精品解析：重庆市兼善中学2024-2025学年高一上学期第一次阶段性考试数学试题

重庆市兼善中学高2024级高一上 第一次阶段性考试数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 命题“，”的否定是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的定义求解即可. 【详解】根据全称量词命题的否定， 命题“，”的否定是，． 故选：C． 2. 下列表示正确的个数是（ ） （1）；（2）；（3）； （4）若，则 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系即可判断（1）；根据集合的包含关系即可判断（2）；根据集合的分类即可判断（3）；根据交集和子集的定义即可判断（4）. 【详解】（1）中元素与空集的关系是不属于，正确； （2）空集是非空集的子集正确； （3），故不正确； （4）根据集合子集的意义知，若，则，故正确. 故选：D. 3. 估计的值应在（ ） A. 9和10之间 B. 8和9之间 C. 7和8之间 D. 6和7之间 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次根式的运算法则进行计算，在对根式进行估算即可. 【详解】， 因为， 所以， 所以， 故选：C. 4. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得二次方程有解，列不等式求的范围即可. 【详解】由已知二次方程有解， 所以，且， 所以且. 故选：D. 5. 已知的集合M的个数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意写出集合M的所有可能的情况，即得答案. 【详解】由可知，集合M中一定含有元素1，3， 则M可以是：， ，共8个， 故选：B 6. 函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数定义域的性质，结合二次根式的性质及分母不为零进行求解即可． 【详解】由函数的定义域为，可得， ∴函数的定义域为， ∴由函数，可得，解得 ∴函数的定义域为. 故选：D. 7. 已知命题，，命题，，若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ）. A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】若命题p为真命题，利用基本不等式求出的最小值即可得到a的取值范围，若命题q为真命题，则由即可求出a的取值范围，再取两者的交集即可. 【详解】∵命题：为真命题， ∴， 又∵，∴，当且仅当，即时，等号成立， ∴， ∵命题，，为真命题， ∴，∴或， ∵命题p，q都是真命题， ∴或. 故选：C 8. 已知，若对于任意实数，均存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先分析各段函数的单调性，依题意只需函数的值域为，分和两种情况讨论，分别求出函数在各段的最大（小值，即可得到不等式，解得即可． 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 函数在上单调递减，在上单调递增， 要使对任意实数，总存在实数，使得，即函数的值域为， 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，，时，， 则只需，解得； 当时，在，上单调递增， 当时，，时，， 则只需要，解得， 又，所以． 综上可得，即实数的取值范围是,． 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，3分或者4分，有选错的得0分） 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用不等式性质可判断选项AB，由作差法可判断选项CD，即可得出结论. 【详解】对于A，由同向可加性可得，即，所以A错误； 对于B，由同向可乘性可得，即可得B正确； 对于C，利用作差法可得，因此可得，即C正确； 对于D，作差可得，其符号不确定，因此可得D错误. 故选：BC 10. 设正实数满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为2 C. 的最大值为1 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项， ，当且仅当时等号成立， 所以A选项错误. B选项，， 当且仅当时等号成立，所以B选项正确. C选项，， 当且仅当时等号成立，所以C选项正确. D选项，， 当且仅当时等号成立，所以D选项错误. 故选：BC 11. 已知关于的方程，则下列结论正确的是（ ） A. 方程有一个正根一个负根的充要条件是 B. 方程有两个正根的充要条件是 C. 方程无实数根的一个必要条件是 D. 当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】ABC 【解析】 【分析】A将代入方程左侧使其值小于零即可；B依据以及韦达定理即可判断；C根据求出其充要条件再判断；D化简得出方程无实根. 【详解】A选项，方程有一个正根一个负根，等价于，即， 是方程有一个正根一个负根的充要条件，A正确； B选项，方程有两个正根，等价于，即， 是方程有两个正根的充要条件，B正确； C选项，方程无实数根，等价于，即， 而是的必要不充分条件， 则方程无实数根的一个必要条件是，C正确； D选项，当时，方程无实数根，D错误． 故选：ABC． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知集合，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据集合中元素的互异性和集合相等求解. 【详解】由可知，，解得或. 又根据集合中元素的互异性，可知，故. 故答案为：. 13. 已知，求的取值范围__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案. 【详解】设,则解得 故， 由,故， 由,故， 所以. 故答案为：. 14. 已知正实数，，满足，且，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，再根据，结合基本不等式即可得解. 【详解】由，得， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：将化为，是解决本题的关键. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知全集，集合或. （1）求； （2）求. 【答案】（1）或， 或； （2）. 【解析】 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用并集、补集、交集的定义直接求解即得. 【小问1详解】 集合，或， 所以或，或， 所以或. 【小问2详解】 由或得， 所以. 16. 已知不等式的解集为，不等式的解集为，集合. （1）设全集，求集合； （2）设集合，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先解不等式求出集合、，再根据交集、补集的定义计算可得； （2）依题意可得，即可得到，解得即可. 【小问1详解】 由，即，解得， 又不等式的解集为，则. 由，等价于，解得， 又不等式的解集为，则， 所以，则； 【小问2详解】 因为“”是“”的必要条件，所以， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 17. 已知定义在上的函数满足：． （1）求函数的表达式； （2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用方程组法求函数解析式即可； （2）要使在上恒成立，分离参数结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 将的替换为得， 联立 解得 【小问2详解】 不等式为，化简得， 要使其在上恒成立，则， ， 当且仅当取等，所以． 18. 已知函数． （1）已知关于x的不等式的解集为，若存在，使关于x的不等式有解，求实数m的取值范围； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为； 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解可求的值，从而可得关于的不等式，故可求的范围； （2）就分类讨论后可得不等式的解集. 【小问1详解】 因为的解集为， 所以且的两个根为， 所以，故， 因为不等式在上有解，故或， 故. 【小问2详解】 即为， 故， 若，则，此时不等式的解为； 若，则，此时不等式的解为； 若， 若，则或，此时不等式的解为； 若，则不等式的解为； 若，则或，此时不等式的解为； 综上：当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 19. 学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，，且，求的最小值. 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同. 李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为. 韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为. （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误?（错误的需说明理由） （2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）已知，，，且，求证：. （ii）已知，，，求的最小值. 【答案】（1） 李雷的解法错误，韩梅梅的解法正确， 李雷的解法中，，等号成立的条件是， ，等号成立的条件是， 等号同时成立的条件是，此时，这与已知矛盾， 所以李雷的解法中取不到； （2）（ⅰ） ， 其中，当时，等号成立， ，当时，等号成立，，当时，等号成立， 所以， 当时，等号成立. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式等号成立的条件，即可判断； （2）（ⅰ）利用“1”的妙用，转化为基本不等式，即可证明； （ⅱ）两次利用“1”的妙用，结合基本不等式，即可求最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ） ， 当，即时，等号成立，联立，得， 所以的最小值为. 【点睛】关键点的点睛：本题的关键是理解利用基本不等式的使用条件需要保证“一正，二定，三相等”，“1”的妙用的灵活应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市兼善中学高2024级高一上 第一次阶段性考试数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 命题“，”的否定是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列表示正确的个数是（ ） （1）；（2）；（3）； （4）若，则 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 估计的值应在（ ） A. 9和10之间 B. 8和9之间 C. 7和8之间 D. 6和7之间 4. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 已知的集合M的个数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知命题，，命题，，若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ）. A. B. C. 或 D. 8. 已知，若对于任意实数，均存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，3分或者4分，有选错的得0分） 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 设正实数满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为2 C. 的最大值为1 D. 的最小值为 11. 已知关于的方程，则下列结论正确的是（ ） A. 方程有一个正根一个负根的充要条件是 B. 方程有两个正根的充要条件是 C. 方程无实数根的一个必要条件是 D. 当时，方程的两个实数根之和为0 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知集合，则______ 13. 已知，求的取值范围__________． 14. 已知正实数，，满足，且，则的最小值为_________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知全集，集合或. （1）求； （2）求. 16. 已知不等式的解集为，不等式的解集为，集合. （1）设全集，求集合； （2）设集合，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 17. 已知定义在上的函数满足：． （1）求函数的表达式； （2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 18. 已知函数． （1）已知关于x的不等式的解集为，若存在，使关于x的不等式有解，求实数m的取值范围； （2）解关于x的不等式． 19. 学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，，且，求的最小值. 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同. 李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为. 韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为. （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误?（错误的需说明理由） （2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）已知，，，且，求证：. （ii）已知，，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $