第3单元 第4节 反比例函数及其应用-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（河北专用）

第四节 反比例函数及其应用 一阶厂教材知识全梳理 考点1反比例函数的图象与性质（重点） 解析式 y=(k为常数，k≠0)，也可以为x·y=k或y=k·x 取值范围 x≠0，y≠0 k的符号 k>0 k<0 大致图象 所在象限 ① ② 图象特征 双曲线，无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交.1k越大，离坐标轴越远 图象上点的坐标特征 横坐标与纵坐标的积恒为③ 在④ 内，y随x的增 在⑥ 内，y随x的增 增减性 大而⑤ 大而⑦) 中心对称：关于⑧ 成中心对称 对称性 轴对称：关于直线y=x和直线⑨ 对称 【特别提醒】反比例函数的图象只在每个分支上具有增诚性，不能认为在整个自变量取值范国 内增大（或减小） 【技巧点拨】比较双曲线上点的纵坐标大小时，需要分情况讨论：①若两点在同一象限，则根据函 数增减性来比较：②若两点在不同象限，则根据所在象限的纵坐标的符号来比较，正数>负数 考点2反比例函数中k的几何意义 1.k的几何意义 如图，过双曲线y=上任一点P(x,)分别作x轴，y轴的垂线段PM,PW, 所得矩形PMOW的面积S=Ixl·Iyl=Iyl=Ikl. 2.与k的几何意义有关的面积计算 一点一垂线 一点两垂线 两点一垂线 S阴影=0 S闭影=① S阴影=2 OAB主 河北数学39 续表 两点两垂线 两曲一平行 k,B D SAA=S△AB= S影=B S影 ④ 5⑤ 10 0 【特别提醒】(1)利用k的几何意义解题时，通常过图象上的点向坐标轴作垂线：(2)因为k有正、 负之分，所以用k表示三角形或四边形的面积时，要给人加绝对值 考点3反比例函数解析式的确定 方法1：用待定系数法确定反比例函数的表达式： 方法2：利用k的几何意义确定反比例函数的表达式（一定要注意k的正负）. 考点4反比例函数的实际应用（重点） 1行程问题：速度路得，路程一定时，速度与时间成反比例关系」 2.销售问题：销量=-销售 ,销售额一定时，销量与售价成反比例关系： 价 3.面积问题（以矩形为例）：长-面积，面积一定时，长与宽成反比例关系： 宽 4.表格数据类问题：当给出x,y的多组对应值，且每组对应值的乘积相同时，y是关于x的反 比例函数； 5.跨学科问题：①压强= 受力面积，压力一定时，压强与受力面积成反比例关系： 压力 ②电流=电压 电阻 电压一定时，电流与电阻成反比例关系： ③密度= 质量，质量一定时，密度与体积成反比例关系。 体积 【特别提醒】一般情况下，在反比例函数的实际应用题中，k都是大于0的，x的取值范围也是大 于0的，图象只在第一象限 考点5反比例函数与一次函数的综合 1.判断同一平面直角坐标系中反比例函数与一次函数的图象 假设法：针对每一个选项中的图象，先假设一次函数的图象正确，由此确定k的符号，再根 据k的符号判断反比例函数的图象，若符合，则图象正确：若出现矛盾，则图象不正确。 2.反比例函数y=本的图象与一次函数y=k'x+b的图象的交点个数问题 (1)图象判断法 40 众相原创赋能中考 函数类型 k与k'同号 k与k'异号 结论 若b=0: 反比例函数 ①k与'同号，必有2个交 与正比例 点，且两交点关于 函数 来 ® 成中心对称： ②k与'异号，无交点 ①k与'同号，必有 反比例函数 0 个交点； 与一次函数 ②k与异号，交点可能 有2个，1个或0个 (2)联立解析式判断法 令冬=x+山，化简得一元二次方程，根据根的判别式与0的大小关系判断交点个数 3反比例函数y:与一次函数y=kx+么组成的不等式问题 (此类题的设题背景通常为反比例函数和一次函数的图象有两个交点) 步骤 举例 (1)确定反比例函数与一次函数 XAXB 图象的两个交点的横坐标 (2)分区：过两个交点分别作y轴 的平行线，连同y轴将坐标平面分 区域I,Ⅱ，Ⅲ，N 为四部分（简记：砍三刀，分四段） >'x+b,则位于区域I,Ⅲ，x的取 (3)观察函数图象找答案：根据图 象在上方的函数值比图象在下方 值范围为x<x:或0<x<x: 的函数值大，在各区域内找相应的 二<'x+b,则位于区域四 x的取值范围 x的取值范围为四 ⑦【链接】小专题培优反比例函数综合，见分层进阶练习册P49 二阶了追本潮源练考点 教材·真题·课标 幻考点1反比例函数的图象与性质(10 (2)若该反比例函数的图象经过点(2， 年6考：2023.17,2022.12) 3),则： 1.教材（北师九上P159T1 ①下列点中，也在该反比例函数的图象上 改编)已知反比例函数y= 的是 :(填字母编号) 上的图象如图所示 A(3,2):B(-3,2):C(-25,W3); (1)k的取值范围是 一题多点 -32,-2:B(-2.-3):4, 河北数学41 ②当x<-2时，y的取值范围是 品考点4反比例函数的实际应用(10年 当y≥-1时，x的取值范围是 4考：2024.7) 4.教材（冀教九上P140A组T2改编）在物 (3)若点(x1,y1),(2y2）,(3y)都在该 理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时 反比例函数的图象上，且x1<0<x2<x3, 间的比叫做功率， P/W 则y1,2,y3的大小关系为 即所做的功一定 时，功率P(W)与 4000 A(15,4000) (用“>”连接) 做功所用的时间 15 幻考点2反比例函数中k的几何意义 (s)成反比例函数关系，图象如图所示，下 2.教材（冀教九上PI37B组T1改编）双曲 列说法不正确的是 线4：y=-6(x<0)和 A.P与1的函数关系式为P-60000 x B.当t=5s时，P=12000W 4y=-2(x<0)如图所 C.当t>5s时，P>12000W D.P随t的增大而减小 示，A是上一点，分别过 函考点5反比例函数与一次函数的 点A作AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点C, 综合 AB与l2交于点D,则Smm= ,S△40= 5.教材（冀教九上P144T3改编）在同一直 ,S矩形4BOc= ,S△Ao= 角坐标系中，函数y=x-k与y=(k≠ 留考点3反比例函数解析式的确定(10 0)的大致图象可能为 年3考：2023.17) 3.教材（冀教九上PI33B组T1改编）已知 长↓ 反比例函数y= 题多点 6.教材（人教九下P9T5改编）已知双曲线 (1)若该函数的图象过点(1,2)，则该反比 y=与直线y=ar交于A(1,-2),B两 例函数的解析式为 点，则点B的坐标为 (2)若该函数的图象同时过点(m,m), 7.教材（人教九下P22T10改编）已知一次 (2m,-1),则该反比例函数的解析式 函数=x+2和反比例函数，=冬 为 (1)若k=3. (3)如图，A为该反比例函 ①这两个函数图象有 个交点，交点坐 标为 数图象上一点，且矩形 ②当y>2时，x的取值范围是 ABOC的面积为3，则这个 (2)若这两个函数图象没有交点，则k的取 反比例函数的解析式为 值范围是 42 众相原创赋能中考 三阶厂分层设问攻重难 基础·能力·培优 ©重难点反比例函数与一次函数的 培优层》 综合 (5)若点C与点B关于x轴对称，那么在 8.如图，一次函数y=x+b的图象与反比例 x轴上存在一点N,使得AN+CN的值最 函数y=“(x>0)的图象交于点A(4,3), 小，求出此时点N的坐标： 与y轴的负半轴交于点B,且OA=OB. 基础层》 (1)OA的长为 (2)点B的坐标为 (3)求反比例函数和一次函数的表达式： (6)若P是一次函数图象上一动点，当OP 最短时，求点P的坐标 能力层》 (4)若M是反比例函数y=a(x>0)的图 象上的一点，且S△wom=5,求点M的坐标； 温馨提示 请完成分层进阶练习册P47~P48习题 河北数学43(3)k的值为2或2或-7 【解法提示】当，经过 6宁(，1+，)心子（话，1-6）B原点2 点C(2,4)时，k=2:当4,4平行时，k=2:当1,4平 四Ⅱ，Nxn<x<0或x>x, 1.(1)h>0(2)①ADEF②-3<y<0x>0或x≤-6 行时，长=一宁k的值为子或2或-号 (3)为1>y>y 2.1362 第三节一次函数的实际应用 1.解：(1)0.5 0y=2 (2y=(3y=- x (2)B车的速度为390÷6.5=60(km/h), 4.C5.B ∴.直线OE的解析式为y:=60x 6.(-1,2) 当x=1.5时，ym=60×1.5=90.C(1.5,90). 7.(1)①2(-3-1)和(1,3)②x>1或-3<x<0 设直线FD的解析式为y=x+b, (2)k<-1 把D(4.5,390),C(1.5,90)代人，得 8.解：(1)5(2)(0，-5) 什60解收n (3)将A(4,3)代人y=,得3=号a=2。 L1.5k+b=90. ∴.直线FD的解析式为y=I0Ox-60. 反比例函数的表达式为y=二(x>0). 当x=1时，y=40 :390-40=350,÷A车出现故障时距目的地的路程 将A(4,3),B(0,-5)代人y=k+b, 是350km. 和生入每得化2。 1b=-5, (3)B车又行驶令h与A车相距15km ·一次函数的表达式为y=2x-5. 2.解：(1)根据题意得，购进B种礼盒(100-x)个， (4)设点M的坐标为(x,凸)，其中x>0. 则y=(220-160)x+(160-120)(100-x）=20x+ 4000(60≤x<100且x为整数). 1 Sam=20B·x=5,0B=5, (2)根据题意，得160x+120(100-x)≤15000 .x=2. 解得x≤75,60≤x≤75且x为整数. ∴点M的坐标为(2,6). :y=20x+4000,20>0,∴.y随x的增大而增大， (5)如解图1，连接BN “.当x=75时，y取得最大值20×75+4000=5500. 点C与点B关于x轴对称 .最大利润为5500元. .CN BN. (3)8 .AN +CN =AN BN 3.解：(1)图象如图所示， /千克 当A,N,B三点共线时，AN+ BN的值最小，此时点N为一次函 3 数y=2x-5的图象与x轴的交 点.在y=2x-5中，令y=0,得 B =2当AN+CN的值最小 5 解图1 024681012x/厘米 时，点N的坐标为（号.0）。 则x=4,y=1.25这对数据是错误的. (6)由“垂线段最短”可知，当OP⊥AB时，OP最短. (2)设y与x之间的函数关系式为y=:+b, 如解图2，设AB与x轴的交点为D,过点O作OP⊥AB 把x=1,y=0.75和x=2,y=1代入，得 于点P,过点P作PQ⊥x轴于点Q. 红5都得化8 12k+b=1, 在y=2x-5中， y与x之间的函数关系式为y=0.25x+0.5. 令y=0,得x=2: 当x=0时，y=0.5, “秤盘的质量是0.5千克 0m=3 (3)不能一次性称出此物体的重量.理由如下： 0B=5, 当x=25时，y=0.25x+0.5=6.75 ∴.可称物体的最大重量为6.75-0.5=6.25（千克）< .BD-O +OD 5/5 2 8(千克)， 解图2 .不能一次性称出此物体的重量 08D-DP 第四节反比例函数及其应用 0P=0B·0 =5 ①一、三②二，四③k④每个象限⑤减小 BD :∠OBD+∠B0P=90°，∠QOP+∠B0P=90°， ⑥每个象限⑦增大⑧原点⑨y=-x 四2k1 .∠OBD=∠QOP ①k1②1k1321k101k1+1k151k,1-1 又：∠B0D=∠OQP=90°，∴.