第1单元 第4节 整式-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（河北专用）

第四节 整式 教材知识全梳理 考点1代数式（重点） L.列代数式 列代数式的关键是找出问题中的数量关系，再用含有数、字母和运算符号的式子表示 出来. 【技巧点拔】(1)要牢记一些常用公式，如：三角形的面积=2×底×高：平行四边形的面积= 底×高：路程=速度×时间：总价=数量×单价：售价=标价×折扣.(2)要抓住关键词语，如： 大、小、多、少、倍、增长、下降等 2.代数式求值 定义 用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出结果 (1)直接代入法： (2)整体代入法： 步骤一：观察已知条件和所求代数式的关系： 常用方法 步骤二：将所求代数式变形成与已知代数式成倍数或分数关系，一般会用到提公 因式、平方差公式、完全平方公式： 步骤三：把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值 ②I链接】小专题培优代入求值中的整体思想，见分层进阶练习册PI9. 考点2整式的相关概念 由数或字母的积组成的式子.（单独的一个数或一个 字母也是单项式) 单项式 系数 4T次敛为2+3=5 (1)系数：单项式中的数字因数：（注意：符号也要算） 3 (2)次数：一个单项式中，所有字母的指数的① 几个单项式的和， (1)项：多项式中的每个单项式（包括前面的符号）：（其次效为3·一 常数项为」 多项式 3x -x“+1 中不含字母的项叫做② ·项敦为3 (2)次数：多项式里，③ 的次数 整式 单项式和多项式统称整式 所含字母④ ,且相同字母的⑤ 也相同的项（注意：所有常数项都是同 同类项 类项) 10 众相原创赋能中考 考点3整式的运算（重点） 1.整式的加减（实质：合并同类项） 运算法则 几个整式相加减，如果有括号就先去括号，再合并同类项 括号前是“+”，去括号时，括号内各项⑥ 如a+(b+c)=⑦ 去括号法则 括号前是“一”，去括号时，括号内每一项⑧ 如a-(b+c)=⑨ 口诀：“+”不变，“-”变 把各同类项的0 相加减，字母连同它的指数① 合并同类项 如3a2b+2a2b=2 2.幂的运算 同底数幂相乘 底数不变，指数B ,即a"·a”=④ 同底数幂相除 底数不变，指数⑤ 即a"÷a"=0 (a≠0)》 幂的乘方 底数不变，指数团 即(a)=B 积的乘方 把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab)=四 3.整式的乘除 (1)系数：系数与系数相乘作为积的系数： 单项式乘 (2)相同字母：同底数幂相乘作为积的因式： 单项式 (3)单独字母：对于只在一个单项式里出现的字母，则连同它的指数作为积的 整 个因式.如2ab2·3b=②@ 式 单项式乘 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 乘 多项式 如m(a+b+c）= 法 多项式乘 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 多项式 如(a+b)(m+n)=2 平方差公式：(a+b)(a-b)=3 乘法公式 完全平方公式：(a±b)2= 整 单项式除以 把系数和同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则 式 单项式 连同它的指数作为商的一个因式.如12ab2x÷3ab2=5 除 多项式除以 先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加， 法 单项式 如(am+bm)÷m=②④ @【链接】小专题培优乘法公式的几何意义，见分层进阶练习册PI4. 4.整式混合运算的步骤 (1)先算乘方，再算乘除，最后算加减： (2)若有括号，先算括号里面的： (3)同级运算按照从左到右的顺序依次进行 河北数学11 考点4因式分解（重点） 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式 (1)提公因式法：ma+mb+mc=⑦ 系数：取各项系数的四 公因式的确定 字母：取各项四 的字母： 指数：取各项相同字母的3① 次数 方法 如：2xy和6xy2:的公因式是① (2)公式法：(i)平方差公式：a2-2=② (i)完全平方公式：a2±2ab+b2=⑧ 【知识拓展】 十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).如x2+3x+2=3④ 有 提取 观察 两项考虑平方 公因式 剥余项 盖公式 观察是否 检查每个多 步骤 有公因式 项式是否都 没有 观茶多 三项考虑完全 分解彻底 项式 平方公式 -提 二套 三检查 【特别提醒】(1)因式分解的结果一定是积的形式，每个因式都不能再进行因式分解；(2)因式 分解是和差化积的形式，而整式乘法是积化和差的形式，二者互为逆运算；因式分解完，可用整 式乘法运算从结果递推过去，检查因式分解结果是否正确。 考点5代数推理（重点） 示例：（课标P144例66）设abcd是一个四位数，若a+b+c+d可以被3整除，则这个数可 以被3整除。 论证如下：abcd=1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d), 显然(999a+99b+9c)可以被3整除， 因此，若a+b+c+d可以被3整除，则abcd就可以被3整除 @【链接】小专题培优代数推理，见分层进阶练习册20 二阶了追本潮源练考点 教材·真题·课标 的考点1代数式(10年18考：2024.21(1). (2)设甲的数量为.若乙的数量比甲少 2023.1、1821(1),2022.19.20(1) 15%,则乙的数量为 :若丙 考向1列代数式(10年9考：2023.1,2022.19) 的数量比甲多15%，则丙的数量为 1.教材（冀教七上P101T3改编）根据要求 (3)原价为a元的球鞋，“十一”期间若打八 列代数式： 折出售，则打折后的售价为 元：若打 (1)a,b两数的平方和是 x折出售，则打折后的售价为 元 12 众相原创赋能中考 考向2代数式求值(10年6考：2024.21(1)， ③2x5+3x3=5x3: ④x2.=x2; 2023.18,2022.20(1)) ⑤x9÷x=x2; ⑥(x2)3=x5: 2.教材（人教七上P69T3改编）分别在下列 ⑦(-x2)3=x: 条件下，求代数式-3x2+9y-2的值， ⑧-xy2÷x2y=-x2y2: (1)x=2,y=1: 一题多点 ⑨(x-y)2=x2-y2; (2)x2-3y=1: 0(x+2)(x-3)=x2-x-6. (3)(x-1)2+1y-21=0. 6.教材（人教八上P105T8改编）先化简，再 求值：(2x-y)2-x(x-4y),其中x=-3,y= -2. 考向3列代数式及代数式求值(10年3考： 2023.21(1)) 3.载材（冀教七上P139T4改编）如图是一 国考点4因式分解(10年5考：2023.6) 个长为a,宽为b的矩形，两个阴影图形是 7.教材（人教八上P119T5改编）分解因式： 一对底边长都为1，且底边在矩形对边上 的平行四边形 (1)2x2-4x= (1)用含a,b的代数式表示矩形中空白部 (2)x2-4y2= 分的面积： (3)a2b-4ab+4b= (2)当a=3,b=2时，求矩形中空白部分的 考点5代数推理(10年5考：2024.15， 面积 2023.6,2022.19、22) 8.真题(2017河北22题9分)发现 任意 五个连续整数的平方和是5的倍数 验证(1)(-1)2+02+12+22+32的结 果是5的几倍？ (2)设五个连续整数的中间一个为n,写出 日考点2整式的相关概念(2024.21(2) 它们的平方和，并说明是5的倍数 4.教材（人教七上P59T3改编）下列说法 延伸任意三个连续整数的平方和被3除 中，正确的是 (填序号) 的余数是几呢？请写出理由. ①2不是单项式：②单项式xy的系数是0： ③单项式-号的次数是2：④多项式x”+ 是五次二项式：⑤多项式5x2-6xy-1的常 数项是1：⑥3ab2与-5b2a是同类项 日考点3整式的运算(10年24考：2024.2、 8、21(2),2023.6、21,2022.1、19(2) 5.真题(2024河北7题改编)下列运算中， 正确的是 ·(填序号)一题多点 ①3x+4y=7xy; ②x-x3=x; 温馨提示 请完成分层进阶练习册P9~P12习题 河北数学13课堂精讲册 第一单元数与式 5解：6×(5-与)+27 第一节实数及其相关概念 2 ①有理数②无限循环③无限不循环④支出 =6×5-6× =+35 ⑤-5米⑥低于海平面20米⑦-·一对应⑧大 =2-5+35 ⑨正数①负数1a-61eB符号-a =2+23. 5000⑦两侧⑧相等⑧距离它本身0 6.B7.67732Π-6 2它的相反数3如40雪-4a=b或a=-b 第三节实数的大小比较及运算 ⑦大0.四±11①两龙相反数80 ①小②<③大④>⑤>6>⑦1⑧1 3☒0,150，±1金a=b或a+b=0a+b=080 ⑨a°0负数①正数②naB-11⑤-1 8-102①142143100负整数510 0104010-810·497.607.58 8片-a0吗@g225 1.①24④6⑦⑨10③⑤⑧①②④⑤6⑨③⑦⑧ 3324-2530较大团减去四0 ②10 2.-6000元 国(-6)国-b®分8a×c+bxc 3.><<>【变式】-2（答案不唯一） 1.(1)5-6(2)-5和-6(3)0-6 4.(1)710(2)3(3)9或11 8-555 2.(1)<(2)> 311-2781-11g-g8-8 6.解：(1)a+6=0,cd=1,m=±2 5-225-2 (2)当m=2时， 4解：()原武=-2×音-12x号+12×}+5 5 2 原式=2+3×1+0 =2+3+0=5: =-5-8+9+5 当m=-2时， =1. 原武=-2+3x1+092=-2+3+0=卫 (2)原式=1+9÷(-3)×2 =1+(-3)×2 综上所述，m+3d++b的值为5或1. =1+(-6) m 7.±884【变式】4 =-5. 8.②④69.1 10.(1)4×103(2)1.173×1031.173×10 8)原武=1-26+4×号2 =3 (3)5×10(4)-3.05×10-1(5)2×10 5.B 【拓展设问】2340000 6.解：(1)4.5-3.2+1.1-1.4=1(km). 11.百 这架飞机比起飞点高了Ikm 第二节二次根式 (2)4.5×2+3.2×2+1.1×2+1.4×2=20.4(升) ①大于或等于②分母③能开得尽方④a⑤-a ∴一共消耗了20.4升燃油. ⑥a6⑦⑧瓜⑨，√ (3)3.8-2.9+1.6=2.5(km), ,①最简①被开方 六第4个动作是下降，下降的高度为2.5-1=1.5 (km). 数@2万B万g L54匹94B/5 第四节整式 ①020322332.5242.556.25 ①和②常数项③次数最高项④相同⑤指数 ②6.25>20228m9a-n ⑥不变号⑦a+b+c⑧都变号⑨a-b-c0系数 1.x≥22【变式】x<22.②50⑧3.①③8⑨ ①不变25abB相加a+“5相减0a- 相乘Ba"四a"”③6ab3①ma+mb+mc 4解：原式=35+3×写-3厄 Dam an bm +bn Ba-b2 a +2ab+b 4a'x 团a+b四m(a+b+c)四最大公约数四相同 =35+5-63 团最低团2xy2(a+b)(a-b)8(a±b) =-23. 3③4(x+1)(x+2) 44 众相原创赋能中考 1.(1)a2+62(2)(1-15%)a(1+15%)a 1.C (3)0.8a0.1a 2.解：(1)移项，得-7x-2x=-4-2, 2.解：(1)原式=-3×2+9×1-2=-5. 合并同类项，得-9x=-6, (2)原式=-3(x2-3y)-2=-3×1-2=-5. (3)(x-1)2+1y-21=0,x-1=0,y-2=0 系数化为1，得=号 x=1,y=2,∴原式=-3×12+9×2-2=13. (2)去分母，得6-3(x-1)=2(2+x), 3.解：(1)S=ab-a-b+1. 去括号，得6-3x+3=4+2x, (2)当a=3,b=2时，S=3×2-3-2+1=2. 移项，得-3x-2x=4-6-3, 4.③65.3680 合并同类项，得-5x=-5, 6.解：(2x-y)2-x(x-4y) 系数化为1，得x=1. =4x2-4+y-x+4y 3.(1)-1(2)3(3)a>3(4)2 =3x2+y2. 4.解：(1)2+5y=-6,0 当x=-3,y=-2时 1-x+3y=14,② 原式=3×(-3)2+(-2)2=31. 由②，得x=3y-14,③ 7.(1)2x(x-2)(2)(x+2y)(x-2y)(3)b(a-2) 把③代入①，得2(3y-14)+5y=-6, 8.解：验证：(1)：(-1)2+02+12+22+32=1+0+1+ 解得y=2. 4+9=15=5×3,结果是5的3倍. 把y=2代入③，得x=-8. (2)(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=5n +10=5(m2+2) 六这个方程组的解为厂=-8， 1y=2. ,n为整数，它们的平方和是5的倍数 延伸：余数是2.理由如下： 25-支=2.0 设三个连续整数的中间一个为a, 2x+3y=4,② 则(a-1)2+a2+(a+1)2=3a2+2 ①×10，得2x-5y=20,③ :3a2+2被3除余2， ②-③，得8y=-16,解得y=-2 ∴.任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2 把y=-2代人②，得2x+3×(-2)=4, 第五节分式 解得=5这个方程组的解为[52 ①B≠0②B=0③4=0且B≠0④不等于0 5.解：(1)把a=1代人x+5y=3a+7, 5不变⑥公因式⑦x(x+1)(x-1) 8a.4 得x+5y=10.① h c al±be 把a=1代入x-3y=-a-5, ⑨1° 不05D月目战2—024 bd 得x-3y=-6.② 5变号6不为0 ①+②，得2x+2y=4,∴x+y=2. (2)两方程相加，得2x+2y=2a+2. 1.x≠3x=3x=5【变式】x=-3 .x+y=a+1. 2.①36⑦①33.①④⑦8 ,x+y=4,.a+1=4..a=3. 4a2231446) (3)由题意，得+5y=3和+7， lx-3y=-a-5 (64 5.解：原式=3xx+2)-x(x-2).x-2)(+2) 2 解得 (x-2)(x+2) ys0￥3 =2x+8. 2 :x≠±2且x0,∴.x只能取1. .y-x=a43_a-1 2 =2 当x=1时，原式=2×1+8=10. ∴，无论a为何值，y的值始终比x的值大2 第二单元方程（组）与不等式（组） 6.2×3x=4(20-x) 第一节一次方程（组）及其应用 7.解：设午餐含甲原料x克，乙原料y克 ①一个②1③整式④2(3x-1)=6-(4x-1) 限据题意，得代红103” .解得年=30， 56x-2=6-4x+166x+4x=6+1+2⑦)10x=9 1y=20. ⑧x=品⑨最小公倍数国变号①变号心无解 答：午餐含甲原料30克，乙原料20克恰好能满足初中 学生的需要。 32x-43x+2(2x-4)=-15x=10x=1 第二节分式方程及其应用 0=-2B=L, ①分母②(x+1)(2x+3)③3(2x+3)=2(x+1) y=-2. 94x-2y=8②07x=7 ④x=-4 ⑤当x=-子时，(x+1)(2x+3)≠0 4ix=1 ②x=18=-21, 1y=-2 巧销售总量 ⑥x=- 7 器 4 ⑦最简公分母⑧最简公分母⑨增①0 团1华-D218+图- ①增根无解B分式方程的解实际意义 河北数学 45