第六章 图形的相似 重难点检测卷-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

第六章 图形的相似 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各条件中，能判断的是（   ） A．， B．， C．， D．，，， 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知线段，线段，则线段a、b的比例中项是（　　） A． B． C． D． 3．（19-20九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若，，，则的值是（　　） A．14    B．15    C．16    D．17 4．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，点为的重心，，，分别为，，的中点，且的面积为，则的面积为（　　） A．9 B．12 C．18 D．24 5．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，E、F分别是，的中点，动点P在射线上，交于点D，的平分线交于Q，当时，（　　） A．8 B． C．4 D．10 7．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，点F是上一点，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 8．（2023·江苏镇江·模拟预测）如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 9．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，为驾驶员盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若车宽的长为米，则盲区的长是（    ）． A．米 B．6米 C．米 D．8米 10．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在比例尺为的地图上甲地到乙地的距离是5厘米，则甲乙两地的实际距离是 千米． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知线段，如果线段b是a、c的比例中项，那么 ． 13．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图， 在矩形中，若，，则的长为 ． 14．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为 ． 15．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，E为上一点，，连接且交于F，则 ． 16．（23-24九年级上·江苏苏州·开学考试）如图，在斜坡的顶部有一铁塔，是的中点，在阳光的照射下，塔影留在坡面上．已知，，小明和小华的身高都是，同一时刻小明站在处，影长为，小华站在平地上，影长为，则塔高是 米． 17．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，动点E从点A出发，沿方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作，交于点F，设点E的运动路程为x，，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是 ． 18．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，先将沿翻折到处，再将沿翻折到处，延长交于点M，则的长为 ． 三、解答题（10小题，共64分） 19．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）已知：，求的值． （2）已知，，求的值． 20．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点P作射线交于点M，使．求证：． 21．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，在中，. (1)在线段上作点，使得点到的距离与点到的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求证：. 22．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，网格中每个小正方形的边长都为1，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺按要求画出图形． (1)的面积为______； (2)图1中，绕点逆时针旋转，画出旋转后的； (3)图2中，在上找一点，使得平分的面积； (4)图3中，点是格点，点非格点，在的延长线上找一点，使． 23．（2024·江苏盐城·二模）如图，P为⊙O的直径延长线上的一点，为⊙O的切线，切点为C，于D，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求⊙O的半径． 24．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）已知：平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为，且．我们把四个顶点分别在l、m、n、k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”． (1)【探究1】如图1，正方形为“格线四边形”，于点E，的反向延长线交直线于点F．求正方形的边长． (2)【探究2】矩形为“格线四边形”，其长宽，则矩形的宽为多少?（画出图形并直接写出结果即可） 25．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． (1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． (3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 26．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，锐角中，，边上的高，矩形的边在上，其余两点、分别在、上，且交于点． (1)求的值； (2)设，矩形的面积为． 求与的函数关系式； 请直接写出的最大值为 ． 27．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，是的中点，是的中点，的延长线交于，求． （1）解：过作，交于． 请继续完成解答过程： （2）创新求解：利用“杠杆平衡原理” 解答本题：（如图）设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为；则端所挂物体质量为，点承受质量为；当点为杠杆的支点，则A端所挂物体质量为； 再以为杠杆的支点时，； 应用：如图，在中，是上一点，是上一点，的延长线交于，且，，求 解：设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为，则端所挂物体质量为 ，点承受质量为 ；当点为杠杆的支点，则端所挂物体质量为 ；再以为杠杆的支点时， ． 28．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与坐标轴分别交于三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为． (1)直接写出A、B点的坐标_____，_____； (2)连接，交线段于点． ①当与轴平行时，求的值 ②当与轴不平行时，连接，求的最大值 ③连接，是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 图形的相似 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各条件中，能判断的是（   ） A．， B．， C．， D．，，， 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件．两角对应相等的两个三角形相似；两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定条件对各选项进行分析即可． 【详解】解：A、∵，，只有一角一边， ∴不能判断两个三角形相似，故A不符合题意； B、∵，，不是与的夹角， ∴不能判断两个三角形相似，故B不符合题意； C、由，可得， 再由，得， ∵两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似， ∴可判断，故C符合题意； D、由，， 得， 由，， 得， ∵只有， ∴不能得，故D不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知线段，线段，则线段a、b的比例中项是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数． 根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，求解即可． 【详解】解：设它们的比例中项是，则 ， 解得（线段是正数，负值舍去）． ∴线段a、b的比例中项是 故选：C． 3．（19-20九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若，，，则的值是（　　） A．14    B．15    C．16    D．17 【答案】B 【分析】本题考查了平行线平行线分线段成比例，先求出，然后利用平行线平行线分线段成比例得出，代入数值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 故选：B． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，点为的重心，，，分别为，，的中点，且的面积为，则的面积为（　　） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【分析】本题考查三角形重心的性质，三角形中线的性质，由线段的比例关系和的面积即可得的面积为，进而可得的面积为9，根据中线的性质，即可求解． 【详解】解：∵点为的重心， ∴ ∵的面积为， 的面积为， 的面积为， 点为的中点， 的面积等于的面积， 的面积为． 故选：C． 5．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割．根据黄金分割的定义及黄金比即可解决问题． 【详解】解：点是的黄金分割点，且， ， 又， ． 故选：C． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，E、F分别是，的中点，动点P在射线上，交于点D，的平分线交于Q，当时，（　　） A．8 B． C．4 D．10 【答案】A 【分析】延长交射线于，根据三角形中位线定理可得，从而得到，由角平分线的性质可得，从而得到，即，得到，根据，求出，最后根据三角形相似的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，延长交射线于， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、角平分线的定义、三角形相似的判定与性质，等角对等边，熟练掌握三角形中位线定理、角平分线的定义、三角形相似的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 7．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，点F是上一点，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，由正方形的性质得到，，则由勾股定理得到，求出，则，再证明，得到，即，即可得到． 【详解】解：如图所示，连接 ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B．    8．（2023·江苏镇江·模拟预测）如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，所以应该过作的垂线，然后根据和相似，利用相似三角形的性质即可求出的最小值． 【详解】解：，，， ， 四边形是平行四边形， ，， 最短也就是最短， 过作的垂线， ，， ， ， ， ， 则的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线各种相似三角形． 9．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，为驾驶员盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若车宽的长为米，则盲区的长是（    ）． A．米 B．6米 C．米 D．8米 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，如图，根据，可得，作，交于点，交于点，根据矩形的性质可得四边形是矩形，可得，可证，根据相似三角形对应表的比等于对应高的比，由此即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点，交于点，则， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，且， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C ． 10．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】证明，可得，可判断结论①；由，可判断结论②；由正方形的性质可得垂直平分，，可得，由角的数量关系可推出，可判断结论③；证明，可判断结论④；即可得解． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴，故结论①错误； 在中，， ∴， ∴，故结论②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴平分，故结论③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴，故结论④正确， ∴正确结论的个数是个． 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等边对等角，平行线的性质等知识，掌握正方形的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在比例尺为的地图上甲地到乙地的距离是5厘米，则甲乙两地的实际距离是 千米． 【答案】50 【分析】根据实际距离=图上距离÷比例尺，列式计算即可． 本题考查了比例尺的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得实际距离为：． 故答案为：50． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知线段，如果线段b是a、c的比例中项，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查比例线段，根据线段b是a、c的比例中项，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵线段b是a、c的比例中项， ∴， ∴； 故答案为：． 13．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图， 在矩形中，若，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，先由矩形的性质得到，进而证明，根据相似三角形的性质得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 14．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意得，，即，计算求解即可． 【详解】解：∵P是的黄金分割点，， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，E为上一点，，连接且交于F，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，先根据平行四边形的性质得，进而得出，再说明，根据相似三角形的性质得，再根据高相等的两个三角形的面积比等于底之比可得，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（23-24九年级上·江苏苏州·开学考试）如图，在斜坡的顶部有一铁塔，是的中点，在阳光的照射下，塔影留在坡面上．已知，，小明和小华的身高都是，同一时刻小明站在处，影长为，小华站在平地上，影长为，则塔高是 米． 【答案】 【分析】设塔影留在坡面部分的塔高，塔影留在平地部分的塔高，根据平行线分线段成比例可知，进而解答即可．本题考查了相似三角形的相关应用，利用平底和斜坡上的物高与影长比得到相应的塔高的长度是解题的关键． 【详解】解：过点作，交于点， 设塔影留在坡面部分的塔高、塔影留在平地部分的塔高，则铁塔的高为， ∵， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴铁塔的高度为． 故答案为：． 17．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，动点E从点A出发，沿方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作，交于点F，设点E的运动路程为x，，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，本题中由图像得出为中点是解题的关键． 由题意可知，易证，可得，根据二次函数图像对称性可得在中点时，有最大值，列出二次函数解析式即可解题． 【详解】解：若点在上时，如图   ，， ， 在和中，，， ， 由二次函数图像对称性可得在中点时，有最大值，此时， ， 即， ， 当时，代入得到 解得：，（不合题意舍去）， ， ， ∵， 矩形的面积为； 故答案为：． 18．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，先将沿翻折到处，再将沿翻折到处，延长交于点M，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作的延长线于点E，设与交于点G，根据矩形性质和翻折性质，设，利用勾股定理求出的值，证明，求出，然后证明，得，再由，得，求出，证明，对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，设与交于点， ∵四边形是矩形， ， ， 由翻折可知：， ， ， 由翻折可知：， ， ， 设， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是相似形的综合题，难度大，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是作出辅助线构造相似三角形． 三、解答题（10小题，共64分） 19．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）已知：，求的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）54． 【分析】（1）设，，，代入，即可求解， （2）设，，，代入，求出值，代入，即可求解， 本题考查了比例的基本性质，熟练掌握设未知数法表示比值是解题的关键． 【详解】解：（1）设， 则，，， 则； （2）由可设，，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 20．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点P作射线交于点M，使．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，等边对等角，得到，三角形的外角得到，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴． 在中，， 又，， ∴． ∴． 21．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，在中，. (1)在线段上作点，使得点到的距离与点到的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求证：. 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了作角平分线，相似三角形的性质与判定； （1）根据题意作的角平分线，交于点，则点即为所求； （2）根据已知可得，根据角平分线的定义可得，根据为公共角，证明，进而根据相似三角形的性质，即可得证． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）证明：， ， 由（1）知：平分， ， ， 又， ， ， 22．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，网格中每个小正方形的边长都为1，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺按要求画出图形． (1)的面积为______； (2)图1中，绕点逆时针旋转，画出旋转后的； (3)图2中，在上找一点，使得平分的面积； (4)图3中，点是格点，点非格点，在的延长线上找一点，使． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换及三角形的面积计算，熟知图形旋转的性质以及三角形面积的计算公式是解题的关键． （1）根据所给图形可知是直角三角形，分别求出和的长即可； （2）根据题意，画出旋转后的图形即可； （3）找出的中点即可解决问题； （4）将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，即，再根据平行线分线段成比例计算即可求解； 【详解】（1）由勾股定理可得： ， ， ， ， 是直角三角形， ． 故答案为：． （2） 即为所求作的三角形． （3） 点即为所求作的点． （4）， ， 由勾股定理可得， ， ， ． 点即为所求作的点． 23．（2024·江苏盐城·二模）如图，P为⊙O的直径延长线上的一点，为⊙O的切线，切点为C，于D，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求⊙O的半径． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）连接，由切线定理得到，由垂直得到，由半径等得到，即可得出结论； （2）设，证出，再结合勾股定理进行计算即可； 本题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、等腰三角形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：连接． ∵为⊙O切线， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ． ∴平分． （2）设． 在中，． 在中， ． 结合（1）中， ， ∴． ∴， 即． ∴． ∴． 解得 (舍去），， 即⊙O的半径为 24．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）已知：平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为，且．我们把四个顶点分别在l、m、n、k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”． (1)【探究1】如图1，正方形为“格线四边形”，于点E，的反向延长线交直线于点F．求正方形的边长． (2)【探究2】矩形为“格线四边形”，其长宽，则矩形的宽为多少?（画出图形并直接写出结果即可） 【答案】(1) (2)矩形的宽为或； 【分析】此题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识． （1）利用已知得出，即可得出和，再利用勾股定理即可求解正方形的边长； （2）如图2，过点作于点，反向延长交于点，则，，证明，推出，分当时，和当时，，两种情况讨论，利用勾股定理即可求得矩形的宽． 【详解】（1）解：，， ， 四边形为正方形， ，， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）解：如图2，过点作于点，反向延长交于点， 则，， 四边形是矩形， ， 同理， ∴， ∴， 当时，， ， ； 如图3，当时，过点作于点，反向延长交于点， 同理， ∴， 当时，， ， ； ∴， 综上，矩形的宽为或； 25．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． (1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． (3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 【答案】(1)证明见解析 (2)图见解析 (3)或 【分析】（1）证，根据“关联点”的定义即可得结论； （2）以为直径作，过点作的垂线，交于，由圆周角定理可得，由（1）可得，以为圆心，为半径作圆，在直线右侧的上取点作即可得答案； （3）分类讨论，①当时，根据第二问可得出锐角三角形时C的位置，再利用勾股定理求出临界值范围即可，②当时，同①方法． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D是点C的“关联点”． （2）解：如图，①作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，为半径作圆； ③过作交于点； ④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧．连接、，即为所求， 证明：∵在以为直径的圆上运动， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴． （3）①当时， 如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线左侧、A的右侧时，是锐角三角形， 此时， ∵，且，， 在中，， 在中，， ； ②当时，同理可得：； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和正确理解题意是解题的关键． 26．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，锐角中，，边上的高，矩形的边在上，其余两点、分别在、上，且交于点． (1)求的值； (2)设，矩形的面积为． 求与的函数关系式； 请直接写出的最大值为 ． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）由矩形的性质可得，由垂线的定义和平行线的性质可证得，由可证得，于是有； （2）由可得，由矩形的性质可证得四边形是矩形，于是有，由即可得出与的函数关系式；将与的函数关系式化成顶点式并求其最值，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）可得：， ， 四边形是矩形， ， 又， 四边形是矩形， ， ； ， ， 当时，有最大值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，用关系式表示变量间的关系，二次函数的图象与性质，求二次函数的最值等知识点，构建二次函数解决最值问题是解题的关键． 27．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，是的中点，是的中点，的延长线交于，求． （1）解：过作，交于． 请继续完成解答过程： （2）创新求解：利用“杠杆平衡原理” 解答本题：（如图）设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为；则端所挂物体质量为，点承受质量为；当点为杠杆的支点，则A端所挂物体质量为； 再以为杠杆的支点时，； 应用：如图，在中，是上一点，是上一点，的延长线交于，且，，求 解：设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为，则端所挂物体质量为 ，点承受质量为 ；当点为杠杆的支点，则端所挂物体质量为 ；再以为杠杆的支点时， ． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键在于理解题意． （1）如图，过作，交于，得到，根据相似三角形的性质得，求得，根据，得到，即可得到结论； （2）根据题目中提供的解题思路和方法，结合（1）的结论即可得到答案． 【详解】解：（1）如图，过作，交于，则， ， ， 是的中点，则， ， ， ， ， ， 是的中点，， ， ； （2）设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为， ， 端所挂物体质量端所挂物体质量， 端所挂物体质量，点承受质量端所挂物体质量端所挂物体质量； 当点为杠杆的支点， ， 端所挂物体质量：点承受质量， 端所挂物体质量； 以为杠杆的支点时，端所挂物体质量端所挂物体质量． 故答案为：． 28．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与坐标轴分别交于三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为． (1)直接写出A、B点的坐标_____，_____； (2)连接，交线段于点． ①当与轴平行时，求的值 ②当与轴不平行时，连接，求的最大值 ③连接，是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①②③ 【分析】本题主要考查了待定系数法，平行线分线段成比例，角度的存在性等相关内容，解本题的关键是求抛物线解析式，确定点P的坐标． （1）令，则，所以或，由此可得结论； （2）①由题意可知，，所以，由平行线分线段成比例可知，； ②过点P作交于点Q，所以直线的解析式为．设点P的横坐标为m，则，．所以，因为，所以，由二次函数的性质可得结论； ③假设存在点P使得，过点C作轴交抛物线于点F，由，可知平分，延长交x轴于点M，易证为等腰三角形，所以，所以直线的解析式为，令，可得结论． 【详解】（1）解：令，则， ∴或， ∴，． 故答案为：；． （2）解：①对于，当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴, ∴, ∴． ②如图，点P作交于点Q， 设直线的解析式为， 把代入解析式得， ， 解得，， ∴直线的解析式为：． 设点P的横坐标为m， 则，． ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 设点C到的距离为， ∴， ∴ ∴当时，的最大值为． ③假设存在点P使得，即．过点C作轴交抛物线于点F， ∵， ∴， 延长交x轴于点M， ∵轴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为：， 令， 解得或（舍）， ∴存在点P满足题意，此时． 学科网（北京）股份有限公司 $$