第2单元 第1节 一次方程(组)及其应用-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（河北专用）

第二单元方程（组）与不等式（组） 第一节一次方程（组）及其应用 一阶教材知识全梳理 考点1等式的性质 数学表达 在解方程中的应用 性质1 若a=b,则a±e=b±c 移项 若a=b,则ac=bc 去分母 性质2 若a=b(c≠0)，则9=b 系数化为1 考点2一元一次方程的概念与解法 1.概念：只含有① 未知数（元），未知数的次数都是② ,等号两边都是③ 这样的方程叫做一元一次方程. 2.解法及注意事项 一般 举例 注意事项 步骤 解方程31“6 6 方程两边同乘各分母的⑨ 去分母解：④ (1)不要漏乘不含分母的项（尤其是常数项）： (2)分子是多项式时，去分母后要加括号 若括号前是“-”，去括号时，括号内的每一项都要 去括号 ⑤ 0 移项 ⑥ 移项一定要① (1)把方程化为ax=b(a≠0)的形式：（注意：若 合并同 ⑦ a=0,b≠0，则方程② 类项 (2)字母及其指数不变，只把系数相加减 系数化 8 方程两边同时除以未知数的系数 为1 考点3二元一次方程组的解法 1.基本思想：消元，即二元一次方程组消元 一元一次方程。 16众相原创赋能中考 2.解法 )以练代讲 2x-y=4, ① 解方程组： 3x+2y=-1.② 解法一：代入消元法 解法二：加减消元法 解：由①，得y=B ,③ 解：①×2，得四 把③代入②，得④ ②+③，得四 解得 解得① 把6 代入③，得回 把2 代人①，得3 ∴.这个方程组的解是⑧ ∴.这个方程组的解是四 门解法总结 方法 适用情形 步骤 个方程的常数项为 (1)变：用含一个未知数的代数式表示另一个未知数： 代入 0或某一个未知数的 (2)代：将(1)中代数式代入另一个方程，得一元一次方程： 消元法 系数为1或-1 (3)解：解这个一元一次方程 (1)变：方程变形，使两个二元一次方程中同一未知数的系数 一个未知数的系数的 加减 相等或互为相反数： 绝对值相等或成倍数 消元法 (2)加减：两个方程相加减，消去一个未知数，得一元一次方程： 关系 (3)解：解这个一元一次方程 【知识拓展】三元一次方程组的解法： 基本思想：消元，即三元一次方程组消元二元一次方程组消无 一元一次方程 考点4一次方程（组）的实际应用（重点） 1.解一次方程（组）实际问题的一般步骤 一般步骤 特别提醒 审 设 实际问题 审：找等量关系 方程（组）问题 对于带单位的应 设：设未知数；列：列方程（组） 列 答 解 用题，在设未知数 解 实际问题的解 方程〔组)的解 和作答时，要带 验 险：检验，是方程（组）的解， 且符合实标意义 单位 答 2.常见类型及等量关系 常见类型 等量关系 以购买甲、乙两种商品为例： 购买、分配 (1)总价=单价×总量； 问题 (2)甲的量+乙的量=总量（或甲、乙的量之间的和差倍分关系）： (3)甲的量×甲的单价+乙的量×乙的单价=总价 河北数学17 续表 (1)售价=标价×折扣（如：打八折后的售价就是标价×80%）： (2)销售额=销售单价× 打折销售 (3)单件利润=单件售价-单件进价： 问题 (4)利润率= ×100%: (5)总利润=（单件售价-单价进价）×销售总量 (1)一个A和一个B配套：A的数量=B的数量： 配套问题 (②m个A和个B限套合鹅整量-丹中A的要=m:B的长到 (1)总工作量=工作效率×工作时间： 工程问题 (2)总工作量=各组工作量之和： (3)总工作量未定时，可设总工作量为单位“1”，此时，工作效率= 工作时间 路程=速度×时间，即s=t (1)相遇问题（以甲、乙两车为例）： 甲×相遇时甲的行驶时间+2×相遇时乙的行驶时间=两地距离； 行程问题 (2)追及问题（以甲、乙两车为例） 若同时出发，则@ ×追及时间=追及距离： (3)航行问题： 顺水速度=静水速度四 水流速度：逆水速度=静水速度四 水流速度 比赛积分 (1),总场数=胜场数+负场数+平场数： 问题 (2)总积分=胜场积分+负场积分+平场积分 二阶了追本潮源练考点 教材·真题·课标 幻考点1等式的性质(2018.7) (2)1-x-1_2+x 1.教材（冀教七上P151习题T1改编）根据 2 3 等式的性质，下列变形正确的是 A.若x=y,则x+c=y-c B.若ab=bc,则a=c C.若9=名，则a=b D.若号+皆=1，则3x+2x= 3.教材（冀教七上P148T3改编）已知关于x 日考点2一元一次方程的概念与解法 的方程ax=3x-4. 一题多点 (2018.22(2)) (1)若x=1是方程的解，则a的值为 2.教材（北师七上P136T1改编）解方程： (2)若方程无解，则a的值为： (1)2-7x=2x-4: (3)若方程的解是负数，则a的取值范围为 (4)若方程有非负整数解，则整数a的所有 可能的取值的和为 18 众相原创赋能中考 品考点3二元一次方程组的解法 (3)试说明无论a为何值，y的值始终比x (2015.11) 的值大2. 4.教材（人教七下P98T5改编）选择合适的 方法解下列方程组： 2x+5y=-6, (1) l-x+3y=14: 品考点4一次方程（组)的实际应用 (10年6考：2023.20(2)，2022.15、19(1)) 6.教材（人教七上P100例1改编）某车间 有20名工人生产螺栓和螺母，已知一名工 人一天生产3个螺栓或4个螺母，且1个螺 (2) 栓配2个螺母，如何分配工人生产螺栓和 2x+3y=4. 螺母？如果设生产螺栓的工人有x名，根 据题意可列方程： 7.课标(P141例62改编)在人体每天摄取 的总能量中，午餐约占40%，膳食中营养 的均衡摄入与学生身体健康密切相关.某 健康营养师计划用甲、乙两种原料为学生 配制营养午餐，已知每克甲原料含0.4单 位蛋白质和0.8单位铁质，每克乙原料含 1单位蛋白质和0.8单位铁质.如果一个初 5.教材（冀教七下P27T3改编）已知x,y同 中学生的午餐需要32单位蛋白质和40单 时满足x+5y=3a+7,x-3y=-a-5. 位铁质，那么午餐含甲、乙两种原料各多少 (1)当a=1时，求x+y的值： 克恰好能满足初中学生的需要？ (2)若x+y=4,求a的值： 温馨提示 请完成分层进阶练习册P23~P25习题 河北数学191.(1)+b (2)(1-15%)g (1+15%)a 1.C (3)0. 8a 0. 1xa 2.解:(1)移项,得-7x-2x=-4-2 2.解:(1)原式=-3x2*+9x1-2=-5$ 合并同类项,得-9x=-6. $($ 原$=-3(-3y -$=-3$1-$=-$ $$ 系数化为1.得x= (3) (-1)+ly-l=0-1=0-2= $$=1,=2、\原$=-3$1^+9$2- =13. (2)去分母,得6-3(x-1)=2(2+x). 3.解:(1)S=ab-a-b+1 去括号,得6-3x+3=4+2x. $$ ) $$ =3=$时,$=3$$ -3-2+ =$ 移项,得-3t-2x=4-6-3. 4.③ 5.③⑧0 合并同类项,得-5x=-5. 6.解:(2x-y)-x(x-4y) 系数化为1,得x=1. -4-4xy+-x+4xy 3.(1)-1(2)3 (3)a>3(4)2 -32+y2. 4.解:(1) 2x+5y=-6.① 当x=-3,y=-2时, 1-x+3y=14.② 原式=3x(-3)+(-2)=31. 由②,得x=3v-14.③ 7.(1)2x(x-2)(2)(x+2y)(x-2y)(3)b(a-2)) 把③代入①,得2(3y-14)+5y=-6 8.解:验证:(1)(-1)+0+1+2+3=1+0+1+ 解得y=2. 4+9=15=5x3...结果是5的3倍. 把y=2代入③,得x=-8. (2) (n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2) =5n} 这个方程组的解为[=~8. +10=5(n2+2). y=2. .n为整数,.它们的平方和是5的倍数 (2)-2.① 延伸:余数是2.理由如下: 设三个连续整数的中间一个为a, l2x+3y-4.② 则(a-1)+a+(a+1)=3a+2 ①x10.得2x-5y=20.③ .3a+2被3除余2. ②-③,得8y=-16,解得y=-2. .任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2 把¥=-2代入②.得2x+3x(-2)=4 第五节 分 式 解得x=5..这个方程组的解为[=5. ly=-2. $$①B0 $$②B=0 $③A=0且 B0 $④不等于0$$ 5.解:(1)把a=1代人x+5y=3a+7. 得x+5y=10.① 把a=1代入x-3y=-a-5. ” 不变 加减 &tb #adlthe bn bd 得x-3v=-6.② 变号不为0 ①+②,得2x+2y=4.x+y=2. $. x 3 x=3 x=5 【变式】x=-3$$$ (2)两方程相加,得2x+2v=2a+2 2. ①③ ①③ 3.①④⑧ '.x+y=a+1. .x+y=4...a+1=4.a=3 (5)4 +2 (3)由题意,得{x+5y=3a+7. (6)# lx-3y=-a-5. fx~1 5.解:原式-3x(x+2)-x(x-2).(x-2)(x+2) 解得 2。 (x-2)(x+2) , #1#&3 =2x+8. 2; ---3--1-2 x2且x0x只能取1. 2-2 当x=1时,原式-2x1+8=10 第二单元 方程(组)与不等式(组) .无论a为何值,y的值始终比x的值大2 6.2x3t=4(20-x) 第一节 一次方程(组)及其应用 7.解:设午餐含甲原料;克,乙原料y克 ①一个 ②1 ③整式 ④2(3x-1)=6-(4x-1) 根据题意,得0.4r+y=32. 10. 8x+0.8y=40. 解得[*=30. $$$ -2-6-4+16x+4x=6+1+2 10=9$ 1y=20. ③x=” 9 答:午餐含甲原料30克,乙原料20克恰好能满足初中 最小公倍数 变号 变号 无解 学生的需要. 2-4 3x+2(2x-4)=-1x=1=1$ 第二节 分式方程及其应用 ①分母 4x-2y=8 207t=7 ②(x+1)(2x+3) ③3(2x+3)=2(x+1) ④r=- 当x=-- 时,(x+1)(2x+3)z0 销售总量 增 最简公分母 ⑧最简公分母 0 l-v2l②+②- 增根 无解 分式方程的解 实际意义 河北数学 45