精品解析：山西省晋中市寿阳县多校2024-2025学年上学期期中测试九年级数学试卷

山西省晋中市寿阳县多校2024-2025学年上学期期中测试九年级数学试卷 （满分120分，练习时间120分钟） 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只穼一项符合题目要求） 1. 关于x的一元二次方程有一个根为0，则k的值是（ ） A. 3 B. 1 C. 1或 D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】把x=0代入原方程得到转化关于k的方程，然后结合二次项系数不等于0求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0， ∴-2k-3=0，且k+1≠0, ∴k=3． 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程的解法，一元二次方程的定义等知识点，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题的关键． 2. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形是中心对称图形 B. 矩形的对角线互相平分 C. 菱形的对角线相等 D. 正方形对角线上的点到另两个顶点的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的性质以及正方形的性质，可以得到答案． 【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，正确； B、矩形的对角线互相平分，正确； C、菱形的对角线互相垂直且平分，不一定相等，故C错误； D、正方形对角线上的点到另两个顶点的距离相等，正确； 故选：C. 【点睛】本题主要考查平行四边形、矩形、菱形的性质以及正方形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 3. 如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为3的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用列树状图的方法解决概率问题，列举出所有等可能情况，看和为3的情况数占所有情况数的多少即可，熟练画出树状图是解题的关键． 【详解】解：第一个图中，指针指向1或2的概率是不相等的， 所以把第一个图中圆三等分，即2分成两个部分， 列树状图得： 共有6种等可能情况，和为3的情况数有3种，所以概率为， 故选：A． 4. 美是一种感觉,本应没有什么客观的标准,但在自然界里,物体形状的比例却提供了在的称与协调上的一种美感的参考,在数学上,这个比例称为黄金分割.在人体由脚底至肚脐的长度与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,也就是说,若此比值越接近就越给别人一种美的感觉. 某女士身高为,脚底至肚脐的长度与身高的比为为了追求美，地想利用高跟鞋达到这一效果 ,那么她选的高跟鞋的高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件算出下半身身高，然后设选的高跟鞋的高度为xcm，根据比值是0.618列出方程，解方程即可 【详解】根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm 设选的高跟鞋的高度为xcm， 有 解得x≈7.5 经检验x≈7.5是原方程的解 故选C 【点睛】本题考查分式方程的应用，能够读懂题意列出方程是本题关键 5. 如图，在△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，下列条件：①∠ABD=∠ACB，②AB2=AD·AC，③∠ADB=∠ABC，④AB2=AD·DC.其中，单独能判定△ABD∽△ACB的个数是（ ） A. 4 B. 1 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，可判断①③，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判断②④． 【详解】①∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB； ②∵AB2=AD•AC，∴=． ∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB； ③∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB； ④∵AB2=AD·DC，∴=，∠A=∠A，△ABC与△ADB不相似． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 6. 如图，在△ABC中，AB=AC，的平分线交AB于点D，增添下列条件仍然不能判断△ABC∽△CBD的是（ ） A. B. BC=DC C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， 当∠A＝36°时， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°， ∴∠DCB＝36°， ∴∠A＝∠DCB， 又∵∠DBC＝∠ABC， ∴△ABC∽△CBD，故选项A不符合题意； 当BC＝DC时， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠CBD＝∠CDB， ∴△ABC∽△CBD，故选项B不符合题意； 当BC2＝BD•AB时， ∴， 又∵∠CBD＝∠ABC， ∴△ABC∽△CBD，故选项C不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 7. 从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了概率计算以及三角形三边关系，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比；组成三角形的两条小边之和大于最大的边． 由4条线段中任意取3条，是一个列举法求概率问题，是无放回的问题，共有4种可能结果，每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有3个结果．因而就可以求出概率． 【详解】解：由4条线段中任意取3条，共有4种可能结果， 分别为：2，3，4；2，3，5；3，4，5；2，4，5； 每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有2，3，4；3，4，5；2，4，5；共3个结果， 所以P（能组成三角形）． 故选：A． 8. 为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】2014年投入为2500（1+x），2015年投入为2500（1+x）（1+x）， ∴可列方程为：2500（1+x）2=3600； 故选：B． 9. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝3，BD＝1，则BC的值是（　　） A. 2 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用射影定理得到BC2=BD•BA，然后把AD=3，BD=1代入计算即可． 【详解】解：根据射影定理得BC2=BD•BA， 即BC2=1×（1+3）， 所以BC=2． 故选C． 【点睛】本题考查射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 10. 如图，边长为4的正方形中，E 是对角线上的一点，且，点 P 在 上． 于点 M， 于点 N，则的值为 （ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理，连接，设点C到的距离为h，然后根据求出，再根据正方形的性质求出h即可． 【详解】解：如图，连接，设点C到的距离为h， 则， 即， ∵， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴，， ∴， 在中，， ∴ ∴， 故选：B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则的值为_________. 【答案】-2 【解析】 【分析】根据已知等式可设，再代入计算即可. 【详解】∵， ∴设， ∴===－2. 故答案为：－2. 【点睛】本题考查了比例的性质，“设k法”是解答此类型题的常用方法. 12. 等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是________． 【答案】36 【解析】 【分析】分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑．①当3为等腰三角形的腰时，将x＝3代入原方程可求出k的值，再利用分解因式法解一元二次方程可求出等腰三角形的底，由三角形的三边关系可确定此情况不存在；②当3为等腰三角形的底时，由方程的系数结合根的判别式可得出△＝144﹣4k＝0，解之即可得出k值，进而可求出方程的解，再利用三角形的三边关系确定此种情况符合题意．此题得解． 【详解】①当3为等腰三角形的腰时，将x＝3代入原方程得9﹣12×3+k＝0，解得：k＝27，此时原方程为x2﹣12x+27＝0，即（x﹣3）（x﹣9）＝0，解得：x1＝3，x2＝9． ∵3+3＝6＜9，∴3不能为等腰三角形的腰； ②当3为等腰三角形的底时，方程x2﹣12x+k＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣12）2﹣4k＝144﹣4k＝0，解得：k＝36，此时x1＝x26． ∵3、6、6可以围成等腰三角形，∴k＝36． 故答案为36． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法、根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑是解题的关键． 13. 某旅社有客房144间，每间房的日租金为200元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间房的日租金每增加10元时，则每天客房出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到________元时，客房的日租金总收入最高． 【答案】220 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，设每间客房的日租金提高元，则每天客房出租数会减少间，根据题意得到与的关系式，再根据二次函数的性质可得答案．解题的关键是掌握租金总收入日租金房间数列出函数关系式． 【详解】解：设每间客房的日租金提高元，则每天客房出租数会减少间． 设客房日租金总收入为，则， 即：， ∵，且， ∴． 当时，客房的日租金总收入最高． 这时每间客房的日租金为（元）． 故答案为：220． 14. 如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得随机两次取出卡片的所有等可能的结果，再找出两次取到相同图案的卡片的结果，然后利用概率公式求解即可得． 【详解】解：将这4张卡片记为，画出树状图如下： 由图可知，随机两次取出卡片的所有等可能的结果共有16种，其中，两次取到相同图案的卡片的结果有4种， 则两次取到相同图案的卡片的概率为， 故答案为：． 15. 如图，平行四边形中，F是对角线上的一点，连接并延长，交于点E，已知，，则__． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，利用平行四边形的性质得出，证明，利用相似三角形的性质求出的长度，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）（x+3）2＝2x+5 （2）3x2﹣1＝6x（用配方法） 【答案】（1）x1＝x2＝﹣2；（2）x1＝1+，x2＝1﹣． 【解析】 【分析】（1）先将原方程化成一般式，在采用配方法解答即可； （2）采用配方法将方程左边化成完全平方式，再运用直接开平方法解答即可. 