精品解析：安徽省阜阳市颍东区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期期中教学质量检测九年级数学 姓名：______ 班级：______ 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. B. C. 0，1 D. 2. 关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为（　　） A. B. C. 1 D. 2 3. 函数的图像的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 4. 二次函数的图像上有，，三点，则、、的大小关系（用“”连接）是（ ） A. B. C. D. 5. 将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A. y＝(x－1)2＋2 B. y＝(x＋1)2＋2 C. y＝(x－1)2－2 D. y＝(x＋1)2－2 6. 根据下表中的对应值，判断方程的一个解的范围是（ ） x A. B. C. D. 7. 已知二次函数与一次函数的图象相交于点，（如图所示），则能使成立的x的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 8. 某商店原来平均每天可销售某种水果，每千克盈利7元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，那么每天可多售出，若要平均每天盈利950元，则每千克应降价多少元？设每千克应降价x元，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 9. 已知一个三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，且这个直角三角形的斜边上的中线长是，则k的值是（ ） A. 8 B. C. 8或 D. 4或 10. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若且，则，其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 已知抛物线的图象开口向下，则m的取值范围是________． 12. 方程是关于x的一元二次方程，则_________． 13. 已知的解是1，，则方程的解为___________． 14. 如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时点的坐标为________． 三、解答题（本大题共8小题，第15-18题各10分，第19-21题各12分，第22题14分，共90分） 15. 解方程： （1）； （2） 16. 某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同． （1）第一季度平均每月的增长率； （2）如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？ 17. 已知二次函数． （1）求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2）若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标． 18. 已知等腰三角形一边长为4，另两边恰好是关于的方程的根，求此三角形的另两边长． 19. 解答下列各题 （1）如图，在中，以为顶点引射线，填表： 内射线的条数 角的总个数 ______ ______ ______ _____ （2）若内射线的条数是，请用关于的式子表示出上面的结论． （3）若内有射线条数是，则角的总个数为多少？ 20. 如图，某单位拟在一块空地上修建矩形植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过米，另外三边由米长的栅栏围成，设矩形中，垂直于墙的边米，面积为y平方米． （1）若矩形的面积为平方米，求x的值； （2）当矩形的面积最大时，利用的墙长是多少米？并求此时的最大面积． 21. 如图为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为米，宽为米．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系． （1）求出该抛物线的函数表达式； （2）拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的消防车辆？请通过计算说明． 22. 如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C． （1）求的值； （2）若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值； （3）点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中教学质量检测九年级数学 姓名：______ 班级：______ 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. B. C. 0，1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，a为二次项系数；叫做一次项，b为一次项系数；c为常数项，熟练掌握知识点是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式解答，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是． 故选：B 2. 关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根，把一元二次方程的根代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1， ∴， 解得， 故选：C． 3. 函数的图像的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据的顶点为：，进行判断即可． 【详解】解：函数的图像的顶点坐标是； 故选：B． 4. 二次函数的图像上有，，三点，则、、的大小关系（用“”连接）是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称性，增减性，开口，熟练掌握性质是解题的关键． 先确定抛物线的对称轴，开口方向，再计算点与对称轴的距离，根据函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵的对称轴为直线，开口向上， 点均在二次函数图象上， 且， ∵抛物线开口向上， ∴点与对称轴的距离越大，函数值越大， ， 故选：C． 5. 将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A. y＝(x－1)2＋2 B. y＝(x＋1)2＋2 C. y＝(x－1)2－2 D. y＝(x＋1)2－2 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案． 【详解】解：将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 y=（x﹣1）2+2， 故选：A． 【点睛】考点：二次函数图象与几何变换． 6. 根据下表中的对应值，判断方程的一个解的范围是（ ） x A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，找到相近的函数值分别为正值、负值对应的自变量即可求解． 【详解】解：∵当时，； 当时，； ∴方程的一个解的范围是 故选：C 7. 已知二次函数与一次函数的图象相交于点，（如图所示），则能使成立的x的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图像写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】∵二次函数与一次函数的图象相交于点，， ∴能使成立的x的取值范围是或． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图象法解不等式，数形结合是解题的关键． 8. 某商店原来平均每天可销售某种水果，每千克盈利7元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，那么每天可多售出，若要平均每天盈利950元，则每千克应降价多少元？设每千克应降价x元，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设出未知数，利用等量关系“平均每天售出的数量每千克盈利每天销售的利润”列方程是解决问题的关键． 设每千克降价x元，根据等量关系“每天利润每天的销售量每千克的利润”列方程即可． 【详解】设每千克降价x元， 根据题意得：． 故选：B． 9. 已知一个三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，且这个直角三角形的斜边上的中线长是，则k的值是（ ） A. 8 B. C. 8或 D. 4或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，直角三角形的性质，完全平方公式的应用．设三角形的两条直角边的长分别为a，b，利用一元二次方程根与系数的关系，可得，再由直角三角形的性质，可得这个直角三角形的斜边的长为，然后根据勾股定理，可得，即可求解． 【详解】解：设三角形的两条直角边的长分别为a，b， ∵三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根， ∴， ∵这个直角三角形的斜边上的中线长是， ∴这个直角三角形的斜边的长为， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴． 故选：B 10. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若且，则，其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧， ∴，，， ∴， ，故①正确； ②对称轴是直线，与轴交点在左边， 二次函数与轴的另一个交点在与之间， ，故②正确； ③对称轴是直线，图象开口向下， 时，函数最大值是； 为任意实数，则， ，故③错误； ④， 由②得， ，故④正确； ⑤， ， ， ， ， ， ，， ，故⑤错误； 故正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及掌握二次函数与方程之间的转换是解题关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 已知抛物线的图象开口向下，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据题意该二次函数的图像开口向下，故即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 方程是关于x的一元二次方程，则_________． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行分析即可. 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 所以|n|-1=2，n-3≠0 解得n=-3 故答案为：-3. 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 13. 已知的解是1，，则方程的解为___________． 【答案】， 【解析】 【分析】利用换元法，解一元二次方程即可． 【详解】解：令， 则：方程转化为： ， ∵的解是1，， ∴的解为：， 即：或， 解得：，； 故答案为：，． 【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握换元法解一元二次方程，是解题的关键． 14. 如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】将对称至，连接，与对称轴的交点即为，再根据直线的解析式与对称轴求解的坐标即可． 【详解】解：根据对称轴公式，可得：，解得：， 即抛物线的解析式为：， 将代入得：， 抛物线的解析式为：； 顶点坐标 ； 连接交直线于点， 此时 最小，点即为所求 ， 由，， 设直线的解析式为，将点代入得， ， 解得：， ∴直线： 当时：， ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，第15-18题各10分，第19-21题各12分，第22题14分，共90分） 15. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）移项，然后利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解： 解得，． 16. 某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同． （1）第一季度平均每月的增长率； （2）如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？ 【答案】（1）20%（2）能． 【解析】 【分析】（1）设第一季度平均每月的增长率为x，根据该厂一月份及三月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据五月份的总产量=三月份的总产量×（1+增长率）2，即可求出今年五月份的总产量，再与1000进行比较即可得出结论． 【详解】（1）设第一季度平均每月的增长率为x，根据题意得： 500（1+x）2=720 解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去）． 答：第一季度平均每月的增长率为20%． （2）720×（1+20%）2=1036.8（t）． ∵1036.8＞1000， ∴该厂今年5月份总产量能突破1000t． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，求出今年五月份的总产量． 17. 已知二次函数． （1）求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2）若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标． 【答案】（1） 解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与y轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式等知识，正确理解抛物线与x轴的交点和判别式的关系是关键． （1）证明判别式大于0，即可得出结论； （2）首先根据题意得到对称轴为直线，求出，然后得到，然后将代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵该函数图象的对称轴是直线， ∴对称轴为直线 ∴ ∴ ∴当时， ∴该函数的图象与轴的交点坐标为． 18. 已知等腰三角形一边长为4，另两边恰好是关于的方程的根，求此三角形的另两边长． 【答案】此三角形的另两边长为4和2 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，解题的关键是注意进行分类讨论．分两种情况进行讨论：当腰长为4时，把代入原方程求出m，再求出另外一个根；当底边为4时，那么x的方程的两根是相等的，根据根的判别式求出m，再解方程即可． 【详解】解：∵一个等腰三角形的一边长为4，另两边长是关于x的方程的两根， ①当腰长为4时，把代入原方程得：， ∴， ∴原方程变为：， 设方程的另一个根为x， 则， ∴， ∵，能围成三角形，符合题意； ∴此三角形的另两边长为4和2； ②当底边为4时，那么x的方程的两根是相等的， ∴， ∴， ∴方程变为， ∴方程的两根为， ∵，围不成三角形，不符合题意． 综上所述，此三角形的另两边长为4和2． 19. 解答下列各题 （1）如图，在中，以为顶点引射线，填表： 内射线的条数 角的总个数 ______ ______ ______ _____ （2）若内射线的条数是，请用关于的式子表示出上面的结论． （3）若内有射线条数是，则角的总个数为多少？ 【答案】（1） 填表如下： 内射线的条数 1 2 3 4 角的总个数 3 6 10 15 （2） （3）2051325 【解析】 【分析】本题主要考查的是角的概念，规律探究，掌握其规律是解题的关键．有公共顶点的n条射线，一共可构成个角． （1）若内射线的条数是n，可构成个角，依据规律回答即可； （2）若内射线的条数是n，可构成个角，依据规律回答即可； （3）把2020代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，角总个数为：， 当时，角总个数为：， 当时，角总个数为：， 当时，角总个数为：， 当有n条射线时，角总个数为： ； 【小问3详解】 解：当内有射线条数是2024时， 角总个数为：（个）． 20. 如图，某单位拟在一块空地上修建矩形植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过米，另外三边由米长的栅栏围成，设矩形中，垂直于墙的边米，面积为y平方米． （1）若矩形的面积为平方米，求x的值； （2）当矩形的面积最大时，利用的墙长是多少米？并求此时的最大面积． 【答案】（1） （2）当矩形的面积最大时，利用的墙长是米，求此时的最大面积为平方米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． （1）由题意知，且，可求，依题意得，，令，则，计算求出满足要求的解即可； （2）由题意知，，由，对称轴为直线，可知当时，矩形的面积最大，然后求解作答即可． 【小问1详解】 解：由题意知，且， ∴， 依题意得，， 令，则，整理得，， 解得，（舍去）或， ∴x的值为； 【小问2详解】 解：由题意知，， ∵，对称轴为直线， ∴当时，矩形的面积最大，可利用的墙长是（米），此时的最大面积为（平方米）， ∴当矩形的面积最大时，利用的墙长是米，求此时的最大面积为平方米． 21. 如图为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为米，宽为米．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系． （1）求出该抛物线的函数表达式； （2）拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的消防车辆？请通过计算说明． 【答案】（1）； （2）不能，理由如下： 当时，， 故不能行驶宽2.5米、高米的消防车辆． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用． （1）根据所建坐标系知顶点和与轴交点的坐标，可设解析式为顶点式形式求解，x的取值范围是； （2）根据对称性当车宽米时，或，求此时对应的纵坐标的值，与车高米进行比较得出结论． 【小问1详解】 解：∵，． ∴设这条抛物线的函数解析式为， ∵抛物线过， ∴，解得， ∴这条抛物线的函数解析式为， 即. 【小问2详解】 略． 22. 如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C． （1）求的值； （2）若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值； （3）点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），此时 （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）方法一：连接，，通过表示出函数关系，利用函数的性质进行求解；方法二：作于Q，交于点D，，求得函数关系式，进行求解即可； （3）分两种情况，当四边形为平行四边形时或当四边形为平行四边形时，利用平行四边形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：把点和点代入， 得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ∴， 方法一：如图1， 连接， 设点， ∴， ∴ ， ∴当时，，此时； 方法二：如图2， 作于Q，交于点D，设解析式为： ∵，则，解得 ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，此时； 【小问3详解】 解：如图3， 当四边形为平行四边形时，， ∵抛物线对称轴为直线：， ∴点的坐标： 如图4，当四边形为平行四边形时，， 作于G， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 当时，， ∴，， ∴，， 综上所述：或或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数与面积问题，二次函数与特殊的平行四边形，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $