精品解析：广东省惠州中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

广东省惠州中学2024-2025学年高一上学期期中考试 数学试题 命题人：华鸳鸯 李文华 审题人:华鸳鸯 李文华 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2、作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卡各题目指定区域内相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案:不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁，不得折叠. 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题p：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定形式判断即可得出答案. 【详解】由命题p：，，可得为，. 故选：A. 2. 已知集合满足，且，则满足条件的集合有（ ） A. 2个 B. 4个 C. 8个 D. 16个 【答案】B 【解析】 【分析】根据子集和真子集的概念求解即可. 【详解】由题意可知，集合中一定包含元素1，2，一定不包含元素3， 且是的真子集，所以或或或， 即满足条件的集合有4个. 故选：B. 3. 设，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法解出的结果，然后与0进行比较，即可得到答案 【详解】解：因为，， 所以， ∴， 故选：A 4. 下列各组函数是同一个函数的是（    ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用同一函数的定义与判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以A不符合题意； 对于B，函数，，所以两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以B不符合题意； 对于C，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以C不符合题意； 对于D，由函数与的定义域与对应关系都相同，所以是同一个函数，所以D符合题意. 故选：D 5. 已知函数，则的值为（ ） A. 11 B. 0 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数解析式来求得正确答案. 【详解】由题可得. 故选：C 6. 已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先考虑均为真命题得到的取值范围，然后根据的真假性得到关于的不等式，即可求解出的取值范围. 【详解】若，，则， ∴． 若，， 则， 解得或． ∵命题和命题q都是真命题， ∴或， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查根据全称命题、特称命题的真假求解参数范围，难度一般.利用命题的真假求解参数范围时，可先考虑命题都为真的情况下对应的参数范围，然后再根据实际的命题真假得到关于参数的不等式（注：若命题为假，只需对为真时参数范围取补集），由此求解出参数范围. 7. 定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为（ ） A. [－1,2) B. [0,2) C. [0,1) D. [－1,1) 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式即可得到函数f(x)在[－2,2]上单调递增，根据单调性即可列出不等式组，即可解出答案. 【详解】因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2， 所以函数在[－2,2]上单调递增， 所以得0≤a＜1， 故选C. 【点睛】本题考查函数单调性解不等式，属于基础题.求解函数不等式问题，主要是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用． 8. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义作出函数的解析式和图象，根据函数值域，求出对应点的坐标，利用数形结合进行判断即可． 【详解】 其中，， 即， 当时，当或时，由，得， 即或， 当时，当时，由，得， 由图象知若在区间，上的值域为，，则区间，长度的最大值为， 故选：． 【点睛】利用数形结合思想作出函数的图象，求解的关键是对最小值函数定义的理解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据结合不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A选项：，，，故A正确； 对于B选项：，，，故B正确； 对于D选项：，，，故D正确； 对于C选项：由，可取，此时，故C错误. 故选：ABD. 10. 已知函数，则（ ） A. B. C. 的最小值为1 D. 的图象与轴有1个交点 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用换元法求出的解析式，然后逐一判断即可. 【详解】令，得，则，得， 故，，，A正确，B错误. ，所以在上单调递增， ，的图象与轴只有1个交点，C正确，D正确. 故选：ACD 11. 已知关于x的不等式（，）的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二次不等式的解集得方程的两根为和，结合韦达定理得，从而判断A，再利用基本不等式计算判断BCD. 【详解】由题意，不等式的解集为， 可得，且方程的两根为和， 所以，所以，， 所以，所以A正确； 因为，，所以，可得， 当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以B正确； 由， 当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为，所以C错误； 由， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是定义在上的奇函数，则实数______ 【答案】5 【解析】 【分析】根据奇函数的定义求解． 【详解】由题意的定义域关于原点对称， ∴，， 故答案为：5. 13. 已知函数在定义域上单调递减，则实数取值范围_______. 【答案】 【解析】 【分析】由两段都是递减，且分界点左大右小(可相等)可得． 【详解】由题意，解得． 故答案为：． 14. 设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的最大值为_________． 【答案】##4.5 【解析】 【分析】根据函数，且时，，作出函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】解：因为函数，且时，， 所以， 当时，， 则， ， 当时，， ， ， 作出函数的图象如图所示： 由图象知：当时，，此时， 所以令，解得或， 所以对任意，都有时，的最大值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记函数的定义域为集合，函数的值域为集合，求： （1）求M，N； （2）求. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用函数有意义列出不等式组求出定义域，再由算术根的意义求出值域. （2）由（1）的结论，利用并集、补集、交集的定义求解即得. 【小问1详解】 函数有意义，则，解得，所以； 函数的定义域为，，则，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以. 16. 已知关于x的不等式的解集为或. （1）求a、b的值； （2）若函数，求值域. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集知的两个根，根据方程根的定义或韦达定理便可得到a、b的值. （2）先将函数化为顶点式，确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据给定区间找出函数的最大值和最小值，从而确定值域. 【小问1详解】 ∵的解集为或， ∴的根为，， ， ∴，. 【小问2详解】 由（1）知， ， 抛物线开口向上，对称轴为. ∵，∴； 又，∴. ∴函数的值域为. 17. 某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x百台这种仪器，需另投入成本f(x)万元，假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元. （1）求利润g(x)（万元）关于产量x（百台）的函数关系式； （2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1）；（2）产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元. 【解析】 【分析】 （1）依题意求出各段的函数解析式，再写成分段函数即可； （2）根据解析式求出各段函数的最大值，再取最大的即可； 【详解】解：（1）由题意可知，当0＜x＜40，100x∈N时，g(x)＝300x-5x2-50x-500-1000＝-5x2+250x-1500；当x≥40，100x∈N时， 综上， （2）当0＜x＜40，100x∈N时，g(x)＝-5x2+250x-1500＝-5(x-25)2+1625，且当x＝25时，g(x)取得最大值1625；当x≥40，100x∈N时，，当且仅当x＝50时，g(x)取得最大值1900.综上，当x＝50，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元. 【点睛】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型. (2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值． 18. 已知二次函数的最小值为，且是其一个零点，都有. （1）求函数的解析式； （2）解关于的不等式，其中. 【答案】（1）； （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出二次函数图象的对称轴，利用顶点式设解析式，再结合零点求解. （2）由（1）的结论，分类求解含参数的一元二次不等式即得. 【小问1详解】 由都有，得二次函数的图象对称轴为， 又的最小值为，则设， 由是的一个零点，得，解得， 所以函数的解析式为，即. 【小问2详解】 由（1）知，不等式， 整理得，即， 当时，，解得； 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为， 当时，解得或；当时，解得；当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”. （1）已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”.并说明理由； （2）用定义证明函数在为单调递增函数； （3）若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）不是 （2） ，则方程为， 化为，又，此方程无实数解， 所以，不存在实数，满足， 所以不是“局部反比例对称函数”. （3） 【解析】 【分析】（1）判断方程有没有实数解即可； （2）设，且是上任意两个实数，用作差法证明； （3）方程在上有解，令，问题转化为方程在上有解，再由一元二次方程根的分布知识求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 设，且是上任意两个实数，则， 所以，即， 所以在为单调递增函数； 【小问3详解】 若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，即在上有解． 即在上有解． ， 令，则上述方程化为， ，则， 所以方程在上有解， 设，则其图象开口向上，对称轴为， ①若，， 即，所以，所以； ②若，， 即，所以，所以； 综上，实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：本题函数的新定义，解题方法利用新定义把问题进行转化，第（3）小题一是直接由新定义转化为方程在上有解，二是利用换元法转化一元二次方程在上有解，然后再利用二次方程根的分布知识求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省惠州中学2024-2025学年高一上学期期中考试 数学试题 命题人：华鸳鸯 李文华 审题人:华鸳鸯 李文华 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2、作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卡各题目指定区域内相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案:不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁，不得折叠. 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题p：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合满足，且，则满足条件的集合有（ ） A. 2个 B. 4个 C. 8个 D. 16个 3. 设，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 下列各组函数是同一个函数的是（    ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 已知函数，则的值为（ ） A. 11 B. 0 C. 5 D. 4 6. 已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为（ ） A. [－1,2) B. [0,2) C. [0,1) D. [－1,1) 8. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. B. C. 的最小值为1 D. 的图象与轴有1个交点 11. 已知关于x的不等式（，）的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是定义在上的奇函数，则实数______ 13. 已知函数在定义域上单调递减，则实数取值范围_______. 14. 设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记函数的定义域为集合，函数的值域为集合，求： （1）求M，N； （2）求. 16. 已知关于x的不等式的解集为或. （1）求a、b的值； （2）若函数，求值域. 17. 某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x百台这种仪器，需另投入成本f(x)万元，假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元. （1）求利润g(x)（万元）关于产量x（百台）的函数关系式； （2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润. 18. 已知二次函数的最小值为，且是其一个零点，都有. （1）求函数的解析式； （2）解关于的不等式，其中. 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”. （1）已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”.并说明理由； （2）用定义证明函数在为单调递增函数； （3）若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $