第11章三角形（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

第11章 三角形（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点1.三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点归纳： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 知识点2.三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 要点归纳： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 知识点3.三角形的分类 1.按角分类： 要点归纳： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类： 要点归纳： ①不等边三角形：三边都不相等的三角形； ②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 知识点4.三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 知识点5.三角形的稳定性     三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 要点归纳： （1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．  （2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．   （3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形． 知识点6.三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点归纳：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 知识点7.直角三角形的性质与判定 性质：直角三角形的两个锐角互余. 判定1：有一个角是直角的三角形式直角三角形 判定2：有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点8.三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 要点归纳： (1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点归纳：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 要点归纳：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 知识点9.多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形。如图： 凸多边形 凹多边形 要点归纳： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 知识点10.多边形内角和定理 n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 要点归纳： (1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 知识点11.多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 要点归纳： (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 考点1：三角形的三边关系 【例题1】（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（24-25八年级上·吉林松原·期中）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾顺次连接后，能摆成三角形的一组是（   ） A．4，6，10 B．3，5，9 C．5，7，9 D．1，6，8 【变式2】（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）已知实数，满足，则以，，为边长的三角形中c的取值范围是 ． 【变式3】（24-25八年级上·云南曲靖·期中）已知a，b，c是的三边长，且a，b满足，求第三边c的取值范围． 考点2：三角形的高、中线、角平分线 【例题2】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，若，，是的两条中线，则的周长是（　　） A．22 B．26 C．35 D．45 【变式1】（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图所示，中，点、、分别在三边上，是的中点，、、交于一点，，，，则的面积是（   ） A．25 B．30 C．35 D．40 【变式2】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，已知点D，E分别为的中点，若，则 ． 【变式3】（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，是的角平分线，，交AC于点F，已知，求的度数． 考点3：三角形的内角和定理 【例题3】（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点A到点B，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后，笔尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（    ）    A．三角形两边的和大于第三边 B．三角形两边的差小于第三边的 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 【变式1】（23-24八年级上·广东佛山·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 【变式2】（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）在中，已知，则的度数是 ． 【变式3】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）（1）在中，，求的度数； （2）如图，在中，，是的角平分线，交的延长线于点E，求的度数． 考点4：直角三角形的性质与判定 【例题4】（24-25八年级上·广西钦州·期中）在中，若一个锐角等于，则另一个锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·安徽六安·期中）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为轴上的一点，为轴上的一点，平分平分，则的度数为 ． 【变式3】（24-25八年级上·云南曲靖·期中） 如图，在中，  于D，平分，，求的度数． 考点5：三角形外角的性质 【例题5】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，一副分别含有和角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）在中，，，是一个外角，则 【变式3】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，已知在中，D、E分别在上，的延长线交的延长线于F，，求的度数． 考点6：多边形的内角和与外角和 【例题6】（23-24八年级上·广东湛江·阶段练习）正六边形的外角和是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，在中，，沿图中虚线截去∠C，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，它的一个外角，则的度数为 ． 【变式3】（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）一个正多边形，它的每一个内角比每个外角的2倍少，求这个多边形的边数． 考点7：思想方法整合 思想1：分类讨论思想的运用 【例题7】（23-24八年级上·云南昭通·期中）中，，边上的高，，则的面积是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【变式1】（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，于点，点、分别是射线、上的动点（不与点重合），延长至点，的角平分线及其反向延长线分别交、的角平分线于点、．若中有一个角是另一个角的3倍，则为（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）已知中，为边上的高，，，则的度数 ． 【变式3】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若的三边分别为． (1)求m的取值范围； (2)若的三边均为整数，求的周长． 思想2：转化思想的运用 【例题8】（21-22八年级上·辽宁营口·阶段练习）如图，（    ）． A．180° B．270° C．360° D．540° 【变式1】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，，则下列关系式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，请直接写出． ． 【变式3】（20-21八年级上·全国·单元测试）如图①：线段AD、BC相交于点O，连接AB、CD，我们把这个图形称为“对顶三角形”，由三角形内角和定理可知：∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD，而∠AOB=∠COD，我们得到：∠A+∠B=∠C+∠D． （1）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数； （2）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= °； （3）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= °； 思想3：从特殊到一般的思想的应用 【例题9】（24-25八年级上·云南玉溪·期中）如图，已知，在中，，平分，点E是线段（除去端点A、D）上一动点，于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，请用含α、β的式子表示的度数． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）在中，，、分别是边、上的点，点平面内是一动点． (1)如图1，当点P在线段上时， ①若， __________度； ②试写出、、之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点在边的延长线上时，连接交于点，探索、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点在到形外部时，直接写出、、之间的数量关系． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）在中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点．令． (1)若点P在线段上，如图①所示，且，则________° (2)若点P在边AB上运动，如图②所示，试探索之间的数量关系，并将你的探索过程写出来； (3)若点P在斜边的延长线上运动（），请分别写出图③、图④、图⑤中之间的数量关系． 【变式3】（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）如图，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线． (1)填空：当，时， ， ； (2)当时，求，的度数； (3)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 一、单选题 1．（2022·广西玉林·中考真题）请你量一量如图中边上的高的长度，下列最接近的是(   ) A． B． C． D． 2．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·浙江衢州·中考真题）线段首尾顺次相接组成三角形，若，则的长度可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2023·江苏宿迁·中考真题）以下列每组数为长度（单位：）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（    ） A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8 二、填空题 5．（2024·山东日照·中考真题）一个多边形的内角和是，则这个多边形是 边形． 6．（2023·四川资阳·中考真题）如图，，交于点F，则 ．    7．（2024·江苏徐州·中考真题）正十二边形的每一个外角等于 度． 8．（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 三、解答题 9．（2020·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画． 要求： （1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形； （2）三个图中所画的三角形的面积均不相等； （3）点在格点上． 10．（2022·四川攀枝花·中考真题）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n边形的内角和为”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形的内角和为540°． 一、单选题 1．（24-25八年级上·吉林四平·期中）正八边形的每一个内角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若一个多边形的内角和比它的外角的2倍大，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．9 B．14 C．20 D．27 3．（24-25八年级上·广东中山·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，是五边形的三个外角，若，则（   ）    A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在三角形中，，为的中点，延长交于．为上的一点，于．下列判断正确的有（   ） （1）是三角形的角平分线． （2）是三角形边上的中线． （3）为三角形边上的高． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 6．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，在中，已知点D、E、F分别是、、的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，米，米，A、B间的距离不可能是（   ） A．10米 B．15米 C．20米 D．25米 8．（22-23八年级上·贵州黔西·期末）如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 9．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 10．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，，E是角平分线延长线上一动点（不与F的重合），过E点作于D点，当E点运动时的度数（   ） A．随E点运动而变化，离F点越近，度数越大 B．度数不变，为 C．随E点运动而变化，离F点越远，度数远大 D．度数不变，为 二、填空题 11．（24-25八年级上·广东中山·阶段练习）如果一个多边形的每个外角都等于，那么这个多边形是 边形． 12．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若表示的三边长，则 ． 13．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，则 ． 14．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图所示，由五个点组成的图形，则 度． 15．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在四边形中，，分别平分和，且，则的度数为 ．    16．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，在中，点分别在三边上，点是的中点，交于点，，，则 ， ． 17．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，三角形的面积为30，与交于点E，且，，则图中阴影部分的面积为 ． 18．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为 ． 三、解答题 19．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）在 中， 为边上的中线，把 的周长分成12和 10两部分，求底边的长． 20．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在五边形中，平分，平分，若，求的度数 21．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）如图，已知为边延长线上一点，于交于，，，求的度数． 22．（24-25八年级上·吉林四平·期中）如图，点在内，且，，求出的度数． 23．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）在中，，、分别是、上的高，、交于H（如图），求的度数． 24．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O．，，求和的度数． 25．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，，分别是的高和中线，，，，．    (1)求的长； (2)求的面积． 26．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）在中，平分交于点，点是线段上的动点（不与点重合），过点作交射线于点，的平分线所在直线与射线交于点．如图，点在线段上运动． ①若，，则的度数是______；的度数是______； ②探究与之间的数量关系，并说明理由； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 三角形（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点1.三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点归纳： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 知识点2.三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 要点归纳： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 知识点3.三角形的分类 1.按角分类： 要点归纳： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类： 要点归纳： ①不等边三角形：三边都不相等的三角形； ②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 知识点4.三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 知识点5.三角形的稳定性     三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 要点归纳： （1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．  （2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．   （3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形． 知识点6.三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点归纳：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 知识点7.直角三角形的性质与判定 性质：直角三角形的两个锐角互余. 判定1：有一个角是直角的三角形式直角三角形 判定2：有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点8.三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 要点归纳： (1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点归纳：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 要点归纳：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 知识点9.多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形。如图： 凸多边形 凹多边形 要点归纳： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 知识点10.多边形内角和定理 n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 要点归纳： (1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 知识点11.多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 要点归纳： (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 考点1：三角形的三边关系 【例题1】（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边之间关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．先根据三角形三边之间关系求出第三条边的范围，再看四个选项中哪一个符合条件即可． 【详解】解：设第三边长为，由题意得：， ， A，B，C，D四个选项中只有D选项符合， 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·吉林松原·期中）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾顺次连接后，能摆成三角形的一组是（   ） A．4，6，10 B．3，5，9 C．5，7，9 D．1，6，8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形三条边的关系计算即可． 【详解】解：A．，故不能摆成三角形； B．，故不能摆成三角形； C．，故能摆成三角形； D．，故不能摆成三角形； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）已知实数，满足，则以，，为边长的三角形中c的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了绝对值，平方数的非负性，三角形三边数量关系，根据题意可得，求出的值，再根据三角形三边数量关系即可求解． 【详解】解：已知实数，满足， ∵， ∴， 解得，， ∵，，是三角形的边长， ∴，即， 故答案为： ． 【变式3】（24-25八年级上·云南曲靖·期中）已知a，b，c是的三边长，且a，b满足，求第三边c的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值与偶次幂的非负性及三角形三边关系，熟练掌握绝对值与偶次幂的非负性及三角形三边关系是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形三边关系可进行求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∵a，b，c是的三边长， ∴． 考点2：三角形的高、中线、角平分线 【例题2】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，若，，是的两条中线，则的周长是（　　） A．22 B．26 C．35 D．45 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线的性质．先求得，得到，利用三角形中线的性质求得，，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵是的两条中线， ∴，， ∴的周长是， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图所示，中，点、、分别在三边上，是的中点，、、交于一点，，，，则的面积是（   ） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积公式、三角形之间的面积加减计算．注意同底等高的三角形面积相等，面积相等、同高的三角形底相等．由于，那么结合三角形面积公式可得，而，可得出，而是中点，故有，于是可求，从而易求． 【详解】解：如图， ∵，同高， ， ， 是的中点， ∴同理可知， 又，， ， ． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，已知点D，E分别为的中点，若，则 ． 【答案】4 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形即可得到答案．本题考查三角形中线的性质，掌握三角形的中线平分三角形面积是解题的关键． 【详解】解：点为的中点，， ， 点为的中点， ． 故答案为：4． 【变式3】（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，是的角平分线，，交AC于点F，已知，求的度数． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形角平分线的定义，根据平行线的性质求出是解题的关键． 考点3：三角形的内角和定理 【例题3】（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点A到点B，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后，笔尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（    ）    A．三角形两边的和大于第三边 B．三角形两边的差小于第三边的 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，利用旋转角度之和及铅笔的朝向证明三角形内角和为． 【详解】解：∵铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后， ∴三次旋转的角度为， ∵笔尖方向由点A到点B变为点B到点A， ∴旋转角度之和为， 即． 故选：C． 【变式1】（23-24八年级上·广东佛山·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意， 故选：D 【变式2】（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）在中，已知，则的度数是 ． 【答案】/90度 【分析】该题主要考查了三角形内角和，解题的关键是掌握三角形内角和定理． 根据和即可求解； 【详解】解：把，代入， 得， ， ． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）（1）在中，，求的度数； （2）如图，在中，，是的角平分线，交的延长线于点E，求的度数． 【答案】（1），，；（2） 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的角平分线； （1）根据三角形内角和列方程求解即可； （2）根据三角形内角和求出和，再根据角平分线求出，最后根据求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在中，， ∴， ， ，； （2）在中，，， ∴， ∵ ∴， ∵在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 的度数为． 考点4：直角三角形的性质与判定 【例题4】（24-25八年级上·广西钦州·期中）在中，若一个锐角等于，则另一个锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余进行求解即可． 【详解】解：∵在中，一个锐角等于， ∴另一个锐角的度数为， 故选：C． 【变式1】（23-24八年级上·安徽六安·期中）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形以及三角形的内角和定理．根据三角形内角和等于，，得到，，得到具备条件A的不是直角三角形；根据，得到，得到具备条件B的是直角三角形；根据得到，得到具备条件C的是直角三角形；根据得到，得到具备条件D的是直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形定义，是解决问题的关键． 【详解】A、由及可得，，不是直角三角形，故符合题意； B、由及可得，是直角三角形，故不符合题意； C、由及可得， 是直角三角形，故不符合题意； D、由及可得，，，是直角三角形，故不符合题意． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为轴上的一点，为轴上的一点，平分平分，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】根据平分平分，得到，继而得到，结合直角三角形的性质，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，角的平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·云南曲靖·期中） 如图，在中，  于D，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据垂直定义由得，求得的度数，再利用角平分线的定义得，根据即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ， ，平分， ， ． 考点5：三角形外角的性质 【例题5】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等．也考查了三角形外角的性质． 先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角性质求解． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，一副分别含有和角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理、三角形的外角性质，先根据三角形的内角和定理求得，进而利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）在中，，，是一个外角，则 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 根据三角形外角的性质直接计算即可得出答案． 【详解】解：如图， 根据三角形外角的性质可得： ， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，已知在中，D、E分别在上，的延长线交的延长线于F，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质．熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 由题意知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ， ∴的度数为． 考点6：多边形的内角和与外角和 【例题6】（23-24八年级上·广东湛江·阶段练习）正六边形的外角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的外角和，根据任意多边形的外角和为360度，判断即可． 【详解】解：六边形的外角和是． 故选：C 【变式1】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，在中，，沿图中虚线截去∠C，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理，四边形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理解决问题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，它的一个外角，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查多边形的内角和和外角，根据四边形的内角和为360度，求出的度数，根据外角的定义，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）一个正多边形，它的每一个内角比每个外角的2倍少，求这个多边形的边数． 【答案】这个多边形的边数为5． 【分析】本题考查了正多边形的内角与外角，关键是运用方程求得正多边形的外角．设正多边形的外角为x度，则可用代数式表示出内角，再由内角与外角互补的关系得到方程，解方程即可求得每一个外角，再根据多边形的外角和为360度即可求得正多边形的边数． 【详解】解：设这个正多边形每个外角为，则每个内角为， 可列方程，， 解得，， ， 所以这个多边形的边数为5． 考点7：思想方法整合 思想1：分类讨论思想的运用 【例题7】（23-24八年级上·云南昭通·期中）中，，边上的高，，则的面积是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．根据题意得出的长度，再利用三角形面积公式求出的面积即可，注意分类讨论． 【详解】解：当在内部时， ∵， ， ∴， 又边上的高， ∴的面积是； 当在外部时， ∵， ， ∴， 又边上的高， ∴的面积是； 综上，的面积是6或12， 故选：C． 【变式1】（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，于点，点、分别是射线、上的动点（不与点重合），延长至点，的角平分线及其反向延长线分别交、的角平分线于点、．若中有一个角是另一个角的3倍，则为（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和的问题，以及三角形外角的性质，先根据角平分线和平角的定义可得：，分4种情况讨论，①当时，②当时，③当时，④当时，根据三角形内角和定理及外角的性质可得结论． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， 当①时． ， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∵于点， ∴， ∴， ②当时， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴此种情况不成立． ③当时， 设， 则：， 解得：， ∴， ∴， ∴． ④当时， 同理得：， ∴ ∴ ∴此种情况不成立． 综上所述，的度数为或， 故选∶C． 【变式2】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）已知中，为边上的高，，，则的度数 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．分两种情况，画出图形，求出的度数，即可得出答案． 【详解】解：分两种情况讨论， ①如图1， ∵，，， ∴， ∴； ②如图2， ∵，，， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【变式3】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若的三边分别为． (1)求m的取值范围； (2)若的三边均为整数，求的周长． 【答案】(1) (2)或或 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，不等式组的应用，正确得出不等式组是解题关键． （1）直接利用三角形三边关系得出不等式组求出答案； （2）利用m的取值范围得出m的整数值，进而得出答案 【详解】（1）解：根据三角形的三边关系， ， 解得：； （2）解：∵的三边均为整数，且， ∴或或， ∴的周长为： 当时，周长为， 当时，周长为， 当时，周长为． 思想2：转化思想的运用 【例题8】（21-22八年级上·辽宁营口·阶段练习）如图，（    ）． A．180° B．270° C．360° D．540° 【答案】D 【分析】如图，连接，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再利用三角形的内角和等于，四边形的内角和等于求解即可． 【详解】解：如图，连接， 则，， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理与三角形的内角和定理，解题的关键作出辅助线，把六个角的和转化为四边形的内角和与三角形的内角和． 【变式1】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，，则下列关系式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多边形的内角与外角，解题的关键是掌握平行线的性质及三角形的外角性质、四边形的内角和等知识点．延长交于点P、延长交于点Q，由知，根据得可判断A；由知，再根据得可判断B；由AB∥DE知根据可得，据此可判断C，从而得出答案． 【详解】解：如图，延长交于点P、延长交于点Q， ∵ ∴ ∵ ∴，故A选项正确； ∵ ∴ ∵ ∴故B选项正确； ∵， ∴ ∵ ∴， ∴故C选项错误，故D选项正确，； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，请直接写出． ． 【答案】/180度 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键． 连接，证明，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为： 【变式3】（20-21八年级上·全国·单元测试）如图①：线段AD、BC相交于点O，连接AB、CD，我们把这个图形称为“对顶三角形”，由三角形内角和定理可知：∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD，而∠AOB=∠COD，我们得到：∠A+∠B=∠C+∠D． （1）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数； （2）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= °； （3）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= °； 【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540° 【分析】（1）连接BC，如图1，可知：∠EBC+∠DCE=∠D+∠E，根据等量代换和三角形内角和即可求解； （2）连接AD，如图2，可知：∠EDA+∠FAD=∠E+∠F，根据等量代换和四边形内角和即可求解； （3）连接CF，如图3，可知：∠DCF+∠EFC=∠E+∠D，根据等量代换和五边形内角和即可求解． 【详解】解：（1）连接BC，如图1，可知：∠EBC+∠DCE=∠D+∠E ∴∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E =∠A+∠ABE+∠ACD+∠EBC+∠DCE =∠A+∠ABE+∠EBC+∠ACD+∠DCE =∠A+∠ABC+∠ACE =180° （2）连接AD，如图2，可知：∠EDA+∠FAD=∠E+∠F ∴∠FAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F =∠FAB+∠B+∠C+∠CDE+∠EDA+∠FAD =∠BAD+∠B+∠C+∠CDA 四边形内角和：（4-2）×180°=360°， ∴∠FAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F =360° 故答案为：360° （3）连接CF，如图3，可知：∠DCF+∠EFC=∠E+∠D ∴∠A+∠B+∠BCD+∠D+∠E+∠EFG+∠G =∠A+∠B+∠BCD+∠DCF+∠EFC +∠EFG+∠G =∠A+∠B+∠BCF+∠CFG+∠G 五边形内角和：（5-2）×180°=540°， ∴∠A+∠B+∠BCD+∠D+∠E+∠EFG+∠G =540°， 故答案为：540° 【点睛】本题考查多边形内角和，解题的关键是根据题中给出的思路，用等量代换将要求的角转化在同一个多边形内，根据多边形的内角和求解即可． 思想3：从特殊到一般的思想的应用 【例题9】（24-25八年级上·云南玉溪·期中）如图，已知，在中，，平分，点E是线段（除去端点A、D）上一动点，于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，请用含α、β的式子表示的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质． （1）在直角中利用直角三角形的两个锐角互余即可求得的度数，然后根据三角形的外角的性质即可求得的度数，则的度数即可求得，然后利用三角形的内角和定理即可求得的度数； （2）先求出的度数，在由角平分线求出，接着由外角求出，最后根据垂直表示的度数． 【详解】（1）解：， ， ∵， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ， ， ． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）在中，，、分别是边、上的点，点平面内是一动点． (1)如图1，当点P在线段上时， ①若， __________度； ②试写出、、之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点在边的延长线上时，连接交于点，探索、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点在到形外部时，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)①140；②，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形的外角的性质． （1）①利用四边形内角和定理及平角的定义即可得求解；②利用①中结论即可求解． （2）利用三角形的外角的性质求解即可． （3）利用三角形的外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：①， ， ， ，， ． 故答案为：140． ②，理由如下： 由①可知，， ， ． （2）解：，理由如下： ，， ． （3）解：，理由如下： 设与相交于点，如图， ，， ． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）在中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点．令． (1)若点P在线段上，如图①所示，且，则________° (2)若点P在边AB上运动，如图②所示，试探索之间的数量关系，并将你的探索过程写出来； (3)若点P在斜边的延长线上运动（），请分别写出图③、图④、图⑤中之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)图③中；图④中，；图⑤中 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角相等．熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角相等是解题的关键． （1）由题意知，，，，由，可求，然后计算求解即可； （2）同理（1）作答即可； （3）设，如图③，由题意得，，，由，整理作答即可；如图④，由题意知，，由，可得，即，整理作答即可；如图⑤，由题意得，，，由，整理作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意知，，，， ∵， ∴； （3）解：设， 如图③， ∴，， ∴，即； ∴； 如图④，由题意知，， ∵， ∴，即， ∴； 如图⑤， ∴，， ∴，即； ∴； ∴图③中；图④中，；图⑤中． 【变式3】（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）如图，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线． (1)填空：当，时， ， ； (2)当时，求，的度数； (3)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 【答案】(1)， (2)； (3)的值不变．理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理． （1）先根据已知条件求出和，再根据角平分线的定义，求出，，，，最后利用三角形的内角和定理求出答案； （2）先根据已知条件求出，，再根据角平分线的性质求出和，最后利用三角形的内角和定理求出答案； （3）由（2）把和都用表示出来，然后求出即可判断． 【详解】（1）解：（1），， ，， ，分别是，的平分线，，分别是，的平分线， ，， ，； 故答案为：，； （2）， ， ，， ， ， ，分别是，的平分线，，分别是，的平分线， ，， ，， ，； （3）当的大小变化时，的值不变化，理由如下： 由（2）可知： ， ， ， 当的大小变化时，的值不变化． 一、单选题 1．（2022·广西玉林·中考真题）请你量一量如图中边上的高的长度，下列最接近的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出三角形的高，然后利用刻度尺量取即可． 【详解】解：如图所示，过点A作AO⊥BC， 用刻度尺直接量得AO更接近2cm， 故选：D． 【点睛】题目主要考查利用刻度尺量取三角形高的长度，作出三角形的高是解题关键． 2．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． 由三角形内角和定理可得，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴, ∵， ∴． 故选：C． 3．（2022·浙江衢州·中考真题）线段首尾顺次相接组成三角形，若，则的长度可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边只差小于第三边，即可得出c的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∴c的长度可能为3． 故选：A 【点睛】本题考查三角形的三边和关系，属于基础题，熟练掌握三角形三边关系，得出第三边的取值范围是解题的关键． 4．（2023·江苏宿迁·中考真题）以下列每组数为长度（单位：）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（    ） A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意； B、，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意； C、，满足三角形的三边关系，能搭成三角形，则此项符合题意； D、，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边． 二、填空题 5．（2024·山东日照·中考真题）一个多边形的内角和是，则这个多边形是 边形． 【答案】八 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】设这个多边形是n边形， 由题意得， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故答案为：八． 6．（2023·四川资阳·中考真题）如图，，交于点F，则 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质是解题的关键．先根据两直线平行，同位角相等得出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到，即可求出的度数． 【详解】解： 是的外角， 故答案为： 7．（2024·江苏徐州·中考真题）正十二边形的每一个外角等于 度． 【答案】30 【分析】主要考查了多边形的外角和定理．根据多边形的外角和为360度，再用360度除以边数即可得到每一个外角的度数． 【详解】解：∵多边形的外角和为360度， ∴正十二边形的每个外角度数为：． 故答案为：30． 8．（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 【详解】解：如图： ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图： 同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故答案为：． 三、解答题 9．（2020·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画． 要求： （1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形； （2）三个图中所画的三角形的面积均不相等； （3）点在格点上． 【答案】见详解（答案不唯一） 【分析】因为点C在格点上，故可将直尺的一角与线段AB点A重合，直尺边长所在直线经过正方形网格左上角第一个格点，继而以点A为旋转中心，逆时针旋转直尺，当直尺边长所在直线与正方形格点相交时，确定点C的可能位置，顺次连接A、B、C三点，按照题目要求排除不符合条件的C点，作图完毕后可根据三角形面积公式判断其面积是否相等． 【详解】经计算可得下图中：图①面积为；图②面积为1；图③面积为，面积不等符合题目要求（2），且符合题目要求（1）以及要求（3）． 故本题答案如下： 【点睛】本题考查三角形的分类及其作图，难度较低，按照题目要求作图即可． 10．（2022·四川攀枝花·中考真题）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n边形的内角和为”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形的内角和为540°． 【答案】答案见解析 【分析】如下图，连接，，将五边形分成三个三角形，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：连接，， 五边形的内角和等于，，的内角和的和， 五边形的内角和． 【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，熟练运用三角形内角和定理，并将五边形转化为三个三角形是解答此题的关键． 一、单选题 1．（24-25八年级上·吉林四平·期中）正八边形的每一个内角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形内角和定理，正n边形的一个内角度数为．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：由题意得，正八边形的每一个内角的度数是， 故选：C． 2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若一个多边形的内角和比它的外角的2倍大，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．9 B．14 C．20 D．27 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，以及多边形对角线条数的计算，熟记多边形对角线计算方法是解题的关键．根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程求出边数，再求对角线的条数． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意得，， 解得． ∴这个多边形对角线的条数是条， 故选：B． 3．（24-25八年级上·广东中山·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线、高线及角平分线的意义，三角形一边上的中线平分此三角形的面积等知识．根据上述知识逐项进行判断即可． 【详解】解：∵是的中线， ，A说法正确，不符合题意； 是高， ， ，B说法正确，不符合题意； 是角平分线， ，而与不一定相等，C说法错误，符合题意； ， ，D说法正确，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，是五边形的三个外角，若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，三角形内角和定理，根据多边形外角和为360度求出，再根据三角形内角和为180度即可求出答案． 【详解】解；∵，， ∴， ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在三角形中，，为的中点，延长交于．为上的一点，于．下列判断正确的有（   ） （1）是三角形的角平分线． （2）是三角形边上的中线． （3）为三角形边上的高． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高，中线，角平分线的定义，根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高． 【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知是三角形的角平分线，是三角形的角平分线，故此判断错误； ②根据三角形的中线的概念，知是三角形边上的中线，故此判断错误； ③根据三角形的高的概念，此判断正确． 故选：A． 6．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，在中，已知点D、E、F分别是、、的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了面积与等积变换及三角形的面积，解答本题的关键是根据三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分解答．由于点D、E、F分别是、、的中点，可判断出、、、的面积相等，再进一步解答即可． 【详解】解：∵点D、E、F分别是、、的中点， ∴、、、的面积相等， ∴， ∴， 故选B． 7．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，米，米，A、B间的距离不可能是（   ） A．10米 B．15米 C．20米 D．25米 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边的关系是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出范围，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即10米米， ∴不可能等于10米， 故选：A． 8．（22-23八年级上·贵州黔西·期末）如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，找出是解题的关键． 在中，利用三角形内角和定理，可得出，结合，可得出，再利用三角形内角和定理，可得出，进而可得出是直角三角形． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵， ， ∴， 是直角三角形． 故选：C． 9．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和是和有两个角互余的三角形是直角三角形是解题的关键；根据直角三角形的判定，三角形的内角和定理逐项计算判定即可。 【详解】解：①，， ， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ②， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ③， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ④，， ， 不是直角三角形， 故本选项不符合题意； ⑤， 设，则， ， ， 解得：， ， 不是直角三角形， 故本选项不符合题意； 能确定是直角三角形的条件有①②③，共有个， 故选：． 10．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，，E是角平分线延长线上一动点（不与F的重合），过E点作于D点，当E点运动时的度数（   ） A．随E点运动而变化，离F点越近，度数越大 B．度数不变，为 C．随E点运动而变化，离F点越远，度数远大 D．度数不变，为 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，先求出，根据角平分线的定义得出，得出，过点作，得出，得出当E点运动时的度数不变，为． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作， ∴， ∴， ∴当E点运动时的度数不变，为； 故选：D． 二、填空题 11．（24-25八年级上·广东中山·阶段练习）如果一个多边形的每个外角都等于，那么这个多边形是 边形． 【答案】六 【分析】本题考查了多边形的外角，根据多边形的每个外角都等于结合多边形的外角和为计算即可得解． 【详解】解：∵多边形的每个外角都等于， ∴这个多边形的边数为，即这个多边形是六边形， 故答案为：六． 12．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若表示的三边长，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是三角形的三边关系及去绝地值，整式的加减运算，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断绝对值内的代数式的符号，再根据绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：∵表示的三边长， ∴，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 13．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根据分三种情况列方程是解题的关键．由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况：当时；当时；当时，根据列方程，解方程可求解x值，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由折叠可知：， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得(不存在)； 当时， ∴， 解得， 即； 当时， ∵， ∴， ∴， 解得， 即， 综上，或， 故答案为：或． 14．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图所示，由五个点组成的图形，则 度． 【答案】180 【分析】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是正确作出辅助线．连接，分别在、、中，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接， 在中，， 在中，， 得：， 在中，， ， 故答案为：180． 15．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在四边形中，，分别平分和，且，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题考查了四边形的内角和，角平分线定义，三角形内角和定理，先根据四边形的内角和是求出，再根据角平分线定义求出，最后利用三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，在中，点分别在三边上，点是的中点，交于点，，，则 ， ． 【答案】 30 3 【分析】本题考查了三角形的面积公式、三角形之间的面积加减计算．注意同底等高的三角形面积相等，面积相等、同高的三角形底相等．由于，那么结合三角形面积公式可得，而，可得出，而是中点，故有，即可求，继而可求，从而易求． 【详解】解：如图， ∵，同高， ， ， 是的中点， ∴同理可知， ， ． 故答案为：30，3． 17．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，三角形的面积为30，与交于点E，且，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查图形面积间的等积代换，解答此题的关键是先连接，然后根据三角形面积和线段间比的关系进行分析，进而得出结论． 连接，由，得的面积的面积，的面积的面积．由，得的面积的面积，因此的面积的面积的面积；的面积的面积、进而可求阴影部分面积等于的面积的面积． 【详解】解∶连接， ， 的面积的面积， 的面积的面积． ， 的面积的面积， 的面积的面积的面积； 的面积的面积， 的面积， 阴影部分面积等于的面积的面积； 故答案为：12． 18．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的定义以及性质，由角平分线的定义可得出，，由三角形内角和定理和三角形外角的定义可得出，进而可得出． 【详解】解：∵、是的外角角平分线， ∴，， ∴ ∵， ∴ ， ∴ 故答案为：． 三、解答题 19．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）在 中， 为边上的中线，把 的周长分成12和 10两部分，求底边的长． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，注意求出的结果一定要检验是否符合三角形三边关系，分类讨论是正确解答本题的关键．设，则．由题意可知有两种情况，或，从而根据等腰三角形的性质及三角形三边关系即可求出底边． 【详解】解∶设，则． 若，则∶， 解得，即． 此时， ∴． 若，则， 解得，即． 此时 综上所述，底边的长为或． 20．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在五边形中，平分，平分，若，求的度数 【答案】 【分析】本题考查多边形的内角和、平行线的性质、角平分线的定义，熟记多边形的内角和公式是解答的关键．先根据平行线的性质得到，再利用五边形的内角和求得，然后根据角平分线的定义求得，最后利用四边形的内角和为求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵多边形是五边形， ∴ ∵平分，平分 ∴ ∴． 21．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）如图，已知为边延长线上一点，于交于，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为．直角三角形两内角互余．根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 即． 22．（24-25八年级上·吉林四平·期中）如图，点在内，且，，求出的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，通过三角形内角和以及已知角的关系逐步分析即可求解，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 23．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）在中，，、分别是、上的高，、交于H（如图），求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，可求出，，由，分别是、上的高，可得出，进而可求出，的度数，再在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数． 【详解】解：，， ，． 、分别是、上的高， ， ，． 在中，， ． 24．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O．，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了与角平分线的三角形内角和问题，三角形的高，属基础题目． 因为是高，所以，又因为，所以度数可求；因为，，所以，，是的角平分线，则，故的度数可求． 【详解】解：， ， 又，分别是，的平分线， ，， ， 是的角平分线， ， ． 25．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，，分别是的高和中线，，，，．    (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的面积公式，三角形的中线等知识点，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式可得，即可求出的长； （2）由是的中线可得，再根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：， （）； （2）解：是的中线， ， （）． 26．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）在中，平分交于点，点是线段上的动点（不与点重合），过点作交射线于点，的平分线所在直线与射线交于点．如图，点在线段上运动． ①若，，则的度数是______；的度数是______； ②探究与之间的数量关系，并说明理由； 【答案】①；；②．理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质． ①根据三角形的内角和及平行线的性质可知，再利用角平分线的定义即可解答； ②根据三角形外角的性质及平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理及角平分线的定义即可解答． 【详解】解：①， ∴在中，， ∵， ， 平分， ， ， 故答案为：；； ②．理由如下， 是是一个外角， ， ∵， ， ， ， ∵BD平分平分， ，， ， ∵， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$