【详解】解：（1）（x+3）2＝2x+5， x2+6x+9＝2x+5， x2+4x+4＝0， （x+2）2＝0， x1＝x2＝﹣2； （2）3x2﹣1＝6x， 3x2﹣6x﹣1＝0， x2﹣2x＝， x2﹣2x+1＝+1， （x﹣1）2＝， x﹣1＝±， x1＝1+，x2＝1﹣． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解答的关键在于掌握将方程左边化成完全平方式，然后再采用直接开平方法进行解答. 17. 已知关于的方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围； （2）当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之，即可得出m的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出，．结合，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合（1）的结论即可确定m的值． 【小问1详解】 解：∵关于的方程有两个实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围为； 【小问2详解】 ∵关于的方程的两个根分别为：，， ∴，， ∵， ∴， 即， 整理得， ∴， 解得：，， ∵， ∴m的值为． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是∶ （1）牢记“当时，方程有两个实数根”；(2)利用根与系数的关系结合，找出关于m的一元次方程． 18. 本周周末小李、小田和小袁三位同学约定一起到小李家来玩“真心话大冒险”游戏，他们约定用手心手背来决定哪两个先进行“真心话大冒险”，其规则如下：喊到“3”时，每个人只能同时出右手，如果三人右手中恰有两只同时手心朝上或同时手心朝下的人，那么这两个人先玩“心话大冒险”，第三人观战；如果三只右手都手心朝上或都手心朝下，那么收回手，喊到“3”再次伸手． （1）请用画树状图的方法表示一个回合所有可能出现的结果； （2）求一个回合能确定只有一位同学来观战的概率． 【答案】 （1）画树状图为：（手心朝上用A表示，手心朝下用a表示） 共有8种等可能的结果； （2）． 【解析】 【分析】（1）先画出树状图（手心朝上用A表示，手心朝下用a表示）发现共有8种等可能的结果； （2）先找出只有一位同学来观战的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】略 （2）只有一位同学来观战的结果数为6， 所以只有一位同学来观战的概率＝． 【点睛】本题考查了画树状图法和根据概率公式求概率，正确画出树状图是解答本题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，分别将点、的横坐标、纵坐标都乘以，得相应的点、的坐标． （1）画出； （2）与________位似图形；（填“是”或“不是”） （3）若线段上有一点，按上述变换后对应的上点的坐标是________． 【答案】 解：（1）如图所示：，即为所求： （2）是； （3）． 【解析】 【分析】（1）直接利用将点、的横坐标、纵坐标都乘以，得相应的点、的坐标，即可得出答案； （2）利用位似图形的定义得出答案； （3）利用位似图形的性质即可得出对应点坐标． 【详解】（1）略 （2）略 （3）若线段上有一点，按上述变换后对应的上点的坐标是：． 【点睛】本题考出来位似变换以及位似图形的性质，正确得到图形对应点的坐标是解题关键． 20. 如图等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝8，点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿AB边向点B运动，过点P作PR∥BC、PQ∥AC分别交AC、BC于R、Q．问： （1）平行四边形PQCR面积能否为7？如果能，请求出P点运动所需要的时间；如不能，请说明理由； （2）平行四边形PQCR面积能否为16？能为20吗？如果能，请求分别出P点运动所需要的时间；如不能，请说明理由． 【答案】（1）当动点P从A点出发移动或秒时，□PQCR的面积等于7；（2）当动点P从A点出发移动2秒时，□PQCR的面积等于16．不存在□PQCR的面积等于20 【解析】 【分析】（1）设动点P从A点出发移动x个单位时，□PQCR的面积等于7，根据等腰三角形的性质和平行四边形的面积公式可列方程求解； （2）利用（1）中的方法建立方程，进一步解方程，根据方程根的情况判定即可． 【详解】解：（1）设动点P从A点出发移动x个单位时，□PQCR的面积等于7，依题意有： ×82﹣x2﹣(8﹣x)2＝7， 解得：x1＝1，x2＝7． 故运动时间是或秒． 答：当动点P从A点出发移动或秒时，□PQCR的面积等于7． （2）由题意得： ×82﹣x2﹣(8﹣x)2＝16， 解得：x1＝x2＝4， 此时运动时间为：＝2（秒）， ×82﹣x2﹣(8﹣x)2＝20， 此方程无解． 所以当动点P从A点出发移动2秒时，□PQCR的面积等于16．不存在□PQCR的面积等于20． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、一元二次方程的应用、等腰直角三角形等知识．熟练掌握等腰直角三角形的性质及三角形面积公式是解题的关键． 21. 阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：黄金分割：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约前408年一前355年）发现：如图1，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫做线段PB，AB的比例中项），则可得出这一比值等于（0.618…）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图2，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB于点B，且使BD＝AB，连接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是线段AB的黄金分割点． 任务：（1）求证：C是线段AB的黄金分割点． （2）若BD＝1，则BC的长为 ． 【答案】（1）∵BD⊥AB， ∴△ABD是直角三角形， ∵BD＝AB， ∴设则 ， ∴ ， ∵DE＝DB，AC＝AE， ∴ ， ∴ ∴， ∴ ， 故C是线段AB的黄金分割点． （2） 【解析】 【分析】（1）在直角三角形△ABD中设则 ，利用勾股定理求出，再求出，即，则，即可得出结论； （2）若BD＝1，则 ，把AB代入到即可求出AC，进而可求出BC． 【详解】解：（1）略 （2）若BD＝1，则 ， 由（1）知， ∴， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查黄金分割、勾股定理等知识，解题关键是正确理解题意，掌握黄金分割的定义． 22. 综合与实践 神舟十八号载人飞船成功发射，为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅励志条幅（即）．小亮同学想知道条幅的长度，他的测量过程如下：如图，刚开始他站在距离教学楼的点处，在点正上方点处测得，然后向教学楼条幅方向前行到达点处，在点正上方点处测得，若，，均为，的长为． （1）如图1，请你帮助小亮计算条幅的长度； （2）若小亮从点开始以每秒的速度向点行走至（正上方点），经过多少秒后，以、、为顶点的三角形与相似． 【答案】（1）条幅的长度为； （2）经过秒或秒后，以、、为顶点的三角形与相似． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行线的判定，平行线分线段成比例，熟练掌握并灵活运用这些性质是解答本题的关键． （1）根据已知求出、和，再根据同位角相等求出，根据成比例线段求出长度； （2）设经过秒后，以、、为顶点的三角形与相似，则，，利用三角形相似对应边成比例，分成和两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，，， ， ， ，即， 解得， 条幅的长度为； 【小问2详解】 解：设经过秒后，以、、为顶点的三角形与相似，则，， 当时，，即， 解得； 当时，，即， 解得， ∴经过秒或秒后，以、、为顶点的三角形与相似． 23. 探究问题： （1）方法感悟： 如图①，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，且满足，连接，求证： ． 感悟解题方法，并完成下列填空． 证明：延长到点G，使，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即______． 又∵，， ∴__________． ∴， ∵， 又， ∴． 变化：在图①中，过点A作于点M，请直接写出和的数量关系____________； （2）方法迁移： 如图②，将沿斜边翻折得到，E，F分别是边上的点，，连接，过点A作于点M，试猜想之间有何数量关系，并证明你的猜想，试猜想和之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，E，F分别为，上的点，满足，试猜想当与满足什么关系时，可使得，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：与满足关系： ． 【答案】（1）；； （2） 解：，；证明如下： 如图，延长至点G，连接，使得， 将沿斜边翻折得到，点E、F分别为、边上的点，且， ，，， ， ， 即． 在和中， ， ， ，． 在和中， ， ， ， ，， ， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）延长到点G，使，连接，证明，得出，，证明．得出，根据，得出．证明，得出，，根据，即可得出结论； （2）延长至点G，连接，使得，证明，得出，．证明，得出，根据，得出，根据，，得出，即可得出答案； （3）延长至点Q，连接，使得，证明，得出，，证明，得出，根据，得出． 【小问1详解】 证明：延长到点G，使，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 又∵，， ∴． ∴， ∵， 又， ∴． ，理由如下： ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，． 如图，延长至点Q，连接，使得， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ，， ， 当时，可使得． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，正方形的性质，补角的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省晋中市寿阳县多校2024-2025学年上学期期中测试九年级数学试卷 （满分120分，练习时间120分钟） 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只穼一项符合题目要求） 1. 关于x的一元二次方程有一个根为0，则k的值是（ ） A. 3 B. 1 C. 1或 D. 或3 2. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形是中心对称图形 B. 矩形的对角线互相平分 C. 菱形的对角线相等 D. 正方形对角线上的点到另两个顶点的距离相等 3. 如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为3的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 美是一种感觉,本应没有什么客观的标准,但在自然界里,物体形状的比例却提供了在的称与协调上的一种美感的参考,在数学上,这个比例称为黄金分割.在人体由脚底至肚脐的长度与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,也就是说,若此比值越接近就越给别人一种美的感觉. 某女士身高为,脚底至肚脐的长度与身高的比为为了追求美，地想利用高跟鞋达到这一效果 ,那么她选的高跟鞋的高度约为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，下列条件：①∠ABD=∠ACB，②AB2=AD·AC，③∠ADB=∠ABC，④AB2=AD·DC.其中，单独能判定△ABD∽△ACB的个数是（ ） A. 4 B. 1 C. 3 D. 2 6. 如图，在△ABC中，AB=AC，的平分线交AB于点D，增添下列条件仍然不能判断△ABC∽△CBD的是（ ） A. B. BC=DC C. D. 7. 从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝3，BD＝1，则BC的值是（　　） A. 2 B. C. 2 D. 4 10. 如图，边长为4的正方形中，E 是对角线上的一点，且，点 P 在 上． 于点 M， 于点 N，则的值为 （ ） A. 2 B. C. 4 D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则的值为_________. 12. 等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是________． 13. 某旅社有客房144间，每间房的日租金为200元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间房的日租金每增加10元时，则每天客房出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到________元时，客房的日租金总收入最高． 14. 如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为_________． 15. 如图，平行四边形中，F是对角线上的一点，连接并延长，交于点E，已知，，则__． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）（x+3）2＝2x+5 （2）3x2﹣1＝6x（用配方法） 17. 已知关于的方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围； （2）当方程的两个根满足时，求的值． 18. 本周周末小李、小田和小袁三位同学约定一起到小李家来玩“真心话大冒险”游戏，他们约定用手心手背来决定哪两个先进行“真心话大冒险”，其规则如下：喊到“3”时，每个人只能同时出右手，如果三人右手中恰有两只同时手心朝上或同时手心朝下的人，那么这两个人先玩“心话大冒险”，第三人观战；如果三只右手都手心朝上或都手心朝下，那么收回手，喊到“3”再次伸手． （1）请用画树状图的方法表示一个回合所有可能出现的结果； （2）求一个回合能确定只有一位同学来观战的概率． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，分别将点、的横坐标、纵坐标都乘以，得相应的点、的坐标． （1）画出； （2）与________位似图形；（填“是”或“不是”） （3）若线段上有一点，按上述变换后对应的上点的坐标是________． 20. 如图等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝8，点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿AB边向点B运动，过点P作PR∥BC、PQ∥AC分别交AC、BC于R、Q．问： （1）平行四边形PQCR面积能否为7？如果能，请求出P点运动所需要的时间；如不能，请说明理由； （2）平行四边形PQCR面积能否为16？能为20吗？如果能，请求分别出P点运动所需要的时间；如不能，请说明理由． 21. 阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：黄金分割：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约前408年一前355年）发现：如图1，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫做线段PB，AB的比例中项），则可得出这一比值等于（0.618…）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图2，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB于点B，且使BD＝AB，连接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是线段AB的黄金分割点． 任务：（1）求证：C是线段AB的黄金分割点． （2）若BD＝1，则BC的长为 ． 22. 综合与实践 神舟十八号载人飞船成功发射，为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅励志条幅（即）．小亮同学想知道条幅的长度，他的测量过程如下：如图，刚开始他站在距离教学楼的点处，在点正上方点处测得，然后向教学楼条幅方向前行到达点处，在点正上方点处测得，若，，均为，的长为． （1）如图1，请你帮助小亮计算条幅的长度； （2）若小亮从点开始以每秒的速度向点行走至（正上方点），经过多少秒后，以、、为顶点的三角形与相似． 23. 探究问题： （1）方法感悟： 如图①，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，且满足，连接，求证： ． 感悟解题方法，并完成下列填空． 证明：延长到点G，使，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即______． 又∵，， ∴__________． ∴， ∵， 又， ∴． 变化：在图①中，过点A作于点M，请直接写出和的数量关系____________； （2）方法迁移： 如图②，将沿斜边翻折得到，E，F分别是边上的点，，连接，过点A作于点M，试猜想之间有何数量关系，并证明你的猜想，试猜想和之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，E，F分别为，上的点，满足，试猜想当与满足什么关系时，可使得，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：与满足关系： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $