精品解析：陕西省商洛市洛南县2024-2025学年九年级上学期期中调研数学试题

2024~2025学年度第一学期期中调研试题 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，根据中心对称图形的概念判断，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此一一判断即可． 【详解】解：A、找不到一点，使A中图形绕此点旋转后能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； B、找不到一点，使B中图形绕此点旋转后能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； C、能找到一点，使C中图形绕此点旋转后能够与原来的图形重合，故是中心对称图形，符合题意； D、找不到一点，使D中图形绕此点旋转后能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程； 把常数项移到等号右边，方程左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，再利用完全平方公式变形即可． 【详解】解：把常数项移到等号右边得：， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：， 由完全平方公式得：， 故选：D． 3. 已知圆的半径为，圆中一条弦长为，则这条弦所对的圆心角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定，圆心角．熟练掌握等边三角形的判定，圆心角的定义是解题的关键． 由题意知，弦长与半径围成的三角形的三边长相等，是等边三角形，进而可求答案． 【详解】解：由题意知，弦长与半径围成的三角形的三边长相等，是等边三角形， ∴这条弦所对的圆心角的度数为， 故选：C． 4. 如图，等腰，，，将绕点旋转，得到，点，的对应点分别为，，且点在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（ ） A. 顺时针， B. 逆时针， C. 顺时针， D. 逆时针， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，图形旋转的性质，解决本题的关键是利用三角形内角和求出等腰三角形的底角是解决本题的关键． 根据为等腰三角形，，由此可求解底角，再根据旋转的性质，即旋转前后角度不变求解即可． 【详解】解：将绕点旋转，得到， 旋转方向为顺时针， 在等腰，，， ∴， ∵将绕点旋转，得到， ∴， ∴， ∴， ∴将绕点旋转，得到， 旋转方向为顺时针，旋转角可能为． 故选：A ． 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式，得到，解得，再由一元二次方程的定义，即得答案． 【详解】关于x的一元二次方程有实数根， ， 解得， ， 且． 故选：D． 6. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用．先将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数性质即可求解． 【详解】解：， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为45． 故选：A． 7. 如图，是的直径，，，是的弦．若，，则弦的长度为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理勾股定理以及度直角三角形的性质．熟练掌握直径所对的圆周角是，是解题的关键．根据圆周角定理，得到，进而利用勾股定理即可得解． 【详解】解：如图，连接, ∵是的直径，，是的弦， ∴， ∵， ∴ ∴； 故选：． 8. 点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案． 【详解】解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上， ∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n， y2=（m-1）2+n， ∵y1＜y2， ∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n， ∴（m-2）2-（m-1）2＜0， 即-2m+3＜0， ∴m＞， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称点的坐标特征，求解即可． 【详解】解：已知点与点关于原点对称， 则，即 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键． 10. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义，将代入原方程，得到关于m的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故答案为：2． 11. 如图，是内接四边形的一个外角，连接，若，则的度数为______°． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，根据题意得到，，根据同角的补角相等和圆周角定理即可得到． 【详解】解：∵是内接四边形的一个外角， ∴， ∴ 故答案为： 12. 已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与几何变换，利用关于轴对称的点坐标特点，横坐标不变，纵坐标变成相反数从而得出，，，然后代入代数式计算即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线与抛物线关于轴对称， 又， ∴函数的解析式为：， ∴，，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，四边形的对角线互相垂直，且，则四边形面积的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出，再利用配方法求出二次函数最值． 【详解】解：设，四边形面积为，则， 则：， 当时，； 所以时，四边形的面积最大，且为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， 配方，得， 即， ， 即或， 解得 或． 15. 如图，A、B、C、D是上的四点，连接、、、，．求证：． 【答案】 证明：， ， ∴， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，求出，再根据圆心角、弧、弦之间的关系推出答案即可． 【详解】略 16. 已知二次函数在和时的函数值相等，求a的值． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．先求出抛物线的对称轴是直线，计算即可求出答案. 【详解】解：二次函数在和时函数值相等， 对称轴为直线， ， 解得． 17. 已知二次函数，当时，求y的最大值与最小值之差． 【答案】当时，y的最大值与最小值之差为9 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的最值，根据二次函数的增减性，求出时，函数的最大值和最小值即可． 【详解】解：， 抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ， 当时，y取得最小值，此时； 当时，y取得最大值，此时． ， 当时，y的最大值与最小值之差为9． 18. 如图，将绕顶点逆时针旋转至，连接．若，求证：． 【答案】 证明：由旋转可知， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题关键．首先根据旋转的性质可得，再利用“”证明，结合全等三角形的性质即可获得答案． 【详解】略 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出与关于原点O成中心对称的图形（、、的对应点分别为、、）； （2）若以点B为旋转中心逆时针旋转后得到的图形为（、、的对应点分别为、、），在网格中画出旋转后的图形． 【答案】（1） 如图：即为所作； （2） 如图：即为所作， ． 【解析】 【分析】本题考查了作图—旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． （1）根据关于原点对称的点的坐标得到、、的坐标，再顺次连接即可； （2）根据旋转的性质分别得出点、、的坐标，再顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知二次函数​，若将该二次函数图象向下平移m个单位（​），平移后的抛物线经过点​，求m的值． 【答案】2 【解析】 【详解】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象平移是解题的关键；因此此题可根据“上加下减，左加右减”得出平移后的解析式，然后再代点的坐标进行求解即可． 【分析】解：由题意可得平移后的二次函数解析式为， 把点代入得：， 解得：． 21. 玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆形器物．据《尔雅·释器》记载“肉好若一，谓之环”，其中“肉”指玉质部分（边），“好”指中央的孔．结合图1“肉好若一”的含义可以表示为：中孔直径，图2是一枚破损的汉代玉环，为器物原貌，需推算出该玉环的孔径尺寸．如图3，文物修复专家将破损玉环的外围边缘表示为弧，设弧所在圆的圆心为，测得弧所对的弦长，半径于点，测得，连接，求该玉环中孔半径的长． 【答案】该玉环中孔半径的长 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，由垂径定理得出，设，则，由勾股定理得出，求解即可得出答案． 【详解】解：半径于点，， ， 设，则， ， ， 解得：， 中孔直径， 中孔半径为： 该玉环中孔半径的长． 22. 某商店经营一种成本为每千克40元的水产品，据市场调查，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在函数关系．设该商店销售这种水产品每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式；（不要求写出自变量x的取值范围） （2）每千克水产品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种水产品每天的销售利润最大？ 【答案】（1） （2）每千克水产品的销售单价定为70元时，该商店销售这种水产品每天的销售利润最大 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，二次函数的最值，正确理解题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据利润=每件的利润乘以件数计算即可求出函数解析式； （2）将函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质解答． 【小问1详解】 解：由题意得 ， 与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解： ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，w有最大值， 答：每千克水产品的销售单价定为70元时，该商店销售这种水产品每天的销售利润最大． 23. 某运动鞋专卖店在销售中发现．一款运动鞋每双的进价为150元，当销售单价为200元时，每天可售出40双，店庆期间，该专卖店决定采取适当的降价措施，以最大限度地扩大销售量，减少库存，增加利润，据测算，每双运动鞋每降价1元，平均每天可多售出5双，设每双运动鞋销售单价降价x元． （1）每天能售出_______双运动鞋；（用含x的代数式表示） （2）当每双运动鞋降价多少元时，该店销售这种运动鞋平均每天盈利3360元？ 【答案】（1） （2）当每双运动鞋降价34元时，该店销售这种运动鞋平均每天盈利3360元 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程成为解题的关键． （1）直接题意列代数式计算即可； （2）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：每天能售出双． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意可得：． 整理得， 解得：， 要最大限度地扩大销售量，增加利润， ， 答：当每双运动鞋降价34元时，该店销售这种运动鞋平均每天盈利3360元． 24. 如图，在锐角中，以边为直径的交于点，作，依次交于点E，交于点G，交于点H，连接，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， 又， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理及等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理得出，根据等角的余角相等得，由圆周角定理得出，进而问题可求解； （2）证出，得出，由勾股定理得出，即，解得或，然后问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∵， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ，即， 解得：或， ， ， ． 25. 如图，抛物线与轴相交于点和点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上有一点，过点作轴的垂线交轴于点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意可得，设，则，，解方程即可求解． 【小问1详解】 把，代入，得 解得 ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 设． ∴，． ∵是等腰直角三角形， ∴． 当时，解得（舍去），， 则点的坐标为； 当时，解得（舍去），， 则点的坐标为． ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数求二次函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 26. 探究观景拱桥中安装的“脚手架”是否符合要求 素材一 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥， 其横截面如图所示， 量得该拱桥占地面最宽处米， 最高处点C距地面5米 (即米) ． 素材二 桥洞两侧壁上各有一盏景观灯E、F， 两灯直射地面分别形成反光点H、G（E、F分别在抛物线上且关于对称， H、G在线段上) ， 量得矩形的周长为27.5米现公园管理人员对拱桥加固维修， 在点H、G处搭建一个高3.55米的矩形“脚手架”． 已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全． 问题解决 任务一 确定观景拱桥的形状 分别以所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 求出该抛物线的解析式． 任务二 探究方案合理性 请问该“脚手架”的安装是否符合要求？ 如果符合， 请说明理由； 如果不符合， 求出脚手架至少应调低多少米？ 【答案】任务一：；任务二：不符合， 求出脚手架至少应调低0.15米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线特点得到二次函数解析式以及得出E点坐标是解决本题的关键． 任务一：根据所建直角坐标系得到顶点，设此函数解析式为，根据B点坐标为，结合待定系数法求解，即可解题； 任务二：假设出E点坐标为，再利用矩形的周长为27.5米，即可得出的长，进而得出的长，再结合“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全求解，即可解题． 【详解】解：任务一：由题意知，顶点C得坐标为， 故可设此函数解析式为， 由米，得出B点坐标为，代入解析式得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． 任务二：设E的坐标为，其中， 则，． 由已知得：， 即， 解得：（不合题意，舍去）， 把代入． ∴， 而， ∴该“脚手架”的安装不符合要求， 脚手架至少应调低（米）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期中调研试题 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆的半径为，圆中一条弦长为，则这条弦所对的圆心角的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，等腰，，，将绕点旋转，得到，点，的对应点分别为，，且点在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（ ） A. 顺时针， B. 逆时针， C. 顺时针， D. 逆时针， 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 6. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，，，是的弦．若，，则弦的长度为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则___________． 10. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则___________． 11. 如图，是内接四边形的一个外角，连接，若，则的度数为______°． 12. 已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的值为______． 13. 如图，四边形的对角线互相垂直，且，则四边形面积的最大值为_______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 如图，A、B、C、D是上的四点，连接、、、，．求证：． 16. 已知二次函数在和时的函数值相等，求a的值． 17. 已知二次函数，当时，求y的最大值与最小值之差． 18. 如图，将绕顶点逆时针旋转至，连接．若，求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出与关于原点O成中心对称的图形（、、的对应点分别为、、）； （2）若以点B为旋转中心逆时针旋转后得到的图形为（、、的对应点分别为、、），在网格中画出旋转后的图形． 20. 已知二次函数​，若将该二次函数图象向下平移m个单位（​），平移后的抛物线经过点​，求m的值． 21. 玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆形器物．据《尔雅·释器》记载“肉好若一，谓之环”，其中“肉”指玉质部分（边），“好”指中央的孔．结合图1“肉好若一”的含义可以表示为：中孔直径，图2是一枚破损的汉代玉环，为器物原貌，需推算出该玉环的孔径尺寸．如图3，文物修复专家将破损玉环的外围边缘表示为弧，设弧所在圆的圆心为，测得弧所对的弦长，半径于点，测得，连接，求该玉环中孔半径的长． 22. 某商店经营一种成本为每千克40元的水产品，据市场调查，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在函数关系．设该商店销售这种水产品每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式；（不要求写出自变量x的取值范围） （2）每千克水产品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种水产品每天的销售利润最大？ 23. 某运动鞋专卖店在销售中发现．一款运动鞋每双的进价为150元，当销售单价为200元时，每天可售出40双，店庆期间，该专卖店决定采取适当的降价措施，以最大限度地扩大销售量，减少库存，增加利润，据测算，每双运动鞋每降价1元，平均每天可多售出5双，设每双运动鞋销售单价降价x元． （1）每天能售出_______双运动鞋；（用含x的代数式表示） （2）当每双运动鞋降价多少元时，该店销售这种运动鞋平均每天盈利3360元？ 24. 如图，在锐角中，以边为直径的交于点，作，依次交于点E，交于点G，交于点H，连接，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 25. 如图，抛物线与轴相交于点和点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上有一点，过点作轴的垂线交轴于点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 26. 探究观景拱桥中安装的“脚手架”是否符合要求 素材一 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥， 其横截面如图所示， 量得该拱桥占地面最宽处米， 最高处点C距地面5米 (即米) ． 素材二 桥洞两侧壁上各有一盏景观灯E、F， 两灯直射地面分别形成反光点H、G（E、F分别在抛物线上且关于对称， H、G在线段上) ， 量得矩形的周长为27.5米现公园管理人员对拱桥加固维修， 在点H、G处搭建一个高3.55米的矩形“脚手架”． 已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全． 问题解决 任务一 确定观景拱桥的形状 分别以所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 求出该抛物线的解析式． 任务二 探究方案合理性 请问该“脚手架”的安装是否符合要求？ 如果符合， 请说明理由； 如果不符合， 求出脚手架至少应调低多少米？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $