精品解析：北京市北京工业大学附属中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

2024年10月9日高一数学测试题 一、选择题 1. 设集合，则 A. B. C. D. 2. 下列各式中关系符号运用正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则 A. B. C. D. 4. 若：所有实数的平方都是正数，则为（ ） A. 所有实数的平方都不是正数 B. 至少有一个实数的平方不是正数 C. 至少有一个实数的平方是正数 D. 有的实数的平方是正数 5. 已知集合，若集合为单元素集，则的取值为（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 或或1 6. 已知，则“”是“”的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 7. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设全集,集合，（ ） A. B. C. D. 9. 已知全集和它的两个非空子集，的关系如图所示，则下列命题正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 设，，为实数，记集合，，，．若，分别为集合，的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 二、填空题 11. 已知集合，则_____ 12. 函数的定义域是__________. 13. 函数 的值域为________________． 14. 设集合，能正确表示图中阴影部分的集合是__________. 15. 设集合，则__________. 16. 集合的真子集个数为__________. 17. 已知不等式的解集是，则不等式 的解集是________. 18. 若正数，满足，则的最小值是______． 19. 给定集合，对于，如果，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个． 三、解答题 20. 已知集合. （1）若是空集，求的取值范围； （2）若中只有一个元素，求的值，并求集合； （3）若中至多有一个元素，求的取值范围 21. 已知集合，集合或，全集. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 22. 已知集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 23. 含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4，6，9}的元素和是4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而{5}的元素和与交替和都是5. （1）写出集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和； （2）已知集合，根据提示解决问题. ①求集合所有非空子集的元素和的总和； 提示：方法1：，先求出在集合的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合所有非空子集的元素和的总和；方法2：如果我们知道了集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集的元素和的总和为，可以用表示出的非空子集的元素和的总和，递推可求出集合所有非空子集的元素和的总和. ②求集合所有非空子集的交替和的总和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年10月9日高一数学测试题 一、选择题 1. 设集合，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，故选A. 点睛:集合的基本运算的关注点： (1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图． 2. 下列各式中关系符号运用正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合和元素的关系,集合和集合的关系即可选出结果. 【详解】解:因为是集合,是数字,所以选项A错误; 因为是集合,所以,故选项B错误; 因为1是中的元素,所以选项C正确; 因为,所以选项D错误. 故选：C 3. 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由得，所以． 【点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理． 4. 若：所有实数的平方都是正数，则为（ ） A. 所有实数的平方都不是正数 B. 至少有一个实数的平方不是正数 C. 至少有一个实数的平方是正数 D. 有的实数的平方是正数 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到． 【详解】由全称命题的否定是特称命题可知， “所有实数的平方都是正数”的否定为：“至少有一个实数的平方不是正数”． 故选：B 5. 已知集合，若集合为单元素集，则的取值为（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 或或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合为单元素集，可得方程只有一个实根，对分类讨论即可求解. 【详解】若集合为单元素集，则方程只有一个实根. 当,可得，满足题意； 当时，,解得. 故的取值是0或1. 故选:C. 6. 已知，则“”是“”的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】通过函数的图象可知，函数值与自变量距对称轴距离成正比，由此可判断为充要条件. 【详解】设，可知函数对称轴为 由函数对称性可知，自变量离对称轴越远，函数值越大；反之亦成立 由此可知：当，即时， 当时，可得，即 可知“”是“”的充要条件 本题正确选项：C 【点睛】本题考查充分必要条件的判断问题，属于基础题. 7. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，利用基本不等式定理与举特例判断可得． 【详解】解：当时，有； 当时，有成立， 综上，“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 8. 设全集,集合，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集，，所以，． 故选：A． 9. 已知全集和它的两个非空子集，的关系如图所示，则下列命题正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】判断出，根据子集的定义对各个选项逐个判断即可求解． 【详解】由图可知，且，非空， 则根据子集的定义可得： 对于，，不正确， 对于，，正确， 对于，，不正确， 对于，，不正确， 故选：． 10. 设，，为实数，记集合，，，．若，分别为集合，的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题要发现与、与的解的关系，同时考虑，以及判别式对方程的根的个数的影响，通过假设最高次含参数的方程有一个解，有两个解，逆推集合的解的情况即可． 【详解】解：若时有一个解，有两个解，且的解不是的解， ，即， 的解不是的解， 又有两个解，故， 有两个不等的根， 有3个解，即， 故D不可能成立， 对于，则时至少有一个根， 当时还有一根，只要时就有个根， 当时只有个根， 当时只有个根， 当时有个根或个根， 当时且，故A正确； 当，，时且，故B正确； 当，时且，故C正确； 故选：D． 二、填空题 11. 已知集合，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】通过求解不等式，得到集合A，然后求解补集即可． 【详解】解不等式得， 所以， 所以可以求得 故答案为 【点睛】本题考查不等式的解法，补集的运算，是基本知识的考查． 12. 函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由分式的分母不为零和二次根式的被开方数非负，列不等式组求解即可. 【详解】由题意知，，解得， 则函数的定义域是， 故答案为：. 13. 函数 的值域为________________． 【答案】 【解析】 【分析】，分别讨论和时，由基本不等式求得的范围即可求解. 【详解】定义域为， 当时，， 当且仅当即时等号成立，所以， 当时，， 当且仅当即时等号成立，所以， 所以函数的值域为， 故答案为：. 14. 设集合，能正确表示图中阴影部分的集合是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据图象以及集合运算来求得正确答案. 【详解】由题意，集合， 根据图中阴影部分表示集合中元素除去集合中的元素，即为. 故答案为： 15. 设集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】求得，再根据交集的定义求解即可. 【详解】解：由,得， 所以， 故. 故答案为： 16. 集合的真子集个数为__________. 【答案】7 【解析】 【分析】写出集合的元素，再根据元素个数与真子集个数之间的关系即可得答案. 【详解】集合， 所以集合的真子集个数为个. 故答案为：7 17. 已知不等式的解集是，则不等式 的解集是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的解集求出a，b的值，再代入解不等式即可作答. 【详解】依题意，，是方程的两个根，且， 于是得，解得：， 因此，不等式为：，解得， 所以不等式 的解集是. 故答案为： 18. 若正数，满足，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】将展开，再利用基本不等式即可求解. 【详解】 当且仅当即 时等号成立， 所以的最小值是， 故答案为：. 19. 给定集合，对于，如果，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个． 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意，要使S的三个元素构成的集合中不含好元素，只要这三个元素相连即可，所以找出相连的三个数构成的集合即可． 【详解】若不含好元素，则集合S中的3个元素必须为连续的三个数， 故不含好元素的集合共有， 共有6个. 故答案为：6． 三、解答题 20. 已知集合. （1）若是空集，求的取值范围； （2）若中只有一个元素，求的值，并求集合； （3）若中至多有一个元素，求的取值范围 【答案】（1） （2）的值为或，当时，当时 （3） 【解析】 【分析】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根； （2）A中只有一个元素，则方程为一次方程，或方程为二次方程且方程有两个相同的根； （3）A中至多有一个元素，则方程为一次方程，或方程为二次方程且至多一个实根. 【小问1详解】 A是空集，且，，解得， 的取值范围为：； 【小问2详解】 当时，集合， 当时，，，解得，此时集合， 综上所求，的值为或，当时，集合，当时，集合； 【小问3详解】 由可知，当中至多有一个元素时，或， 的取值范围为：. 21. 已知集合，集合或，全集. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题知，再根据集合的运算求解即可； （2）由可得，再利用包含关系求参数即可. 【小问1详解】 当时，，所以， 又或，所以. 【小问2详解】 因为集合，集合或，，则， 所以或，解得或， 所以实数的取值范围是. 22. 已知集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简集合A和集合B，再利用交集定义即可求得； （2）按集合C是空集和不是空集两种情况分类讨论，依据子集定义列出关于的不等式组，解之即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为 所以，所以 【小问2详解】 ①当，即时，此时，满足，符合题意； ②当，即时，， 要满足，则， 则解得， 综上所述得.故的取值范围是. 23. 含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4，6，9}的元素和是4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而{5}的元素和与交替和都是5. （1）写出集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和； （2）已知集合，根据提示解决问题. ①求集合所有非空子集的元素和的总和； 提示：方法1：，先求出在集合的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合所有非空子集的元素和的总和；方法2：如果我们知道了集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集的元素和的总和为，可以用表示出的非空子集的元素和的总和，递推可求出集合所有非空子集的元素和的总和. ②求集合所有非空子集的交替和的总和. 【答案】（1）12；（2）①672，②192 【解析】 【分析】（1）写出集合{1，2，3}的非空子集，根据交替和的概念，求得各个交替和，综合即可得答案. （2）①求得集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现的次数，集合{1，2，3，4}所有非空子集中，数字1、2、3、4各出现的次数，根据规律，推测出集合M中各数字出现的次数，即可得答案. ②分别求得集合的交替和总和，根据规律，总结出n个元素的交替和总和公式，代入数据，即可得答案. 【详解】（1）集合{1，2，3}的非空子集为{1}，{2}，{3}，{2，1}，{3，1}，{3，2}，{3，2，1}， 集合{1}，{2}，{3}的交替和分别为1，2，3， 集合{2，1}的交替和为2-1=1， 集合{3，1}的交替和为3-1=2， 集合{3，2}的交替和为3-2=1， 集合{3，2，1}的交替和为3-2+1=2， 所以集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和为1+2+3+1+2+1+2=12. （2）①集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现次， 集合{1，2，3，4}所有非空子集为：{1}，{2}，{3}，{4}，{2，1}，{3，1}，{4，1}，{3，2}，{2，4}，{3，4}，{3，2，1}，{4，2，1}，{4，3，1}，{4，3，2}，{4，3，2，1}， 其中数字1、2、3、4各出现次， 在集合{1，2，3，4，5}所有非空子集中，含1的子集的个数为， 故数字1在个子集中出现即数字1在所有的非空子集中出现了16次， 同理数字2、3、4、5各出现次， 同理在集合{1，2，3，4，5，6}所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. ②设集合的交替和分别为， 集合{1}的所有非空子集的交替和为 集合{1，2}的所有非空子集的交替和， 集合{1，2，3}的非空子集的交替和， 集合{1，2，3，4}的非空子集的交替和 所以根据前4项猜测集合的所有非空子集的交替和总和为， 所以集合所有非空子集的交替和的总和 【点睛】解题的关键是根据题意，列出非空子集，求得元素和、交替和，总结规律，进行猜想，再代数求解，分析理解难度大，属难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $