湖北省枝江市第一高级中学2024-2025学年高二上学期数学测试卷04

高二( )班 _学号： _______姓名：____________ 组卷:时爱华 审核:张维 高二数学测试卷 04 第 1 页 2024-2025高二第 1 学期数学测试卷 04 (2024.10.12)(跟踪训练) 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） 1. 《九章算术》中将正四棱台称为方亭,现有一方亭𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1 𝐷1 , 𝐴𝐵 = 3𝐴1𝐵1 = 3,体积为13, 则该方亭的高是 A.3 B.4 C.5 D.6 2.直线 : ,直线 : ,则直线 是 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 B.充要条件 C.既不充分也不必要条件 3.在一直角坐标系中,已知 ,现沿 轴将坐标系所在平面折成 的二面角,则折 叠后 两点间的距离为 A. B. C. D. 4.已知正四面体 的棱长为 ,空间中一点 满足 ,其中 , , ,且 .则 的最小值为 A. B. C. D. 5.在锐角三角形 中, , ,则 边上的 高的取值范围是 A. B. C. D. 6.在平面直角坐标系 为坐标原点)中,不过原点的两直线 , 的交点为 ,过点 分别向直线 , 引垂线,垂足分别为 ,则四边形 面积的最大值为 A. B. C. D. 高二( )班 _学号： _______姓名：____________ 组卷:时爱华 审核:张维 高二数学测试卷 04 第 2 页 7.已知点 , 分别在直线 : 与直线 : 上,且 ,点 , ,则 的最小值为 A. B. C. D. 8．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对 圆锥曲线有深刻且系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中,阿波罗尼斯 圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点𝑀与两定点𝐴,𝐵的距离之比为𝜆(𝜆 > 0, 𝜆 ≠ 1),那么点𝑀的 轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点𝑀与两定点𝐴( 9 5 , 0),𝐵(5,0)的距离之比为 3 5 时的阿波罗尼斯圆为𝑥2 + 𝑦2 = 9 .下面 ,我们来研究与此相关的一个问题 :已知圆𝑂: 𝑥2 + 𝑦2 = 4上的动点𝑀 和定点 𝐴(−1,0),𝐵(1,1),则2|𝑀𝐴| + |𝑀𝐵|的最小值为 A．2 + √10 B．√21 C．√26 D．√29 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．已知某样本的容量为50,平均数为70,方差为75.现发现在收集这些数据时, 其中的两个数据记录有误,一个错将80记录为60,另一个错将70记录为90,在对错误的数据进行更 正后,重新求得样本的平均数为?̅?,方差为𝑠2,则 A．?̅? = 70 B．?̅? > 70 C．𝑠2 < 75 D．𝑠2 > 75 10.如图,在直三棱柱 中, , 为 的中点,下列说法中正确的有 A. 平面 B. 平面 C.平面 平面 D. 平面 高二( )班 _学号： _______姓名：____________ 组卷:时爱华 审核:张维 高二数学测试卷 04 第 3 页 11.已知平面内到两个定点 的距离之比为定值 的点的轨迹是圆.在平面直角坐标系 中,已知 ,若 ,则下列关于动点 的结论正确的是 A.点 的轨迹所包围的图形的面积等于 B.当 不共线时, 面积的最大值是 C.当 三点不共线时,射线 是 的平分线 D.若点 ,则 的最小值为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．在复平面内,已知复数𝑧满足|𝑧| = 1, 为虚数单位,则|𝑧 − 3 − 4𝑖|的最大值为__▲__ 13.过点 ,且在 轴上的截距是在 轴上的截距的 倍的直线方程为__▲__ 14.在棱长为 的正方体 中,点 在平面 上运动,则 的最小 值为__▲__. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(13 分) 如图所示，已知 为圆 的直径，点 为线段 上一点，且 ，点 为圆 上一点，且 ．点 在圆 所在平面上的正投影为点 ， ．（1）求证： 平面 ；（2）设 ， 求点 到平面 的距离. 高二( )班 _学号： _______姓名：____________ 组卷:时爱华 审核:张维 高二数学测试卷 04 第 4 页 16．(15 分) 甲、乙两人玩一个摸球猜猜的游戏,规则如下:一个袋子中有 个大小和质地完全相 同的小球,其中 个红球, 个白球,甲采取不放回方式从中依次随机地取出 个球,然后让乙猜.若乙 猜出的结果与摸出的 个球特征相符,则乙获胜,否则甲获胜,一轮游戏结束,然后进行下一轮(每轮 游戏都由甲摸球).乙所要猜的方案从以下两种猜法中选择一种;猜法一:猜“第二次取出的球是红 球”;猜法二:猜“两次取出球的颜色不同”.请回答: (1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜法,并说明理由; (2)假定每轮游戏结果相互独立,规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方,且整个游戏停止.若乙按 照(1)中的选择猜法进行游戏,求乙获得游戏胜利的概率. 17．(15 分) 已知 中,角 所对的边分别为 , 满足 .(1)求 的大小; (2)如图, ,在直线 的右侧取点 ,使得 .当角 为何值时,四边形 面积最大. 18．(17 分) 如图 1,四边形 是梯形, , , 是 的中点,将 沿 折起至 ,如图 2,点 在线段 上. (1)若点 在线段 的中点,求 证:平面 平面 ; (2)若 ,且平面 与平面 夹角的余弦值为 ,求直线 与平面 所 成角的余弦值. 19．(17 分) 已知圆 ,点 ,点 为圆 上的动点,线段 的中点 的 轨迹为曲线 .(1)求曲线 的方程;(2)设 ,过点 作与 轴不重合的直线 交曲线 于 两点.(i)过点 作与直线 垂直的直线 交曲线 于 两点,求四边形 面积 的最大值;(ii)设曲线 与 轴交于 两点,直线 与直线 相交于点 ,试讨论点 是 否在定直线上,若是,求出该直线方程;若不是,说明理由. 高二( )班 _学号： _______姓名：____________ 组卷:时爱华 审核:张维 高二数学测试卷 04 第 5 页 2024-2025高二第 1 学期数学测试卷 04 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B D B D D B C AC ABC ACD 12.6 13. . 或 14. 1.B【解析】设正四棱台的高为ℎ. 因为𝐴𝐵 = 3𝐴1𝐵1 = 3,所以方亭𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的体积 𝑉 = 1 3 ℎ ∙ ( 𝑆 + √𝑆 ∙ 𝑆 + 𝑆 ) = 1 3 ℎ ∙ ( 12 + 1 × 3 + 32 ) = 13,解得ℎ = 3. 2.B【解析】若 ,由 ,可得 ,若 ,即 ,则需 ,即 ,即可得 时, ,故 不是 的充分条件;若 ,则 , ,此时 ,故 ,综上,直线 是 的必要 不充分条件.故选:B. 3.D【解析】如图为折叠后的图形,其中作 则 , 沿 轴将坐标平面折成 的二面角 两异面直线 所成的角为 .可得: 故由 得 故选:D. 4.B【解析】依题意点 在平面 内,所以当 平面 时, 最小, 取 的中点 ,连接 ,则点 在 上,且 , 所以 ,即 的最小值为 .故选:B 5.D【解析】由 可得: , 所以 ,又因为 ,所以 , 所以 , ,又因为三角形 为锐角三角形,所以 , 所以 .在 中,由正弦定理可得: ,即 , 高二( )班 _学号： _______姓名：____________ 组卷:时爱华 审核:张维 高二数学测试卷 04 第 6 页 故有 ,因为 ,所以 , ,所以 ,所以 ,又因为 边上的高 ,所以 .故选:D. 6.D【解析】将直线 的方程变形得 ,由 ,得 ,则直线 过定 点 ,同理可知,直线 过定点 , 所以,直线 和直线 的交点 的坐标为 ,易知,直线 ,如 图所示,易知,四边形 为矩形,且 , 设 , ,则 ,四边形 OMPN 的面积为 ,当且仅当 ,即当 时,等号成立, 因此,四边形 面积的最大值为 ,故选:D 7.B【解析】因为 , ,故 , , 故 ,所以 ,又 ,所以 ,故四边 形 为平行四边形, ,因 为 ,当且仅当 , , 三点共线时等号成 立, 的最小值为 . 8.C【解析】如图,点𝑀在圆𝑂: 𝑥2 + 𝑦2 = 4上,取点𝑁(−4,0),连接 𝑀𝑂,𝑀𝑁,有|𝑂𝑁| = 2|𝑂𝑀| = 4,当点𝑂,𝑀,𝑁不共线时, |𝑂𝑀| |𝑂𝐴| = |𝑂𝑁| |𝑂𝑀| = 2, 又∠𝐴𝑂𝑀 = ∠𝑀𝑂𝑁,因此ΔAOM ∽ ΔMON,则有 |𝑀𝑁| |𝑀𝐴| = |𝑂𝑀| |𝑂𝐴| = 2,当点 𝑂,𝑀,𝑁共线时,有 |𝑀𝑁| |𝑀𝐴| = 2,则|𝑀𝑁| = 2|𝑀𝐴|,因此2|𝑀𝐴| + |𝑀𝐵| = |𝑀𝑁| + |𝑀𝐵| ⩾ |𝐵𝑁| = √(−4 − 1)2 + 12 = √26,当且仅当点𝑀是线 段𝐵𝑁与圆𝑂的交点时取等号,所以2|𝑀𝐴| + |𝑀𝐵|的最小值为√26.故 选:C. 高二( )班 _学号： _______姓名：____________ 组卷:时爱华 审核:张维 高二数学测试卷 04 第 7 页 9.AC【解析】设除记错以外的数据为𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥48,?̅? = 50×70−60−90+80+70 50 = 70, 因为 (𝑥1−70) 2+(𝑥2−70) 2+⋯+(𝑥48−70) 2+(60−70)2+(90−70)2 50 = 75, 所以 ( 𝑥1 − 70) 2 + ( 𝑥2 − 70) 2 + ⋯ + ( 𝑥48 − 70) 2 = 3250, 所以𝑠2 = (𝑥1−70) 2+(𝑥2−70) 2+⋯+(𝑥48−70) 2+(80−70)2+(70−70)2 50 = 3250+100 50 = 67. 所以𝑠2 < 75.故选:AC. 10.ABC【解析】因为三棱柱 是直三棱柱,所以 平面 , 又 平面 ,所以 ,又 为 的中点,所以 ,且 , 平面 ,所以 平面 ,又 平面 ,所以平面 平面 ,故 AC 都正确; 连接 交 于点 ,再连接 ,可知 为 的中位线,所以 ,又 平面 , 在平面 外,所以 平面 ,故 B 正确. 假设 平面 ,因为平面 平面 , 平面 ,所以 ,而 ,所以 ,而 ,所以假设不成立,因此选项 D 不 正确,故选:ABC. 11.ACD【解析】设 ,因为 ,整理得 ,即 . A:点 的轨迹是以 为圆心, 为半径的圆,所求图形的面积为 ,正确; B:圆的半径为 且 ,当 的底边 上的高最大时,面积最大,所以 面积的最大 值是 ,错误; C:当 不共线时,由 , , ,即 ,故 .由角平分 线定理的逆定理知:射线 是 的平分线,正确; D:因为 ,即 ,则 ,又 在圆 上,如图所示,所以当 , , 三点共线时, 取最小值, 高二( )班 _学号： _______姓名：____________ 组卷:时爱华 审核:张维 高二数学测试卷 04 第 8 页 此时 ,正确. 12．6【解析】令𝑧 = 𝑥 + 𝑦i且𝑥, 𝑦 ∈ R,则𝑥2 + 𝑦2 = 1,即复数𝑧对应点在原点为圆心,半径为1的圆 上,而|𝑧 − 3 − 4i| = √(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 4)2,即点(𝑥, 𝑦)到定点(3,4)距离的最大值,所以|𝑧 − 3 − 4i|的 最大值为√(0 − 3)2 + (0 − 4)2 + 1 = 6. 13. 或 【解析】解法一：分析可知直线斜率存在，设为 2 ( 5)y k x ，计算出 ,x y 轴上的截距，利用 2 倍关系列出方程直接求解。 解法二：(1)当直线过原点时,直线方程为 ,即 .(2)当直线不过原点时,设直线方 程为 ,代入 得 ,所以直线方程为 . 14. 【解析】如下图所示,设 与平面 交于 点 ,易知 , 平面 , 由 平面 ,所以 ,又 , 面 , 所以 平面 , 面 ,所以 , 同理可证 , 由 , 面 ,所以 平面 . 因为 ,所以 , 又因为 ,所以 .倍长 至 ,则 , 故点 是点 关于平面 的对称点.那么有, .所以 . 如下图,以 为原点, 分别为 轴、 轴、 轴 建系,则 , , ,即 . 所以 ,即 的最小值为 .故答案为: . 高二( )班 _学号： _______姓名：____________ 组卷:时爱华 审核:张维 高二数学测试卷 04 第 9 页 15.【解析】（1）连接 ，由 知，点 为 的中点.又∵ 为圆 的直径，∴ .由 知， ，∴ 为等边三角形，故 . ∵点 在圆 所在平面上的正投影为点 ，∴ 平面 ，又 平面 ，∴ ，∵ ， ， ，∴ 平面 . （2）设 ，由（1）可知 ， ， ∴ . 又 ， ， ， ∴ 为等腰三角形，则 ， 设点 到平面 的距离为 ，由 ，得 ， 解得 ． 16.【解析】(1)用 , 表示两个红球,用 , 表示两个白球,甲不放回取两球的所有结果: , , , , , , , , , , , ,共 个不同结果,它们等可能,令事件 为“第二次取出的是 红球”,则事件 所含结果有: , , , , , ,共 个,令事件 为“两次取出球的颜色不 同”,则事件 所含结果有: , , , , , , , ,共 个,于是得 , ,显然 ,为了尽可能获胜,应该选择猜法二. (2)由(1)知,乙选择猜法二,每一轮乙获胜的概率为 ,游戏结束时,乙获胜的事件 是乙在第 一、二轮胜的事件 ,第一轮负另外两轮胜的事件 ,第二轮负另外两轮胜的事件 的和, 它们互斥,于是得 , 所以乙获得游戏胜利的概率是 . 17.【解析】(1)(法一):在 中,由正弦定理得 ∴ ∴ ,∵ ,∴ ∵ ,故 . 高二( )班 _学号： _______姓名：____________ 组卷:时爱华 审核:张维 高二数学测试卷 04 第 10 页 (法二)在 中,由余弦定理得 ∴ ∴ , ,故 . (2)由(1)知, 且 , 为等边三角形, 设 ,则在 中,由余弦定理得 , ∴ ∴四边形 的面积 ∵ ∴ ,∴当 即 时, 所以当 时,四边形 的面积取得最大值 . 18.【解析】(1)证明:因为, ,点 是线段 的中点,所以: 取 中点 ,连接 , ,如下图所示; 因为四边形 是梯形, , 是 的中点,且 , 可得 ,所以 ,又由 ,且 是 的中点, 可得 ,所以 ,因为 ,且 , 平面 , 所以 平面 ,又因为 平面 ,所以 , 因为 ,且 , 平面 ,所以 平面 , 又因为 平面 ,所以:平面 平面 . (2)在 中,由 ,且 为 的中点,可得 , 高二( )班 _学号： _______姓名：____________ 组卷:时爱华 审核:张维 高二数学测试卷 04 第 11 页 在 中,由 ,且 为 的中点,可得 , 因为 ,所以 ,可得 ,又因为 , , 以 为坐标原点,分别以 , , 所在直线为 轴, 轴和 轴,建立空间直角坐标系, 如(1)图中所示,则 , , , , , 设 ,得: ,可得: , 所以: , ,设平面 的一个法向量为 ,则得: ,令: ,可得 , 所以 ,因为 平面 ,所以平面 的一个法向量为 , 设平面 与平面 的夹角为 ,则 , 即: ,解得: 或 (舍去), 所以: ,且 ,设平面 的一个法向量为 , 因为 , ,故 , 令: ,得: , ,所以 , 设直线 与平面 所成角为 , ,可得: , 所以: ,所以直线 与平面 所成角的余弦值为 . 高二( )班 _学号： _______姓名：____________ 组卷:时爱华 审核:张维 高二数学测试卷 04 第 12 页 19.【解析】(1)设 , ,因为点 在圆 上,所以 ①, 因为 为 中点,所以 ,整理得 ,代入①式中得 ,整理得 , 所以曲线 的方程为 . (2)(i)因为直线 不与 轴重合,所以设直线 的方程为 ,即 ,则直线 为 ,设曲线 的圆心到直线 和直线 的距离分别为 , , 则 , ,所以 , ,所以 ,当 时, ; 当 时, ,当且仅当 时等号 成立, 综上所述,四边形 面积的最大值为 . (ii)设 , ,联立 ,得 , 则 , , ,因为曲线 与 轴交于 , 两点, 所以 , ,则直线 的方程为 , 直线 的方程为 ,联立两直线方程得 ,所以 在定直线 上.