+c=t 4ax”}+bx+c= 1<a<1.综上所述,a的取值范围为士<a<1. 4没有 无实数根 1 两个相等 2 两个 x<x或x>x 不相等 x<x<x 第六节 二次函数的实际应用 1.y=(t-2)}-9 y=(x+1)(x-5) 2.(1)下 x=1 2(-1.0)和(3.0) (0.3) 大 大 4(1,4) b 直线:-3 。 2.c= (2)画出该抛物线如解图; 4.2×(“-1)..b=3. .抛物线L的表达式为y--x+3x+7 当x-时,-4..,点D的坐标为(4). (2)①当1=1时,0<x1. ·抛物线的开口向下,自变量的取值都在对称轴的左 侧,y随x的增大而增大, .当x=0时,y取得最小值,最小值为乙: (3)增大 3 -5<v4 (4)< 3.②③④⑧ 4.(1)直线x=1 (2)v=-4x+12 “高差”-157 x-2 _-2 ②3<1=3.【解法提示】易知1.抛物线1的 $$.(1)y=-+2x+2(2)y=-+6 - $$ 3 (3) y=x-2x-3 (4)y=+2x-3 【拓展设问】4$ 最高点D的坐标为(3-,4).v.当0<x<1时,y取得最 6.(1)x.=-3.x=0 (2)x.=-3.x=1 (3)-3<x<1(4)2 7.解:(1)y=a(x-2)-1 (2)x=2 (2.-1) 大值4.:9 (3)①该二次函数的表达式为y= ②> 有-m. 9 ③·y.=y.M.N两点关于直线x=2对称, .x.+x.=4. 2.解;(1)根据题意,得y=x(18-2x)=-2+18x$ x-x.=2.x=3,x.=1. (2)根据题意,得-2x+18x=40. 解得x.=4,x.=5. ·墙长为12m.篱爸长为18m, .点M的坐标为(1,-). 18-2x<12,2x<18,解得3<x<9 .此时x的值为4或5. (4)x.=-1,x-x=2x.=1. (3)y=-2x}+18r=-2(x- 将x=-1,x.=1分别代入y=a(x-2)-1 2 河北数学 49