第2单元 第3节 一元二次方程及其应用-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（河北专用）

第三节 一元二次方程及其应用 一阶厂教材知识全梳理 考点1一元二次方程的相关概念及一般形式 举例：x2+2=0④ 元二次方程： 只含有①) 个未知数，并且未知数的最 概念 2x2+3x-1=2(x2-4)⑤ 高次数是② 一元 的3 方程 二次方程（填“是”或“不是”） 二次项一次项 举例：方程3x2-2x=1的二次项系数是 一般 系数 系效 x +4年+=0a≠0 ⑥ ,一次项系数是⑦ ,常数 形式 二次项一次顷常数顷 项是⑧ 【特别提醒】若题目中有“一元二次方程ax2+br+c=0”,则必然隐含着a≠0这一条件.若未说 明方程类型，则需分a=0时是一元一次方程和a≠0时是一元二次方程两种情况讨论 考点2一元二次方程的解法 1.基本思路：降次，即将二次方程化为一次方程 2.解法 以练代讲 解方程：(1)(x+2)2-1=0: (2)x2+4x-12=0: 解： 解： (3)2x2-5=-x; (4)x2=2x.(此题易错，需注意！) 解： 解： 解法总结 解法 适用情形 方程的解 直接开 形如x2=p或(x+n)=p(p≥0)的形式 平方法 x=±p或x=-n±p 22 众相原创赋能中考 续表 二次项系数化为1后，一次项系数为偶数，形如x2+2x= 配方法 x=0 n,配方后为⑨ (n+m2≥0) 适用于所有一元二次方程，应先化为一般形式ax2+x+ c=0(a≠0). 公式法 【特别提醒】(1)确定a,b,c的值时要带符号：(2)需先判 x=B 断b2-4ac的值与0的大小关系：若b-4ac⑩ 0.则 套用公式求解：若b2-4ac☑ 0,则方程无解 因式 能化成(x-a)(x-b)=0的形式 x,=理 ,2=⑤ 分解法 【特别提醒】用因式分解法解一元二次方程时，要先将右边的式子移至左边，再进行因式分解 不能在等号两边同时约去含有西 的公因式，避免丢根 考点3一元二次方程根的判别式 判别式与方程根的关系（根的判别式为2-4a心，用A表示）： (1)A=2-4ac>0=一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个 的实数根： (2)4=b2-4ac=0曰一元二次方程a.x2+bx+c=0(a≠0)有两个8 的实数根： (3)4=b2-4ac<0曰一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)9 实数根。 【特别提醒】在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，那么要加上三次项系 数不为0这个限制条件 考点4一元二次方程根与系数的关系(2022版课标去掉*，调整为考查内容) 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x,x2,那么x,+x2=四 x1x2=2① 【特别提醒】使用一元二次方程根与系数的关系的前提：(1)a② 0:(2)43 0. 考点5一元二次方程的实际应用（重点） 1解一元二次方程实际问题的步骤：审、设、列、解、验、答 2.常见类型及等量关系 常见类型 等量关系 设a为原来的量，b为变化后的量。 变化率 (1)若平均增长率为x,增长次数为2，则a(1+x)2=b: 问题 (2)若平均下降率为x,下降次数为2，则4 河北数学23 续表 在矩形ABCD中，设阴影部分的宽为x,则图1中S自=西 图2中S单= ,图3中S白=四 面积（小路） 问题 B 图1 图2 图3 (1)常用公式：①每件利润=每件售价-⑧ 每每问题 ②总利润=每件利润×②9 ； (2)每每问题中，单价每涨a元，少卖b件，则涨价x元时.少卖的数量为 (1)病毒传播类问题： 若初始数据为a,每次传播x个，则第一轮后共有a(1+x)个，第二轮后共有 循环、传 L 个： 播问题 (2)握手、单循环赛问题： 若共有n人，则握手（单循环赛）总次数为② (3)互赠礼物问题：若共有n人，则送礼物总份数为⑧ 二阶了追本潮源练考点 教材·真题·课标 的考点1一元二次方程的概念及一般 2-7-8=0: 形式 1.教材（人教九上P4T1改编）已知关于x 的方程(m+1)x2-3x+2=0. 一题多点 (1)若该方程是一元二次方程，则m的取 值范围是 (2)若该方程是一元一次方程，则m的值 (3)x2+3x+1=0: 是 (3)若m=0,则该方程的二次项是 二次项系数是 ,一次项是 次项系数是 常数项是 函考点2一元二次方程的解法 2.教材（北师九上P56T2改编）选择合适的 (4)2x(x-3)+x=3. 方法解下列一元二次方程： (1)(x-2)2=5: 24 众相原创赋能中考 品考点3一元二次方程根的判别式(10品考点5一元二次方程的实际应用 年5考) (2024.9.2020.23(2)) 3.教材（冀教九上P42B组T1改编）已知关5.教材（冀教九上P50A组T1改编）根据下 于x的方程(m+1)x2-3x+2=0.一题多点司 列问题列方程： 一题多点 (1)一个微信群里共有x名成员，他们互为 (1)若该方程有两个不相等的实数根，则m 好友，每名成员都分别给其他成员发了一 的取值范围是 条消息，这样一共产生132条消息，则可列 (2)若该方程有两个相等的实数根，则m 方程： 的值是 (2)某厂今年一月份的产量为500吨，三月 (3)若该方程没有实数根，则m的取值范 份的产量为720吨.由于产品价格上涨迅 围是 速，一月份的营业额为200万元，一月、二 (4)若该方程有两个实数根，则m的取值 月、三月的营业额共950万元. 范围是 ①设平均每月产量的增长率为x,则可列方 (5)若该方程有实数根，则m的取值范围 程： ②设平均每月营业额的增长率为y,则可列方 是 程： (6)若m<-1,则该方程的根的情况是 6.教材（北师九上P55T1改编）某品牌童装 平均每天可售出20件，每件盈利40元.为 日考点4一元二次方程根与系数的 了迎接国庆节，商场决定采取适当的降价 关系 措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库 4.教材（人教九上P16例4改编）已知关于 存经市场调查发现：若每件童装降价 1元，则每天可多售出2件.如果每天要销 x的一元二次方程x2-3x+k=0的两个实 售这种童装盈利1200元，那么每件童装 数根分别为x1,x2 一题多点 应降价多少元？ (1)若k=1,则： (1)设每件童装降价x元，那么降价后，平 ①xx3= ,x1+x2= 均每天就可多售出 件，一天可售出 ②x+x号= 件，每件盈利 元； (2)列方程求解上述问题， X1 X2 ④(x1-2)2= ⑤(x,+1)(x2+1)= X2 X1 ⑦lx1-x21= (2)若x,=3x2,则k的值为 温馨提示 请完成分层进阶练习册P28~P29习题 河北数学251.解:小丁和小迪的解法都不正确,正确的解答过程如 a(1+x)} (n-1) ③n(n-1) 下:去分母,得x+(x-3)=x-2 去括号,得x+x-3=x-2. 1.(1)m -1(2)-1(3)1-3x-3 2 移项、合并同类项,得x=1. 2.解:(1)(x-2)=5.x-2=+5. 检验:当x=1时,x-20. .原分式方程的解是x=1. .x.=2+/5.x.=2-/5. 2.(1)} (2)1(3)1或3(4)2或4或5 配方,得-15 (5)m<3且ml ,&16-1616,即(x- 3.450400_1 5 1 x-50x =1.-=- x一 3 4 4.解:方法一:设该商场购进第一批T懊衫每件的进价是 4 x元,则第二批T衫每件的进价是(x+4)元 (3)':a=1,b=3.c=1. 根据题意,得88004000x2.解得x=40. A-b-4ac-50. x+4 .--b-4a-3+5 经检验,x=40是原分式方程的解,且符合题意 2a 2 .x+4=44. 答:该商场购进第一批T慌衫每件的进价是40元,第 2 2 二批T衫每件的进价是44元. (4)移项,得2x(x-3)+(x-3)=0. 方法二:设第一批购进量为v件,则第二批购进量为 因式分解,得(x-3)(2x+1)=0. 2y件. 根据题意,得8800 4000-4.解得y=100. .x-3=0或2x+1=0. 'x=3,.=- 2 2y = 经检验,y=100是原分式方程的解,且符合题意, .第一批T衫每件的进价为4000 (4)m且m≠-1(5)m=& 第三节 一元二次方程及其应用 (6)有两个不相等的实数根 ①一 ②2 ③整式 ④是 不是 3 -2 4.(1)①1 3 ②7 ③3 ④5 5 7 /5 (2 ⑧-1 以练代讲 (1)(x+2)*=1. 5.(1)x(x-1)=132 (2)①500(1+x)=72 $ .x+2=1或x+2=-1. ②200+200(1+y)+200(1+y)=950 解得x.=-1,x=-3. 6.(1)2x (20+2x)(40-x) (2)配方,得(x+2)2=16. (2)解:根据题意,得(40-x)(20+2x)=1200 .x+2=+4. 整理,得x-30x+200=0 'x.=2.x=-6. 解得x=10.x.-20. (3)将方程化为一般形式为2x}+x-5=0. ·要扩大销售量,尽快减少库存.心x=20 则a=2.b=1.c=-5 答:每件童装应降价20元. =b-4ac=41>0. 第四节 一元一次不等式(组)及其应用 .---4a-141 ①→ ②>③>④< <改变 x>6- 2a 4 $( 2 -)$⑧ 6-4+2x$x-2x 6-4$- $$$ I.--1-4 即x--1+4 x<-2 公共 x>a x<b<x<a 4 4 无解 实心圆点 空心圆圈 左 ②右 ①< (4)移项,得x2-2x=0. ② 因式分解,得x(x-2)=0. ②>②<②=②< 于是得x=0或x-2-0. 1.③ 解得x.=0.x.-2. 2.(1)x>-2 x<1(2)-2<x<13 (x+m)=n+m}+n+m-m <$ (3)(i)a<-2 (ii)-1<a<0 -b#-4a 3.解:(1)设需要甲种原料x千克 未知数 不相等 2 根据题意,得500x+80(9-x)>4080 相等 没有 2-②②≠②= 解得:>8. 答:至少需要甲种原料8千克 ②a(l-x)=b(a-2x)(b-2x)2(a-x)(b-$ (2)设使用甲种原料y千克. 根据题意,得16y+4(9-y)<120,解得¥<7 (a-x)(b-x)每件成本 2销售总量 答:最多使用甲种原料7千克 46 众相原创 赋能中考