第2单元 第2节 分式方程及其应用-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（河北专用）

第二节 分式方程及其应用 一阶了教材知识全梳理 考点1分式方程的相关概念与解法（重点） 1.概念：① 中含有未知数的方程叫做分式方程， 2.解法 以练代讲 解法总结 解方程： 3 2 基本思想：化分式方程为整式方程. +12x+3 步骤： 解：方程两边同乘② 分 去分母 整 解整式 方程 得③ x=a 乘@ 解得④ 程 检验：⑤ 是0，则x=a是 ∴.原分式方程的解是⑥ 方程的⑨枝 检验 不是0，期x=1 代入 是方程的解 ⑧ 【特别提醒】解分式方程时要注意以下三点：(1)最简公分母与分母互为相反数时注意符号； (2)去分母时，整式部分（含常数项）不要漏乘最简公分母：(3)不要忘记检验 3.增根和无解 (1)分式方程的增根是去分母后的整式方程的解，也是使分式方程的最简公分母为0 的解； (2)分式方程无解包含两种情况：①分式方程有① :②去分母后的整式方程2 考点2分式方程的实际应用 1,解分式方程实际问题的步骤 找等量关系 实际问题 列分式方程 解方程 双检验 设未知数 【特别提醒】双检验：(1)检验所得解是否是B :(2)检验所得解是否符合 ④ 2.常见类型及等量关系 常见类型 等量关系 购买问题 第一次总费用 第一次单价 第二次总费用=数量差（或两次数量之间的和差倍分关系） 第二次单价 工程、生产问题 工作总量 工作总量 原计划每天完成的数量提高工作效率后每天完成的数量 =提前完成的天数 行程问题 总路程 总路程 甲的速度乙的速度 =乙比甲提前到的时间 20 众相原创赋能中考 二阶了追本潮源练考点 教材·真题·课标 日考点1分式方程的相关概念与解法白考点2分式方程的实际应用(2016.12) (2023.18.2020.9) 3.教材（人教八上P159T8改编）某工厂现在 1.教材（冀教八上P19观察与思考改编） 平均每天比原计划多生产50台机器，现在生 小灯和小迪分别解方程，2 =1,过 产400台机器所需时间比原计划生产450台 机器所需时间少1天.设现在平均每天生产 程如下： x台机器，则可列方程： 小丁： 4.教材（北师八下P133T14改编）某商场进 解：去分母，得x-(x-3)=x-2 货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就 去括号，得x-x+3=x-2. 用4000元购进一批这种T恤衫，面市后 合并同类项，得3=x-2 果然供不应求.商场又用8800元购进了 解得x=5. 第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购 ∴.原方程的解是x=5. 进量的2倍，但每件的进价贵了4元.该商 小迪： 场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价 解：去分母，得x+(x-3)=1. 去括号，得x+x-3=1. 分别是多少元？ 多解法 合并同类项，得2x-3=1.解得x=2 经检验，x=2是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若错 误，请写出正确的解答过程。 2.教材（人教八上P154习题T2改编）关于 x的分式方程mx-1 =3 一题多点 x-1 (1)当m=-2时，该方程的解为 (2)若该方程有增根，则m的值为 (3)若该方程无解，则m的值为 (4)若该方程的解为整数，则m的值为 (5)若该方程的解为正数，则m的取值范 围是 温馨提示 请完成分层进阶练习册P26~P27习题 河北数学211.(1)a2+62(2)(1-15%)a(1+15%)a 1.C (3)0.8a0.1a 2.解：(1)移项，得-7x-2x=-4-2, 2.解：(1)原式=-3×2+9×1-2=-5. 