△B0D∽△OQP, 48 众相原创赋能中考 555 得y1=9a-1,为2=a-1, 微0"品高言 3 为-y3=8a=3,a= 8 .0Q=2,PQ=1,点P的坐标为(2，-1) ÷该二次函数的表达式为y=8-立1+2 32 3 第五节二次函数的图象与性质 ①上②下③x=-2a 会“ (5)<a≤l. 【解法提示】：a>0,.二次函数的图 ⑤减小 象开口向上.由(2)可知，二次函数图象的顶点坐标为 ⑥增大⑦左侧国右侧⑨=一名)小⑩小 (2,-1).又：点M,N在二次函数图象的对称轴的异 侧，x2-x1=2,.点M在对称轴的左侧，点V在对称轴 Rduc-b 的右侧，，当，≤x≤x时，函数在x=2处取得最小值 4a =-名大西大， ⑦小 -1.:当，≤x≤，时，函数的最大值与最小值的差为 B大⑧>0③<0轴②=08-六>0 1,当x≤x≤x时，函数的最大值为0.①若≥为： 异号5c=0c<0762-4ac<08-1四-1 则2-，≥2-2，即2-x1≥x1+2-2,解得x,≤1，.0 周-2a(x-h)2+k2a(x-x)(x-x:）图a(x <x,≤1.函数的最大值为y=a(x1-2)2-1=0,a 1 1 m)2+b(x-m)+c ax+bx+c+m ax+bx+e- (6-2)心4≤a≤1：②若y<,则2-4<5 m a(x-h-m)2+k a(x-h)2+k+m 3a(x- 2,即2-1<x1+2-2,解得x1>1,1<<2.函数 h)2+k-m8-a(x-h)2-k0a(x+h)2+k -a(x-h)2+k 12-a(x+h)2-k Bax+bx+c=0 Bax'+bx+e=0 ax'+bx+e=t ax'+bx +e=t 的最大值为ya名-2-1=-1=0.a 没有无实数根491①两个相等2显两个 <a<1.综上所述，a的取值范围为}<a≤1. 不相等3x<x1或x>x1x,<x< 第六节二次函数的实际应用 1.y=(x-2)2-9y=(x+1)(x-5) 2.(1)下x=12(-1,0)和(3,0)(0,3)大大 1解：()由题意得，抛物线L经过点C0,子)，对称轴是 4(1.4) (2)画出该地物线如解图： 直线=2e=子-2x心-D子b=3, 六抛物线L的表达式为y=-+3x+4 7 当x=时，y=4点D的坐标为号4)。 (2)①当1=1时，0≤x≤1， :抛物线的开口向下，自变量的取值都在对称轴的左 侧，∴y随x的增大而增大， (3)增大3-5≤y≤4(4)<< 六当x=0时，y取得最小值，最小值为子： 3.②3④5810 4.(1)直线x=1(2)y=x2-4x+12 当x=1时取得最大值，最大值为 3y=-2+2+3(4=号-子-2 心“高差”h=5_7」 44=2 5.(1)y=-x2+2x+2(2)y=-x2+6x-5 ②≤1≤3【解法提示】易知1≥ ”抛物线L的 (3)y=x2-2x-3(4)y=x2+2x-3【拓展设问】4 6.(1)x1=-3,1=0(2)x1=-3,2=1 最高点D的坐标为子，4)当0≤≤1时，取得量 (3)-3<x<1(4)2 7.解：(1)y=a(x-2)2-1(2)x=2(2,-1) 大值4：=号m心y的最小值为4-号=子令- (3)①该二次函数的表达式为y=-2x+1 +子=子解得无=05=3当号≤≤3时，总 +3x+ ②> ③：y,=2.M,N两点关于直线x=2对称， 有= .x1+x3=4. 2.解：(1)根据题意，得y=x(18-2x)=-2x2+18x 3-无=2，=3,1=1 (2)根据题意，得-2x2+18x=40, 将x=1代人y=子-2+1，得y=-子 解得x1=4,x2=5. 墙长为2m,篱笆长为18m, 六点M的坐标为1，-子》 18-2x≤12,2x<18,解得3≤x<9 ∴.此时x的值为4或5， (4)x1=-1,x1-x1=2,x1=1. 将x,=-1,x2=1分别代人y=a(x-2)2-1, （3)y=-2x+18=-2x-号产+ 河北数学 49