合并同类项，得-9x=-6, (2)原式=-3(x2-3y)-2=-3×1-2=-5. (3)(x-1)2+1y-21=0,x-1=0,y-2=0 系数化为1，得=号 x=1,y=2,∴原式=-3×12+9×2-2=13. (2)去分母，得6-3(x-1)=2(2+x), 3.解：(1)S=ab-a-b+1. 去括号，得6-3x+3=4+2x, (2)当a=3,b=2时，S=3×2-3-2+1=2. 移项，得-3x-2x=4-6-3, 4.③65.3680 合并同类项，得-5x=-5, 6.解：(2x-y)2-x(x-4y) 系数化为1，得x=1. =4x2-4+y-x+4y 3.(1)-1(2)3(3)a>3(4)2 =3x2+y2. 4.解：(1)2+5y=-6,0 当x=-3,y=-2时 1-x+3y=14,② 原式=3×(-3)2+(-2)2=31. 由②，得x=3y-14,③ 7.(1)2x(x-2)(2)(x+2y)(x-2y)(3)b(a-2) 把③代入①，得2(3y-14)+5y=-6, 8.解：验证：(1)：(-1)2+02+12+22+32=1+0+1+ 解得y=2. 4+9=15=5×3,结果是5的3倍. 把y=2代入③，得x=-8. (2)(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=5n +10=5(m2+2) 六这个方程组的解为厂=-8， 1y=2. ,n为整数，它们的平方和是5的倍数 延伸：余数是2.理由如下： 25-支=2.0 设三个连续整数的中间一个为a, 2x+3y=4,② 则(a-1)2+a2+(a+1)2=3a2+2 ①×10，得2x-5y=20,③ :3a2+2被3除余2， ②-③，得8y=-16,解得y=-2 ∴.任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2 把y=-2代人②，得2x+3×(-2)=4, 第五节分式 解得=5这个方程组的解为[52 ①B≠0②B=0③4=0且B≠0④不等于0 5.解：(1)把a=1代人x+5y=3a+7, 5不变⑥公因式⑦x(x+1)(x-1) 8a.4 得x+5y=10.① h c al±be 把a=1代入x-3y=-a-5, ⑨1° 不05D月目战2—024 bd 得x-3y=-6.② 5变号6不为0 ①+②，得2x+2y=4,∴x+y=2. (2)两方程相加，得2x+2y=2a+2. 1.x≠3x=3x=5【变式】x=-3 .x+y=a+1. 2.①36⑦①33.①④⑦8 ,x+y=4,.a+1=4..a=3. 4a2231446) (3)由题意，得+5y=3和+7， lx-3y=-a-5 (64 5.解：原式=3xx+2)-x(x-2).x-2)(+2) 2 解得 (x-2)(x+2) ys0￥3 =2x+8. 2 :x≠±2且x0,∴.x只能取1. .y-x=a43_a-1 2 =2 当x=1时，原式=2×1+8=10. ∴，无论a为何值，y的值始终比x的值大2 第二单元方程（组）与不等式（组） 6.2×3x=4(20-x) 第一节一次方程（组）及其应用 7.解：设午餐含甲原料x克，乙原料y克 ①一个②1③整式④2(3x-1)=6-(4x-1) 限据题意，得代红103” .解得年=30， 56x-2=6-4x+166x+4x=6+1+2⑦)10x=9 1y=20. ⑧x=品⑨最小公倍数国变号①变号心无解 答：午餐含甲原料30克，乙原料20克恰好能满足初中 学生的需要。 32x-43x+2(2x-4)=-15x=10x=1 第二节分式方程及其应用 0=-2B=L, ①分母②(x+1)(2x+3)③3(2x+3)=2(x+1) y=-2. 94x-2y=8②07x=7 ④x=-4 ⑤当x=-子时，(x+1)(2x+3)≠0 4ix=1 ②x=18=-21, 1y=-2 巧销售总量 ⑥x=- 7 器 4 ⑦最简公分母⑧最简公分母⑨增①0 团1华-D218+图- ①增根无解B分式方程的解实际意义 河北数学 45 1解：小丁和小迪的解法都不正确.正确的解答过程如 图n(n-1) 下：去分母，得x+(x-3)=x-2, a(1+x)2®n(m- 2 去括号，得x+x-3=x-2. 1.(1)m≠-1(2)-1(3)x21-3x-32 移项、合并同类项，得x=1, 2.解：(1)(x-2)2=5,x-2=±5， 检验：当x=1时，x-2≠0， ∴.原分式方程的解是x=1, 1=2+5,x1=2-5. 210=号 (2)1(3)1或3(4)2或4或5 （2)移项，得-宁启 (5)m<3且m≠1 配方，得2-宁+6-名+6即-P=1. 3.450-400=1 x-50x 1 5 3 x- 4=1…=子出=-子 4.解：方法一：设该商场购进第一批T恤衫每件的进价是 x元，则第二批T恤衫每件的进价是(x+4)元 (3)a=1.b=3,c=1, 根据题意，得8800=4000×2，解得x=40. ∴4=62-4ae=5>0, x+4x 经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意 六x=-b±B-4c.-3±5 2a 2 .x+4=44. 答：该商场购进第一批T恤衫每件的进价是40元，第 需=3+5 2 南3-5 21 二批T恤衫每件的进价是44元 (4)移项，得2x(x-3)+(x-3)=0, 方法二：设第一批购进量为y件，则第二批购进量为 因式分解，得(x-3)(2x+1)=0, 2y件. x-3=0或2x+1=0. 根据圈意，得0.40=4.解得=100 六1=3出=-2 经检验，y=100是原分式方程的解，且符合题意， 第一批T值衫每件的进价为00 =40(元)， 3)m<g且m≠-1(2)g(3)m>8 8 第二搭T恤衫每件的进价为 =44(元) (4)m≤名且m≠-1（5)m≤名 第三节一元二次方程及其应用 (6)有两个不相等的实数根 ①一②2③整式④是⑤不是⑥3⑦-2 4.(1)①13②7③3④5⑤567⑦5 ⑧-1 以练代讲 2洛 (1)(x+2)2=1. 5.(1)x(x-1)=132(2)①500(1+x)2=720 六.x+2=1或x+2=-1, 2200+200(1+y）+200(1+y)2=950 解得x1=-1,x2=-3. 6.(1)2x(20+2x)(40-x) (2)配方，得(x+2)2=16, (2)解：根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200, ,x+2=±4. 整理，得x2-30x+200=0, .无1=2，x2=-6. 解得x1=10,x=20. (3)将方程化为一般形式为2x2+x-5=0, :要扩大销售量，尽快诚少库存，x=20 则a=2,b=1,c=-5, 答：每件童装应降价20元. △=b2-4ac=41>0, 第四节一元一次不等式（组）及其应用 ÷x=-b±yB-4ae.-1±④ ①>②>3>④<5<6改变⑦x>6- 2a 4 即x1+4红 2(2-x)⑧x>6-4+2x⑨x-2x>6-40-x>2 44=1-4 ①x<-22公共Bx>ax<b56<x<a 4 0无解实心圆点⑧空心圆圈四左右四< (4)移项，得x2-2x=0, 2≥3>2≤5≥0≤ 因式分解，得x(x-2)=0, 于是得x=0或x-2=0, 1.3⑤ 解得x,=0,=2 2.(1)x≥-2x<1(2)-2≤x<13 ⑨(x+m)2=n+m20士√m+m-m①≥ (3)(i)a<-2(i)-1≤a<0 2< 3.解：(1)设需要甲种原料x千克 B-6±y公-4ac 根据题意，得500x+80(9-x)≥4080， 2a a⑤b6未知数不相等 解得x≥8. B相等四没有④-6 ①￡②≠四≥ 答：至少需要甲种原料8千克 4a(1-x)2=b(a-2.x)(b-2x)(a-x)(6-x) (2)设使用甲种原料y千克 ⑦(a-x)(b-x)网每件成本四销售总量闭·b 根据题意，得16y+4(9-y）≤120，解得y≤7. 答：最多使用甲种原料7千克 46 众相原创赋能中考